相似三角形中K字型与十字架模型（3大题型）-人教版（五四制）九年级数学下册【含答案】

专题06相似三角形中K字型与十字架模型

目录

A题型建模-专项突破

题型一、三垂直模型

题型二、一线三等角模型

题型三、十字架模型

B综合攻坚-能力跃升

题型建模•专项突破

题型一、三垂直模型

【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角

形的“一对角相等“，再利用平角为180。，三角形的内角和为180。，就可以得到两个三角形

的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似.

“三垂直”模型：如图1,ZZ?=ZD=ZJC£=9O°,则△/"。〜△。。日

特别地，连接力后，若。为8。的中点，则〜

A

BCD

图1

例题1.(25-26九年级上•甘肃兰州•期中)

1.已知：如图，在矩形/J8CQ中，48=8,8c=4,在前边上取点E,连接CE,作E/UCE

交4。边于点尸.

AE_AF

求证:

(1)~BC~~BE

(2)若£8=2,求力厂的长.

试卷第1页，共12页

例题2.(2024•广西南宁•模拟预测)

2.如图，正方形力4C、。边长为4,M,N分别是BC,CO上的两个动点，当"点在上

运动时，保持4W和垂直.

AD

(2)设8M=x,梯形48C"的面积为y,求y与x之间的函数关系式；

(3)当M点运动到什么位置时sRt"MN,求i的值.

例题3.(24-25九年级上•广西梧州•期末)

3.(1)如图甲，AB±BD,CD±BD,AP上PC,垂足分别为&DP,且三个垂足在同一直

线上，我们把这样的图形叫“三垂图请判断：力氏CQ=尸氏尸。成立吗？不用说明理由；

(2)如图乙，也是一个“三垂图”，川小。。二尸”夕。还成立吗？请说明理由;

乙

(3)如图丙，已知抛物线与x轴交于点力(TO)，4(3,0),与N轴交于点(0,-3),顶点为

P,如图所示，若。是抛物线上异于4丛夕的点，使得NQ力尸=90°,请直接写出。点坐标.

试卷第2页，共12页

题型二、一线三等角模型

【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角

形的“一对角相等“，再利用平角为180。,三角形的内角和为180。，就可以得到两个三角形

的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似.

“一线三等角“模型：如图2,乙B=^ACE=^D,则A48CS4COE.

特别地，连接力E，若。为8。的中点，则A4CE〜A4BC〜ACDE.

图2

例题1.(2025,内蒙古•模拟预测)

4.【感知特例】

(1)如图1,点48在直线/上，ACA.I,DBU,垂足分别为48,点P在线段48上,

且PC_LP。，垂足为P.求证：ACBD=APBP；

【建构模型】

(2)如图2,点48在直线/上，点尸在线段上，且NC4P=NDBP=NCPD.结论

ACBD=AP・BP仍成立吗?请说明理由；

【解决问题】

(3)如图3,在△力8c中，AC=BC=5,49=8,点P和点。分别是线段48,8c上的

动点，始终满足NCPD=4.设AP长为x(0<x<8),当/=时，CD有最小值是

试卷第3页，共12页

5.三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为

直角，则又称一线三垂直模型）.解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相

似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题.

【证明体验】

如图1,在四边形中，点尸为/出上一点，/DPC=NA=NB=90。,求证：

ADBC=APBP.

【思考探究】

（2）如图2,在四功形力BCO中,点P为AB上一点,当NOPC=N4=N8=£时,卜述结

论是否依然成立？说明理由.

【拓展延伸】

（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：

如图3,在△/AC中，AB=2g，NB=45。,以点力为直角顶点作等腰RtUOE,点。在8c

上，点E在力C上，点尸在8c上，且NEFO=45。，若CE=5求CO的长.

例题3.（25-26九年级上•北京通州•阶段练习）

6.感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1,点力在直线OE上，且

/BDA=ABAC=ZJEC=90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们

把它称为“一线三等角”模型.

