小学五年级数学下册《分数与除法的关系》第2课时教案

小学五年级数学下册《分数与除法的关系》第2课时教案

一、教学目标

（一）知识与技能目标

1.学生经历观察、操作、讨论、归纳等数学活动，深刻理解分数与除法的内在关联，准确掌握被除数÷除数=被除数/除数（除数不为0）这一核心关系式。【核心】【根本】

2.能够熟练运用分数表示整数除法的商，并能将简单的分数改写成除法算式，实现两种形式的灵活转换。【基础】【高频考点】

3.在解决“平均分”类实际问题的过程中，进一步丰富对分数意义的理解，能根据数量关系正确列出除法算式并用分数表示结果。【重要】

（二）过程与方法目标

4.通过动手操作（分圆纸片、画线段图）与小组合作，积累从具体情境中抽象数学模型的活动经验，发展合情推理与演绎推理能力。【关键能力】

5.经历“问题—猜想—验证—结论”的完整探究链条，感悟除法运算与分数数系在度量意义下的统一性，初步渗透函数思想与等价关系思想。【学科素养】

（三）情感态度与价值观目标

6.体会数学知识之间普遍联系与相互转化的辩证唯物主义观点，增强学习数学的自信心和好奇心。【价值导向】

7.在解决分物、测量等真实问题中感受分数与除法应用的广泛性，培养严谨求实的科学态度。【育人渗透】

二、教学重点与难点

（一）教学重点

1.理解并掌握分数与除法的关系，能用分数表示两个整数相除的商。【重点集中】【必会】

2.正确区分分数所表示的两种意义：具体数量与两个量的倍数关系。【易混】【需强化】

（二）教学难点

3.为什么除法的商可以用分数来表示——对“商”不是整数时，用分数表示结果具有“精确、普适”特性的深层认同。【思维障碍】

4.在具体问题情境中，准确辨析“谁是被除数、谁是除数”，避免机械套用公式。【高频错点】【攻坚】

三、教学准备

（一）教师教具

1.磁性圆片若干（每套4个，共6套）、彩色长条形磁贴、课件（含分物动画、线段图生成演示）。

2.学生任务单（每人一张，含三个探究层次、当堂检测与拓展挑战）。

3.双色粉笔、实物投影仪。

（二）学生学具

4.每四人小组配备一袋圆片学具（12个）、安全剪刀、彩笔。

5.直尺、草稿本。

四、教学过程

（一）唤醒经验，问题驱动——激活“平均分”与“分数”的双重认知

1.口算铺垫，聚焦除法【基础】

教师课件出示三组除法算式，学生抢答商：6÷2=3，1÷2=？，3÷4=？。当学生对于1÷2、3÷4无法用整数表示时，自然产生认知冲突。

师：“1除以2，商是多少？能用我们学过的数来表示吗？”

生预设：“0.5”“一半”“二分之一”。

师相机板书“1÷2=1/2”，追问：“这里的1/2是分数，也是1除以2的商。分数和除法之间究竟有怎样的关系？今天我们就来揭开这个秘密。”（板书课题）

2.揭题定向，明确目标【激励】

教师揭示本节课核心任务：从“分物”与“度量”两个维度打通分数与除法的通道，并展示学习路径图——动手分、用心想、大胆说、灵活用。

（二）操作建构，模型初成——从“分饼”到“关系式”的抽象

1.第一层探究：商是整数时，分数与除法的对应【铺垫】

（1）情境1：把6块月饼平均分给3个小朋友，每人分得几块？

学生口头列式6÷3=2（块）。教师追问：“2块可以用分数表示吗？”学生回答“2=6/3”，教师顺势强化“整数可以写成分母是1的分数，也可以写成与除法对应的分数”。

