2026年高考数学模拟测试卷 含答案

/高中数学测试题评卷人得分一、单选题1．角终边上有一点，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知集合，，则的子集个数为（

）A．2 B．4 C．8 D．163．已知函数为上的奇函数，当时，；若，，，则（

）A． B．C． D．4．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，且的图象相邻两条对称轴间的距离为，下列说法正确的个数是（

）①②是的一条对称轴③当时，的值域为④在区间上单调递增A．1 B．2 C．3 D．45．已知、、，且，则（

）A． B． C． D．6．函数，则的部分图象大致形状是（

）A． B．C． D．7．已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则（

）A．0 B．1 C．2 D．38．我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（

）A． B． C． D．9．已知实数满足不等式组,若目标函数的最大值不超过4,则实数m的取值范围是A． B． C． D．[10．已知四棱锥的底面是正方形，平面平面ABCD，，点E为PB的中点，且，则四棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．11．已知，是抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，为的重心.若，则的最小值为（

）A． B． C． D．12．已知函数，数列的前n项和满足，下列说法正确的是（

）A．B．数列的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列C．若，则数列的通项公式D．若，则数列的通项公式评卷人得分二、填空题13．设向量a,b,c满足,,,若,则的值是14．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则.15．设，，，为球的球面上的四个点，满足，.若四面体的表面积为，则球的表面积为.16．如图所示，已知三棱锥中，底面为等腰直角三角形，斜边，侧面为正三角形，D为的中点，底面，则三棱锥外接球的表面积为.

评卷人得分三、解答题17．已知数列满足.(1)若，证明是等差数列；(2)设，数列的前项和为，若，求.18．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫（）内的数字均含1至9且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.(1)赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度（秒）与训练天数（天）有关，经统计得到如表的数据：（天）1234567（秒）990990450320300240210现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？(2)小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.参考数据（其中）18450.370.55参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.19．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，点在以为直径的圆上，平面平面，，，平面平面．（1）证明：直线平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．20．如图，椭圆的焦点分别为为椭圆上一点，的面积最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)若分别为椭圆的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线交椭圆于（在上方，在下方，且均不与点重合）两点，直线的斜率分别为，且，求面积的最大值.21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．若直线，的交点为，当变化时，点的轨迹是曲线．(1)求曲线的普通方程；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，直线，已知点是曲线上的动点，求点到直线的最小值．22．已知函数有两个不同的零点.(1)求实数的取值范围；(2)求证.23．已知a，b，c都是正数.(1)证明：；(2)若，证明.答案：1．C【分析】结合三角函数的定义确定正确选项.【详解】角终边上有一点，，解得，所以“”是“”的充要条件.故选：C2．B【分析】根据对数的运算化简集合B，由交集的运算可得，即可求解子集个数.【详解】由题意得，由，所以，所以，其子集个数为.故选：B.3．D【分析】由奇函数性质及的解析式，求得，在实数范围内单调递减，比较数的大小，从而有.【详解】当时，，由奇函数的性质知，，，函数单调递减；又，，则由函数单减知，故选：D4．C【分析】利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象与性质即可求解．【详解】解：把的图象向右平移个单位后得到，∵的图象相邻两条对称轴间的距离为，∴，即，则，∴，故①错误；∵，故是的一条对称轴，故②正确；当时，，则当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，故的值域为，故③正确；当时，，则可得在区间上单调递增，故④正确.故选：C.5．D利用对数的作商法结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系.【详解】，得；由，得.从而可得.故选：D.6．A【分析】根据函数奇偶性以及时函数值的正负，通过排除法得答案.【详解】函数的定义域为，，即函数为偶函数，排除BD；当时，，排除C.故选：A.7．A【分析】根据满足的关系可判断关于以及对称，进而可得周期性，根据周期即可求解.【详解】因为，，所以，所以，所以4是的一个周期.因为当时，，所以，.在中，令，得，令，得，又，故，所以.故选：A8．A【分析】根据第n-1次推送时购买、没有购买两种情况，写出第n次推送时没有购买的事件，由互斥事件及独立事件同时发生的概率公式计算，得出递推关系，利用构造等比数列求出通项公式，再由单调性求最值即可.【详解】由题意知，第n次推送时不购买此商品的概率，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，显然单调递减，所以当时，，所以即M的最小值为.故选：A9．D【分析】将化为,作出可行域和目标函数基准直线(如图所示),当直线将左上方平移时,直线在轴上的截距增大,由图象,得当直线过点时,取得最大值,联立,得,则,解得;故选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.10．B【分析】解法一：根据面面垂直、线面垂直的性质，结合棱锥的体积公式、导数的性质进行求解即可；解法二：根据面面垂直、线面垂直的性质，结合棱锥的体积公式、基本不等式进行求解即可.【详解】因为平面平面ABCD，平面平面，，所以平面PAD，，则为直角三角形，又E为PB的中点，，故.如图，取AD的中点O，连接PO，OB，由可得，由平面平面ABCD，平面平面，可得平面ABCD，设，，则，即.解法一：，四棱锥的体积.设，则，由可得，易知当时，，当时，，故的最大值，故四棱锥体积的最大值为.故选：B.解法二：，则四棱锥的体积，当且仅当，即时等号成立，故四棱锥体积的最大值为，故选：B关键点睛：利用导数的性质或基本不等式进行求解是解题的关键.11．B【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，设，，，根据抛物线的定义及重心坐标公式得到，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则，根据抛物线的定义计算可得.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，设，，，所以，，因为，所以，所以，因为为的重心，所以，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则，所以，当且仅当、、三点共线（在右侧）时取等号.故选：B12．C【分析】根据，递减写出一项，得到关于的递推关系后进行判断，注意项的下标一定是正整数.【详解】，，∴①当时，；当时，，②①-②，得，即，③因为首项不确定，所以的值不确定，所以不一定成立，故A错误；当时，，④③-④，得，故数列偶数项成等差数列，奇数项从开始成等差数列，故B错误；因为时，，当时，，，此时从第2项起构成常数列，每一项均为0，所以，即，又满足上式，所以，所以C正确；当时，从第2项起，构成首项为，公比为-1的等比数列，故又时，不符合上式，所以D错误.故选：C．13．4【详解】∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·[－(a＋b)]＝0.即|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|＝1，∵a⊥b，∴a·b＝0，∴|c|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋b2＝1＋0＋1＝2.∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.14．【分析】由第4项与第8项的二项式系数相等，即可求得值，再通过赋值即可求得值.【详解】由于展开式中第4项与第8项的二项式系数相等∴，即，解得，令得，解得或，∵，∴，∴，故答案为.15．首先由题意求出和的面积，从而得另两个面的面积，再由三角形面积公式得，于是得是四面体外接球直径，可求得球表面积．【详解】解：由题意知，是等边三角形，，是等腰三角形，.所以，即，所以，则的中点到，，，四点的距离均为，所以球的表面积为.故．思路点睛：本题考查求球的表面积，关键是求出球的半径，寻找三棱锥的外接球的球心的两种思路：（1）利用球的直径对球面上任一点的张角为得出；（2）过各面外心作该面的垂线，垂线的交点就是球心．16．/【分析】设三棱锥外接球的球心为O，确定球心的位置，即球心落在过底面外心的垂线上，利用图形的几何性质求得外接球半径，进而求得表面积.【详解】如图，取AC中点E，连接DE.在等腰直角三角形中，，则因为侧面为正三角形，所以.因为底面为等腰直角三角形，E是AC中点，故E为的外心，所以平面.又底面，所以.设三棱锥外接球的球心为O，连接，则.所以三棱锥为正三棱锥，O在平面上的射影F是的重心，则点F在SD上，，且平面.因为底面为等腰直角三角形，且AC为斜边，所以.因为D、E分别为AB、AC中点，所以，所以.因为底面，底面，所以.又因为平面，所以平面，所以.所以四边形OEDF为矩形，，所以外接球半径，外接球面积.故

