第二章 二次函数 单元复习卷（含答案）-北师大版2025-2026学年九年级数学下册

第二章二次函数单元复习卷北师大版2025-2026学年九年级数学下册

总分：120分时间：90分钟

姓名：班级：____________成绩：

一.单项选择题（每小题5分，满分40分）

题号12345678

答案

1.下列函数中，属于二次函数的是（）

2

A.y=x2——B.y=2x-5C.y=x2+1D.y=2（x-l）

-I

2.抛物线y=（x-1）2-2的顶点坐标是（）

A.（0,1）B.（2,1）C.（-1,2）D.（1,-2）

3.二次函数旷=⑪2+区+c的图象如图所示，其对称轴为x=_l有下列结论：①而c<0：

②a+b+c>0；③4a—2/A—c；@b2-4ac>0;⑤6〃+4c<0,其中正确结论的个数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位后,得到的抛物线表达式为

f-4”4,则原抛物线的表达式为（）

A.y=x2-2x-2B.y=x2+2x+2

C.y=x2-2x+2D.y=x2+2x-2

5.已知抛物线产小-4如+4<（））经过点八（-1,〃?）,8（2川,。仁,/，则以〃,〃的大小关系为

（）

A.n>p>mB."?>〃>〃C.D.〃>〃>，〃

6.已知点（-〃?,0）和（3〃?,0）在二次函数y=a/+云+3（口，〃是常数，的图象上.若

二次函数的图象经过点4几3）且点A不在坐标轴上，当时，则〃的取值范围是

（）

A・—4<n<-2B・—4<〃<—1C・〃<—1D・〃>—4

7.在平面直角坐标系中，线段也的端点为P（4,5）,Q（8.5）,抛物线），=加-2胡-3〃与线

段PQ有交点时，。的取值范围为（）

A.—<6/<1B.-1<a<一~-C.—<<1D.-\<a<-ng—<a<1

99999

8.如图，二次函数），=&+云+o+1（4工0）的图象交］轴于点4（〃7,0）,85,0）,对称轴为

x=2,-l<//z<0,下列四个结论中：①4<〃<5；②出?>0：®b2+b>4aci④图象上有两

点P（x“J和。（王，为），若玉<2<々，且%+七>4,则y<%.其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题（每小题5分，满分20分）

9.若二次函数y=-Y+6x+〃L3图象与x轴有一个交点为（8,0）,则与x轴另一个交点坐标

为•

10.如图，二次函数y=-/+A的图象经过正方形A80C的三个顶点，则攵的值为.

11.己知（-3,〃。，（1,m）是抛物线），=-丁+法+3上的两个点，则。的值为.

12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+2x+3与x轴交于4,8两点（点A在点B

左侧），与），轴交于C点.动点?从点6出发，沿x轴负方向以每秒2个单位的速度运动.过

点P作尸。工直线BC,垂足为Q,再将APSQ绕点P旋转90。，设点尸的运动时间为，秒.若

旋转后的点。落在该抛物线上，则/的值为.

三.解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）

13.如图，二次函数），=-丁+公+5的图象与x轴分别交于A,8两点，与丁轴交于点C,

点0（1,8）在二次函数的图象上，M为二次函数的图象的顶点.

⑴求的面积；什M

⑵点Q是x轴上一动点，当ABCQ和△MCB相似时，求点Q坐标.淤，

14.在二次函数y=ad+bx-3中，x与〉，的几组对应值如表所示.

X•••-201•••

y•••-3-30・・•

⑴求二次函数的表达式，并求二次函数图象的顶点坐标；

(2)将二次函数的图象向右平移〃个单位长度后，当。式工式3时，若图象对应的函数最大值与

最小值的差为4,求〃的值.

15.已知二次函数y=or2-4x+/+l(awO).

⑴若。=2,直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标；

⑵当。=-1时，设，〃是该二次函数图象与x轴交点的横坐标，记“二求M的值.

//r+160

16.如图，抛物线y=*+加+2与x轴交于点4(-1,0)、8(4,0)两点，与5轴交于点C，连

接8C,顶点为M.

(I)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)已知点P是抛物线上的一点，连接CP,若NPCB=ZABC,求点夕的坐标.

⑶如图2,若。是直线“C上方抛物线上一动点，连接。。交3C于点E床有最大值吗?

如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由.

17.抛物线y="+历;+c(〃wo)经过A(2,0),B(Y,O)两点.

⑴当a二T时,求抛物线的表达式；

(2)求一元二次方程ax2+bx=0的根；

⑶若点P(a〃)，Q(1M)在抛物线上，且〃〉/求。的取值范围.