应用：

试卷第4页，共12页

图3图4

⑴如图2,RtA/18C中，N4CB=9(),CB=CA,直线EO经过点C,过力作力力_LE。于点

D,过B作BELED于点E.求证：MECmACDA

(2)如图3,ABLBC,EC工BC,点D在BC上,/ADE=90°.求证：MBD〜MfCE、

(3)如图4,在口48CQ中，E为边8c上的一点，尸为边48上的一点.若NDEF=NB,

AB=\0,BE=6,小明想到在8C的延长线上取点M,使0M=OC,连接QM,请你延

续小明的想法求名的值.

DE

题型三、十字架模型

矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段

的的比等于矩形的两边之比.通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的

性质求得线段间的比例关系.

如图1,在矩形中,若£是”上的点,且。EMC,则冷器

如图2,在矩形力8c。中，若E、F分别是48、CO上的点，KEFLAC,则K=F7・

试卷第5页，共12页

如图3,在矩形48co中，若E、F、M、N分别是48、CD、AD.8c上的点，且EFLMN,

EFI3C

则nil而F

A--------3-----------[CD____F______c

力EBAGEB

例题1.（25-26九年级上•江苏无锡•阶段练习）

7.【定义】

如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于

另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂

中点

如图1,在口49CQ中，BFJ.4C于点、E,交4。于点尸，若尸为4。的中点，则口43CQ

图1图2

【应用】

（1）如图1,在垂中平行四力形力8C。中，2是垂中点.若AF=布,CE=2,则4£=

;AB=;

（2）如图2,在垂中平行四边形48CZ）中，E是垂中点.若AB=BD,试猜想力歹与的数量

关系，并加以证明；

例题2.（23-24九年级上•河南洛阳・期末）

X.小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常的比较简明的结论.下面是

试卷第6页，共12页

他的发现过程，请补充并完成其中的问题.

（1）如图1,在正方形N8CD中，E为AB上一点、,连结。E,过点力作司_LOE于点尸，交.BC

于点G,则4G与。E的数量关系是.

（2）①如图2,在矩形川9CQ中，AB=〃BC,M、N为AB、C。上的点，连结MN,过点。

作QE_LMN于点尸，交8c于点E.小明发现，过点M作/G_LCQ于点G,可以得到

与QE的数量关系.这个数量关系是什么?请说明理由.

②填空：由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的

比，等于.

③应用上述结论解决问题；如图3,在RtZ\/18。中，NACB=90\AC=8,BC=6,点、D是AB

的中点，连结C。，过点8作CQ的垂线8E,交直线4。于点£,垂足是点尸，直接写出8E

的长度.

例题3.（2024•广东深圳•漠拟预测）

9.【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1,在矩形48CD中,

点、E,/分别是边DC,8c上的点，连接力EDF,且。/于点G,若4B=6,

（1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由.

【初步运用】

（2）如图2,在△/8C中，/历1C=9O。，—=点。为AC的中点，连接8。，过点力

AC4

试卷第7页，共12页

AF

作力EJ.8Q于点£,交BC于点、F,求诟的值.

【灵活运用】

AD2

（3）如图3,在四边形力8CO中，NB4D=90。，——=一，AB=BC,AD=CD点、E,F

AD3t

CF

分别在边48,力。上，且。fib,垂足为G,则——=_.

DE

B综合攻坚•能力跃升

一、单选题

（24-25九年级下•陕西宝鸡•阶段练习）

10.如图，在正方形/BCD中，48=6,点石在边力。上，且AE=2DE,连接过点石

作EhBE,交CD于点、F,则。尸的长为（）

4八2

A.3B.-C.-D.1

33

二、填空题

（2024九年级下•广东,学业考试）

11.如图，在四边形内/8CO中，4）=4,48=10,点七为48中点，连接。£、CE,若

（24-25九年级下•江西宜春•阶段练习）

12.如图，在矩形48co卞，七为边OC上的一点，把△力力E沿4E翻折，使点。恰好落在

边8c上的点尸处，且4）=6.

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(I)求证：/XABFsAFCE.

(2)若尸为5。的中点,求4E的长.

(24-25八年级下•江苏淮安•阶段练习)

13.如图，在ZUB。中，"=/C,点DE分别在边8C,力。上，NADE=N4BC.

