【七年级下册沪科数学】第8章 整式乘法与因式分解（提高篇）解析版

七下沪科数学

第8章整式乘法与因式分解(提高篇)

一、选择题(每小题4分，共40分)

1.计算(-3/)2的结果为()

A.-9aB.9/C.3/D.9a8

【分析】直接根据积的乘方计算即可得出结果.

【解答】解：(-3血2=9*.

故选：D.

【点评】本题考查了积的乘方，掌握积的乘方的运算法则：积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，

再把所得的基相乘是解题的关键.

2.下列计算正确的是()

A.(-a)2=-a2B.a4^a=a4C.2a2+a2=3a4D.a3*a4=a7

【分析】根据同底数暴的乘除法，弃的乘方，合并同类项逐项进行判断即可.

【解答】解：A.(-a)2=a2,因此A不正确；

B.a4+a=a3,因此B不正确;

C.2a2+a2=3a2,因此C不正确；

D.a3*a4=a7,因此D正确;

故选：D.

【点评】本题考查同底数幕的乘除法，幕的乘方，合并同类项等知识，掌握同底数哥的乘除法，哥的乘方与

积的乘方是得出正确答案的前提.

3.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.x2-x-6=(x+2)(x-3)B.x2-\=(J;-I)2

C.x2-x-1=x(x-1)-1D.x(x-I)=x1-x

【分析】根据因式分解的定义即可求解，因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式.

【解答】解：A.x2-x-6=(x+2)(x-3)是因式分解，故该选项正确，符合题意；

B.x2-1=(x+1)(x-1),故该选项不正确，不符合题意；

C.x2-x-l=x(x-1)-1,不是乘积的形式，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；

D.x(x-1)=x2-x,不是乘枳的形式，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意.

故选：A.

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【点评】本题考查了因式分解的定义，根据平方差公式因式分解，掌握因式分解的定义是解题的关键.

4.如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a+2)的小正方形(a>2),将剩余部分剪开，密铺成一个

平行四边形，则该平行四边形的面枳为()

2a

A.3«2-4B.2a2+4aC.3a2-4a-4D.3a2+4a+4

【分析】直接用大正方形的面积，减去小正方形的面积，进行计算即可.

【解答】解：该平行四边形的面积为(2a)2-(a+2)2=4a2-a2-4a-4=3a2-4a-4,

故选：C.

【点评】本题考查了平方差公式的儿何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键.

5.若f+Ax+16是一个完全平方式，则女等于()

A.8B.±16C.-16D.±8

【分析】利用完全平方公式得到x2+kx+16=(x±4)2,然后等式右边展开即可得到k的值.

【解答】解：•・•多项式x2+kx+16是一个完全平方式，

・'・x2+kx+16=(x±4)2,

即x2+kx+16=x2±8x+l6,

・・.k=±8.

故选：D.

【点评】本题考查了完全平方式：灵活应用完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.

6.若『-人2=4,则(a+6)2(°-b)2的值是()

A.24B.16C.8D.4

【分析】把(a+b)2(a-b)2利用平方差公式先运算底数，然后再代入数据计算即可.

【解答】解：(a+b)2(a-b)2=[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2,

Va2-b2=4,

，原式=42=16.

故选：B.

【点评】本题考查了平方差公式的应用，先利用平方差公式计算底数可以使运算更加简便.

7.已知(阳-〃)2=46,(m+n)2=4000,则〃?的值为()

A.2022B.2023C,3954D.4046

【分析】根据4nm=(m+n)2-(m-n)2=3954,再根据m2+n2=(m-n)2+2mn求解即可.

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【解答】解：v(m-n)2=46,(m+n)2=4000,

.*.4mn=(m+n)2-(m-n)2=3954,

.\2mn=1977,

/.m2+n2=(m-n)2+2mn=46+1977=2023,

故选：B.

【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键.

8.纳米是非常小的长度单位，1纳米=10-9米，新型冠状病毒直径约为78纳米，用科学记数法表示该病毒的

长度，下列结果正确的是()

A.7.8><10-8米B.7.8X10-9米

C.7.8X1010米D.78X108米

【分析】根据科学记数法的定义求解.