18.已知抛物线y=o?+云-3交工轴于点A(-1,O),点8(3,0),交)，轴于点C.点C向右

平移2个单位长度，得到点。，点£为抛物线的顶点.

⑴①求抛物线的表达式及顶点E的坐标；

②判断点D是否在抛物线)，=av2+版-3上;

(2)连接8C,点M是线段上一动点，连接QM,作射线C7),点N是射线C。上一动点,

且满足CN=CM.求OM+8N的最小值；

⑶点尸在抛物线丁=，+公—3的对称轴上，若NOAP+NOC4=45。，则点P的坐标为

参考答案

一、选择题

I.C

2.D

3.B

4.D

5.A

6.A

7.C

8.B

二、填空题

9.(-2,0)

10.2

11.-2

12.弓■或5

二、解答题

13.【详解】(I)解：・・•点。(L8)在二次函数的图象上，

将。(1,8)代入y=-x2+bx+5,

得8=-1+〃+5,解得〃=4,

函数表达式为y=-丁+4,V+5=-(X+1)(X-5)=-(A-2)2+9,

・••点3(5,0)、M(2⑼、C(0,5),

令直线BC表达式为yBC=〃a+〃，

由8(5,0)、C(0,5),

0=5〃?+〃[-1=m

得<，解得，

5=〃[5c=〃

/.直线RC表达式为yDc=一3+5.

过点M作ME垂直于％轴，交于点E,如下图所示：

当x=2时，加=3,

・••£(2,3),

；・ME=6,

=x

，处(8=SAMCE+S眼田-MEX(2+3)=15,

故△MC8的面积为15.

⑵解：BC=\152+52=5>/2»

=25

I3M=yJ?r+92=3>/10»

设点Q坐标为0m0）,根据题意，可判断出有可能的相似情况有如卜三种:

当△BCQSAMCB时，

有匹=q=丝，即更L&ZiLkzl

MCCBMB2455a3加

由平二也M解得1=±1（）,

2V55V2

逑日

出2右一3而'解得*=20或“=-10,

故该情况下夕=7。；

当△BCQs^CM时,

生=丝=殁，5及一行Li%5|

BCCMMB5及2x/53x/l0

由举=®^,解得夕2=_5,该方程无解,

5V22小

则不存在该情况；

当△ACQS^MAC时，

有生=丝=丝，即迈二叵L叱

MBBCMC3x/105x/22出

由巫一正亘解得q=±g，

丽一/万

故该情况下“=g;

综上，点Q的坐标为（-1。,0）或（|,（）］

-2+0

14.【详解】（1）解：由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线”=一^

.••可设二次函数为），=〃&+l『+h

又•.•图象过（0,-3）,（1,0）,

a+k=-3\a=\

4a+k=0,解得［=4

二•二次函数为y=（x+l）2-4.

・•・顶点坐标为（T,Y）.

（2）解：二次函数的图象向右平移〃个单位长度后，得到新函数为y=（x+l-，?）2-4.

二.此时对称轴是直线工=〃-1,函数图象开口向上.

・••①当3V〃—1时，即〃24,

「•当x=0时，y取最大值为（1—〃丫一4；当x=3时，y取最小值为（4一〃了一4.

又•.•最大值与最小值的差为4,

/.（l-w）2-4-（4-n）2+4=4.

19

.•・〃=?<4,不合题意.

6

②当0<〃一1<1.5时，即1<〃<2.5,

「•当％=3时，y取最大值为（4-〃J-4：当工=〃-1时，F取最小值为-4.

又•.・最大值与最小值的差为4,

「.（4/-4+4=4.

.,.〃=6（不合题意，舍去）或〃=2,

③当时，即2.5<〃<4,

・•・当x=0时,y取最大值为（1-〃y-4；当时，y取最小值为Y.

又•.•最大值与最小值的差为4,

二.（1-〃『-4+4=4.

，〃=3或〃=一1（不合题意，舍去）.

④当〃一1WO时，即〃W1,

.,.当x=0时，y取最小值为（1-〃丫-4：当x=3时，y取最大值为（4-〃y-4.

又•.•最大值与最小值的差为4,

22

.•,（4-Z7）-4-（l-n）+4=4.

二〃=?>1,不合题意.

O

综上，〃=3或〃=2.

15.【详解】（1）•・•将。=2代入），二奴2-4刀+/+1中,

•••设顶点为(万㈤，

,,人4।,4uc-b240-164

・・/?=一二—=二=1,k=----------=----------=3,

2〃44a8

，顶点坐标为(1.3).