(1)求证：AABDSADCE；

(2)如果力8=8,BC=6,AE=7,求。C的长.

(24-25九年级下•河北邢台•开学考试)

14.如图，E为AB上一点、,AA=/CED=/B.

⑴求证：△CAES^EBD；

⑵若'CE平分4CO,CO=9,BD=4,求石力的长.

(2025•吉林延边•模拟预测)

15.【尝试探究】在矩形48C。中，E为AB边上一点,连接Of,过点E作七/J_QE交8c

于点尸.

试卷第9页，共12页

图①图②图③

(1)如图①，若点尸与点C重合，AD=AE,求证：^AED^BFE.

(2)如图②，若48=12,4)=7,E为48的中点，求8F的长.

【拓展应用】如图③，在△44C中，NACB=90o,4C=BC,4B=4.E为4B边上一点、(点E

不与点48重合)，连接CE,过点E作NCEF=45。交BC于点F.当△置产为等腰三角形

时，8E的长为.

(2025•宁夏银川•三模)

16.【初识图形】

⑴如图1,E.尸分别为正方形48CZ)的CO功和5。功卜的点，连接力E,DF,口

4E

AE1DF.则——=

DF

(2)如图2,矩形力88中，点E,尸分别在边4。，BC上,连接80,EF,且8O1EE,

pp

力B=3,BD=5,求的值:

【类比探究】

(3)如图3,RtZ\49C中，D,尸分别为4C,8。边上的点，AB=6,JC=8,。为4c的

中点，连接8。,

图1图2图3

(2025・山东济南•模拟预测)

17.(1)如图1,在矩形,4AC。中，点E,厂分别在边QC,8。上，AE1DF,垂足为点

G.求证：AADEs4DCF.

试卷第10页，共12页

图1图2图3

【问题解决】

（2）如图2,在正方形/18CO中，点E,尸分别在边QC,BC上,AE=DF,延长4c到

点〃，使CH=DE,连接DH.求证：ZADF=ZH.

【类比迁移】

（3）如图3,在菱形48c。中，点七，尸分别在边。C,8C上，AE=DF=\l,OE=8,

ZJED=60°.求CE的长.

（24-25九年级上•全国•期末）

18.（I）【问题发现】如图1,在RtZUBC中，AB=AC=4,4/lC=90。，点。为的

中点，过点力作8。的垂线，垂足为E,延KAE交BC于点F,求△48尸的面积.小明发现，

过点C作力C的垂线，交,4F的延长线于点G,构造出全等三角形，经过推理和计算，能够

得到8尸与CE的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空：空=_,/的面积为

（2）【类比探究】如图2,将（1）中的条件“点。为力C的中点”改为“点。为边4c上的一

点，且满足CO=2/O”，其他条件不变，试求△48厂的面积，并写出推理过程.

（3）【拓展迁移】如图3,在△48C中，AB=AC=4,Z5JC=120°,点。为/C上一点,

且满足。=24）,E为BD上一点,N4EB=60°,延长力E交BC于F,请直接写出△4即

的面积.

（2025・湖北武汉•模拟预测）

19.【模型识别】如图1,ABJ.BC于点B,于点C,4CLDE交BC于点D,求

试卷第11页，共12页

、十DECE

证：就二正.

【尝试应用】如图2,在平行四边形/出CO中，£1是8。上的一点，连接力石，作1ZE

交BC于点、F,CE=EF,若AB=M，AD=5,tanZC=3,求丁的值；

AE

3

【拓展探究】如图3,己知菱形力ACO的边长为10,修n/力8。=:，点E为边力4上的一

点，连接。E,过点力作.4G，QE交8。于点凡交8。于点G,且DE=24F,求CG的长.

图1图2图3

试卷第12页，共12页

1.(1)见解析

(2)1

【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟悉相关知识是解题的关键.

(1)根据题意可证44在=/。/8,继而可证得根据相似的性质即可得到

AEAF

~BC=~BE'

4FAF

(2)由题知4E=6,根据彩=霎求解即可.

