2026年中考数学一轮复习：高频考点练 特殊三角形（拔高提升）

2026中考数学一轮复习高频考点精练专题十五特殊三角形（拔高提升）

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一、单选题

I.以下列各组数值作为线段长，能构成直角三角形的是（）

A.G，〃，x/5B.5,12,13C.6,8，12D.4,5,6

2.如图，在RtZXAOB中，NBAO=90。，AB=1,点A恰好落在数轴上表示-2的点上,

以原点0为圆心，08的长为半径画弧交数轴于点P.使点P落在点A的左侧，则点P

所表示的数是（）

A.—6B.石C.-x/3D.V3

3.如图，ZABC=90°,ZC=15°,线段AC的垂直平分线。七交AC于D,交BC于E,

D为垂足，CE=10cm,则A8=()

A.4cmB.5cmC.6cmD.不能确定

4.等腰三角形三边长分别为〃、b、2,且〃、〃是关于x的一元二次方程

x2-6,v*n1=0的两根，则〃的值为（）

A.9

B.I0

C.9或10

D.8或10

5.如图，在AABC中,A8=45/2,AC=4瓜人力是边上的中线，且AO=2,则8C的长

为（）

A

A.12B.10C.4>/5D.6G

6.如图，。是等边△48C内一点，。4=3,03=4,0C=5,将线段40以点3为

旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO',则NAOB的度数为（）

A.1000B.l20cC.1300D.150°

7.已知点。是边长为6的等边△A8C的中心，点P在△48C外，AABC,4PAB,

△PBC,△尸C4的面积分别记为S。，S-邑，S3.若S|+S2+S3=2S0,则线段OP长的

最小值是（）

A.更B.拽C.3GD迄

222

8.如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：

①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与43,BC交于M,N两点；

②分别以M,N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点。，作射线双），BD与AC

交于点E；

③分别以&。为圆心，以大于gsc的长为半径画弧，两弧交于点P,。，作线段PQ,

PQ与BC于点、F；

④连接后儿

若AB=BC,8E=AC=4,则ACm的周长为（）

A.273+2B.2V5+2C.V3+2D忑+2

二、填空题

9.已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长等于.

10.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地A3=2.5米，当人体进

入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一人身高1.6米的学生C。正对门，缓

慢走到离门1.2米的地方时（3C=1.2米），感应门自动打开，则AE>=

米.

感应器，

A

B

11.如图所示，己知AABC中,3。=16cm,AC=20cm,A3=12cm点P是4c边上的一

个动点，点。从点8开始沿方向运动,且速度为每秒2cm,设运动的时间为

，（s），若AABP是以A8为腰的等腰三角形，则运动时间t=

12.如图，在△A8C中，ZACB=90°,AC=8C=4cm,。是边中点，P是AC边

上的一个动点，连接PD,以叨为边在叨的下方作等边△POQ,连接C。，则。。的

最小值_____________.

A

Q

三、解答题

13.党的二十大以来，各地更加积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间,让许多

城市再现绿水青山，某小区物业在小区拐角清理出一块空地进行绿化改造，如图，

⑴为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点A直通点C的小路，求小路AC的长度；

(2)若该空地的改造费用为每平方米1()()元，试计算改造这片空地共需花费多少元？

14.如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段

为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”.

⑴如图1,三角形内角分别为80。，25°,75°,这个三角形(填“存在”

或“不存在”)“准黄金线”；

⑵如图2,AABC中，NB=2NC,线段AC的垂直平分线交AC于点E,交BC于点、D.

求证：AD是△ABC的一条“准黄金线”；

(3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角

形的顶角的度数.

15.如图，AD是△ABC的角平分线，延长4。至点E,连接BE,CE.已知4)二钻,

Z3=Z1.

⑴求证：△ABEt△ADC.

(2)若N84C=90°,BC=?6.

①求证：△(?/)£是等腰三角形;

②求ZXBCE的面积.

参考答案

1.答案：B

解析：A.因为(6『+("『工(6)2,所以不能构成直角三角形，此选项不符合题意;

B.因为52+122=132,所以能构成直角三角形，此选项符合题意；

C.因为6?+8?0122,所以不能构成直角三角形，此选项不符合题意；

D.因为4?+52/62,所以不能构成直角三角形，此本选项不符合题意.

故选：B.