【解答】解:78纳米=7.8X10-8米，

故选：A.

【点评】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的特征是解题的关犍.

9.2X(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(3,6+1)+1的计算结果是()

A.332+1B.332-1c.331D.332

【分析】把因数2写成3・1后，利用平方差公式依次计算即可得出结果.

【解答】解：2X(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1

=(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1

=(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1

=(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)+1

=(38-1)(38+1)(316+1)+1

=(316-1)(316+1)+1

=332-1+1

=332,

故选：D.

【点评】本题考查了平方差公式，把因数2写成3-1是利用平方差公式的关键.

10.已知1=44・入3+工2・12x・5,则当/・2.丫-5=0时，"的值为()

A.25B.20C.15D.10

【分析】根据已知条件得至Ux2-2x-5=0,将其代入整理后的d的代数式.

【解答】解法一：・.”2-2x-5=0,

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.*.x2=2x+5,

，d=x4-2x3+x2-I2x-5,

=(2x+5)2-2x(2x+5)+x2-12x-5

=4x2+20x+25-4x2-10x+x2-12x-5

=x2-2x-5+25

=25.

解法二：Vx2-2x-5=0,

Ax2-2x=5,

Ad=x4-2x3+x2-12x-5

=x2(x2-2x+l)-12x-5

=6x2-12x-5

=6(x2-2x)-5

=6X5-5

=25.

故选：A.

【点评】考查了因式分解的应用.掌握转化思想和整体代入思想是解题的关键.

二.滇空题(共4小题)

11.计算：4.r(x-1)=4/・4x.

【分析】根据单项式与多项式的乘法法则计算即可

【解答】解：4x(x-1)=4x2-4,

故答案为：4x2-4.

【点评】本题考查了单项式与多项式的乘法运算；解题的关键是熟记单项式与多项式相乘，用单项式与多项

式中的每个项分别相乘，再把得到的积相加.

12.已知次+力2=7,a+b=3,则加+次力=3.

【分析】根据完全平方公式结合已知条件得出ab=1,将代数式因式分解进而即可求解.

【解答】解：Va2+b2=7,a+b=3,

:.(a+b)2-(a2+b2)

=2ab

=9-7

=2,

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.*.ab=I,

.*.ab2+a2b

=ab(b+a)

=1X3

=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了完全平方公式变形求值，因式分解的应用，掌握以上知识是解题的关键.

13.已知2a=3,2分=6,2C=12,则2/b=18:a+c-2b=0.

【分析】根据同底数幕的乘法法则计算2a+b；先计算22b,再逆运用同底数幕的乘除法法则，代入求值即可.

【解答】解：2a+b=2a*2b=3X6=18；

V2b=6,

・•・(2b)2=62.即22b=36.

V2a+c-2b

=2aX2c4-22b

=3X12+36

=1,

/.a+c-2b=0.

故答案为：18,0.

【点评】本题考查了同底数幕的乘除法法则及哥的乘方法则，熟练掌握同底数幕的乘除法法则及逆运用，是

解决本题的关健.

14.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.例如3=22-12,7=42

-32,16=52-32,3,7,16就是三个智慧数.在正整数中，从1开始，第2022个智慧数是2699.

【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设两个数分别为k+1,k,其中k2l,且

k为整数，即智慧数=(k+l)2-k2=(k+l+k)(k+1-k)=2k+l,因为k为正整数，因而k+1和k-1就

是两个自然数.要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能

否写成两个正整数的和与差.

【解答】解：设两个数分别为k+1,k,其中k21,且k为整数.则(k+1)2-k2=(k+l+k)(k+1-k)=

2k+l.

设两个数分别为k+1,k-1,其中k»l,且k为整数.则(k+1)2-(k-1)2=(k+l+k-1)(k+1-k+1)

=4k,k=2时，4k=8,

・••除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数.