（2）即时练习：8÷4=8/4，但教师并不在此处深挖，仅作为关系式成立的例证。

2.第二层探究：商小于1时，分数如何精准表示商【核心】【非常重要】

（1）情境2：把1块蛋糕平均分给2个小朋友，每人分得几块？

学生动手：用圆片代表蛋糕，对折后剪开（或在任务单上画图）。

汇报：每人得到这块蛋糕的1/2，用除法算式1÷2=1/2（块）。

教师关键追问：“1/2块中的‘块’是单位，而1/2这个分数本身是怎么来的？是把1块平均分成2份，取其中1份——这正是除法‘平均分’的过程。”板书对应关系。

（2）情境3：把3块月饼平均分给4个小朋友，每人分得几块？【难点突破】【必考】

此为全课核心，必须充分展开。

a.独立猜想：3÷4=?部分学生可能答0.75，部分学生答3/4。

b.操作验证：小组合作，用3个圆片代表3块月饼，平均分给4人。教师巡视，收集典型分法。

方法一：叠拼法——将3个圆片叠在一起，同时平均分成4份，每人取每份中的1小片，拼成3/4个圆。

方法二：重组法——每个圆平均分成4份，共12个1/4块，每人得3个1/4块，即3/4块。

c.全班交流，课件动态演示两种分法，突出“无论怎样分，结果都是3/4块”。

d.板书算式：3÷4=3/4（块），并引导观察等式左边是除法，右边是分数，初步归纳：被除数÷除数=被除数/除数。

3.第三层探究：商大于1时，分数形式的统一表达【巩固】

（1）情境4：把5块饼平均分给4个小朋友，每人分得几块？

学生独立列式5÷4，动手分一分（利用学具或画图）。

汇报结果：每人得1块再加上1/4块，即1又1/4块，或5/4块。

教师强调：5/4是假分数，同样表示5÷4的商。

（2）归纳总结：请学生尝试用字母表示分数与除法的关系。

生：a÷b=a/b（b≠0）。

教师板演，红色粉笔标注“b≠0”，并追问为什么除数不能为0，唤醒旧知。【基础】

（三）关系深挖，辨析异同——从形式到本质的思维跃升

1.对应与区别【热点】【高频考点】

（1）教师出示对比表（但用文字描述）：

除法是一种运算，有运算符号（÷）、被除数、除数、商；分数是一个数，有分子、分数线、分母、分数值。

但两者可以互化：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相当于分母，除号相当于分数线。

（2）学生齐读关系式，并尝试举例说明。

2.分数两种意义的现场辨析【难点】【易混】

（1）出示对比题组：

①把2米长的绳子平均剪成5段，每段长多少米？

②把2米长的绳子平均剪成5段，每段占全长的几分之几？

学生独立列式，小组内解释两个问题的区别。

反馈：问题①求具体长度，列式2÷5=2/5（米）；问题②求部分与整体的关系，每段是1/5，此处不涉及除法算式。

教师总结：分数可以表示“商”（具体量），也可以表示“率”（关系），这是后续学习的关键基石。【非常重要】

（四）多层练习，内化迁移——在变式中深化理解

1.基础性练习——直接套用关系【基础】

（1）用分数表示下面各题的商：

7÷12=9÷10=19÷100=m÷n（n≠0）=

学生口答，强调书写规范：分数线平直，分子在上，分母在下。

（2）把下面的分数改写成除法算式：

5/8=a/b=13/17=

2.变式性练习——在情境中辨析【重要】

（1）工程问题：修一条长4千米的路，5天修完，平均每天修多少千米？

列式4÷5=4/5（千米）。追问：如果问题是“平均每天修这条路的几分之几？”应如何列式？引导学生对比发现单位“1”的不同。

（2）容量问题：一瓶果汁有1升，倒满同样大的4个杯子后，瓶子内还剩0.2升，每个杯子可装果汁多少升？

此题需先求倒出的总量：1-0.2=0.8（升），再求每杯：0.8÷4=0.8/4，化简为2/5升，此处可渗透小数与分数互化。

3.拓展性练习——开放性编题【思维拔高】

出示分数3/8，要求学生编一道用除法解决的实际问题。

学生可能编出：“3千克大米平均分给8家人，每家得多少千克？”“一段路长3千米，8分钟走完，每分钟走多少千米？”等。

教师点评时紧扣“被除数与除数的对应关系”，避免数量混淆。

（五）全课梳理，结构升华——构建知识网络图

1.师生共同回顾：本节课我们从分物问题出发，通过操作发现分数可以表示除法的商，进而抽象出字母公式，并辨析了分数与除法的联系与区别。

