人教版中学七年级数学下册期末解答题综合复习试卷含答案

人教版中学七年级数学下册期末解答题综合复习试卷含答案

一、解答题

1.如图1,用两个边长相同的小正方形拼成一个大的正方形.

图1图2图3

（1）如图2,若正方形纸片的面积为1dm?,则此正方形的对角线4C的长为_dm.

（2）如图3,若正方形的面积为16cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积

为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2,他能裁出吗？请说明理由.

2.（1）若一圆的面积与这个正方形的面积都是2乃cm"设圆的周长为品M正方形的周长

为。正，则。品•（填或"<〃或"〉〃号）

（2）如图，若正方形的面枳为16cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为

12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2,他能栽出吗？请说明理由.

3.已知足球场的形状是一个长方形，而国际标准球场的长度〃和宽度/，（单位：米）的取

值范围分别是lOOWaKUO,64<^<75.若某球场的宽与长的比是1：1.5,面积为7350

平方米，请判断该球场是否符合国际标准球场的长宽标准，并说明理由.

4.如图是一块正方形纸片.

（1）如图1，若正方形纸片的面积为ld"2,则此正方形的对角线4c的长为dm.

（2）若一圆的面积与这个正方形的面积都是271cm2,设圆的周长为CL.，正方形的周长为

C正，则C冈C正（填"="或"<"或"〉"号）

（3）如图2,若正方形的面积为16cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积

为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2,他能裁出吗？请说明理由？

5.观察下图，每个小正方形的边长均为1,

（1）图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？

（2）估计边长的值在哪两个整数之间.

6.已知：AB//CD.点、E在CD上，点F,H在AB上，点G在八8,C。之间，连接FG,

EH,GE,ZGFB=ACEH.

图1图2

(1)如图1,求证：GFHEH；

(2)如图2,若NGEH=a,FM平分N4FG,EM平分NGEC,试问/M与a之间有怎样的

数量关系(用含a的式子表示?请写出你的猜想，并加以证明.

7.如图1,已知直线mile,A8是一个平面镜，光线从直线m上的点。射出，在平面镜

48上经点P反射后，到达直线〃上的点Q.我们称0P为入射光线，PQ为反射光线，镜面

反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即

/OPA=/QPB.

图1图2图3

(1)如图1,若NOPQ=82。,求NO%的度数；

(2)如图2,若NAOP=43。，N8QP=49。，求NO%的度数；

(3)如图3,再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和〃上，另一块在两直线之

间，四块平面镜构成四边形A8CD,光线从点。以适当的角度射出后，其传播路径为

。-「-。)/?1。少21...试判断/02。和/。/?(2的数量关系，并说明理由.

8.已知点C在射线上.

(1)如图①，CD//OE,若NAO8=90。，ZOCD=120°,求N8OE的度数；

(2)在①中，将射线OE沿射线08平移得OF(如图②)，若NA08=a,探究/。8

与N80E的关系(用含a的代数式表示)

(3)在②中，过点0,作08的垂线，与N0C。的平分线交于点P(如图③)，若NC。。，

=90。，探究NAOB与N80E的关系.

图①图②

9.阅读下面材料：

小亮同学遇到这样一个问题：

己知：如图甲，AB//CD,E为48,C。之间一点，连接BE,DE,得到NBED.

求证：ZBED=/B+ZD.

（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整.

证明：过点E作EF//A8,

则有NBEF=—.

,/AB//CD,

/.___//___,

/.ZFED=—.

/.ZBED=NBEF+NFED=W8+ZD.

（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，

已知：直线。//仇点A,8在直线。上，点C,。在直线b上，连接A。，BC,8E平分

4ABC,平分N40C,且8E,所在的直线交于点£

①如图1,当点8在点4的左侧时，若N48C=60。，NAOC=70。，求NBE。的度数；

②如图2,当点B在点4的右侧时，设NA8C=a,NADC=&请你求出N的度数

（用含有a,6的式子表示）.

10.如图，已知直线A3〃射线C。，ZCEB=\W.。是射线砧上一动点，过点/，作

PQ〃EC交射线CD于点Q,连接CP.作NPC/=NPC。，交直线A8于点尸，CG平分

NECF.

（1）若点P,F,G都在点E的右侧.

①求NPCG的度数；

②若ZEGC-ZECG=30°,求NCPQ的度数.（不能使用“三角形的内角和是180。〃直接解

题）

（2）在点。的运动过程中，是否存在这样的偕形，使NEGC:NEFC=3:2?若存在，直

接写出NCPQ的度数；若不存在.请说明理由.

三、解答题

11.如图1,由线段人氏人组成的图形像英文字母称为““形切A4O.

