数学四川蓉城名校联盟2026届高三第二次联合诊断性考试暨4月联考（4.17-4.18）

数学参考答案及评分意见评分说明：1.本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。12345678CABCDADB二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。9三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【解析】即…………3分∴∵…………6分(2)由(1)的结论有由三角形面积公式有∴c=4,…………9分∴a=√13,…………12分∴△ABC的周长=a+b+c=7+√13.系、二面角、空间向量等基础知识，考查线面平行的性质定理的运用方法以及二面角的余弦值计算方【解析】方法1:(1)若A₁C₁//平面B₁EF,则E为AB中点，…………2分理由如下：故AC//EF,…………4分从而E为AB的中点，故当A₁C₁//平面B₁EF时，E为AB中点：(2)不妨设AB=1,BF=t(0<t<1),则三棱锥B-B₁EF的体积…………8分此时，E,F分别为AB,CB的中点，…………10分BB₁⊥平面ABC,∴∠B₁GB是二面角B₁-EF-B的平面角，…………12分故当三棱锥B-B₁EF的体积取得最大值时，平面B₁EF与平面BEF的夹角的余弦值为…………15分方法2:则A(0,1,0),C(1,0,0),E(0,1-1,0),F(1,0,0),B₁(0,0AC=(1,-1,0),EF=(1,t-1,0),B₁E=(0,1-t,-1),取y=1,欲使A₁C₁//平面B₁EF,即使AC//平面B₁EF,可知E为AB的中点，可知0<θ<90°,【解析】(1)由f(x)=2Inx+ax²-2(a+1)x+3,可知x>0,…………②当0<a<1时，…………3分③当a=1时，,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增：…………4分…………5分上单调递增：…………6分(2)方法1:则g(x)的极大值方法2:则则算等核心素养。【解析】(1)直线1与以线段AB为直径的圆相离，…………2分设点A(x₁,y1),B(x₂,y₂),其中-2≤x₁≤2,-2≤xr₂≤2,令点A,B到直线I的距离分别为d₁,d₂,同理设D为AB的中点，点D到直线I的距离为d,显然，以线段AB为直径的圆的圆心为D,半径为∴直线1与以线段AB为直径的圆相离：…………5分(2)(i)方法1:由题意知直线AB不与x轴重合，…………7分当且仅当m=0,即AB垂直于x轴时取“=”,故△PAB面积的最小值为…………11分方法2:由题意知直线AB不与x轴重合，由已知，直线AB的方程可设为x=my+1,联立得(3m²+4)y²+6my-9=0,(*)…………7分∵过焦点F且与直线AB垂直的直线方程为y=-m(x-1),|PF|=√(4-1)²+(-3m)²=3√m²+1,…………9分△PAB的面积S(1)取得最小值，最小值为故△PAB面积的最小值为…………11分(ii)欲证直线PA与椭圆C有且只有一个公共点，只需证明在点A处切线I'的斜率等于直线PA的斜率kpA,则I'的方程为y-y₁=k(x-x₁),联立得(3+4k²)x²+8k(y₁-kx₁)x+4(y₁-kx₁)²-12=0,由于直线I'与椭圆C仅有一个公共点，得64k²(y₁-kx₁)²-4(3+4k²)[4(y₁-kx₁)²-12]=0,…………12分即(4-x²)k²+2x,y₁k+3一y²=0,则P(4,-3m),…………14分即证明4y²+12my₁=9+6my₁-3【解析】P(A₃)=P(A₂A₃+B₂A₃)…………2分…………4分(2)方法1:(i)设事件Cn=“第n次亮灯为绿灯”,P(An)=an,P(B)=b,P(Cn)=cn,=P(An)P(Bn+1|4)+P(B即=P(An)P(An+1|An)+P(②…………10分即…………12分,an+1≥bn+1,当且仅当n=1时取等号，∴亮红灯的概率不小于亮黄灯的概率，…………13分即…………15分即亮红灯的概率大于亮绿灯的概率，综上所述，当n≥2时，该提示灯亮红色灯的概率最大.…………17分(i)设事件Cₙ=“第n次亮灯为绿灯”,P(An)=an,P(B,)=b₀,P(Cn)=cn,即…………6分=P(An)P(Bₙ+1|An)+P(B)P(Bn+1|B)+P(Cn)P(即,②…………8分=P(AₙCn+1)+P(B₀Cn+1)+=P(An)P(Cn+1|An)+P(B③…………10分由①②得将③④代入②得,且为首项，为公比的等比数列，…………12分,an+1≥bn+1,当且仅当n=1即亮红灯的概率不小于亮黄灯的概率，…………13分…………15分∴an+1>Ca+1,即亮红灯的概率大于亮绿灯的概率，综上所述，当n≥2时，该提示灯亮红色灯的概率最大.…………17分解析：1.【命题意图】通过教材例题创设情境，设计基础性问题，主要考查集合的概念，全集，交集与补集运算，集合的表示方法，考查运算求解能力。【解析】由题可得M∩N={4,5,6},∴Cu(MNN)={2,3,7,8}.也可以由Venn图求解.2.【命题意图】通过复数创设情境，设计基础性问题，主要考查复数的概念，复数运算等基础知识，考查运算求解能力。3.【命题意图】通过不等式创设情境，设计基础性问题，主要考查不等式的解法，考查运算求解能力。【答案】B【解析】由,得,即,故-3<x<4,故选B.4.【命题意图】通过双曲线问题创设情境，设计基础性问题，主要考查双曲线的渐近线、离心率等基础知识，考查运算求解能力。则【解析】由已知得，则,5.【命题意图】通过二项式问题创设情境，设计基础性问题，主要考查二项式定理，展开式的通项公式，常数项等基础知识，考查运算求解能力。【答案】D【解析】由展开式的通项得,令,得k=4,∴常数项6.【命题意图】通过人工智能大语言模型训练创设生活实践情境，设计基础性、应用性问题，考查指数、对数的运算等基础知识，考查数学运算、数学建模等数学核心素养。【解析】依题意，得m₀lg200000-molg2000=mo(lg200000-1g2000)=m₀lgmo=4,∴T=4lgN.当训练m个单位的数据量所需的时间为16h时，则有4lgm=16,解得m=10000.7.【命题意图】通过三棱锥中的线面关系问题创设情境，设计基础性问题，主要考查直线与平面垂直的判定与性质，线面角、二面角的概念等基础知识，考查直观想象、逻辑推理等核心素养。【答案】D【解析】由己知得，直线CO⊥平面AOB,∴CO⊥AB,且∠CDO等于直线CD与平面AOB所成的角：由线面垂直的判定定理可知，直线AB⊥平面CDO,由二面角的定义可知，∠CDO是二面角C-AB-0的平面角.于是，结论①②③均正确.8.【命题意图】通过函数性质创设情境，设计综合性、创新性问题，主要考查函数奇偶性、基本不等式等基础知识，考查函数性质及基本不等式的应用，考查数学抽象、逻辑推理等核心素养。【答案】B可知f(x)在定义域R上单调递增.由f(a-1)+f(2b)=0可得f(a-112,当且仅当即当时，等号成立，∴的最小值为12.9.【命题意图】本小题通过两个随机事件的关系创设情境，设计基础性问题，考查互斥事件和独立事件的【解析】根据函数f(x)的图象知，A=3,周期,选项A错误：由