2.教师用思维导图式语言串联板书：

除法←→分数

被除数——分子

除号——分数线

除数——分母

商——分数值

3.学生闭眼静思10秒，在脑中回放探究历程。

（六）当堂检测，精准反馈——落实核心素养

1.检测题设计（学生独立完成，实物投影展示典型错例）

（1）7÷13=（）()÷24=5/819÷（）=19/20

（2）把3千克水平均分给5个小朋友，每人分得（）千克，每人分得这些水的（）。【重要辨析】

（3）一板酸奶有8小盒，小明一家3口人，每人分得这板酸奶的（），每人分得（）小盒。

2.互批互纠，教师针对“每人分得这些水的（1/5）”这一高频错误重点剖析，强调“率”与“量”的用词差异。

五、板书设计

（以纯文字描述板书布局，不使用表格）

左侧主板书：

分数与除法的关系

1÷2=1/2（块）

3÷4=3/4（块）

5÷4=5/4（块）

↓归纳

a÷b=a/b（b≠0）

被除数——分子

除号——分数线

除数——分母

右侧副板书：

区分：

2÷5=2/5（米）【具体量】

每段占全长的1/5【关系】

注意：除数不能为0

六、作业布置

（一）必做题（面向全体）

1.教材第XX页练一练第1-3题，要求写出完整的除法算式及分数结果。

2.寻找生活中能用分数表示除法商的例子，至少写2个，明天交流。

（二）选做题（学有余力）

3.思考：如果a÷b=3/5，那么a可能是几？b可能是几？你能写出几组？

4.预习下一课时“分数与除法的关系在求一个数是另一个数的几分之几中的应用”。

七、教学反思（预设与生成）

（一）核心成功点

1.操作活动从“1÷2”到“3÷4”再到“5÷4”，层次清晰，学生经历了从特殊到一般的归纳过程，关系式的得出水到渠成。

2.在“3÷4”处充分展开两种分法，用足学具，使“3个1/4块就是3/4块”的算理深深植根于操作经验，后续假分数5/4的理解自然无痕。

3.对比练习将“具体量”与“分率”并置，直击学生认知盲区，有效预防了后续分数应用题中常见的数量混淆。

（二）待改进点

4.部分学生在用字母表示关系时，对b≠0仅停留在记忆层面，未能真正理解除数（分母）为0时算式无意义。后续需在练习中增加如“a/0”的辨析判断题。

5.拓展编题环节时间略显仓促，部分学生的编题停留在模仿层面，创造性不足，今后可提前布置课前小研究。

6.当堂检测显示约15%的学生在“每人分得这些水的（）”处仍填成了除法算式结果，说明分数双重意义的区分需要周期性的回马枪训练，将在后续课时继续渗透。

（以下进入详细教学过程展开，确保全文超过7000字，对上述环节进行极致细腻的描写，包括每一句关键提问、每一个预设的学生回答、每一种操作的具体步骤、每一处板书的生成时机、每一道练习的变式意图，全部以叙述性段落呈现，无任何列表或表格。）

四、教学过程（超详细深度展开）

（一）唤醒经验，问题驱动——激活“平均分”与“分数”的双重认知

1.口算铺垫，聚焦除法【基础】

上课伊始，教师以亲切的谈话引入：“同学们，我们在二年级就认识了除法，三年级又认识了分数，今天老师想考考大家，看谁的反应最快。”课件出示第一组算式：6÷2=，全班齐答3；第二组算式：1÷2=，部分学生脱口而出0.5，部分学生迟疑。教师放慢语速：“0.5是我们学过的小数，还可以用什么数来表示？”一位学生举手：“一半，就是二分之一。”教师立即在算式后板书1/2，并追问：“这个1/2，在算式里叫什么名字？”学生顿悟：“是商！”教师顺势引导：“原来除法算式当商不是整数时，完全可以用分数来表示，而且这个分数是精确的、完美的。今天我们就专门研究分数与除法的关系。”（板书完整课题）此环节用时约3分钟，通过新旧知识的自然碰撞，点燃探究欲望。

2.揭题定向，明确目标【激励】

教师在课题右侧画出一个双箭头符号，连接“分数”和“除法”，并提问：“看到这个课题，你最想研究什么问题？”学生纷纷发言：分数怎样变成除法？除法怎样变成分数？它们是不是一样的东西？为什么可以用分数表示除法？……教师提炼核心问题并板书于黑板右上角：①怎样用分数表示除法的商？②分数和除法完全相同吗？并激励学生：“这节课我们就做小小数学家，通过动手分一分、画一画，自己把这两个问题搞清楚。”此时学生已进入高度专注的认知准备状态。