BCBE

【详解】(1)证明：.••四边形48c。是矩形，

ZBAD=AABC=9Q°t

EF±CEt

ZCEF=90°,

ZAFE+/AEF=90°,WCEB+Z.AEF=180。一90°=90°,

/.NAFE=Z.CEB,

/BAD=Z.ABC=90°,

"EFS4BCE,

AEAF

••---=---；

BCBE

(2)解：在矩形488中，48=8,BC=4,且EB=2,

;.4E：AB-BE=6,

一，、“AEAF

由(1)知T77="T7T»

DCBE

6AF

二.-=——,

42

解得：AF=3,

DF=AD-AF'=4-3=\.

2.(1)见解析

(2)^=--+2x+8(0<x<4)

(3)2

【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定以及性质，以及求函数解析式等

知识.

⑴由正方形的性质得出N8=NC=90。，根据力MlMN得出NCMN+N4,%=90。，根据直角

二角形两锐角互余得出NM48+/4W”=9。。进而得出NCM/V=4MA8,从而得出二角形相

答案第1页，共32页

似；

（2）根据三角形相似得出CV与x的关系，然后根据梯形的面积计算法则得出函数解析式；

j，VfAR

（3）根据要使三角形相似则需要满足忘==；,结合（1）中的条件得出即〃为

MNBM

5c的中点.即可求出x的值.

【详解】（1）证明：在正方形力8CO中，N8=NC=90。，

vAM1MN,

.-.ZJMV=90°,

.•.NCWN+N4W8=90。，

在Rt“3M中，NMAB+/AMB=90°,

:"CMN=NMAB,

.•.RIA/BWSRIAMGV.

(2)..•RIA/8"SRIAMCN,

ABBMu4x

——=——，即n----=——

MCCN4-xCN

心y

1f—X~+4x12ro((\A\

'•y=—(——-——+4)x4=-—x+2x+8(0<x<4)

(3)•：NB=/AMN=90°,

A,17AR

二要使^X^ABMsRt△力MV,必须有——=---

MNBM

AMAB

由（1）知

MNMC

/.BM=MC

••・当点必运动到BC的中点时，RS45MsR^4WN,此时x=2

（79、

3.（1）成立；（2）成立理由见解析；（3）

【分析】（1）根据同角的余角相等求出N力=/。夕。，然后求出△/出PSAPQC,再根据相

似三角形对应边成比例列式整理即可得证；

（2）与（1）的证明思路相同；

（3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点尸的坐标，再过点产

作尸C_Lx轴于C,设/。与p轴相交于。，然后求出ZO=1，AC=1+1=2,PC=4,再根

据（2）的结论求HlOO=g,从而得到点。的坐标，利用待定系数法求出直线力。的解析式,

答案第2页，共32页

与抛物线解析式联立求解即可得到点。的坐标.

【详解】解：（1）ABCD=PBPD成立,

证明：•••AB1BD,CD1BD,

:.=90°,

：./4+NAPB=90°,

:AP上PC,

:.NAPB+NCPD=9。。,

4=Z.CPD,

:AABPsAPDC,

ABPD

:.----=-----,

PBCD

:.ABCD=PBPD；

甲

（2）4BCD=PBPD仍然成立.理由如下:

vAB1BD,CD工BD,

：.NB=NCDP=9。。,

••.//+/力尸8=90。，

vJP1PC,

；ZPB+NCPD=90。,

ZJ=ZCPD,

:AABPSRPDC,

ABPD

••,

PBCD

:.ABCD=PBPD；

答案第3页，共32页

c

乙

(3)设抛物线解析式为)=ad+bx+c(。工0),

•••抛物线与X轴交于点/(TO)，8(3,0),与四轴交于点电一3),

a-b+c=0

二《9。+38+c=0,

c=-3

a=1

解得/)=一2,

.­.y=x2-2x-3,

vj=x2-2x-3=(x-l)2-4,

••・顶点P的坐标为(1,-4),

设力。与)，轴相交于。，

则40=1,4c=1+1=2,PC=4,

根据(2)的结论，AOAC=ODPC,

A1x2=ODx4,

解得or>=；,

答案第4页，共32页

•••点。的坐标为

设直线的解析式为y=kx+b（女工0）,

-k+b=O

则L1，

b=一

2

k=-

解得］:,

b=-

11

阴+y=-x+-

联立122

y=x2-2x-3

7

寸5

x2=-1

解得（为点4坐标,舍去）,

9》=0

3

•••点Q的坐标为

【点睛】本题是二次函数综合题型.主要考查了“三垂图”，相似三角形的判定与性质，待定

系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标,

余角性质，熟练掌握是解题的关键.