V.w

8D

图1

(1)如图1,“形8WCQ中，若A8〃CD,ZA+NC=50。，则NM=；

(2)如图2,连接M形朋MC。中B,。两点，若/8+/。=150。,44加。=1,试探求乙4

与NC的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，且AC的延长线与4。的延长线有交点，当点M在线段

5。的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出NA与NC所有可能的数量关系.

12.已知：三角形48c和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C,且

8cLWN,其中N48C=Z4C8,NDEF=NDFE,ZA8C+NOFE=90。，点、E、F均落

在直线MN上.

利用这条辅助线解决了问题.请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程.

(2)将三角形DEF沿着A/M的方向平移，如图2,求证：DEHAC；

(3)将三角形DEF沿着的方向平移，使得点E移动到点匕，画出平移后的三角形

DEF,并回答问题，若NDFE=a,则NC48=.(用含。的代数式表示)

13.问题情境

(1)如图1,已知A8//CDNP5A=125°,ZPCD=155\求/BQC的度数.佩佩同学的

思路：过点P作用V/MB,进而PN//CD,由平行线的性质来求NBPC,求得4PC

问题迁移

（2）图2,图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两

边重合N4C8=90°,。产与尸。相交于点E,有一动点P在边AC上运动，连接

PE,PA,记APED=Za,ZPAC=Zfi.

①如图2,当点尸在C力两点之间运动时，请直接写出“PE与/。，/4之间的数量关

系；

②如图3,当点P在及。两点之间运动时，与N。,/夕之间有何数量关系？请判断

并说明理由.

图3

14.已知.如图①./8八。=50°，点。为射线/W上一点（不与公重合）.连接BC

（1）［问题提出］如图②,AB//CE,N88=73。,则：Z8=—.

（2）［类比探究］在图①中，探究N84D、/8和N88之间有怎样的数量关系？取!1苧行

线的■隹质说明理由.

（3）［拓展延伸］如图③，在射线8c上取一点0,过。点作直线M/V使MN〃/W,8E平分

NA8C交4。于E点，0F平分NB0N交AD于F点、,OG//BE交AD于G点,当C点沿着射

线4。方向运动时，NF0G的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这

个不变的值.

图⑤

15.已知直线斯〃/WN,点44分别为E/LMN上的点.

图1图2

(1)如图1,若NE4C=ZAC8=120。，ZCAD=-ZFAC,ZCBD=-ZCBN,求NCBN

22

与N4Q4的度数；

(2)如图2,若NE4C=ZAC4=120。，ZCAD=-ZFACZCBD=-ZCBN则

3t3f

ZADB=°；

(3)若把(2)中"NE4C=ZAC8=120。，ZCAD=-zE4C,NCBD='/CBN"改为

33

“NFAC=ZACB=〃?°,ZCAD=-ZFAC,/CBD=L/CBN",则

nn

ZADB=°.(用含〃?，〃的式子表示)

四、解答题

16.如图，直线A8//CD,E、产是A3、。力上的两点，直线/与A3、CD分别交于点

/PFD=.

（2）若点/，与点E、尸不在一直线上，试探索Nz®、NEPF、NC"之间的关系，并证

明你的结论.

17.如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O、A、E两点同时从点。出发，点A沿直

线m向左运动，点B沿直线n向上运动.

⑴若NBAO和NABO的平分线相交于点Q,在点A,B的运动过程中，NAQB的大小是否

会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由.

⑵若AP是NBAO的邻补角的平分线，BP是NABO的邻补角的平分线，AP、BP相交于点

P，AQ的延长线交PB的延长线于点C,在点A,B的运动过程中，/「和/（：的大小是否

会发生变化？若不发生变化，请求出NP和NC的度数：若发生变化，请说明理由.

18.（生活常识）

射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相

等.如图1.M/V是平面镜.若入射光线40与水平镜面夹角为/1.反射光线。8与水平镜

面夹角为N2,则N1=N2.

（现象解祥）

如图2,有两块平面镜。M，ON,且OMJLON,入射光线48经过两次反射，得到反射光线

C。.求证48IICD.

（尝试探究）

如图3,有两块平面镜OM,ON,且NMON=55。，入射光线48经过两次反射，得到反射

（深入思考）

如图4,有两块平面镜OM,ON,且/MON=a,入射光线4B经过两次反射，得到反射光

线8,光线A8与CD所在的直线相交于点E,/8£D=6,a与6之间满足的等量关系

是.（直接写出结果）

19.如图，△ABC中，NA8C的角平分线与NACB的外角N4C。的平分线交于4.

