二次函数图象与系数的关系（压轴题专项讲练）（北师大版）原卷版

二次函数图象与系数的关系

典例精析

【典例1］已知二次函数y=a/+bx+c(aH0)的图像如图所示，有下列5个结论：(T)abc<0；②9a+

3b+cV0；③2c<3b；(4)a+b>m(am+b)(mH1)；⑤若方程|a/+bx+c\=1有四个根，则这四个

根的和为2.其中正确的结论有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【思路点拨】

①由二次函数图像性质知，开口向下，则QV0.再结合对称轴x=l,有一套=1,即匕=-2Q,则b>0.据

二次函数图像与y轴正半轴相交得。>0:②由图像可知，抛物线与A-轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，

则当％=3时，y<0,即可判断：0-£=1,得b=-2a,当无=一1时，y<0,即Q-b+cVO,所以2。一

2匕+2cV0,把Q替换成b计算；④x=1时的数有最大值，所以当x=1时的y值大于当x=m(?nH1)时的y

值，即Q+b+c>m(am+b)+c,所以Q+b>m(am+b)(mH1)成立；⑤当Q/++c=1时，有QX?+

bx+c-1=0,此时有％i+%2=—：，当ax?+加；+。=-i时，有a/+b%+。+i=o,此时有与十4二

则有+X2+%3+%4=-£，即可判断.

【解题过程】

解：•••图像开口向下,

•,•a<0,

,•,对称轴％=1,

b-

•*----=1»

•••/?=-2a,

>0,

•••抛物线交于y轴正半轴，

.,.c>0,

.,.abc<0,

故①正确；

由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，

当％=3时，y<0,

即9a+38+CV0,

故②正确；

••・根据图像可知，当％=-1时，y<0,

即a—b+c<0,

•••2a-2d+2c<0,

二结合b=-2a,有一3b+2cVO,

•••2c<3b,

故③正确：

时，有y=Q+b+c,且此时y值达到最大，

又，;x=m(m工1)时，有y=am24-bm4-c,

•••a+b+c>am2+bm+c,

•••a+b>m(am+b)(mH1)成立，

故④正确.

根据|a/+b%+c|=1有四个根，

可得a/+匕无+c=1和Q/+bx+c=-1各有两个根，

当a/+匕》+c=1时，有a/+Z)x+c-l=O,此时有勺+x2=-

当a/+反+。=-1时，有Q/+匕无+c+1=O,此时有％3+J=-£，

贝IJ有/+%2+%3+工4=一日，

,一乡=1,

即：lax?+b%+c|=1的四个根和为4,

故⑤错误.

综上：①②③④正确，

故选：C.

学霸必刷》】

1.（2023•四川广元•统考二模）二次函数y=a%2+bx+c（。手0）的部分图象如图.对称轴为“=5且经

过点（2,0）.下列说法：（T）abc<0；@-2b+c=0；③4a-2b+c>0；④若（一打J,（|,九）是抛物线

上的两点，则yi>、2；⑤（b+c>m（am+b）+c（其中mog）.正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.（2023•山东青岛•统考二模）二次函数y=ax2+bx+c（a#0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；

②若m为任意实数,则a+b2am2+bm；@a-b+c>0；©3a+c<0；⑤若axE+bx产ax2?+bx2,且x#X2,则

X1+X2=2.其中正确的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2023春・广东广州•九年级专题练习）二次函数y=ax2+反+c（a30）的部分图象如图所示，图象过

点（一1,0）,对称轴为直线％=2,下列结论：①4a+b=0；9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④若点

4（一3,y。、点B（-[2）、点在该函数图象上，则丫1〈丫3＜、2；⑤若方程a。+1）Q-5）=-3的

两根为与和无2，且无1＜小，则与＜一1＜5＜不；⑥者+：=-4,其中正确的结论有（）

A.3B.4C.5D.6

4.（2023•黑龙江大庆・大庆一中校考一模）如图，已知抛物线y=Q/+匕x+c的对称轴在y轴右侧，抛物

线与x轴交于点力（-2,0）和点B,与y轴的正半轴交于点C,ROB=2OC,则下列结论：①呼＜0：②4a。+

26=-1；③。=一｝④当力＞1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M,N（点M

在点N左边），使得ANIBM.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2023•黑龙江齐齐哈尔•校联考一模）二次函数旷=。/+历:+。的图象如图所示.对称轴是直线》=一1,