9

4.（1）见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）4,-

【分析1（1）先根据余角性质证明NC=NBPQ,再根据两角分别相等的两个三角形相似证

明得出绘=鉴，即可得出答案；

DIDU

（2）先证明NC=N6P。，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明△力

得出会=/，即可得出答案；

DIDU

（3）先根据等腰三角形性质得出乙4=NB,证明△/。。/△台。。，得出黑=与，即

BDBP

X51

--=-^,求出8。=彳丫（8-工），然后根据二次函数性质求出5。的最大值，即可得到CO

BD8—x5

的最小值.

【详解】（1）证明：vJC±7,BDll,PC1PD,

ZCAP=NDBP=ZCPD=90°,

AZC+ZJFC=90°,

答案第5页，共32页

NBPD+NAPC=9()°,

ZC=NBPD,

:.△APCs/XBDP,

•ACAP

一而一而

即4c8。=4尸•8尸;

<2)解：成立，理由如下：

vZC+ACAP+ZAPC=ZAPC+ZCPD+NBPD=180°,

乂/CAP=4DBP=/CPD,

:"C=NBPD,

:•AAPCs4BDP,

ACAP

•-=，

BPBD

即4CBD=4PBP.

(3)解：•.•力。=3C=5,

:.4A=/B,

vZCPD=ZA,

又•••ZCPB=4CPD+/BPD=ZACP+ZA,

：2ACP=NBPD,

:.XAPCs4BDP、

APAC

,

BDBP

•••/尸长为x(0<x<8),则4尸=8-x,

x5

,

BD8-x

解得：8Q=；x(8—x)

1,8

=-x~+-x

55

2

=_l(,V_4)+y,

1八

—<0,

5

.•.当x=4时，8。有最大值?，

•:CD=BC-BD,AC=5为定值，

答案第6页，共32页

二当50有最大值竽时，CO有最小值是5-9二,

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，

二次函数最值，解题的关健是熟练掌握三角形相似的判定方法.

5.(1)见详解(2)成立，理由见详解(3)5

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正碓掌握

相关性质内容是解题的关犍.

(1)通过等量代换得到N8PC=N4OP,再结合"PC=/A=NB=90°,证明△BPCs/DP,

AP

则而k即可作答.

(2)与(1)过程类似，通过等量代换得到/8PC=N4)P,结合NDPC=N4=NB=0,

AnAp

证明4尸4尸，则工7=后7,即可作答.

(3)因为点力为百角顶点作等腰Rta/IQE.得N4DE=N4ED=45。,与(1)过程类似，

通过等量代换得到N84。证明.B/IDs△尸DE,得出。尸的值，再证明

△EDCSAFEC,列式代入数值，即可作答.

【详解】解：(1)•••NDPC=NA=NB=90。

.••N”D+NBPC=9。。,ZADP+ZAPD=90°

：.4BPC=AADP

•:N4-/B-90°

:.4BPCs&ADP

ADAP

'~BP~~BC

：.ADBC=APBP；

(2)成立，理由如下：

•:NDPC=NA=NB=。

NDPC+NBPC=//。0+Z.A

即Z.BPC=AADP

vZDPC=/A=/B=0

:.△BPCs"DP

ADAP

：.ADBC=APBP：

答案第7页，共32页

(3)•.•RS/QE是等腰三角形

；•/ADE=ZAED=45°,DE=\lAD2+AE2=6AD,—=—

DE2

vZ.B=45°,""0=45。

•♦.与(1)、(2)同理，得△4BDSADFE

ABAD72

~DF~~DE~~

AB=2V2

.-.Z)F=4

••ZED=45。,NEFD=45。

："DEC=180°-45°=/EFC

•••NC=NC

：.ADECS^EFC

DCEC

,~EC~~FC

空二五

亚FC

解得“=1,FC=T(尸。为线段，负值舍去)

.•.(70=1+4=5.

