小学五年级数学下册《最小公倍数》第10课时概念建构与核心素养培育教学设计

小学五年级数学下册《最小公倍数》第10课时概念建构与核心素养培育教学设计

一、教学背景分析

（一）课程标准定位

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域第三学段内容要求，本课时归属于“数的认识”与“数的运算”交叉主题。课程标准明确指出，学生应理解公倍数与最小公倍数的意义，能运用列举法、分解质因数法等找出两个自然数（一般不超过100）的最小公倍数，并在真实情境中理解其应用价值。学业质量标准强调，达到水平Ⅱ的学生应能在具体问题中识别公倍数结构，初步形成数感和推理意识，发展模型意识和应用意识。本设计严格对标上述要求，将“三会”核心素养——会用数学眼光观察现实世界、会用数学思维思考现实世界、会用数学语言表达现实世界——具象化为可操作、可测评的学习任务。

（二）教材分析

人教版五年级下册第四单元“分数的意义和性质”第10课时是分数通分的认知前阶，承载着从整数向分数运算过渡的桥梁功能。本课时在教材体系中处于承上启下的枢纽位置：承上，承接因数和倍数的概念、公因数和最大公因数的探究路径；启下，为异分母分数加减法以及分数大小比较提供算法依据。教材编排遵循“生活情境—数学抽象—方法探究—巩固应用”的逻辑链，例1通过长方形墙砖铺满正方形的问题诱发公倍数需求，例2系统呈现求最小公倍数的三种策略，例3（选学）渗透短除法模型。本设计将超越线性教材使用，以单元整体视角重组学习素材，将公倍数概念的本质——“既是a的倍数又是b的倍数”——作为贯穿全课的主轴，并植入数轴模型、集合图示与算法结构化三大认知支架。

（三）学情分析

【基础】学生在三年级已掌握倍数的概念，本单元前几课时系统学习了因数和倍数的特征、2、3、5的倍数特征以及公因数、最大公因数的求法，具备初步的列举经验和短除法书写基础。然而，【难点】公倍数概念极易与公因数产生语义混淆，尤其在“无限性”与“有限性”的对比上——公因数的个数是有限的，而公倍数的个数是无限的，这是学生形成认知冲突的关键爆发点。此外，五年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的加速期，对“无限集合”“最小存在性”等潜无穷观念尚需借助几何直观支撑。基于前期学情前测数据显示：约63%的学生能独立找出两个数的倍数，但仅有28%能自觉将倍数交集与公倍数概念关联；在方法偏好上，列举法占据绝对主导，对分解质因数法的结构理解存在符号障碍。因此，本课时的教学设计必须强化概念发生学过程，并通过对不同算法的比较与优化，促进学生策略性知识的内化。

二、教学目标设计

（一）知识与技能目标

1.理解公倍数与最小公倍数的意义，能用自己的语言描述“几个数公有的倍数叫作它们的公倍数，其中最小的一个叫作最小公倍数”。

2.掌握求两个数最小公倍数的基本方法：列举法、筛选法、分解质因数法，能在解决具体问题时选择最优策略。

3.能正确书写短除法格式，理解“除到商互质为止”的算理。

（二）过程与方法目标

1.经历“铺砖—画圈—列表—数轴”四重表征转换，在观察、比较、归纳中抽象公倍数概念，发展数感和推理意识。

2.通过“自主探究—小组共研—全班辩学”，体验算法多样化和优化的全过程，培养反思性学习习惯。

（三）情感态度与价值观目标

1.感受数学内部和谐的结构美——倍数关系的周期性与公共周期现象。

2.体会数学知识之间、数学与生活之间的密切联系，增强用数学眼光审视现实问题的自觉性。

（四）核心素养培育目标

【非常重要】数感：在具体情境中把握倍数关系的稠密性与周期性；【非常重要】推理意识：基于列举进行不完全归纳，并通过反例修正猜想；【重要】模型意识：将铺地砖、排队、发车等现实问题抽象为最小公倍数模型；【重要】符号意识：理解用[a，b]表示最小公倍数的数学约定，并能与(a，b)进行意义区分。

