2025-2026学年人教A版高一数学上学期期末必刷常考题之函数的零点与方程的解

2025-2026学年上学期高一数学人教A版期末必刷常考题之函数

的零点与方程的解

一.选择题(共6小题)

1.设函数/(x)—a(x+1)2,g(x)=|x|+2ox+l,当(-1,1)时，曲线y=/(x)与y=g(x)恰有

一个交点，则a=()

1

A.-1B.-C.1D.2

2

2.已知函数y=/(x)的图象是连续不间断的，且对应关系如下表:

XI1.51.751.8752

y-6-2.625-0.141.342-0.158

则/(x)在口，2]上的零点个数()

A.只有1个B.至少有2个C.至多有2个D.只有2个

3.已知函数=8"+8,(%*。)，若互不相等的实根XI，必X3满足/(XI)=f(X2)=/(X3),

(2x+4,(x<0)

则x|+X2+X3的范围是()

A.(2,8)B.(-8,4)C.(-6,0)D.(-6,8)

4.已知xo是方程2x2e2%/〃x=0的实根，则关于实数xo的判断正确的是()

A.xo>bi2B.x0

x

C.2xo+bixo=OD.2e°+lnx0=0

(|2X-1|,x<2,

5.已知函数/(%)=若函数y=/(x)图象与直线y=〃有且仅有三个不同的交点，则实数

岛3,』

k的取值范围是()

A.k>0B.0<i<lC.0<A-<3D.\<k<3

6.高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个.高斯函

数j=国，其中国表示不超过实数x的最大整数，如[1，8]=1,[-1,9]=-2.若函数y=x-[x]-1+10即

">0,。工1)有且仅有4个零点，则实数。的取值范围为()

A.(3,4]B.(3,4)C.(4,5]D.[4,5)

二.多选题(共3小题)

1

（多选）7.已知函数/•（%）=「-「'x<0,令g（x）=/（y（x））,则下列说法正确的是（）

［-X2+2%,x>0,

A.g（-1）=0

B.方程g（x）=2有3个根

C.方程g（x）=-2的所有根之和为-1

D.当工<0时・，/（X）Wg（x）

（多选）8.已知函数/G）=/-|3X2-3|-〃?，则下列结论正确的有（）

A.f（x）只有1个极小值点

B.y=fCx）在点（3,/（3））处的切线斜率为9

C.当/（x）有3个零点时，阳的取值范围为（-3,1）

D.当/（x）只有I个零点时，机的取值范围为（-8,-3）U（1,+oo）

（多选）9.已知定义在［I,+8）上的函数/（X）满足Vx£［l,+8）,2/'（x）=/（Zv）,且当通［1,2）时，

/（x）=-f+3x-2,则下列结论正确的是（）

A./（4）=0

B.fG）在［6,8］上单调递增

C.若方程/（x）-a=0的实数根从小到大依次记为太，》2,冷，…，且XI+X2=12,则实数〃的取值范

围为（，1）

D.若方程"（x）・2=0在［3,16］上恰有4个实数根，则实数〃的取值范围为（2,4）

三.填空题（共3小题）

10.定义n）=m，m：记/（x）=w/>z||x|-1,x2-ax+2a-3},若/（x）至少有3个零点，

.几，m>n

则实数。的取值范围为.

II.若函数/（X）有两个零点，则实数。的取值范围是.

12.设“ER,已知关于x的方程（x+1）2（x+a）2=/+3存在四个实数根且（.叫+1）（4+1）（与+1）（m+1）

=6（a+1）,则XI+X2+X3+X4=.

四,解答题（共3小题）

13.已知函数/（x）・（w+1）x+wi+l.

（1）若关于x的方程/（x）=0一根大于0,一根小于0,求实数〃，的取值范围；

（2）若关于x的方程/（》）=0有两个大于-1的不等实根，求实数〃?的取值范围.

2

4A

J

£

1

1

5—4一3-2-h°3,i

1

£

J

4A

q

图一图二

(1)在图一的直角坐标系中画出函数/G),g(x)的图象；

(2)VxGR,用M(x)表示J(x),g(x)中的最大者，记为M(x)=niax{f(x),g(x)}.在图二

中画出函数M(x)的图象并写出M(x)的解析式；

(3)若方程M(x)-a=0有两个不同的实根，求实数。的取值范围.

15.已知函数/数)=2+log3X，g(x)=3X.