6.(1)见解析

(2)见解析

⑶I

【分析】本题是几何图形的综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质,

相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定与性质是解题的关键.

(1)根据力O_LEO,BELED,可得NBEC=NCD4=90,再由乙4。8=90。，可得

4ACD=4EBC,从而利用角角边证得三△CD4即可：

(2)根据EC_L4C,可得N8=NC=9(T,再由/4QE=90,，可得/力=NCOE,

从而证得结论；

(3)在〃。的延长线上取点使QM=QC,连接。/，可得/OCM=NM,再根据平行

四边形的性质以及NOE/=/8,可得NB=NDCM=NW,/DEC=NBFE,可证得A8在

答案第8页，共32页

八MED,即可求解.

【详解】(1)证明：•••ZD_LE。，BE1ED,

1.NBEC=NCDA=90°,

/EBC+NBCE=90°,

ZJCT=90>

乙4CD+NBCE=90,

，ZACD=Z.EBC,

•••CB=CA,

在A5CE和仪》。中，

ZCDA=NBEC

<ZACD=ZEBC,

CB=CA

MEC三ACDA(AAS)；

(2)证明：vABA.BC,EC1BC,

NB=ZC=90。,

4+/BD4=90。，

•••ZJD£=90°,

/.Z5Z)J+ZCDE-90°,

:"A=/CDE,

AABD~ADCE；

(3)解：如图，在4c的延长线上取点M,使。历=。。，连接DW,

42

F[~7!\

NDCM=ZM,

BECM

•••四边形48CQ是平行四/形，

,\DM=AB=IO,力81|CD,

二/B=/DCM=4M,

•••Z.FEC=NDEF+/DEC=NB+^BFE,ADEF=/B,

/DEC=/BFE,

答案第9页，共32页

^BFE〜AMED,

.EFBE_6_3

7.(1)1；V17

Q)AF=4iCD，证明见解析

【分析】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质,

勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

ApAP1

(1)证明可得第==从而推出彳石，再根据勾股定理可求得

CEBC2

BE,再求得48,即可；

AP4/)DF

(2)根据题意可推出“EQS/EB,得到三=笠===2,设BE=a,则。E=2a,

EFBFEB

再利用勾股定理得到力石，从而推出"；”/，即可求得答案；

【详解】(1)解：•••四边形48CO是平行四边形，

：.AD=BC,AD〃BC,

•・•尸为3的中点,

：.AF=-AD=-BC,

22

•••8C=24尸=26，

•••AF//BC,

:AAEFsACEB,

AE_AF_\

，，~CE~~BC~2,

•：CE=2,

•••AE-1,

-BE=^BC2-CE2=4»

•••AB=LE?+BE2=V17；

故答案为：1；\f\7

(2)解:AF=yf2CD，证明如下：

根据题意，在垂中四边形48CQ中，AhBD,且尸为8c的中点，

...4D=BC=2BF,NAEB=90°,

答案第10页，共32页

VAD//BC,

•••AAEDSAFEB,

AEADDEc

:.——=——=——=2,

EFBFEB

设BE=a,则OE=2a,

vAB=BD,

:.AB=BD=BE+ED=a+2a=3。，

•••AE=>IAB2-BE2=yl（3a）2-a2=2&EF=6a，

AF=AE+EF=2y/2a+41a=3叵a，

vAB=CDt

.AFAF3缶rr

•-==----=72,

CDAB3a

•••AF=42CD.

8.（\）AG=DE

⑵①DE=,理由见解析；②矩形的两邻边之比；③=J

【分析】（1）根据正方形，垂直的定义可得乙4OE=N8/1G,运用角边角证明

“QE③84G（ASA）,由此即可求解；

（2）①根据矩形，垂直的定义可得四边形8CGM是矩形，根据相似三角形的判定可得

△CDEs4GMN、由此即可求解：

②结合①的证明即可求解；

③如图所示，延长。。至点"，使。M=CO,可得四边形力是平行四边形，结合

N4CB=90°,由矩形的判定方法可得平行四边形/C8M是矩形，根据上述证明可得

△CBEs^ACM,由此即可求解.