(1)当NA为70。时，

ZACD-ZABD-Z.

/.ZACD-Z.ABD=°

84、CAi是NABC的角平分线与NACB的外角NACD的平分线

ZAiCD-ZAiBD=-(ZACD-Z.ABD)

2

NA产°;

（2）N48C的角平分线与N4CD的角平分线交于4，N4BC与42co的平分线交于角，

如此继续下去可得4....4,请写出N4与N4的数量关系;

（3）如图2,四边形48C。中，NF为N48c的角平分线及外角N0CE的平分线所在的直线

构成的角，若/4+/。=230度，则NF=.

（4）如图3,若E为班延长线上一动点，连EC,NAE2与NACE的角平分线交于Q,当E

滑动时有下面两个结论：①NQ+N4的值为定值；②/Q-N4的值为定值.其中有且只

有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值.

20.（1）如图1所示，△48C中，N4CB的角平分线CF与/£4；的角平分线4。的反向延

长线交于点F；

①若N8=90。则NF=；

②若/8=a,求NF的度数（用。表示）；

（2）如图2所示，若点G是CB延长线上任意一动点，连接4S,/八68与/648的角平

分线交于点H,随着点G的运动，/F+/H的值是否变化？若变化，请说明理由；若不

【参考答案】

一、解答题

1.（1）;（2）不能，理由见解析

【分析】

（1）由正方形面积，可求得正方形边长，然后利用勾股定理即可求出对角线长:

（2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可.

【详解】

解：

解析：（1）V2:（2）不能，理由见解析

【分析】

（1）由正方形面积，可求得正方形边长，然后利用勾股定理即可求出对角线长;

（2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可.

【详解】

解：（1）■「正方形纸片的面积为1力小,

正方形的边长A3=8C=1c加7,

AC=y/AI32+BC2=41dm.

故答案为：及.

（2）不能；

根据题意设长方形的长和宽分别为3xs?和

长方形面积为：3M兄含，

解得：x=0，

「•长方形的长边为3无

1•,3夜>4，

他不能裁出.

【点睛】

本题考查了算术平方根在长方形和正方形面积中的应用，灵活的进行算术平方根计算及无

理数大小比较是解题的关键.

2.（1）<；（2）不能，理由见解析

【分析】

（1）分别根据圆的面积和正方形的面积得出其半径或边长，再分别求得其周

长，根据实数大小比较的方法，可得答案；

（2）设裁出的长方形的长为，宽为，由题意得关于

解析：（1）<；（2）不能，理由见解析

【分析】

（1）分别根据圆的面积和正方形的面积得出其半径或边长，再分别求得其周长，根据实数

大小比较的方法，可得答案；

（2）设裁出的长方形的长为3a（。〃），宽为2as〃）,由题意得关于，的方程，解得“的值，

从而可得长方形的长和宽，将其与正方形的边长比较，可得答案.

【详解】

解：（1）圆的面积与正方形的面积都是,

・•・圆的半径为向由正方形的边长为疡（（M,

二Q=48/,Q=4yj27r=.2%（cv〃），

32^-=8^-x4>8^x^-,

j32/r>&产»

，C[g<C正.

（2）不能裁出长和宽之比为3:2的长方形，理由如下：

设裁出的长方形的长为3a3”），宽为2a（。〃），山题意得：

Mx2a=12,

解得a=Vi■或〃=-四（不合题意，舍去）,

•,•长为3壶刖，宽为2立刖，

正方形的面积为16cG,

「•正方形的边长为4a%

3夜〉4,

二不能裁出长和宽之比为3:2的长方形.

【点睛】

本题考查了算术平方根在正方形和圆的面积及周长计算中的简单应用，熟练掌握相关计算

公式是解题的关键.

3.符合，理由见解析

【分析】

根据宽与长的比是L1.5,面积为7350平方米，列方程求出长和宽，比较得出

答案.

【详解】

解：符合，理由如下：

设宽为b米，则长为1.5b米，由题意得，

1.5bxb

解析：符合，理由见解析

【分析】

根据宽与长的比是1：15面积为7350平方米，列方程求出长和宽，比较得出答案.

【详解】

解：符合，理由如下：

设宽为b米，则长为1.5b米，由题意得，

1.5bxb=7350,

b=70,或b=-70（舍去），

即宽为70米，长为1.5x70=105米，

*/100<105<110,64<70<75,

•••符合国际标准球场的长宽标准.

【点睛】

本题考查算术平方根的意义，列出方程求出长和宽是得出正确答案的前提.

4.（1）;（2）<；（3）不能；理由见解析.