2.答案：A

解析：•••氐△AOB中，0=90。，AB=1,A0=2,

・•・O8=j22+]2=加,

又,：OB=OP,

・・・0P=5

又•・•点尸在原点的左边，

，点尸表示的数为-万，

故选A.

3.答案：B

解析：是线段AC的垂直平分线，ZC=15°,CE=10cm,

EA=EC=10cm,

.\ZE4C=ZC=15°,

/.ZAEB=30°,

*：ZABC=90°t

AB=-^AE=5(cm),

故选：B.

4.答案：B

解析：由题意可知，等腰三角形有两种情况：

当a,b为腰时—b,

由一元二次方程根与系数的关系可得u+b=6,

月不以u:6=3,=9-〃一I,

解得〃-10;

当2为腰时，4二2（或力二2）,

此时2+b=6（或。+2=6）,

解得力7（或。~4）,

这时三边为2,2,4,不符合“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”的三角形三边关

系,故不合题意.

所以〃只能为10.

故选:B.

5.答案：A

解析：如图，延长到E,使得。石=。4,连接C£・・・4。是5c边上的中线，

BD=CD..AD=DE,NADB=/CDE,.♦.△AOB/△EOC（SAS）,

/.CE=AB=4"DE=AD=2i:.AE=4.

AE2+CE2=4z+（4>/2）2=16+32=48MC2=（4^）2=48AE2+CE2=AC2.

ZAEC=90°,.\CD=y]CE2+DE2=7（4x/2）2+22=6,：.BC=2CD=12，故选A.

6.答案：D

解析：如图，连接oo,

•・,线段80以点8为旋转中心逆时针旋转60。得到线段80、。4=3,08=4,OC=5,

:・BO=BO=4,43。=60。，

・•・△800为等边三角形，

:.400=60。，

•/△ABC为等边三角形,

：.BA=BC1Z/WC=60。，

:.AOBO-ZABO=ZABC-ZABO,即AOBA=Z0BC,

在△O8A和△03C中，

O'B=OB

N0'84=ZOBC,

BA=BC

:.△O84g£QBC(SAS),

:.0A=0C=5,

在△AO。中，O\4=5,00=4,04=3,

:.OA2+OO,2=32+42=25=O4,

:.ZAO(7=90°,

:.^AOB=Z.BOO+=60°+90°=150°.

故选：D.

PDB+HDC'PDA+S.DC»

S+S2+S3=S]+(S△制+Szxsoc)+(S4PDA+SfDC)

=S]+(S^PDB+S△孙)+(S^BDC+S~1DC)

=S]+S>PAB+S^AfiC

=E+S[+s0

=2sl+So

=2S0,

・・S|=-50,

设△ABC中AB边上的高为九，中AB边上的高为生,

则S()=-ABJi}=-x6-h}=3h]f

§=；AB-h2=gx6•九=3.%,

/.3kl=gx34,

:%=24,

,/△ABC是等边三角形,

九=[?i=^>/3,

-22

，点P在平行于AB,且到AB的距离等于|百的线段上,

・•・当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，

过。作QE_L8C于E,

ACP=/71+/22=-|V3,

是等边△ABC的中心，OEA.BC

：.ZOCE=30°,CE=-BC=3

2

・・・OC=2OE

*：OE2+CE2=OC2,

:.OE2+32=(2O£)2,

解得0E=6，

:.OC=2y/3,

：.OP=CP-OC=-y/3-2y/3=-yf3.

22

故选B.

8.答案：B

解析：由作图方法可知，跖平分Z/WC,QQ垂直平分4C,

,:AB=BCf

：.CE=-AC=2AC±BE,

2f

・•・BCVBE:+CE?=2石'

・・・PQ垂直平分8C,

；・点尸为8C的中点,

:.EF=CF=-BC=y/5

2f

・・・ACEF的周长为EE+CE+Cb=2石+2,

故选；B.

9.答案：22

解析：・・,等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,

・••当腰长为4,底边长为9时，则4+4<9,不符合三角形三边关系，故舍去;

・••当腰长为9,底边长为4时，则4+9>9,符合三角形三边关系，

・•・周长是4+9+9=22.

故答案为：22.

10.答案：1.5

解析：如图，过点。作于点E,

・.・A3=2.5米，此=CO=1.6米，ED=8C=1.2米，

/.AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9（米）.

在中，由勾股定理得至」4耳=,4炉+力炉=J0.92+I.22=1.5（米），

故答案为：1.5.