【详解】（1）解：••・四边形力8CQ是正方形，

:.AB=BC=CD=AD,/ABC=/BCD=NCDA=/BAD=90°,

••.ND4F+NE4E=90°,

vAG1DE,

力尸0=90°,

.•"DAF+NADF=900,

；"ADE=/BAG,

答案第11页，共32页

在“DE和4G中,

N4DE=/BAG

AD=BA

/DAE=NABG

.•.△4Z)E%84G(ASA),

AG=DE,

故答案为：AG=DE；

(2)解：Q)DE=〃MN,理由如下,

.•.N8=NC=90。，AB=CD,

vMGlCZ),

.-.Z5=ZC=ZMG;V=90°,ZGMN+/GNM=90。,

四边形8CGW是矩形，

:.GM=BC,

•••DE±MN,

NCOS+NGNM=90。，

:"CDE=/GMN,

^CDEsqMN,

DECDAB

:.-----=------=-----=n,

MNGMBC

/.DE=nMN；

②矩形的两邻边之比.

证明：如图所示，延长CZ)至点M,使。M=CZ),

答案第12页，共32页

AM

图3

•・•点。是48的中点,

:.AD=BD,

四边形4C8W是平行四边形，

vZJC5=90°,

・••平行四边形力是矩形，

:・CM=AB=>lAC2+BC2=A/82+62=10，

•••BE1CM,

NCBE+NBCF=Z.BCF+//CM=90°,

."ACM=NBCE,

:.△CBEs&ACM,

BEBCllnBE6

CMAC108

CL15

:.BE.=——.

2

【点睛】本题主要考查正方形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，平行四边形

的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌

握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键.

31212

9.（1）理由见解析：（2）—：（3）—

【分析】（1）由矩形的性质得出NC=4OE=90。，AB=CD=6,BC=AD=8,证明

△DCFs.DE,由相似三角形的性质得出空=啜=?=1.

（2）过点8作C8的垂线，过点。作8c的垂线，垂足为K,过点力作8c的平行线，分别

交两条垂线于6、H,则四边形G8K”为矩形，证明△却）〃丝△CQK,由全等三角形的性质

得出。〃=QK,证明△4〃Z）sa8G4,由相似三角形的性质得出答案.

答案第13页，共32页

(3)过C作CN14)于N,S/_L阳交力4的延长线于点"，证明△84。经"CQ(SSS),

得出N8CO=N/=90。，证明△BCMSAQCN,由相似三角形的性质得出整=柒=],

DNCD3

13

设8M=2y,AB=BC=2x,则。N=3y,AD=CD=3xt由勾股定理得出x,则可

得出答案.

【详解】解：(1)•.•四边形48CQ是矩形，且/步=6,8c=8,

.-.ZC=Z/1D£=90°,AB=CD=6,BC=AD=8,

.•.N/QG+"QC=90。，

vAE1DFf

•••//GO=90。，

ZZ)JG+ZJDG=90°,

:"DAG=4FDC,

：.ADCFS^ADE,

.DFDC=6_3

"J£"JD-8"4,

(2)过点片作CB的垂线，过点。作8C的垂线，垂足为K,过点/作8c的平行线，分别

交两条垂线于G、H,如图：

则四边形GBK”为矩形，

•••。为ZC的中点,

AD—CD,

vAAHD=NCKD=90°,ZADH=ZCDK,

cADH知CDK(AAS),

:.DH=DK,

•••/84。=90。，

•,2GAB+/HAD=90°,

答案第14页，共32页

•••NG"+NGA4=90°,

：.NHAD=NGBA,

•:NG=NAHD=90。,

:•AAHDS^BGA,

PHAHAD

•/-=-,AD=CD

AC4t

.*=2,

AB3

设DH=2y,则BG=4y,

BG_4y_12

—3尸?「17，

,、jAFBG

由⑴知：BD=GH'