【分析】

（1）由正方形面积，易求得正方形边长，再由勾股定理求对角线长；

（2）由圆面积公式，和正方形面积可求周长，比较两数大小可以采用比商法；

（3）采

解析：（1）V2:（2）<；（3）不能；埋出见解析.

【分析】

（1）由正方形面积，易求得正方形边长，再由勾股定理求对角线长；

（2）由圆面积公式，和正方形面积可求周长，比较两数大小可以采用比商法；

（3）采用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可.

【详解】

解：（1）由已知八82=1,则48=1,

由勾股定理，AC=y/2；

故答案为：立.

（2）由圆面积公式，可得圆半径为0,周长为2不行，正方形周长为4疡.

孕=噜=与=牛<\；即XC正；

C正4疡2V4

故答案为：<

（3）不能；

由已知设长方形长和宽为3xcm和2xcm

「•长方形面积为；2x*3x=12

解得x=&

「•长方形长边为3友>4

他不能裁出.

【点睛】

本题主要考查了算术平方根在正方形、圆、长方形面积中的应用，灵活的进行算术平方根

的计算与无理数大小比较是解题的关键.

5.（1）图中阴影部分的面积17,边长是；（2）边长的值在4与5之间

【分析】

（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个

直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可

解析：（1）图中阴影部分的面积17,边长是47；（2）边长的值在4与5之间

【分析】

（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形

的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方形的边长；

（2）根据巫Vgv衣，可以估算出边长的值在哪两个整数之间.

【详解】

1'4

（1）由图可知，图中阴影正方形的面积是：5x5-——f4=17

则阴影正方形的边长为：V17

答：图中阴影部分的面积17,边长是后

（2）,/Vi6<x/i7<x/25

所以4VJI7V5

「•边长的值在4与5之间；

【点睛】

本题主要考查了无理数的估算及算术平方根的定义，解题主要利用了勾股定理和正方形的

面积求解，有一定的综合性，解题关键是无理数的估算.

二、解答题

6.（1）见解析；（2）,证明见解析.

【分析】

(1)由平行线的性质得到，等量代换得出，即可根据〃同位角相等，两直线平

行〃得解；

(2)过点作，过点作，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可.

【详

解析：(1)见解析；(2)ZFME=90°-^,证明见解析.

【分析】

(1)由平行线的性质得到/CEH=/的，等量代换得出=即可根据“同位角

相等，两直线平行”得解；

(2)过点M作用Q/A3,过点G作GE/A8,根据平行线的性质及角平分线的定义求解即

可.

【详解】

(1)证明：AB//CD,

：.ZCEH=NEHB,

:4GFB=4CEH,

:./GFB=/EHB,

：.GF//EH；

(2)解："ME=90。-色,理由如下：

7

图2

-ABHCD,

:.MQ/fCD,

ZAFM=4FMQ,/QME=NMEC,

/./FME=4FMQ+NQME=ZAFM+AMEC,

同理，NFGE=NFGP+NPGE=ZAFG+NGEC,

.•EW平分NAFG,EM平分NGEC,

/.ZAFG=2ZAFM,/GEC=2AMEC,

:2FGE=2NFME,

由(1)知，GF//EH,

;.NFGE+NGEH=18(f,

•;NGEH=a,

.­.ZroE=180°-a,

:.2ZFME=\S(r-a,

^FME=90°--

2

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的

关键.

7.(1)49°,(2)44°,(3)N0PQ=N0RQ

【分析】

(1)根据NOPA=NQPB.可求出NOPA的度数；

(2)由NAOP=43。，NBQP=49。可求出NOPQ的度数，转化为(1)来解

解析：(1)49。，(2)44°,(3)ZOPQ=NORQ

【分析】

(1)根据NO%=NQPB.可求出NO%的度数；

(2)由NAOP=43。，N8QP=49。可求出NOPQ的度数，转化为(1)来解决问题；

(3)由(2)推理可知：ZOPQ=ZAOP+ABQP,ZO/?Q=ZDO/?+ZRQC,从而

ZOPQ=NORQ.

【详解】

解：(1)N0%=NQP8,NOPQ=82°,

/.ZOPA=(180°-ZOPQ)xg=(180°-82°)xy=49°,

(2)作PCIIm,

mHn,

：.mWPCIIn,

/.ZAOP=NOPC=43°,

Z8QP=NQPC=49°,

ZOPQ=NOPC+NQPC=430+49°=92°,

/.ZOPA=(180°-ZOPQ)xg=(180°-92°)x344。，

图2

(3)ZOPQ=ZORQ.