(1)若F(x)="g(x))・g(/(-x)),求函数/(x)在区间［-2,一聂上的值域；

(2)若"⑴=瑞耳’求”(盛)+〃(薪)+耿盛)+「•+伏勰)的值：

(3)令G(x)=(/(X)-2)2+(4-女)(/(x)-1),已知函数G(x)在区间［1,9］上有零点，求

实数〃的取值范围.

3

2025-2026学年上学期高一数学人教A版(2019)期末必刷常考题之函数

的零点与方程的解

参考答案与试题解析

一.选择题(共6小题)

题号123456

答案CBACBD

二.多选题(共3小题)

题号789

答案ACDBCDACD

一.选择题(共6小题)

1.设函数/G)=a(x+l)2,g(x)=\x\+2ax+\,当(-1,I)时，曲线y=/(x)与y=g(x)恰有

一个交点，则。=()

1

A.-1B.-C.1D.2

2

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算

求解.

【答案】C

【分析】由题意可得。二署，即直线与函数力(x)=黑在(-1,1)上只有一个交点，利

用转化思想、对勾函数及偶函数的性质，作出力(x)的图象，结合图象求解即可.

【解答】解：令/(x)=g(x),

则有a(x+1)2=\x\+2ax+\,

即仇(x+1)2-2x]=|x|+1,

所以a(x2+l)=|x|+L

即户船

由题意可知直线y=a与函数/!(X)=罂•在(-1,1)上只有一个交点，

4

易知力G）为偶函数，

当OWxVl时，h（x）=^1,

令Z=x+l€［l,2）,

tt1

则〃Cr）=9（/）=

由对勾函数的性质可知y=/+1-2在（1,V2）上单调递减，在（鱼，2）上单调递增,

所以（P（/）=高力在口，V2）上单调递增，在（企，2）上单调递减，

又叩（1）=1,（p（V2）=密工

即力（X）在［（）,V2-1）上单调递增，在（鱼T,1）上单调递减，

且力（0）=1,h（V2-1）=^i,

乂因为〃（x）为偶函数，'

【点评】本题考查了函数与方理思想、转化思想及数形结合思想，考查了对勾函数的性质，属于中档题.

2.已知函数y=/（x）的图象是连续不间断的，且对应关系如下表:

XI1.51.751.8752

y-6-2.625-0.141.342-0.158

则/（X）在［1,2］上的零点个数（）

A.只有1个B.至少有2个C.至多有2个D.只有2个

【考点】判定函数零点的存在性.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用：运算求解.

5

【答案】B

【分析】根据题意，运用零点存在性定理进行求解•，即可得到本题的答案.

【解答】解：函数y=/(x)的图象是连续不间断的，且/(1.75)/(1.875)<0,

根据零点存在性定理，可知/(X)在区间(1.75,1.875)上存在至少一个零点，

根据/(1.875)/(2)<0,可知/(x)在区间(1.875,2)上存在至少一个零点，

综上所述，函数/(x)在区间［1,2］上至少存在2个零点.

故选：B.

【点评】本题主要考查了函数的零点存在性定理及其应用，属于基础题.

3.已知函数若互不相等的实根如，X2,刈满足/(Xi)=/(X2)=/(X3)，

则X\+X2+X3的范围是()

A.(2,8)B.(-8,4)C.(-6,0)D.(-6,8)

【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用.

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】先画出函数/(X)的大致图象，由图象可知X2+X3=8,-6<XI<0,进而求出X1+X2+X3的取值

范围.

【解答】解：画出函数/(X)的大致图象，如图所示：

6

，X2+X3=8,

令2x+4=-8,得x=-6,

-6Vxi<0,

，xi+x2+x3的取值范围为：-6+8<XI+X2+X3<0+8,即用+犬2-心€(2,8),

故选：A.

【点评】本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题.

4.已知xo是方程2x2elx+lnx=0的实根，则关于实数xo的判断正确的是()

A.xo>ln2B.x0

x

C.2xo+Mxo=OD.2e°+lnx0=0

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维;

运算求解.

【答案】C

【分析】设g(x)=2x2e2x+lnx,由g(x)=0,可得出2xe〃=一塔=口号>0,可得出(0,1),

人人人

构造新函数/(x)=5x>0,得到/(X)在(0,+8)上为单调递增函数，结合/(2勺)=/(仇白)，

7

可判断C,D；再令h(x)=2x+lnx,xE(0,1),结合零点的存在定理，可判断小B.