17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题设中的递推关系可得均为等差数列，求出它们的通项后再利用等差数列的定义可证明是等差数列；（2）利用分组求和和裂项相消法可求.【详解】（1）因为，所以，故均为等差数列，公差均为3，故，且，故，所以，所以是等差数列.（2）由（1）可得，，当时，，当时，，而18．(1)回归方程为，经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒(2)【分析】（1）首先求得，然后根据回归方程的计算公式，计算出回归方程，并求得预测值.（2）根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】（1）由题意，，令，设关于的线性回归方程为，则，则.∴，又，∴关于的回归方程为，故时，.∴经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒.（2）设比赛再继续进行局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负.当时，小明胜，∴；当时，小明胜，∴；当时，小明胜，∴.∴小明最终赢得比赛的概率为.19．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据矩形的性质、圆的性质，结合线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、以及平行线的性质进行证明即可；（2）根据棱锥的体积公式，结合基本不等式能求出的长，最后利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】解：（1）因为四边形是矩形，所以．因为点在以为直径的圆上，所以，，平面，所以平面．因为，平面，平面，所以平面．因为平面平面，所以，所以直线平面．（2）设，所以（），．因为平面平面，交线为，且，所以平面，而平面，所以．在直角△中，，，有．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时，．如图.建立空间直角坐标系，可得，，，所以，，，设平面和平面的法向量分别为和由，所以，由，所以所以所以二面角的余弦值为．20．(1)(2)【分析】（1）根据条件，得到关于的方程，即可得到结果；（2）根据题意设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】（1），，，故椭圆的方程为；（2）依题意设直线的方程为，，联立方程组，消元得：，，，由得：，两边同除，，即；将代入上式得：整理得：所以或（舍），当时等号成立，满足条件，所以面积的最大值为.21．(1)(2)【分析】（1）先对两直线的参数方程消参化简，然后两方程联立消去可得结果，（2）将直线的极坐标方程化为普通方程，则可得点到直线的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），消参得，①直线的参数方程为（为参数），消参得．②由①②两式消得，即曲线的普通方程为．（2）直线可化为普通方程，过点作直线的垂线交圆于点，垂足为；由题知点到直线的最小值为22．(1)(2)证明见详解【分析】（1）利用导数求单调区间，结合图象可解；（2）利用单调性将问题转化为证明，然后构造差函数，利用导数证明即可.【详解】（1）的定义域为，因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值.又当x趋近于0或时，趋于，所以，要使有两个不同的零点，