理由如下：由(2)可知：ZOPQ=NAOP+NBQP,ZORQ=NDOR+ZRQC,

•••入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹兔，

/.ZAOP=Z.DOR,Z8QP=NRQC,

/.ZOPQ=ZORQ.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的

设置环环相扣、前为后用的设置目的.

8.(1)150°；(2)NOCD+NBO'E'=360°-a；(3)NAOB:NBO'E'

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到NAOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求

得NBOE的度数；

(2)

解析：(1)150°；(2)NOCO+N8O'E'=360°匕；(3)ZAOB=ZBO'E'

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到/AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得/80E的

度数；

(2)如图②，过。点作OFIICD,根据平行线的判定和性质可得N08、N80E的数量关

系；

(3)由已知推出CPII0B,得到N408+NPCO=180。，结合角平分线的定义可推出

Z08=2/PCO=3600-2ZAOB.根据(2)/OCD+Z8O'E'=360°-/AOB,进而推出

ZAOB=Z.BOE.

【详解】

解：(1)VCDII0E,

ZAOE=Z.OCD=120°,

ZBO£=360°-ZAOE-A/A08=360o-90o-120o=150°；

(2)ZOCD+ZBO'E'=36Qe-a.

证明：如图②，过。点作OFHCD，

图②

丁CDIIOF,

：.OFWOF,

ZAOF=1800-ZOCD,ZBOF=NE0'0=1800-NBO'E',

Z40B=ZAOF+ABOF=180°-ZOCD+180°-ZBO'E'=360°-(ZOCD+ZBO'E')=a,

/.ZOCD+Z8OF=360°-a；

(3)/AO8=NBO'E1.

证明：•••NCPO'=90°,

PO'±CP,

PO」OB,

CPWOB,

/.ZPCO+Z408=180°,

/.2ZPCO=3600-2ZAOB,

•••CP是/oc。的平分线，

/.ZOCD=2ZPCO=3600-2ZAOBt

,由(2)知，ZOCD+Z.BOT/=360o-a=3600-ZAOB,

：.36O0-2ZAOB+Z.8。'尸=350°-/AOB,

ZAOB=ZBO'E'.

【点睛】

此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出

辅助线是解决问题的关键.

9.(1)ZB,EF,CD,ZD：(2)①65。；@180°-

【分析】

(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

(2)①如图1,过点E作EFIIAB,当点B在点A的左侧时，根据NABC=

60°,

解析：(1)ZB,EF,CD,ND：(2)①65。；②180。-

【分析】

(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

(2)①如图1,过点E作EFII48,当点B在点A的左侧时，根据/A8C=60。，AADC=

70%参考小亮思考问题的方法即可求/BED的度数；

②如图2,过点£作EFIIA8,当点8在点A的右侧时，ZABC=a,N4DC=B，参考小亮

思考问题的方法即可求出/BED的度数.

【详解】

解：(1)过点E作EFII/B,

则有NBEF=N8,

,/ABWCD,

/.EFWCD,

ZFED=ND,

ZBED=NBEF+NFED=NB+ZD；

故答案为：ZB：EF；CD；ZD；

(2)①如图1,过点E俏EFIM8,有NBEF=NEBA.

/.EFWCD.

/.ZFED=ZEDC.

Z8EF+NFED=Z.EBA+ZEDC.

BPZBED=/EBA+Z.EDC,

•••BE平分NABC,DE平分NADC,

ZEBA=^AABC=30°,ZEDC=ZADC=35°,

ZBED=Z.EBA+AEDC=6S°.

答：N8£。的度数为65。；

②如图2,过点£作£m148,BEF+zEBA=1SO°.

：.ZBEF=180°-ZEBA,

■：AB\\CD,

/.EFWCD.

/.ZFfD=ZEDC.

ZBEF+NFED=1800-ZEBA+Z.EDC.

即NBED=1800-ZEBA+ZEDC,

••8E平分/ABC,。£平分N/WC,

/.ZEBA=^AABC=-a,ZEDC=-jZADC=-p,

22

；

/./RFD=1800-ZERA+ZFDC=1800--2/7+-2/.

答：NBEO的度数为180。-+

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

10.(1)①35°；(2)55°；(2)存在，或

【分析】

(1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数;

②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=ZGCF=20°

解析：(1)①35°；(2)55°；(2)存在，52.5。或7.5。

【分析】

(1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=/GCF=20。，再根据PQIICE,

即可得出/CPQ=ZECP=6C°；

(2)设/£GC=3x,ZEFC=2x,则NGCF=3x-2x=x,分两种情况讨论：①当点G、F在点E

的右侧时，②当点G、F在点£的左侧时，依据等量关系列方程求解即可.

