人教版七年级数学下册知识点总结归纳

人教版七年级数学下册各单元知识点汇总

第五章相交线与平行线

5.1相交线

邻补角、对顶角

对顶角相等

直线〃与直线〃互相垂直，记作a_LA。

垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，

它们的交点叫做垂足.

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。垂线段最短。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

同位角、内错角、同旁内角

5.2平行线及其判定

5.2.1平行线

在同一平面内，当直线。与直线b不相交时，我们就说直线〃与直线人互相平行，记作

平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

即如果〃a,c\a,那么〃|c.

5.2.2平行线的判定

判定方法1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

同位角相等，两直线平行。

判定方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

内错角相等，两直线平行。

判定方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

5.3平行线的性质

5.3.1平行线的性质

性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。两直线平行，同位角相等。

性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。两直线平行，内错角相等。

性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。

5.3.2命题、定理、证明

判断一件事情的语句，叫做命题

命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由己知事项推出的事项。

数学中的命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后的部分是题设,

“那么”后接的部分是结论。

如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。

题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题中做假命题。

在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。

5.4平移

第六章实数

考点一、实数的概念及分类(3分)

1、实数的分类

正有理数

有理数零卜有限小数和无限循环小数

负有理数

正无理数

无理数下无限不循环小数

负无理数

r整数包括正整数、零、负整数。

I正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数

在理解尢理数时，要抓住“尢限小循环”这一点，归纳起来有四类：

(1)开方开不尽的数，如疗,我等；

(2)有特定意义的数，如圆周率兀，或化简后含有兀的数，如二+8等;

3

(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等；

(4)某些三角函数，如sin60。等(这类在初三会由现)

考点二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

2

实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）,

从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有

a+b=O»a=-b,反之亦成立。

2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|K）。零的绝对值是它本身，若|a|二a,

则a>0：若|a|=-a,则a<0o正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对

值大的反而小。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=L反之亦成立。倒数等于木身的数是1和.鼠零没有倒

数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根

如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a的平方根记做“±《"。

2、算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“&

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

aa>O'）「y[a>0

7^'=|4=Y；注意G的双重非负性：y

L-a（〃<0）匚a>0

3、立方根

如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：-=-双，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四、科学记数法和近似数

1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数

字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

把一个数写做±4X10〃的形式，其中n是整数，这种记数法叫做科学记

数法。

考点五、实数大小的比较

1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素

缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

3

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

a-b>O<^>a>b,

a—b=0<^>a=b,

a-b<0<^>a<b

(3)求商比较法：设a、b是两正实数，—>1<=>tz>b\—=1<=>«=b\—<\<^>a<b;

bbb

(4)绝对值比较法：设a、b是两负实数，则同>=a<〃。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则/>从=〃<小

考点六、实数的运算（做题的基础，分值相当大）

1、加法交换律a+b=h+a

2、加法结合律(〃+〃)+c=a+(〃+c)

3、乘法交换律ab=ba

4、乘法结合律(ab)c=a(bc)

5、乘法对加法的分配律a[b+=ab+ac

6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？

实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级

运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而

后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序

进行。

7、有理数除法运算法则就什么？

有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个

数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为

零的数，商都是零。

8、什么叫有理数的乘方？皋？底数？指数？

相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方的结果叫暴，相同因数的个数叫指数，这个因数

叫底数。记作：a

9、有理数乘方运算的法则是什么？

负数的奇次幕是负数，负数的偶次累是正数。正数的任何次累都是正数。零的任何正整数

哥都是零。

10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？

去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内

的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号

内式子相应各项的符号相反。

第七章平面直角坐标系

4

二、知识要点梳理

知识点一：有序数对

比如教室中座位的位置，常用“儿排儿列”来表示，,而排数和列数的先后顺序影响座位

的位置，因此用有顺序的两个数a与b组成有序数时，记作(a,b),表示一个物体的位置。

我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作：(a,b).

要点诠释：

对“有序”要准确理解，即两个数的位置不能随意交换，(a,b)与(b,a)顺序不同，含

义就不同，表示不同位置。

知识点二：平面直角坐标系以及坐标的概念

1.平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x

轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为E方向，两

坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1)。

注：我们在画直角坐标系时，要注意两坐标轴是互相垂直的，且有公共原点，通常取向

右与向上的方向分别为两坐标轴的正方向。平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点

的数轴组成的。

2.点的坐标

点的坐标是在平面直角坐标系中确定点的位置的主要表示方法，是今后研究函数的基础。

在平面直角坐标系中，要想表示一个点的具体位置，就要用它的坐标来表示，要想写出一个

点的坐标，应过这个点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a,垂足N在y

轴上的坐标是b,我们说点A的横坐标是a,纵坐标是b,那么有序数对(a,b)叫做点A的

坐标.记作:A(a,b).用(a,b)来表示，需要注意的是必须把横坐标写在纵坐标前面，所以这是

一对有序数。

注：①写点的坐标时，横坐标写在前面，纵坐标写在后面。横、纵坐标的位置不能颠倒。

②由点的坐标的意义可知：点P(a,b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x

5

轴的距离。

知识点三：点坐标的特征

1.四个象限内点坐标的特征：

两条坐标轴将平面分成4个区域称为象限，按逆时针顺序分别叫做第一、二、三、四象

限，如图2.这四个象限的点的坐标符号分别是(+,+),(-,+),-),(+,-).