11.答案：6s或⑵或10.8s

解析：BC=16cm,AC=20cm,AB=12cm,

.•・BC2+AB2=AC2,

.•.4=90。，

如图l,A8=PB=12cm,

图1

=12+2=6s；

如图2,AP=AB=12cm,

图2

/.Z?C+PC=(16+20-12)cm=24cm,

/.r=244-2=12s；

如图3,/IB=BP=12cm,

图3

过点3作4。_LAC于。，则AD=PD,

.・.S△.c=gxABxBC=gxACx肛

.•.12x16=20。。，

BD=9.6cm,

由勾股定理得：AD=y/AB2-BD2=V122-9.62=7.2cm，

/.AP=2AD=14.4cm,

/.r=(16+20-14.4)^-2=10.8s,

综上所述』的值是6s或12s或10.8s.

故答案为：6s或12s或10.8s.

12.答案：1

解析：如图，在co的下方作等边△cor,

,:NCDT=NQDP=60。,DP=DQ,DC=DT,

:.NCDP=NQDT,

在△CQP和△丁92中，

DP=DQ

•NCDP=/TDQ

DC=DT

：.△CD峰△TDQ(SAS),

ADCP=ADTQ=90°,

\・ACDT=NQDP=60°,

:.NCTQ=3()。,

•・・r是定点，NC7Q是定值，

・••点Q在射线7。上运动，

当CQLTQ时，CQ的值最小，

最小值为!cr=:CO=，BC=1,

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故答案为：1.

13.答案：(1)小路AC的长度为15m

⑵改造这片空地共需花费11400元

解析：(l)・・・ZABC=90°,/W=12m,8C=9m,

AC=y]AB2+BC2=V122+92=15（m）,

答：小路AC的长度为15m；

（2）vA£）=17m,CD=8m,AC=15m,

AC2+CD2=152+82=172=AD2,

「.△ACO是直角三角形，且Z4CO=90。，

.•S四边形八88=3人历6C十gAC.6=3xl2x9十gxl5x8=114（m2）

.•.114x100=11400（元）.

答：改造这片空地共需花费11400元.

14.答案：（1）存在

（2）见解析

（3）90。或36。或108。或（哨。

解析：（1）如图1,作AC的垂直平分线交8c于点D,连接40,

A

图1

AD=CD,

:.ZDAC=ZC=25°,

「.△AQC是等腰三角形，

•・・NB=80°,ZADB=ZC+ADAC=250+25°=50°,/BAD=75°-25°=50°,

.\ZBAD=ZADB,

;.AB=BD,

「.△/WO是等腰三角形，

二这个三角形存在“准黄金线”AO;

故答案为：存在；

(2)证明：如图2,设NC=x,则N8=2x,

。石是AC的垂直平分线，

/.AD=CD,

:,ZDAC=ZC=xf

ZADB=NZMC+NC=2x,

."B=ZADB,

:.AB=AD,

..△ABD和AAQC都是等接三角形，

/.AD是△ABC的一条“准黄金线”；

(3)一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况:

①如图3,AC=BC,CDLAB,

由3

/.ZADC=/BDC=9伊,

•••△ABC是一个“准黄金三角形”，

/.△XDC和ABDC都是等腰三角形,

ZACB=450+45°=90°,

此时等腰三角形的顶角为90。；

②如图4,设NA=x,

•：AB=AC,AD=BD=BC,

图4

,\ZA=ZABD=xfZC=ZBDC=ZABC=x-^x=2x,

贝iJx+2x+2x=180。，

解得x=36。，

此时等腰三角形的顶角为36。；

③如图5,-AB=ACfAD=BD,AC=CD,

图S

:"B=NC=/BAD,ZCAD=ZCDA,

・・•ZCDA=ZB+/BAD=2ZB,

r.NB4C=3NB,

・「ZBAC+ZB+ZC=180°f

/.5ZB=180°,

NB4C=108。；

此时等腰三角形的顶角为108。；

④如图6,-,-AB=ACtAD=BD,CD=BC,

图6

/.ZABC=ZC,/BAC=ZABD,/CDB=NCBD,

NBDC=NBAC+ZABD=2/BAC,

ZABC=ZC=3ZBACt

•・・ABAC+ZABC+ZC=180°,

/.7ZBAC=180°,

此时等腰三角形的顶角