【详解】

解：(1)CD,

/.ZCEB+A£CQ=180°,

ZCEB=110°,

/.ZECQ=70°,

丁ZPCF=ZPCQ,CG平分/ECF,

ZPCG=NPCF+NFCG=；NQCF+^-ZFCE=ZECQ=35°；

(2)\-AB\\CD,

ZQCG=ZEGC,

•/ZQCG+N£CG=ZECQ=70。,

ZEGC+ZECG=70°,

又•「ZEGC-Z.ECG=3Q\

ZEGC=50°,ZECG=20°，

ZECG=Z6CF=20°,ZPCF=4PCQ=g(70。-40。)=15。，

'/"QIICl,

ZCPQ=NECP=NECQ-NPCQ=70°-15°=55°.

(2)52.5。或7.5。,

设/EGC=3x°,ZEFC=2x°t

AB\lCD,

ZQCG=Z£GC=3x°,NQCF=N£FC=2x。，

则/GCF=NQCG-ZQCF=3x°-2x0=x%

ZPCF=NPCQ=g/FCQ=WNEFC=x°,

则NECG=NGCF=NPCF=ZPCD=x0,

,/ZECD=70°,

4x=70°,解得x=17.5°,

ZCPQ=3x=52.5°；

②当点G、F在点E的左恻时，反向延长8到H,

ZEGC=3x。,ZEFC=2x°,

：.4GCH=4EGC=3x0,/FCH=/EFC=2x°,

ZECG=NGCF=NGCH-ZFCH=x°,

•/ZCGF=180o-3x°,NGCQ=70°+x°,

180-3x=70+x,

解得x=27.5,

ZFCQ=NECF+4ECQ=27.5ox2+70o=125o,

ZPCQ=yZFCQ=62.5°,

/.ZCPQ=ZECP=62.5O-55O=7.5O,

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相

等是解题的关键.

三、解答题

11.(1)50°；(2)ZA+ZC=30°+a,理由见解析；(3)NA-NDCM=3(T+a或

30°-a

【分析】

(1)过M作MNIIAB,由平行线的性质即可求得NM的值.

(2)延长BA,DC交于E,

解析：(1)50。；(2)Z/A+ZC=30°+a,理由见解析；(3)N4/DCM=30°+a或30”

【分析】

(1)过M作MNIIA8,由平行线的性质即可求得NM的值.

(2)延长84OC交于£,应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题.

(3)分两种情形分别求解即可；

【详解】

解：(1)过M作MNWAB,

3D

图1

■：ABWCD,

MNWCD,

Z1=ZA,Z2=ZC,

ZAMC=Z.1+Z2=ZA+ZC=50°；

故答案为:50。；

(2)NA+NC=30°+a,

延长加，OC交于£,

Ek9»

图2

■/Z8+ZD=150°,

ZE=30。，

---Z8A/W+NOC/W=36CT-(ZE4/W+NECM)=360''-(360-4E-乙M)=30>a；

即/4+ZC=300+a：

(3)①如下图所示：

延长班、DC使之相交于点E,延长MC与84的延长线用交于点F,

­/Z8+ZD=150°,ZAMC=a,：.Z£=30°

由三角形的内外角之间的关系得：

Z1=30°+/2

Z2=Z3+a

Zl=30°+Z3+a

z1-z3=300+a

即：ZA-AC=30°+a.

②如图所示,210-/4=(180°-ZDCM)+a,即N4NDCM=30°-a.

A

综上所述，Z4/0cM=30°+a或30°-a.

【点睛】

本题考查了平行线的性质.解答该题时•，通过作辅助线准确作出辅助线川A8,利用平行

线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角NM与已知角NA、NC的数量关系联系起

来，从而求得NM的度数.

12.（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；.

【分析】

（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；

（2）先证明，再证明，得到，问题得证；

（3）根据题意得到，艰据（2）结论得到/D

解析：（1）见解析；（2）见解析：（3）见解析；2a.

【分析】

（1）过点C作CG〃力/，得到NOKE=NFCG,再根据NBb=90。，

ZABC+Z£>FE=90°,得到NA8C=N4CG,进而得到CG〃48,最后证明AB：

（2）先证明NACB+N以五=90。，再证明NAC4+NAC石=90。，得到=问

题得证；

（3）根据题意得到在=N£>b=a,根据（2）结企得到ND£F=NEC4=",进而得到

ZABC=ZACB=9（r-a,根据三角形内角和即可求解.

【详解】

解：（1）过点C作"〃

:"DFE=/FCG,

•・•BC工MN，

Z«CF=90°.