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・・・4k(k22且k为整数)均为智慧数；

除I外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，

特殊值2,6,10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慈数，推广到一般式，证明如下：

•・,假设4k+2是智慧数,那么必有两个正整数m和n，使得4k+2=m2・n2,

.*.4k+2=2(2k+l)=(m+n)(m-n)①，

Vm+n和m-n这两个数的奇偶性相同，

・•・等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数.可左、右两边不

相等.所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数.

・•・把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每

组中第二个不是智慧数，

又;(2022-1)+3=673...........2,

・•・第2022个智慧数在1+673+1=675(组)，并且是第三个数，即675X4・1=2699,是个奇数,

/.2k+1=2699,解得k=1349,k+l=1350,

即第2022个智慧数是2699,1349和1350是它的智慧分解.

故答案为：2699.

【点评】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法，

本题属于基础题，难度不大，题中文字较多，很多学生不喜欢这样的文字题，解决该类型题时，只要仿照文

中给定的办法即可得出结论.

三.解答题(共9小题)

15.计算：(x+y)(x-y)-x(x-3y).

【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式运算法则求解即可.

【解答】解：原式=x2-y2-x2+3xy

="y2+3xy.

【点评】本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，热练掌握女方差公式和单项式乘多项式的运算法则是解

题的关键.

16.因式分解.

(1)Sa3b2+\2ab3c；

(2)9a2(x-y)+4b2(y・x).

【分析】(1)根据提公因式法因式分解即可；

(2)先提公因式，再用公式法因式分解即可.

【解答】解：⑴8a3b2+12ab3c=4ab2(2a2+3bc)；

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(2)9a2(x-y)+4b2(y-x)

=(x-y)(9a2-4b2)

=(x-y)(3a-2b)(3a+2b).

【点评】本题考杳了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

17.⑴计算：V25-|-2|+(V3-1)+(0.25)-2*

(2)因式分解：^y+A^+xy3.

【分析】(1)先算绝对值，负整数指数暴，零指数轻，算术平方根，再算加减法即可求解；

(2)先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可.

一5-2+1-3+(4)-2

【解答】解:(1)原式=4

=1+16

=17；

(2)4x3y+4x2y2+xy3

=xy(4x2+4xy+y2)

=xy(2x+y)2.

【点评】本题主要考查负整数指数塞，零指数豪，算术平方根，因式分解，掌握提取公因式法和乘法公式分

解因式是关键.

18.已知3m=6,3〃=2,求的值.

32fT=(3,2*襄义！

【分析】由同底数鼎的乘法法则的逆运算和负整数指数基的定义得出3,即可得

出结果.

【解答】解：•；3m=6,3n=2,

.2jrdn-l2nXy=24

3=x3X1=62x2

【点评】本题主要考查暴的乘方的逆应用，同底数秘的乘除法运算的逆运用，掌握第的乘方的运算是解题的

关键.

19.如图1,三种纸片力、B、C分别是边长为。的正方形，边长为人的正方形和宽与长分别为。与方的长方形.

(I)数学课上，老师用图1中的一张纸片力，一张纸片4和两张纸片C,拼成了如图2所示的大正方形，

由此可以得到的乘法公式是ta+以2=〃2+2唯+庐；

(2)若小莉想用图1中的三种纸片拼出一个面积为(2a+b)(什6)的大长方形，需要4、B、。三种纸片分

别2,1,3张.

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b

【分析】(1)根据完全平方公式得出结论即可;

(2)根据多项式乘多项式得出结论即可.

【解答】解：⑴由题意知,(a+b)2=a2+2ab+b2,

故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；

(2)♦:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,

・,・需要A、B、C三种纸片分别2张，I张，3张，

故答案为：2,1,3.

【点评】本题主要考查完全平方公式及多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式及多项式乘多项式是解题的

关键.

20.如图①，从边长为。的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成

图②的长方形.

(1)【探究】

①请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面枳射一庐；(a+b)(a・b):

②比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：(“+b)(a・b)=W(用字母表示)；

图①图②

【分析】(1)①图①阴影部分的面积为两个正方形面积的差，图②阴影部分的面积是长为(a+b),宽为(a

-b)的长方形面枳；

②图①阴影部分的面积和图②阴影部分的面积相等，即可列出式子；

(2)将2001X1999转化为(2030+1)(2000-1),根据平方差公式进行计算即可.