【解答】解：设g(x)=2x2elx+lnx,其中x>0,

g(x)=4%+4/e2*+[>0对任意的(0,+°°)恒成立,

则函数g(x)在(0,+8)上为单调递增函数，

因为xo是方程=0的实根，

即刈是y=g<A)在(0,十8)上的唯零点，

由2x2e2x+lnx=O可得2xe2x=——=-ln-,

fXXX

由x>0,可得2x*>0,

所以工伍工>0,In->0,故1>1,

xxxx

从而得出

令/(x)=xex,x>0»

可得了(x)=F+x，=(x+1)2V>(),

所以/(x)在(0,+8)上为单调递增函数，

可得/(2x)=2xelx,f(ln^)=elnxln^=i/ni,

因为实数xo是方程Zv2e2v+//u-=0的实根，

则2xe2XQ=

QXQx0

即/(2%)=〃①:)，

xo

其中xow(0,1),

所以2x0=ZnJ-=-lnxQ,

XQ

即2,VO+//LVO=O,所以C正确，。不正确：

令〃(x)=2x+lnx,xE(0,1),

1

可得hQ)=2+q>0,

所以0(x)在(0,1)上为单调递增函数，

因为九6)=11<0,无(焉)=1+配+=d

即吗)九(靠)<0,

由零点存在定理可得；<而<卷，故A错误；

8

又由仇2>》再=4,且g〈七，

所以刀0</〃2,故力错误.

故选：C.

【点评】本题考查了转化思想、同构思想，考查了导数的综合运用及函数的零点，属于中档题.

(|2X-1|>x<2,

5.已知函数/(%)=若函数y=/(x)图象与直线j，=4有且仅有三个不同的交点，则实数

13””

〃的取值范围是()

A.Q0B.0<K<1C.0<k<3D.l<k<3

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用：运算求解.

【答案】B

【分析】画出函数y=/(x)的图象，结合图象求解即可.

【解答】解：将j=2'的图象向下平移1个单位得到y=2'7,

再将尸2厂1的图象的x轴下方的图象以x轴为对称轴翻转至x轴上方可得到尸|2厂1|,

将y=掾的图象向右平移1个单位得到y=工，

人人JL

(|2X-1|,X<2,

所以/(%)=]3的图象，如图所示:

因为函数y=/(x)图象与直线y=A”有且仅有三个不同的交点,

由图可知，当OVkVl时，满足题意.

故选：B.

【点评】本题考查了函数与方程思想、数形给思想，属于基础题.

6.高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个.高斯函

数卜=卜],其中卜]表示不超过实数X的最大整数，如[1,8]=1,[-1.9]=-2.若函数y=x-[x]-1+logaY

(<7>0,aWl)有且仅有4个零点，则实数。的取值范围为()

9

A.(3,4]B.(3,4)C.(4,5]D.[4,5)

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解：新定

义类.

【答案】D

【分析】根据高斯函数的定义分区间讨论结合对数函数的图象判定即可.

【解答】解：易知函数y=x-[x]-1+logaX的零点即log(K=[小1-X的交点的横坐标，

\—XtX6(0/1)

2-x,xe[1,2)

对于函数y=田+1-%=Y-x,xe[2,3)N*,

K—x,xe[n—1,n)

显然y=[x]+l・x>0,

四个交点应在区间(1,5),

故选：D.

【点评】本题考查了函数的零点、高斯函数的定义及性质，考查了转化思想及数形合思想，属于中档题.

二.多选题(共3小题)

(多选)7.已知函数/。)=『二1'令g(x)=/(/(x)),则下列说法正确的是()

+2%,x>0,

A.g(-1)=0

B.方程g(x)=2有3个根

C.方程g(x)=-2的所有根之和为7

D.当x<0时，/(x)Wg(x)

【考点】函数的零点与方程根的关系：分段函数的应用.

【专题】函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算

10

求解.

【答案】ACD

【分析】由题意知/(-1)=0,可得g(-1)=0从而判断上

令/(x)=〃，因为方程/(〃)=2没有实根，即g(x)=2没有实根，从而判断&

令“=/(》)，则方程g(x)=-2,即/(〃)=-2,通过化简与计算即可判断C；

当xVO时，g(x)=/(A-+1),则将函数/G)在(-8,L)的图象向左平移1个单位长度可得函数g

(x)的图象，即可判断D.