三、教学重点与难点

（一）教学重点【重要】【高频考点】

理解公倍数与最小公倍数的概念内涵；掌握求两个数最小公倍数的基本方法。

突破策略：以“集合交”的图示语言锚定概念本质，以“算法结构化对比表”凝练方法内核。

（二）教学难点【难点】【高频失分点】

1.认知难点：正确区分公因数与公倍数，理解公倍数的无限性。

2.技能难点：用分解质因数法求最小公倍数时，对“公有质因数与独有质因数连乘”模型的建构。

突破策略：设置认知冲突陷阱题；采用“因数屋与倍数树”可视化类比；设计“质因数拼图”学具操作。

四、教学方法与准备

（一）教法学法

教法：问题驱动法、几何直观法、比较发现法、支架建构法。

学法：个人静思—同桌互说—小组拼学—全班展学四阶递进学习模式，强调出声思维与书面表达并行。

（二）教学准备

教具：交互式电子白板、几何画板动态课件、数轴磁条贴、红蓝双色磁性卡片。

学具：若干张长3cm、宽2cm的长方形彩色纸片（模拟墙砖）；方格纸；质因数分解拼图卡（印有数字2、3、5的磁力小圆片）；学习任务单（含前测回溯区、新知建构区、反思评价区）。

五、教学实施过程

（一）导入阶段——激活经验，孕伏新知（约7分钟）

1.前测回访，锚定生长点

教师呈现上节课学习“最大公因数”时的经典问题：“用边长是几分米的正方形地砖能正好铺满长16分米、宽12分米的长方形储藏室地面？”学生回忆：地砖边长必须是16和12的公因数，最大是4分米。教师顺势追问：“如果我们要铺的不是地面，而是一面墙；如果我们用的不是正方形砖，而是长方形砖，还能正好铺满吗？”一石激起千层浪，学生自然产生认知期待。

2.情境具化，激发需求感

【非常重要】核心任务驱动：一间长方形厨房墙面，长6分米，宽4分米。现在要用长3分米、宽2分米的长方形墙砖（不能切割，只能整块铺）来铺满，可以吗？学生立刻动手，用学具长方形纸片在方格纸上模拟拼接。约1分钟后，多名学生惊呼“可以铺满”，并展示铺法：长边铺2块（3+3=6），宽边铺2块（2+2=4）。教师将实物投影展示，并抽象为数学问题：墙面的长6是墙砖长3的倍数，墙面的宽4是墙砖宽2的倍数。这似乎很简单。

教师提高难度，变式追问：如果厨房墙面长6分米、宽4分米不变，现在想换一种铺法，既不浪费空间，又必须整砖铺满，你还能想到用其他规格的长方形墙砖吗？比如长4分米、宽2分米？长5分米、宽3分米？学生再次操作，很快发现长4宽2的砖无法铺满，因为6不是4的倍数。认知冲突产生：有的长方形砖能铺满，有的不能，关键到底在哪里？此时，教师出示第三种规格：长3分米、宽1分米。学生发现能铺满。于是教师将三种能铺满的砖尺寸板书于左侧，将不能铺满的板书于右侧，引导学生聚焦左侧砖的长度3、4？不，这里必须严谨——能铺满的砖长分别是3、3（第一组和第三组砖长均为3）、？实际上，为了精准引出公倍数，将数据调整：改为墙面长8分米、宽6分米；砖规格分别为长4宽2（能）、长5宽3（不能）、长2宽1（能）。通过多组数据对比，学生初步朦胧感知：砖的长必须是墙面长的因数？不对，这里是倍数关系——砖长必须能整除墙长？不，是墙长必须是砖长的倍数。但更本质的是：砖的长和宽必须分别是墙的长和宽的因数？也不对，铺满要求横向和纵向同时铺满。教师必须精准引导：“横向铺满，要求墙长÷砖长是整数；纵向铺满，要求墙宽÷砖宽是整数。刚才能铺满的砖，它的长和宽与墙的长和宽到底是什么关系？”学生沉默思考，这是整节课第一个深度思维节点。

教师不急于揭示答案，而是将问题记录在黑板“公倍数猜想区”，进入下一阶段。

（二）探究阶段——建构概念，深化理解（约20分钟）

1.公倍数概念的直观生成

【非常重要】核心环节1：从“铺砖”到“倍数交集”

教师将问题简化剥离生活外衣，纯数学化呈现：一个数，既是2的倍数，又是3的倍数，你能找到这样的数吗？请在学习单上写一写，能写几个写几个。学生独立列举，教师巡视捕捉典型作品。