4P

3，

二2一

r

z:■$仃*~~

-1

三2四

-3

图2

2.数轴上点坐标的特征：

x轴上的点的纵坐标为0,可表示为(a,0)；

y轴上的点的横坐标为0,可表示为(0,b).

注意：x轴，y轴上的点不在任何一个象限内，对于坐标平面内任意一个点，不在这四个

象限内，就在坐标轴上。坐标轴上的点不属于任何一个象限，这一点要特别注意。

3.象限的角平分线上点坐标的特征：

第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a,a)；

第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a,-a).

注：若点P(a,b)在第一、三象限的角平分线上，则@=6

若点P(a,b)在第二、四象限的角平分线上，则a=-b。

4.对称点坐标的特征：

P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)；

P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)；

P(a,b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b).

5.平行于坐标轴的直线上的点：

平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；

平行于y轴的直线上的点的横坐标相同。

6.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律:

象限横纵坐标符号(a,b)图象

第一象限(+,+)a>0,b>0iy

(一，♦)

第二象限(-,+)a<0,b>0-(0

第三象限(-,-)a<0,b<090),广

L，0)0(十,(OX

第四象限(+,-)a>0,bVO

(0，一)

(一，一)

X轴上正半轴(+,0)(♦，一)

负半轴(一，0)

y轴上正半轴(0,+)

负半轴(o,-)

原点(0,0)

五、特殊位置点的特殊坐标:

坐标轴上连线平行于点P(x,y)在各象限象限角平分线知

点P(x,y)坐标轴的点的坐标特点上识

的点点

X轴Y轴原平行X轴平行Y轴第一第二第三第四第一、第二、即

点象限象限象限象限三象限四象简

限单

(X,(0,y(0,纵坐标横坐标相x>0x<0x<0x>0(m,m)(m,-m应

0))0)相同横同级坐标y>0y>0y<0y<0)用

坐标不不同

同

1.

用坐标表示地理位置

根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，一般地只有

建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起。利用

平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况，也就是绘制平面图的过程：

(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向；

(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度：

(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.

要点诠释：

在建立平面直角坐标系时，我们一般选择那些使点的位置比较容易确定的方法，例如借

助于图形的某边所在直线为坐标轴等。在具体问题中要注意分析题目，灵活运用。而建立平

面直角坐标系的方法是不唯一的。

2.用坐标表示平移

(1)点的平移：

在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a,

7

y)或(x—a,y)；将点(x,y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y+b)或(x,

y-b)o

由上可归纳为：

①在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；

②在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；

③在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变，沿y轴平移横坐标不变.

(2)图形的平移：

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上或减去一个正数a,相应

的新图形就是把原图形向右或向左平移a个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加上或减去

一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上或向下平移了a个单位长度。

注：平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平

移问题可以转化为点的平移问题来解决。注意平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不

发生变化.

三、规律方法指导

学习本章首先要理解好有序数对的概念，也就是在这里的数不但表示大小，还表示方

向.并且它的位置也是不能改变的.其次，平面直角坐标系的引入，它是帮助我们研究事物

的位置关系的一个工具，那么，对于点坐标的特征要熟练掌握，这样对于解题和应用都有很

大帮助.最后就是应用平面直角坐标系解决实际问题，尤其是平移图形，这里学生一定要画

平面直角坐标系，体会数形结合在数学中的作用，这是利用左右脑学习的最好方法.

第八章二元一次方程组

1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫

做二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个

二元一次方程组。

3、二元一次方程组的解：一股地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二

元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程

组的解。

5、代入消元法解二元一次方程组：

(1)基本思路：未知数又多变少。

(2)消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

(3)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表

示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这

个方法叫做代入消元法，简称代入法。

(4)代入法解二元一次方程组的一般步骤：

1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数(例如y)

用含另一个未知数(例如x)的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”

2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y,得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。

3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解二

4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”

5、把x、y的值用｛联立起来即“联”