【解答】解：对于4，由题意知/'(-1)=・1+1=0,

则g(・1)=/(/(-1))=f(0)=0,故A正确：

对于B,令f(x)=〃，

则求g(.V)=f(f(x))=2的根，

即求/(〃)=2的根，

当“V0时，则有“+1=2,无解；

当“20时，-“2+2”=2,即，-2〃+2=0,

因为A=-4<0,

所以方程it2-2u+2=0无解，

综上，方程/(〃)=2没有实艰，

所以g(.r)=2没有实根，故“错误：

对于C,令

则方程g(x)=-2,即=-2,

得〃+1=-2,〃<(),解得〃1=-3,

-ir+2u=-2,解得%=1+遮，

由方程/(x)=川，得x+l=-3(x<0)或-.d+2t=-3G20),

解得x=4或x=3,

易知方程/(X)=〃2没有实数根，

所以方程g(x)=-2的所有根之和为-4+3=-1,故C正确；

对于。，当xVO时,g(x)=/(x+l),

则将函数/(x)在(-8,1)的图象向左平移1个单位长度可得函数g(x)的图象，

当xVO时，函数g(x)的图象不在/(工)的图象的下方，故。正确.

11

故选：ACD.

【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，考查了图象的平移，属于中档题.

(多选)8.已知函数/(X)=?-|3?-3|-w,则下列结论正确的有()

A./(x)只有1个极小值点

B.y=f(,r)在点(3,/(3))处的切线斜率为9

C.当/(x)有3个零点时，w的取值范围为(-3,1)

D.当/(x)只有1个零点时，阳的取值范围为(-8,-3)U(1,+oo)

【考点】由函数零点所在区间求解函数或参数.

【专题】分类讨论；函数思想：方程思想；转化思想；数形结合法：综合法：函数的性质及应用：导数

的综合应用：逻辑思维；运算求解.

【答案】BCD

【分析】讨论x的取值范围，通过求导分析函数的单调区间，可判断力，8；

把函数零点问题转化为g(x)=/-I3/-3I的图象与直线y=用的交点个数问题，作出函数图象，数形

结合可判断C,D.

【解答】解：由3/-320,得或xW-1；

由3，-3<0,得-

当或xW-1时，

f(x)=/-3X2+3-m,

则/(x)=3x2-6x=3xCx-2),

所以当x>2或xW-1时，/(x)>0,

当1WXV2时，/(x)VO,

所以/(x)在(-8,-i],(2,+8)上单调递增，在口，2)上单调递减；

当-1VxV1时，/(x)=?+3?-3-/〃，

则/(x)=3X2+6X=3X(X+2),

所以当OVxV1时，，(x)>0,当-1VxVO时，f(x)<0,

12

所以/(x)在(0,1)上单调递增，在(・1,0)上单调递减.

综上得，/(x)在x=0,x=2处取得极小值，

故/(x)有2个极小值点，故/错误；

因为/(3)=3X32-6X3=9,

所以曲线在点(3,f(3))处的切线斜率为9,故4正确；

由/(X)=0,得工3-以2-3|=切，

函数/G)的零点个数问题转化为函数g(x)=--|3/-3|的图象与直线丁=〃?的交点个数问题,

根据函数/(X)单调性分析，作出函数g(x)=/-|3/-3|的图象，如图所示，

由图1可得，当函数g(x)=9-|3/-3|的图象与直线有3个交点时，m的取值范围为(-3,1),

故。正确；

由图2可得，当函数g(x)=/・|3--3］的图象与直线y=阳有1个交点时，”的取值范围为(・8,

-3)U(1,+oo),故Q正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合，考查了导数的综合运用及分类讨论思想，

属于中档题.

(多选)9.已知定义在［1,+8)上的函数/(x)满足炕尤口，+8),2f(x)=/(2x),且当烂口，2)时,

/(x)=-/+3r2,则下列结论正确的是()

A./(4)=0

B./(x)在［6,8］上单调递增

C.若方程/(x)-。=0的实数根从小到大依次记为XI，X2,如，…，且XI+X2=12,则实数〃的取值范

围为(2,1)

D.若方程".(》)-2=0在［3,16］上恰有4个实数根，则实数。的取值范围为(2,4)

【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的单调性.

13

【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维.

【答案】ACD

【分析】对于力，根据"(x)=/⑵)推导即可；

Y3

对于8,[-,2],再结合已知区域的函数关系式即可求解；

*4

对于C,画出函数y=/(x)的图像，结合图像判断与y=/(x)交点的位置，即可求出实数。的

取值范围；

对于。，结合图像判断y=今与》=/'(工)交点的位置，即可求出实数〃的取值范围.