（二）操作建构，模型初成——从“分饼”到“关系式”的抽象

1.第一层探究：商是整数时，分数与除法的对应【铺垫】

教师创设情境：“中秋节快到了，学校给数学兴趣小组的同学发了6块月饼，平均分给3个同学，每人得几块？”学生脱口而出2块，列式6÷3=2（块）。教师话锋一转：“其实，2块也可以写成一个分数，谁知道怎么表示？”学生思考后回答：“2等于6/3，也等于2/1。”教师表示赞赏，并相机在“6÷3”后面板书“=6/3”，同时说明：“6/3约分后是2，但它确实表示了6÷3的商。不过今天我们重点研究商不是整数的情况，看分数怎样更‘拿手’地表示商。”此环节看似简单，实则为了证明“a÷b=a/b”对整数商同样成立，为公式的普适性奠基。

2.第二层探究：商小于1时，分数如何精准表示商【核心】【非常重要】

（1）情境2：把1块蛋糕平均分给2个小朋友。

教师举起一个圆形磁贴：“这是一块蛋糕，现在要平均分给2个小朋友，每人分得多少？”学生脱口而出“半块”。教师追问：“半块用分数怎么表示？用除法算式怎么表示？”学生回答1÷2=1/2。教师请一位学生上台，用圆形磁贴对折后沿折痕剪开，展示两个半圆。教师引导学生观察：把一个整体平均分成2份，表示这样的一份，就是1/2，这个1/2既是分数，也是除法1÷2的运算结果。此时教师并未急于总结，而是将算式1÷2=1/2（块）郑重板书，并在等号上方画一个小问号，暗示“关系”正在被发现。

（2）情境3：把3块月饼平均分给4个小朋友。【难点突破】【必考】

此环节为全课灵魂，必须浓墨重彩，层层剥笋。

a.独立猜想，暴露前概念。

教师出示问题：“把3块同样的月饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？”先让学生独立思考，在任务单上写下自己的猜想和理由。巡视发现，约三分之一学生认为结果是0.75块，三分之一认为结果是3/4块，还有个别学生认为结果是1/3块或1/4块。教师不急于评判，而是说：“到底谁的猜想正确？我们用学具来验证。”

b.小组操作，两种典型路径。

每个小组领取3个圆片（代表3块月饼）。教师提出明确的操作要求：“请你想办法把3个圆片平均分给4个小朋友，可以剪开，也可以拼在一起分。分好后，每人得到多少块？在小组内说说你的分法。”

教师深入到各个小组，捕捉典型资源。第一组采用“叠拼法”：将3个圆片完全重叠，用笔画出两条互相垂直的直径，将重叠的圆平均分成4份，每个小朋友得到每一份中的一小片（共3小片），将3小片拼起来正好是一个圆的3/4。第二组采用“重组法”：将每个圆都平均分成4份，一共得到12个1/4块，然后4个小朋友轮流拿，每人拿3个1/4块，就是3/4块。

c.全班交流，思维可视化。

教师邀请两组代表上台，利用磁性圆片在黑板演示。第一组演示时，教师追问：“你们为什么要把3个圆片叠在一起？”学生答：“因为要平均分给4个人，每个人要从每个月饼里得到一份，叠在一起分最快。”教师将3个叠放的圆片贴在黑板，并画出平均分的虚线，引导学生看出：每人得到3个1/4块，也就是3/4块。第二组演示时，教师追问：“你们分之前，把每个圆都切成了4块，一共12块，每人拿3块，这3块是从不同的月饼上拿来的，能拼成一个完整的3/4块吗？”学生在投影下将3个1/4块扇形拼在一起，恰好是一个缺少1/4的圆。教室里自发响起掌声。

d.抽象概括，形成关系式雏形。

教师指着黑板上的两种分法，总结：“无论是把3个月饼叠起来分，还是分开分，结果都一样——每人得到3/4块。”然后板书算式：3÷4=3/4（块）。接着，教师将三个算式竖向排列：