...ZBCG+ZFCG=90°,

:.ZBCG+ZDFE=90°,

-ZABC+ZDFE=90°,

ZABC=/BCG,

:.CGIAB,

DF//AH；

（2）解：•.ZABC=ZACBf4DEF=NDFE,

又二/ABC+NDFE=90°,

:.ZACB+^DEF=90°,

BC工MN,

.•./BCM=90。，

/.Z4CB+ZACE=90o,

:.ZDEF=ZACE,

DE//AC；

（3）如图三角形。EF即为所求作三角形.

Z.DFE-a,

/.ZDFE=ZDEF=a,

由（2）得，OFIIAC,

ZDEFMECA=a,

•「ZAC^+ZACE=90°,

zACB=90°-a,

/.AABC=ZACB=90°-a,

/.Z4=180°-ZABC-ZACB=2a.

故答案为为：2a.

【点睛】

本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根

据题意画出图形是解题关键.

13.（1）80；（2）①：②

【分析】

（1）过点P作PGIIAB,则PGIICD,由平行线的性质可得NBPC的度数；

（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得/APE与Na,之

间的数量关系；

解析：（1）80：（2）①4PE=Na+N/?；（2）ZAPE=Z/7-Za

【分析】

（1）过点P作PGII48,则PGIICD,由平行线的性质可得N8PC的度数；

（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得NAPE与N*/6之间的数量关

系；

②过P作PQIIDF,依据平行线的性质可得N6=ZQPA,Za=ZQPE,即可得到

NAPE=ZAPQ-Z£PQ=N6-Za.

【详解】

解：(1)过点P作PGIIA8,贝IJPGIICD,

由平行线的性质可得NB+Z8PG=180°,ZC+ZCPG=180°,

又7ZP8A=125°,ZPCD=155°,

/.Z8PC=360°-125°-155°=80°,

故答案为：80；

(2)①如图2,

过点P作FD的平行线PQ,

则DFWPQIIAC,

Za=ZEPQ,Z6=N4PQ,

/.ZAPE=NEPQ+4APQ=Na+Z6,

，APE与Na,N6之间的数量关系为NAP£=Na+N6；

图2

②如图3,NAPE与Na,N6之间的数量关系为N2PE=N6-Na；理由:

过P作PQIIDF,

B

图3

,/DFWCG,

/.PQIICG,

Z6=ZQPA,Za=ZQPE,

ZAPE=NAPQ-NEPQ=N0-Za.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得

出结论.

14.(1)；(2),见解析；(3)不变，

【分析】

(1)根据平行线的性质求出，再求出的度数，利用内错角相等可求出角的度

数；

(2)过点作II,类似(1)利用平行线的性质，得出三个角的关系；

(3)运用

解析：(1)23°；(2)/BCD=ZA+NB,见解析；(3)不变，NFOG=25。

【分析】

(1)根据平行线的性质求出NA=NZX:E=50。，再求出N8CE的度数，利用内错角相等可

求出角的度数；

(2)过点。作CEIIAB,类似(1)利用平行线的性质，得出三个角的关系；

(3)运用(2)的结论和平行线的性质、角平分线的性质，可求出NFOG的度数，可得结

论.

【详解】

(1)因为CEIIAB,

所以ZA=NOCE=50。，/B=NBCE

因为NBCD=73°,

所以/BCE=/BCD-ZDCE=23°,

故答案为：23°

(2)/BCD=ZA+NB,

如图②，过点C作CfllAB,

则NA=NDCE,/B=/BCE.

因为/BCD=NDCE+NBCE,

所以ZBCD=ZBAD+NB,

(3)不变，

设

因为BE平分4BC,

所以=

由(2)的结论可知N5CO=NB4O+NA2C,且NBA。=50°,

贝ij：ZBCD=500+2x.

因为MWIIAD,

所以NBON=NBCD=50c十2x,

因为O"平分N8QN,

所以NCO尸=4N0F=LRB0N=25°+x.

2

因为OGIIBE,

所以NCOG=NC或：=x,

所以Z.FOG=ZCOF-ZCOG=25°+x-x=25°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质证明角相

等，通过等量代换等方法得出角之间的关系.