有以下结论：®abc<0；②处子上〉b；@c-a>1；④若抛物线上三点坐标为（一1一75,为），（-1+

bc

V3,y2）,（祗乃），则乃〉%>外；®<~\>其中正确的结论是（）

A.①②③B.②③④C.①③⑤D.②③⑤

6.（2023•安徽六安一校考三模）二次函数、=a/+bx+c（QW0）的部分图像如图所示，图像过点（一1,0）,

对称轴为直线x=2,下列结论：（l）4a+b=0；（2）9a+c>3b；（3）8a+7b+2c>0；（4）若点

4（一3,丫1）,点8（-：,丫2）、点。（（乃）在该函数图像上,则当<?3<丫2；（5）若方程a（x+DG-5）=-3

<5<X2,其中正确的结论有（）

C.4个D.5个

7.（2023春・山东济南•九年级统考开学考试）如图，二次函数¥=。%2+/?%+以。。0）的图象的顶点在第

一象限，且过点（0,1）和（一1,0）.下列结论：®ab>0；@b2-4ac>0：@0<a+b4-c<2：©0<b<1；

⑤当时y>-l,x>0.其中正确结论的个数是（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

8.（2023秋•重庆南川•九年级统考期末）已知二次函数y=ax2+取+c（aH0）与％轴的一个交点为（一2,0）,

其对称轴为直线久=1,其部分图象如图所示，有下列5个结论:①abcVO：②炉-4ac<0；③9a+3b+c>

0：④8Q+C=0；⑤若Q%2+bx+c=-1.有解%1、%2»满足％1<%2，则％1v-2,x2>4；其中正确的个

9.（2023春•江西宜春•九年级江西省宜丰中学校考阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c（a工0）的图像的

一部分如图所示，已知图像经过点（一1,0）,其对称轴为直线％=1.下列结论：①a加VO：@b2-4ac<0；

③8a+cV0；④9a+3b+2c<0：⑤点。（//。。（外,外）是抛物线上的两点，若叼V5则当<力；

⑥若抛物线经过点（一3,九），则关于％的一元二次方程。/+/?%+（；-71=05。0）的两根分别为-3,5：其中

正确的有（）

10.（2023・山东济宁•济宁学院附属中学校考一模）如图是二次函数丫=。/+匕”+，的图象，其顶点坐标

为（一1,九），且过点（0,1）.有以下四个结论：①4a-/?4-c>1；②3a+c<0；③一元二次方程a，+加：+c=

〃-1有两个不相等的实数根；④若点4（一2,%）、8（-打2）、。&乃）在该函数图象上，则m<丫3<、2；

©a-b>m（am+b'）（〃?为常数）.其中正确结论的个数是（）

C.2个D.1个

11.（2023•广东珠海•珠海市九洲中学校考一模）如图是抛物线丫=。/+/?%+。（。工0）的部分图像，其顶

点坐标为（l,n）,且与x轴的一个交点在点（3,0）和（4,0）之间，则下列结论：①b=2a；②c-Q=n；③抛

物线另一个交点（m,0）在一2到一1之间；④当x<0时，a/+（匕+2）x<0；⑤一元二次方程ax?+（/）_l）x+

c=0有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

12.（2023春•湖北随州•九年级校联考阶段练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a=0）的图象经过点（1,2）,

与工轴交点的横坐标分别为修，%2»其中一1<修V0，1<&v2.下列结论：（i）abc>0；@2a+d<0；

③当％=m（1<m<2）时，am2+bm<2-c；@b>1.其中正确的个数有（）

C.3个D.4个

13.（2023•四川成都•统考一模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（aH0）的图像与x轴交于点4（一1,0）,

与y轴的交点4在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线1,下列结论：①就c<0；

②9a+3b+c=0；@4ac-b2<2a：@2b=3a.其中正确的结论是（）

C.①④D.②③

14.（2023•全国•九年级假期作业）如图，二次函数y=a/+加+c的图象关于直线％=1对称，与x轴交

2

于力（勺，0）,8（%2，0）两点，若一2Vxic-1,则下列四个结论：@3<x2<4,②3a+2匕>0,@b>

Q+C+4QC,（4）a>b>c,⑤a（m+l）（m-1）<8（1-m）.正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

15.（2023•安徽蚌埠•校考一模）如图，抛物线y=Q/+bx+c（a工0）的对称轴为直线x=-1,与x轴分

别交于A,B两点，交y轴于点C.现有下列结论：①a+b+c>0：②b?—4-ac>0：③3a+c<0：④a/+

bx+aNO.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

16.（2023•山东青岛•统考一模）如图，是抛物线yi=a/+故+c（a0）图象的一部分，抛物线的顶

点坐标是力（1,3）,与x轴的一个交点8（4,0）,直线丫2=机工+九（m工0）与抛物线交于48两点,

下列结论：①2a+b=0；②抛物线与x轴的另一个交点是（-2,0）；③方程a/+取+。=3有两个

2

相等的实数根；④当时1<x<4,有为<yi；⑤若a%/+bxt=ax2+hx2>且与丰x2；则％i+小=1•则

命题正确的个数为（）

17.（2023春•安徽亳州•九年级专题练习）如图，抛物线y=a%2+b%+c与4轴交于点零一2,0）,8（4,0）,交

y粕的正半轴于点C,对称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,则下列结论:①2a+b=0；®abc>0；③Q+匕>

am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m,n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m=

18.（2023•湖北鄂州•统考二模）三知二次函数、=。炉+/?》+（伍=0）的图象经过点（_1,2）,且与无轴交点

的横坐标分别为%1，不，其中一2cxi<-1,0<无2<1，下列结论：①Q加>0：@2a-d<0；@4（2-

2b+<?<0：④（Q+C）2cb2：⑤〃一4ac>-8a.其中正确结论的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

19.（2023秋•辽宁朝阳•九年级校联考期末）二次函数丫=。/