(2)•・•将〃=一1代入)，=4Y一44+。2+1中，

:.y=-x~-4x+2,

•••〃2是该二次函数图象与X轴交点的横坐标，

*,»—m2—4m+2=0>解得：m=土R—2,

-m2-4m+2=0整理得：nr=2-4m,

:.m5=♦〃?=(2-4m]'-m=(4+16,722-16〃。♦m=4/n+16ni2in-16m2

=4m+16(2-4M•〃L16(2-4〃z)=-64m2+100m-32=-64(2-4m)+100m-32

=356〃?-160,

.7127122

…例=-------=---------------=一4

〃f+160356/w-16()+160m

当〃j=#-2,M=2+瓜>

当机=一后一2,M=2-瓜,

，综上，M=2+痴或M=2-#.

16.【详解】(1)解:设$="x+l)(x—4),把(0,2)代入得,

ci——.

2

，抛物线的解析式为)，=-」/+3X+2=-'(X-3]+交，

222(2)

325

，顶点的坐标为

M5T

（2）解：①当点尸在8c上方时，连接CP,

'：/PCB=ZABC,

/.CP//AB，

又•:C（0,2）,

...yf,=2,

•I，3-c

••—xH-x+2=2,

22

解得：x=0（舍去）或x=3,

工点尸（3,2）；

②当点尸在AC下方时，CP交x轴于从

•:/PCB=ZABC,

/.CH=BH,

设”（〃,0）,

在RSCO”中，OH2+OC2=CH2,

:.〃2+2?=（4-〃）2,

解得：〃

二呜。）・

设直线CP解析式为：），=米+2,

3

把点，代入得：y=-k+2f

4

解得：k=--t

4

所以直线CP解析式为），=-QX+2.

联立上式和抛物线的表达式得：-：工+2=-；/+11+2,

解得：X=0（舍去）或工，

・•・综上所述，点P的坐标为（3,2）或（弓,一弓）；

（3）解：过。点作。"〃丁轴，交BC于点H,如图所示：

设。（皿+/〃+2）,直线BC的解析式为y=kx+n,

由点8（4,0）,C（0,2）知直线8C的解析式为：）,=—gx+2,

Hf〃1，—m+2

I2J

],3（1A]

DH=——nr+—m+2-m,——in+2=——m2+2m

22I2J2

・•・£>"〃y轴,

:•QCESQHE,

12c，

.•.ETrDrxDrH\u---2-"I+2”1«/c\2,

——=------=1--------=一一+1

OECO24、)

r--<0,

4

・.・当,〃=2时，器的值最大，器

17.【详解】⑴解：:抛物线y="+'+。经过人2,0),3(-4,0)两点,

•••可设抛物线的交点式为y=a(x-2)(x+4),

当。=-1时，y=-(x-2)[x+4)=-x2-2x+S,

・•・抛物线的表达式为)，=-丁-2x4-8.

(2)解：•••抛物线)，=疝+云+c经过A(2,0),8(-4,0)两点,

・•・抛物线的对称轴为直线k=-—=丐上4=-1,

2a2

=,b=2a,

2a

对于一元二次方程加+2冰=0,化为奴(x+2)=0,

Taw。，

，x=()或x+2=0,解得％=0,X2=-2,

即方程ai，+〃*=()的根为％=0,x2=-2.

(3)解：抛物线对称轴为直线x=-l,

•••点尸(a,p)、Q(l,g)在抛物线上，且〃

点P(a,p)到对称轴x=T的距离为点。。。到对称轴工二一1的距离为"-(-1)1=2,

工当〃>0时，抛物线开匚向上，离对称轴越远函数值越大，

则,+1]>2,解得a>l或〃<-3,

«>I；

当々<0时，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大，

则p/+1|<2,解得—3<a<1,

*,•—3<6f<0；

综上，。的取值范围是-3<a<0或。>1.

18.【详解】(1)解：①•••抛物线)，=”+版-3交X轴于点A(-1,O),点3(3,0),

a-〃-3=0j,\a=1

,解得<4)，

967+3/2-3=0[b=-2

・••抛物线的解析式为)，=/-2X-3.

,.>=X2-2A-3=(X-1)2-4,

，抛物线的顶点£的坐标为(1,T)；

②对于抛物线)口•一一力；-3,令x=0,则产-3,

・•・C(0,-3),

•・•点C向右平移2个单位长度，得到点D,

・••£>(2,-3),

当x=2时，y=4-4-3=-3,

:,点。是在抛物线y=ax2+Zu,-3上；

(2)解：如图，在射线CE上取一点G,使CG=CO.连接GN,DE,BG,

•••8(3,0),C(0,-3),什

：.OC=OB=3,\/

工*oc是等腰直角三角形，AJ—£

—

•••C(0,-3),F(l,-4),0(2,-3),罂缪一

・•・CE="0_1『+(_3+叶=6,DE=^(2-l)2+(-3+4)2