【解答】解：对于选项力,由于Vx€[I,+8),2f(x)=/⑵)，因此/(4)=2/(2)=#(1),

当烂口，2)时，函数/(x)=・X2+3X・2,那么/(I)=・1+3X1-2=0,

所以/(4)=0,因此选项力正确；

对于选项5,根据力知，/(2)=0,因此当叫[1,2]时，函数/G)=-X2+3X-2,

因此由xW[6,8],那么“岁2],故/㈤=22/仔)=4[-1)2+3[—2]=-#+3%-8,

其开口向下，且对称轴为x=6,因此函数/(x)在[6,8]上单调递减，因此选项8错误；

对于选项C,/(x)・。=0的实数根可看作y=/(x)与y=a图象交点的横坐标，

根据题可作出y=/(x)的图象如图所示，

若XI+X2=12,那么X[,X2是y="与y=/(x)在对称轴为x=6对应区间上交点的横坐标，

因为/⑶=2/©2)=去1/(6;=2/(3)=1,所以Q6(91,1),因此选项C正确；

对于选项。，同C分析，若〃■(X)・2=0在[3,16]上有4个实数根，

721

那么函数y=/(x)与、=系的图象有4个交点，由图知石€(5,1),则力的取值范围为(2,4),因此

选项。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查函数零点与方程根的问题，属于中档题.

三.填空题(共3小题)

14

10.定义m出{m,n}=m，m",记/(x)=niin[\x\-1,x2-ax+2a-3},若/(x)至少有3个零点，

.n,m>n

则实数〃的取值范闱为「6,+8).

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】分类讨论；函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑

思维；运算求解.

【答案】[6,+8).

【分析】令g(x)-ax+2a-3,先由题意得到“W2或。26,再结合g(-1)和g(1)的符号分

类讨论得到结果.

【解答】解：函数y=|x|-1的图象与x轴有2个交点(-1,0)和(1,0),

所以函数g(x)=』・or+2a-3的图象和x轴至少有一个交点，

从而A=a2~8a+1220,

解得aW2或口26；

函数g(x)的图象的对称轴为直线x=1开口向上，

设方程g(X)=0的两根分别为XI，X2(X1WX2)，

当aV卷时，g(-1)=3a-2V0,g(1)=〃-2V0,

J

所以-1和1不是函数/(X)的零点，

g(-1)=3。-220,g(1)=a-2V0,

则1不是函数/(x)的零点，

函数/(》)只有2个零点，不符合题意；

15

当心6时，函数g(x)图象的对称轴方程满足"外3且g(1)X),

所以1VX1SX2，函数/(%)至少有3个零点，符合题意.

故答案为：［6,+8).

【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及分类讨论思想，考查了方程思想及数形结合思想，属于中

档题.

11.若函数/(X)有茯个零点，则实数。的取值范围是_(一8,1)_.

【考点】函数零点的判定定理.

【专题】转化思想：综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】(-8,1).

4

【分析】由题意知一元二次方程/-.叶4=0有两个不相等的实数根，利用根的判别式建立。的不等式,

解之即可得到本题的答案.

【解答】解：若/(x)=炉・"。有两个零点，则方程/(X)=0有两个根，

所以关于X的方程F-x+4=0有两个不相等的实数根，

可得A=1・4Q>0,解得a实数。的取值范围是(・8,-).

44

16

故答案为：(-8,1).

4

【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根、一元二次方程根的判别式及其应用，属于基础题.

12.设正R,已知关于x的方程(x+1)2(x+a)2=〃2+3存在匹个实数根且(叫+[)g+l)(制+1)(m+1)

=6(a+1),则X\+X2+X3+XA=4.

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想：方程思想：转化思想：综介法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】4.

【分析】记。=制+1，将问题转化为己知关于i的方程-a-1+。)2=“2+3,且。。3/4=6(。+1),求A+/2+Z3+/4

-4的值.然后利用韦达定理求解可得.

【解答】解：记力=即+1,

则问题转化为：已知关于/的方程及(7-1+a)2=/+3,且门⑵3f4=6(a+1)»求A+/2+/3+/4-4的值.