【解答】解.：(1)①在图①中：•・•大正方形的面积为a2,小正方形的面积为b2,

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・•・阴影部分的面积为：a2-b2；

在图②中：•・•阴影部分为长方形，且长为(a+b),宽为(a-b),

・・・阴影部分的面积为:(a+b)(a-b)；

②•・•图①阴影部分的面积和图②阴影部分的面积相等，

；・可得到乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2：

故答案为：@a2-b2；(a+b)(a-b)；②(a+b)(a-b)=a2・b2；

(2)原式=(2000+1)(2000-1)=20002-1=3999999.

【点评】本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，用代数式表示阴影部分的面积是得出平方差

公式的关键.

21.阅读与思考：利用多项式的乘法法则可推导得出：

(x+p)(x+夕)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq.因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可

得：F+(p+q)x+pq=(x+p)(j+g).利用这个式子可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式，例

如：将式子/+3x+2分解因式.分析：这个式子的常数顶2=IX2,一次项系数3=1+2.这是一个/+(p+夕)

x+pq型的式子，••・X2+3X+2=X2+(1+2)x+\X2,

.,・/+3^+2=(x+1)(.x+2).

(1)填空：

式子f+7x+l()的常数项10=2X5,一次项系数7=2+5,分解因式4+7厂10=(x+2)

(x+5).

(2)若f+px+8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有用能值是±6或±9.

【分析】(1)利用题中给出的例子即可得出10=2X5,7=2+5,即x2+7x+10=(x+2)(x+5)：

(2)根据8=1X8、8=(-1)义(-8)、8=2X4和8=(-2)X(-4)分别求出对应的p值即可.

【解答】解：(1)根据题意可得：10=2X5,7=2+5,

Ax2+7x+10=(x+2)(x+5),

故答案为：2,5,2,5,(x+2)(x+5)；

(2)当8=1X8时，则p=l+8=9；

当8=(-1)X(-8)时，，则p=(-1)+(-8)=-9；

当8=2X4时，则p=2+4=6：

当8=(-2)X(-4)时，贝l」p=(-2)+(-4)=-6：

综上所示：p=±6或±9；

故答案为：土6或±9.

【点评】本题考查的是因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律.

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22.洛两数和(差)的平方公式：(4±b)2=『±2M+庐，通过适当的变形，可以解决很多数学问题.

例如：若a-6=3,ab=1,求H+序的值.

解：•:a-b=3,ah=\,

：,a2+b2=(a-b)2+2ab=32+2X\=\\.

请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：

(1)若x+p=10,/+/=56,求xy的值；

(2)将边长为x的正方形力8CZ)和边长为y的正方形CE尸G按如图所示放置，其中点。在边CE上，连接

AG,EG,若x+p=8,9=14,求阴影部分的面积.

BCG

【分析】(1)x+y=10两边平方，可得x2+2xy+y2=100,将已知代人求解即可；

(2)运用割补法，阴影部分的面积为：S=S正方形ABCD+S正方形CEFG-SZ\ABG-SZ\EFG,根据面积

—(x+y)2——-xy

公式结合题意化简整理得22,将已知代入计算即可.

【解答】解：(I)Vx+y=l(),

:.(x+y)2=100,

Ax2+2xy4-y2=100,

Vx2+y2=56,

100-(x2+y2)100-56

2__2-=22

(2)阴影部分的面积为：S=S正方形ABCD+S正方形CEFG-S^ABG-SZ\EFG

2,21，心、12

_x+y-yx(x+y)-yy

2121121/2.2x1

-yx-xy—y=万(x+y)-yxy

y((x+y)2-2xy)-yxy

1/^x23

万(x打)-xy

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Vx+y=8,xy=14,

192

S=^x8-^-X14=11

・•.22

【点评】本题考查了整式的运算；掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题的关键.

23.［知识生成］通常，用两种不同的方法计算同•个图形的面积，可以得到•个恒等式.

例如：如图①是一个长为2〃，