AF12

----=----•

BD17

（3）过。作CN1/O于N,N_L加交44的延长线于点用，如图3：

A

。图3

vZ5JD=90o,BPABLAD,

4=NM=NCN4=90。，

.•・四边形力MCN是矩形，

:.AM=CN,AN=CM,

在AB/I。和△8C。中，

AD=CD

•AB=BC,

BD=BD

VA5JZ）^A5CD（SSS）,

.•.Z/yCL>=ZJ=9U0,

答案第15页，共32页

.­.ZABC+ZADC=\SO0,

-ZABC+ZCBM=\S00,

:"MBC=NADC,

•:NCND=/M=90。,

:.ABCMs^DCN,

AB2

----=—，

AD3

BMBC_2

'~DN~CD~3,

设BM=2y,AB=BC=2xf则。N=3j，，AD=CD=3x,

:.CN=2x+2y,

在RtZ\CNQ中，由勾股定理得：DN、CN?=5,

.-.（3y）2+（2,v+2>'）2=（3x）\

13

解得：x或％=-丁（舍去），

CFCN2x+2y\2

''DE~7D~3X-T3,

12

故答案为:3.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三

角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

10.B

【分析】本题考查的是正方形的性质及相似三角形判定与性质，先证明△历iEsaEOE,得

）

出胃IF7=学DF，代入计算求出答案.

AEAB

【详解】解：在正方形力灰刀中，AB=6,EFlBE,

AB=AD=CD=6,/A=/D=NBEF=90。,

乙4EB=900-Z.DEF=ZDFE,

：AB4ESAEDF,

DFDE

/.----=-----,

AEAB

vAE=2DE,AD=6,

AE=4,DE=2,

答案第16页，共32页

DF2

•••___—―_，

46

63

故选：B.

4

11.-##0.8

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判

定与性质是解题的关键.利用=+NA=NDEC,得出NBEC=N4DE,

再由乙4=NB,得出则一=一,求出8C=」，即可求解.

BEBC4

【详解】解：•••/DE8=ZJ+N/OE,NA=NDEC,

ZDEC+NBEC=ZDEC+ZADE,

."BEC=NADE,

乂•••ZA=NB,

：.sADEs4BEC,

ADAE

•••4)=4,/8=10,点E为4B中点,

:.AE=BE=5,

45

—=---,

5BC

25

解得：BC=}

4

BE54

A5C-25-5»

T

4

故答案为：

12.(1)见解析

Q)花=4＞万

【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等

知识，推导出N8"=NCM,进而证明"8Ps/CE是解题的关键.

(1)由矩形的性质得NB=NC=NQ=90。，由翻折得乙4在=/。=90。，推导出

ZBAF=NCFE,则△尸。七；

(2)由尸为的中点，BC=AD=b,将8卜=FC=3,由总b=力。=6,勾股定埋求得

答案第17页，共32页

AB,进而根据相似三角形的性质求得在中，勾股定理，即可求解.

【详解】(1)证明：:四力形是矩形，

Z5=ZC=ZD=90°,

把"DE沿AE翻折，点D落在边BC上的点尸处，

ZJFE=ZD=90°,

•;NBAF+N4FB=90°,/CFE+NAFB=90。,

：.Z.BAF=Z.CFE,

..△ABFSAFCE.

(2)解：•.•尸为AC的中点，BC=AD=6,

BF=FC=-BC=3,

2

vAF=AD=6,

AB=yjAF2-BF2=>/62-32=*,

“；"BFS^FCE,

.AFAB_3>f3_JT

'~FE~~FC~~r~'

AF=&E=6,

:.FE=2y/3,

.•.在Rs/E/中，AE=LF，+FE?=上+(2⑸=4退,

即AE=4瓜

13.(1)见解析

(2)DC的长为2或4.

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质

是解题的关键.

(1)由等腰三角形的性质可得N8=/C,由外角的性质可得N比可得结论；

(2)根据△/IBDSAQCE,得到之二会，进而求出解即可.

AoBD

【详解】(1)证明：•.F8=/C,

/B=NC,

AADC=/ABC+/BAD=NADE+NCDE,/ADE=ZABC