1÷2=1/2

3÷4=3/4

5÷4=5/4（此时由教师直接给出，或在下一环节由学生得出）

引导学生横向观察：“你发现除法算式和分数之间有什么规律？”学生小组讨论后汇报：被除数写在分数线上面，除数写在分数线下面。教师补充：“除号变成了分数线。”随即板书核心关系式：被除数÷除数=被除数/除数（除数不为0）。

1.第三层探究：商大于1时，分数形式的统一表达【巩固】

教师出示挑战题：“刚才我们分了3块月饼，如果把5块月饼平均分给4个小朋友，每人得多少块？”学生立刻动手，有的画图，有的在脑中推算。汇报时，学生自然说出：先每人分1块，剩下1块再平均分成4份，每人再得1/4块，一共是1又1/4块，也就是5/4块。教师板书5÷4=5/4，并追问：“1又1/4和5/4，你喜欢用哪个表示商？”学生争论后教师总结：假分数5/4更能直接体现除法与分数的关系，带分数则在生活中更常用，两者可以互化。

至此，关系式已从三个具体例子中提炼出来，教师用彩色粉笔郑重写出：a÷b=a/b（b≠0）。全班齐读，并用手势书空。

（三）关系深挖，辨析异同——从形式到本质的思维跃升

1.对应与区别【热点】【高频考点】

教师指着板书，用提问引导学生进行对比分析：“现在大家都会用分数表示除法了，那么分数和除法是不是同一回事呢？”学生陷入沉思。教师出示一组对比陈述（以口语化表达）：

“除法是一种运算，它有一个计算过程，比如3÷4，我们要去分一分，算出结果；分数是一种数，它可以直接表示出结果。但是，分数和除法又是紧紧握手的——除法里的被除数就是分数的分子，除数就是分数的分母，除号就是分数线。”

教师随即让学生在任务单上完成对应关系填空：

除法中的被除数相当于分数的（），除法中的除数相当于分数的（），除法中的除号相当于分数的（）。

学生完成后，同桌互相检查。教师特别强调：“相当于，不代表就是。它们的‘家庭出身’不一样，一个是运算家族，一个是数家族，但是在数学王国里，它们是可以互相兑换的好朋友。”

2.分数两种意义的现场辨析【难点】【易混】

教师出示精心设计的一组对比题，用课件并排呈现：

①把2米长的绳子平均剪成5段，每段长多少米？

②把2米长的绳子平均剪成5段，每段占全长的几分之几？

学生先独立列式，然后在小组内交流两个问题的不同之处。

全班反馈时，教师请两名学生上台板演。第一题：2÷5=2/5（米）；第二题：1÷5=1/5。教师追问：“为什么第二题用1÷5？单位‘1’是谁？”学生答：“全长2米是单位‘1’，把它平均分成5份，每份就是1/5，跟具体的2米没有关系，只跟‘平均分的份数’有关。”

教师借机总结，并提高音量：“同学们，这是本单元最重要的分水岭！分数既可以表示具体的数量，比如2/5米、3/4块，后面要带单位；也可以表示两个量的关系，比如1/5，不带单位。什么时候用除法得到带单位的分数？什么时候用除法得到不带单位的分率？关键看问题求的是‘具体量’还是‘关系’。”【非常重要】

（四）多层练习，内化迁移——在变式中深化理解

1.基础性练习——直接套用关系【基础】

第一组：用分数表示下面各题的商。

7÷12=9÷10=19÷100=m÷n（n≠0）=

学生在本子上独立书写，教师巡视，重点纠正分数线的画法（平直、位于式子正中）。指名板演，集体订正。

第二组：把下面的分数改写成除法算式。

5/8=a/b=13/17=

学生口答，教师追问：“a/b这个式子，既然a相当于被除数，b相当于除数，那么a和b可以是什么数？”引导学生说出a、b可以是整数，但b不能是0。

2.变式性练习——在情境中辨析【重要】

（1）工程问题变式：修路队修一条长4千米的路，5天修完，平均每天修多少千米？

学生列式4÷5=4/5（千米）。教师立即变换问题：“如果问题是‘平均每天修这条路的几分之几？’应怎样列式？”学生出现短暂迟疑后，有学生举手：“把这条路看成单位‘1’，1÷5=1/5。”教师将两个算式并置，再次强化“量”与“率”的区分。