15.(1)1205,1205；(2)160：(3)

【分析】

(1)过点作，，根据，平行线的性质和周角可求出，则，再根据，，可

得，，可求出，，根据即可得到结果；

(2)同理(1)的求法，

fj—I

解析：(1)1209.1209：(2)160；(3)----(360-»n)

【分析】

(1)过点C,力作CGEF,DHEF,根据NQ4C=NAC8=120。，平行线的性质和周

角可求出NGCB=I2O。，则NC8N=NGC8=120。，再根据NCA。=』NE4C,

2

NCBD=-NCBN,可得ZCBD=-Z.CBN=60°,ZCAD=-ZFAC=60。,可求出

222

ZADH=ZFAD=60°,NBDH=4DBN=60°,根据aDB=2ADH+NBDH即可得到结果；

(2)同理(1)的求法，根据NE4C=ZAC8=12()。，2CAD=|zMC,

4CBD=1/CBN求解即可；

(3)同理(1)的求法，根据NE4C=NAC8="?。，ZCAD=-ZE4C,ZCBD=、4CBN

nn

求解即可；

【详解】

解：(1)如图示，分别过点作CGEF,DHEF,

EFQMN、

EFHMNRCGNDH,

ZACG=ZE4C=120°,

Z.GCB=360°-ZACG-=120°,

/.NCBN=NGCB=120°,

NCBD=L/CBN=60。,ZCAD=-ZFAC=60°

22

ZDBN=ACBN-^CI3D=60°,

又ZFAD=ZFAC-ZCAD=60°,

乙M)H=NFAD=60°,/BDH=4DBN=60°,

ZADB=ZADH+ZBDH=120°.

(2)如图示，分别过点C,D作CGEF,DHEF,

EFMN,EFrMN//CGfiDHf

：.ZACG=ZE4C=120°,

ZGCB=360°-ZACG-ZACT=120°,

NCBN=NGCB=120°,

■：ZCBD=-ZCBN=4O0,/CAO=」NE4c=400

33

ZDBN=NCBN-NCBD=,

又丁ZE4D=ZMC-ZC^D=80°,

/.Z4£W=ZMD=8(r,&DH=QBN=^,

：.ZJ\DB=ZJ\DH+^BDH=160°.

故答案为：160：

(3)同理(1)的求法

•/EF§MN,EFIMNHCGgDH,

；.ZACG=^FAC=nf,

：.ZGC«=36(r-Z4CG-ZACB=360o-2/zf,

ZCBN=Z.GCB=36(r-2nf,

•「ZCBD=-ZCBN=36()°27,0,ZCAD=-ZFAC=—

nnnn

3600-2/M°n-1

/.ZDBN=ZCBN-ACBD=(360°-2,n°)--——=—(3600-2/7?0),

又•「ZFAD=ZFAC-ZCAD=nf--=^^-nf,

nn

：.ZADH=NFAD=^^,n。,Z.BDH=Z.DBN=—(360°-2/r°),

/.ZADB=ZAD/I+ZBDH=w°+—(3600-2m0)=—(360°-.

nnn

故答案为：--(360-w).

n

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和角度的运算，熟悉相关性质是解题的关键.

四、解答题

16.(1)120°；(2)NEPF=NAEP+NCFP或NAEP=NEPF+NCFP,证明见详

解.

【分析】

(1)根据题意，当点与点、在一直线上时，作出图形，由ABIICD,

ZFHP=60°,可以推出

解析：(1)120°；(2)NEPF=NAEP+NCFP或NAEP=NEPF+NCFP,证明见详解.

【分析】

(1)根据题意，当点。与点E、尸在一直线上时，作出图形，由ABIICD,ZFHP=60c,可

以推出NGEP=NEGP=60。，计算NPFD即可；

(2)根据点P是动点，分三种情况讨论：①当点P在AB与CD之间时；②当点P在AB

上方时；③当点P在CD下方时，分别求出NAEP、NEPF、NCFP之间的关系即可.

【详解】

(1)当点尸与点E、尸在一直线上时，作图如下，

ABIICD,NFHP=60°,NGEP=NEGP,

NGEP=NEGP=ZFHP=60°,

...ZEFD=180°-ZGEP=180c-60°=120%

ZPFD=120°,

故答案为：120。；

(2)满足关系式为NEPF=ZAEP+ZCFP或/AEP=ZEPF+ZCFP.

证明：根据点P是动点，分三种情况讨论：

①当点P在AB与CD之间时，

过点P作PQIIAB,如下图，

,/ABIICD,

PQIIABIICD,

/.ZAEP=ZEPQ,ZCFP=ZFPQ,

ZEPF=ZEPQ+ZFPQ=ZAEP+ZCFP,

即NEPF=ZAEP+ZCFP；

,/ZAEP=ZEPF+ZEQP,

,/ABHCD,

ZCFP=ZEQP,

ZAEP=ZEQF,

ZEQF=ZEPF+ZCFP,

•••ZAEP=ZEPF+ZCFP,

综上所述，NAEP、ZEPF.NCFP之间满足的关系式为：NEPF=NAEP+NCFP或

ZAEP=ZEPF+Z