6、加减消元法解二元一次方程组

8

（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分

别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加

减消元法，简称加减法。

（2）用加减消元法解二元一次方程组的解

1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么

就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘二

2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，

即“加减二

3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解

4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的

值即“回代”。

5、把求得的两个未知数的值用（联立起来，即"联"。

第九章不等式与不等式组

一、知识结构图

不等式二、知识要点

不等式的解

不等式相关概念4（

不等式的解集

一、）不等式的

一元一次不等式

性质概念

不等式与不等式组1

不等式的性质4性质21、不等式：一

性质3

般地，用不等符

不等式组

__________号（“v”

［一元一次不等式组的解法

一元一次不等式（组）与实际问题表

示大小关系的

式子，叫做不等式，用“力”表示不等关系的式子也是不等式。不等号主要包括：＞、V、

2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数

的取值范围）。

4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。规律：用

数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，

9

不等于用空心圆圈。

（二、）不等式的基本性质

不等式性质1:不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向坯些。

用字母表不为：如果那么土C；如果那么“±C<。土C；

不等式的性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个且虬，不等号的方向不变。

用字母表示为:如果a>h,r>0,那么”>（或幺>2）：如果〃v>0,不等号那么nc<hr（或

CC

不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个华数_,的方向改变。

用字母表示为：如果〃>力"<0,那么破〈尻.（或@<2）；如果那么儿（或q>2）；

CCCC

解不等式思想一一就是要将不等式逐步转化为x>a或x<a的形式。

（注：①传递性：若则a>c.②利用不等式的基本性质可以解简单的不等式）

（三、）一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1,且不

等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、任何一个一元一次不等式都可以化为最简形式：〃或（aWO）的形式。

3、解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移顶；④合并同类项；⑤系数

化为1（特别要注意不等号方向改变的问题）。这与解一元一次方程类似，在解时要根据一

元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。

（四、）一元一次不等式组

1、一元一次不等式组的概念：

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。不等式组中含有一个未

知数,并且所含未知所的项的次数都是1。

2、使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的

解组成的集合,叫这个不等式组的解集解（简称不等式线的解）o

3、不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解集的过程叫解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法：

10

解一元一次不等式组的一般步骤：①分别求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数

轴表示出各个不等式的解集；③找出公共部分；④用不等式表示出这个不等式组的解集。如

果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解（此时也称这个不等式组的解集

为空集）o

6、求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取

中间，大大小小无处找。

（五、）一元一次不等式（组）的应用

一般方法步骤：

（1）审：分析题意，找出不等关系；

（2）设：设未知数；

（3）列:列出不等式组；

（4）解：解不等式组：

（5）检验：从不等式组的解集中找出符合题意的答案；

（6）答：写出问题答案。

第十章数据的收集、整理与描述

一、知识网络

整

描

全面调查得

分

理

述

出

析

数

数

结

数

据

据

论

抽样调查据

条

扇

折

直

形

形

线

方

困

图

图

图

知识点一：总体、样本的概念

1.总体：要考察的全体对象称为总体.

2.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体.

3.样本：被抽取的那些个体组成一个样本.

4.样本容量：样本中个体的数目叫样本容量（不带单位）.

注意：为了使样本能较好地反映总体的情况，除了要有合适的样本容量外，抽取时还要

尽量使每一个个体都有同等的机会被抽到.

II

知识点二：全面调查与抽样调查

调查的方式有两种：全面调查和抽样调查：

1.全面调查：考察全面对象的调查叫全面调查.全面调查也称作普查，调查的方法有:

问卷调查、访问调查、电话调查等.

全面调查的步骤：

（1）收集数据；

（2）整理数据（划记法）;

（3）描述数据（条形图或扇形图等）.

2.抽样调查：若调查时因考察对象牵扯面较广，调查范围大，不宜采用全面调查，因此，

采用抽样调查.抽样调查只拍取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情

况.

抽样调查的意义：

（1）减少统计的工作量；

（2）抽样调查是实际工作中应用非常广泛的一种调查方式，它是总体中抽取样本进行调

查，根据样本

来估计总体的一种调查.

3.判断全面调查和抽样调查的方法在于：

①全面调查是对考察对象的全面调查，它要求对考察范围内所有个体进行一个不漏的逐

个准确统计；而抽样调查则是对总体中的部分个体进行调查，以样本来估计总体的情况.②

注意区分“总体”和“部分”在表述上的差异.在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处

理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小.

调查方法：问卷，观察，走访，试验，查阅资料。

知识点三：扇形统计图和条形统计图及其特点

I.生活中，我们会遇到许多关于数据的统计的表示方法，它们多是利用圆和扇形来表示整

体和部分的关系，即用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大

小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图.

（1）扇形统计图的特点：

①用扇形面积表示部分占总体的百分比；

②易于显示每组数据相对于总体的百分比；

③扇形统计图的各部分占总体的百分比之和为100%或1.在检查一张扇形统计图

是否合格时，只

要用各部分分量占总量的百分比之和是否为100%进行检查即可.

（2）扇形统计图的画法:

把一个圆的面积看成是1,以圆心为顶点的底角是360。，则圆心角是36°的扇形

占整个面积的

11

记，即10%.同理，圆心角是72°的扇形占整个圆面积的反，即