展示学生作品：6、12、18、24、30……教师追问：“写得完吗？为什么？”学生齐答“写不完，无限个”。教师用红笔圈出2的倍数集合：2,4,6,8,10,12,14,16,18……用蓝笔圈出3的倍数集合：3,6,9,12,15,18,21……红蓝线圈交集处重叠的数字6、12、18……赫然醒目。教师语言定格：“像6、12、18这样，既是2的倍数，又是3的倍数，它们就是2和3——公有的倍数，简称公倍数。”板书定义，并用双竖线强调“公有”一词。

【难点】立即植入认知对比陷阱题：屏幕出示判断题“两个数的公倍数个数是有限的，最大的那个叫最大公倍数”。学生几乎全班举手表示“错”，但理由表达不清。教师借机强化：公倍数的个数是无限的，没有最大公倍数，只有最小公倍数。顺势揭题。

1.最小公倍数的精确锁定

【基础】在刚才列举的公倍数6、12、18中，哪个是最小的？学生异口同声“6”。教师命名：“6就是2和3的最小公倍数。”板书规范记法：[2，3]=6，并说明这是国际通用记法。随后组织同桌互说：什么是公倍数？什么是最小公倍数？要求用“既是……又是……”和“其中最小的”两个句式完整表述。

2.求最小公倍数的策略群建构

【非常重要】【高频考点】教师抛出核心任务：不用逐一列举很多倍数，你能快速求出4和6的最小公倍数吗？要求学生至少尝试两种方法，并在小组内交流。

预设学生生成四种典型策略，教师有序组织汇报并赋予数学名称：

（1）列举法：分别列出4的倍数（4,8,12,16,20,24……）和6的倍数（6,12,18,24,30……），圈出第一个相同的12。

（2）筛选法（只列举较大数的倍数法）：先列出较大数6的倍数（6,12,18……），再看这些数中哪些也是4的倍数，第一个是12。

（3）分解质因数法：4=2×2，6=2×3，将公有的质因数2和各自独有的质因数2、3连乘，2×2×3=12。

（4）短除法：板书竖式，用公有的质因数2去除，商2和3，互质即止，除数与商连乘2×2×3=12。

教师此时扮演“算法经纪人”，将四种方法并排板书，组织学生展开辩学：你最喜欢哪一种？为什么？在什么情况下用哪一种更快捷？学生充分发言后，教师提炼：列举法直观但数大时麻烦；筛选法对倍数特征明显数有效；分解质因数法和短除法具有一般性，且算理深刻。特别指出【难点】分解质因数法的核心逻辑：“公有质因数乘一次，独有质因数全要乘”，这与最大公因数“只乘公有质因数”形成鲜明对比。教师采用“因数屋”类比：最大公因数像合租只交公共房租，最小公倍数像整租要把公共和私有的面积全算进去。学生哄笑中深化理解。

1.特殊关系数的深度辨识

【热点】【高频考点】教师出示三组特例，要求快速口答最小公倍数，并总结规律：

（1）5和7（互质关系）——最小公倍数是35（乘积）。

（2）8和4（倍数关系）——最小公倍数是8（较大数）。

（3）6和8（一般关系）——最小公倍数是24。

学生通过大量例证归纳出两条黄金法则：两数互质，最小公倍数是它们的积；大数是小数的倍数，最小公倍数就是大数。教师表扬，但马上追问：“8和4的最小公倍数是8，那8和4的最大公因数呢？”学生答“4”。教师故意混淆：“咦，怎么一个取大数，一个取小数？”学生顿悟，再一次厘清概念差异。

（三）巩固阶段——分层训练，形成技能（约10分钟）

1.基础性练习【基础】【必会】

（1）直接说出下列每组数的最小公倍数：3和6、5和10、4和9、7和8。要求用规范语言表达，如“因为4和9互质，所以[4，9]=36”。

（2）课本做一做第1题：用分解质因数法求12和18的最小公倍数。学生板演，重点纠正常见错误——漏乘独有质因数，或者短除法没有除到商互质。

2.变式性练习【重要】【常考】

（1）辨析题：a=2×3×5，b=2×3×7，a和b的最小公倍数是多少？学生回答2×3×5×7=210。教师追问：如果再加一个c=2×5×11，求a、b、c的最小公倍数呢？初步渗透三个数的最小公倍数求法，点到为止。