（2）容量问题（需两步计算）：一瓶果汁有1升，倒满同样大的4个杯子后，瓶子内还剩0.2升，每个杯子可装果汁多少升？

此题在列式前需先进行一步分析。教师引导学生：“要求每个杯子装多少升，必须知道倒出了多少升果汁。”学生口答：1-0.2=0.8（升）。接着列式：0.8÷4=0.8/4。教师追问：“0.8/4这个分数能化简吗？”学生利用商不变性质或分数基本性质得出0.8/4=8/40=1/5，或直接化为小数0.2。教师肯定所有正确思路，并指出：在后续学习中，我们会更习惯把结果化成最简分数。

3.拓展性练习——开放性编题【思维拔高】

教师出示分数3/8，提出挑战：“请你当小老师，根据3/8编一道用除法解决的实际问题。”

学生独立思考后小组交流，全班分享精彩题目：

“妈妈买了3千克苹果，平均分给8个小朋友，每个小朋友分到多少千克苹果？”

“一本故事书有3个故事，8天读完，平均每天读几个故事？”

“3元钱买8支铅笔，每支铅笔多少元？”

教师逐一点评，尤其表扬了将“3”作为被除数、“8”作为除数的准确对应。同时，对于个别学生编出的“把8米长的绳子平均分成3份”类的题目，教师引导全班辨析：此时分数是8/3，而不是3/8。通过对比，学生对“谁做被除数、谁做除数”有了更清晰的体认。

（五）全课梳理，结构升华——构建知识网络图

1.教师引导学生从三个维度回顾：我们怎么发现关系的？我们发现了什么关系？这个关系有什么用？

学生踊跃发言，教师顺势将板书的箭头补充完整，并增加“转化”二字。

2.教师用诗化的语言总结：“分数除法本是同根生，除法是过程，分数是结果；除法是动作，分数是状态。它们就像手心和手背，共同帮我们解决平均分的问题。”

3.学生闭眼静思，在脑中回放本节课的每一个关键镜头：1÷2变成1/2，3÷4变成3/4，a÷b变成a/b……

（六）当堂检测，精准反馈——落实核心素养

1.检测题分层设计，学生独立完成，限时5分钟。

（1）7÷13=（7/13）(5)÷24=5/819÷（20）=19/20

（2）把3千克水平均分给5个小朋友，每人分得（3/5）千克，每人分得这些水的（1/5）。

（3）一板酸奶有8小盒，小明一家3口人，每人分得这板酸奶的（1/3），每人分得（8/3）小盒。（此处特意设计带假分数的答案，检验学生是否敢于用假分数表示具体量）

2.集体反馈。教师将学生典型错例用实物投影展示：第（2）题第二空有人填“3/5”，第（3）题第一空有人填“1/8”。教师不直接否定，而是请填错的学生自己读题：“每人分得这些水的——这些水就是单位‘1’，平均分成5份，每份当然是1/5，不是3/5。3/5是分到的具体千克数。”通过自我纠错，学生的概念得到厘清。

五、板书设计（文字描述）

黑板左侧为主板书区，从上至下依次为：

课题：分数与除法的关系

例1：1÷2=1/2（块）

例2：3÷4=3/4（块）

例3：5÷4=5/4（块）

关系式：a÷b=a/b（b≠0）

下方对应关系：

被除数——分子

除号——分数线

除数——分母

黑板右侧为副板书区，记录学生生成的关键词及对比题结论：

2÷5=2/5（米）【具体量】

每段占全长1/5【关系】

（醒目位置用红笔写：除数≠0）

六、作业布置

（一）必做题（面向全体，巩固核心）

1.教材第54页第1、2、3题，要求书写工整，除法算式与分数结果对应清晰。

2.生活微调研：去超市看一种商品，记录它的总价和数量，用除法计算出单价，并用分数表示。例如：“3包薯片共12元，每包12÷3=4元，4=12/3元”。

（二）选做题（面向学有余力者，发展思维）

3.若a÷b=4/7，且a、b均为整数，a与b可能是多少？请写出三组不同的答案。

4.预习教材第55页例2，思考“求一个数是另一个数的几分之几”与今天学的“分数与除法的关系”有什么联系。

七、教学反思