（2）填空题：已知a÷b=3（a、b都是非0自然数），a和b的最小公倍数是（），最大公因数是（）。此题旨在强化倍数关系模型。

（3）选择题：两个数的公倍数一定（）这两个数。A.大于B.小于C.大于或等于。引导学生思考当两数相等时公倍数等于它本身，完善认知。

3.拓展性练习【难点】【思维提升】

（1）开放题：两个数的最小公倍数是24，这两个数可能是多少？学生小组合作，有序枚举出（1，24）、（2，24）、（3，8）、（3，24）、（4，6）、（4，12）、（4，24）、（6，8）、（6，24）、（8，12）、（8，24）、（12，24）等组合，并讨论如何不重不漏。此任务极大激活学生思维，从结果反推条件，对公倍数概念的理解达到新高度。

（2）推理题：a和b的最小公倍数是30，a×b=90，求a和b。学生需结合“两数乘积=最大公因数×最小公倍数”这一潜在模型，虽未正式学习，但优秀学生已能凭借数感试出6和15。

（四）应用阶段——联系生活，解决问题（约6分钟）

1.返璞归真，回应导入

再次呈现导入时的铺砖问题：现在请你用数学语言解释，为什么长3宽2的砖能铺满长6宽4的墙？学生脱口而出：因为6是3的倍数，4是2的倍数，且[3，2]=6，墙的长宽分别是砖长宽的倍数……教师修正：准确说，墙的长必须既是砖长的倍数，又是砖宽的倍数？不，严谨表述是：横向要铺满，墙长是砖长的倍数；纵向要铺满，墙宽是砖宽的倍数。而这里墙长6是砖长3的倍数，墙宽4是砖宽2的倍数，所以能铺满。那如果墙的长宽反过来呢？比如长4宽6？学生顿悟，那砖需要旋转方向，本质一样。此环节彻底打通“整除”与“倍数”的双向通道。

2.迁移应用，模型固化

【重要】情境一：公交调度问题。1路车和2路车早6：00同时从始发站发出，1路车每8分钟发一班，2路车每10分钟发一班。下一次两车同时发车是几时几分？学生独立列式，求[8，10]=40，即6：40。教师追问：从6：00到8：00，两车同时发车了几次？学生需用除法计算间隔数再加1，渗透周期思想。

情境二：分糖果问题。有一包糖果，平均分给4个人或6个人都正好剩1块，这包糖果至少有多少块？先求[4，6]=12，12+1=13，再追问如果剩2块呢？剩3块呢？引导学生构建“总数=公倍数+余数”模型。

（五）总结阶段——知识结构化，反思生长（约5分钟）

1.思维导图式梳理

教师不包办代替，而是提供半结构化板书支架，由学生口头填充：今天我们研究了什么？（公倍数与最小公倍数）怎么求？（列举、筛选、短除、分解质因数）有什么特殊情况？（互质、倍数）与最大公因数什么区别与联系？学生在头脑中搭建“数论基础”知识图谱。

2.元认知反思

组织学生完成课堂最后3分钟的“学习反思单”，包含三个问题：

（1）今天哪个知识点你觉得最有趣/最困难？

（2）求最小公倍数的方法中，你觉得自己掌握最熟练的是哪种？需要加强的是哪种？

（3）关于公倍数，你还想研究什么问题？

部分学生提出“三个数的最小公倍数怎么求”“公倍数与通分有什么关系”“有没有最大公倍数”等极具价值的问题，教师将其作为下一课时的研究起点。

六、板书设计

（由于要求不使用表格、列表、框架，但板书通常有结构，这里采用纯文字段落描述板书布局，避免图示）

板书整体分为三大板块。

左侧板块为“概念生成区”：上方书写公倍数定义——几个数公有的倍数；下方书写最小公倍数定义——其中最小的一个；中间绘制红蓝双色数轴磁条贴，直观显示倍数点与重合点。

中间板块为“方法集群区”：顶部居中书写课题《最小公倍数》及记法[a，b]；下方并列呈现四种方法，方法一列举法（箭头圈出第一个公倍数），方法二筛选法（强调从大数起步），方法三分解法（4=2×2，6=2×3，[4,6]=2×2×3=12），方法四短除法（规范竖式，标注“除到商互质”）。

右侧板块为“模型升华区”：上栏书写特殊关系速判——互质数（乘积）、倍数关系（较大数）；下栏书写生活模型——铺砖、发车、分糖，并留白用于课堂生成性板书。

七、作业布置

（一）基础性作业（全员必做