由户(L1+“)2=由+3,

得£(t—14-a)=±y/a2+3,

t2+(a—l)t+Va24-3=0或/+(a_i)t—Va24-3=0,

不妨设前者的两根为小⑵后者的两根为3/4，

则由韦达定理得h4=Va2+3,t3t4=-Va2+3,

所以/〃2。/4=/a2+3x(-Va2+3)=6(a+1),

即a2+6a+9=0,

解得。=-3,

所以。+段+/3+/4・4=-2(a・1)-4=4.

故答案为：4.

【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及韦达定理的应用，属于中档题.

四.解答题(共3小题)

13.已知函数/(x)=A2-(w+：)x+w+1.

(1)若关于x的方程/a)=0一根大于0,一根小于0,求实数〃，的取值范围；

(2)若关于x的方程/(x)=()有两个大于-1的不等实根，求实数〃?的取值范围.

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】(1)〃怎(-8,-1).

17

3

(2)mG(-2,*—1)U(3,+oo).

【分析】(1)由韦达定可得两根之积〃叶l<0,求解即可；

(2)由△>0及韦达定理求解即可.

【解答】解：(1)由韦达定可得两根之积加+1V0，

解得ni<-1,

故.〃e(-8,-I).

(2)设两根分别为XI，X2，

则有x]+xi=ni+\,xiX2=m+l»且xi>-1,xi>-1»

由题意可得△=(m+l)(m-3)>0,

且KI+1+X2+1=〃?+1+2>0,(XI+I)(X2+1)=(6+l)+w+l-H>0,

解得一1v〃】<-1或m>3,

3

故加£(一3，-1)U(3,+8).

【点评】本题考查了函数与方程思想、韦达定理的应用，属于基础题.

图一图二

(1)在图一的直角坐标系中画出函数_/«),g(x)的图象；

(2)VxGR,MJM(x)表示/'(x),g(x)中的最大者，记为M(x)=niax{f(x),g}.在图二

中画出函数M(x)的图象并写出M(x)的解析式；

(3)若方程M(x)-a=0有两个不同的实根，求实数。的取值范围.

【考点】函数的零点.与方程根的关系；分段函数的解析式求法及其图象的作法.

【专题】作图题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

18

【答案】（1）如图一:

f—x+2,x<i

3

（3）。的范围是I],+8）.

【分析】（1）根据一次函数的图象画法结合对称变换作图即可：

（2）找到两图象的交点，再作图即可；

（3）据图判断即可.

【解答】解：（1）（如图一）一次函数y=x+l的图象是一条直线，过点（0,1）和（-1,0）,

而），=卜-2|的图象，只需画出y=x-2的图象，保留x轴上方部分，将x轴下方部分对称到x上方即可;

⑵联立解得％=产|,即交点为（1,|）,

-x+2x<i

12的图象；

Ix+1,%*

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(3)方程M(x)・。=0有两个不同的实根，即)，=。与y=M(x)有两个交点，

显然当。耳即可，故所求。的范围是岁+8).

【点评】本题考查图象的画法及应用，属于中档题.

15.已知函数/(x)=2+log3x,g(x)=3X.

⑴若/(x)=/(g(x))-g(/(-x)),求函数厂(x)在区间［-2,一以上的值域；

⑵若“⑴=就*'求H(藕)+'(薪)+〃(盛)+••.+〃(!魄)的值；

(3)令G(戈)=(/(x)-2)2+(4-k)(/(x)-1),已知函数G(x)在区间［I,9］上有零点，求

实数k的取值范围.

【考点】由函数零点所在区间求解函数或参数；及合函数的值域.

【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】(1)［0,9］；

(2)1012：

(3)［4,学］.

【分析】(1)求出产(x)的表达式，根据二次函数的性质即可求解；

(2)求出”(x)的表达式，再计算"(x)+H(1-x)的值，分析出规律后即可求解；

(3)求出GG)的表达式，再令r=k)g3x,将G(x)转化为常见的二次函数形式，最后结合分离变量

及对勾函数的单调性即可求解.

x2+,0(X>

【解答】解：⑴F(x)=f(g(x))・g(/(-x)>=(2+log33)•(3«3')

=(2+x)•(-9x)

20

=-9(x+1)2+9,

F(x)为二次函数，对称轴为x=・l,开口向下,

当工日-2,-1)时，函数尸(x)单调递增，

当—一枭时，函数/(x)单调递减；

XF(-1)=5,F(-2)=0：F(-1)=9,

则函数F(x)的最大值为F(-1)=9,函数尸(x)的最小值为F(-2)=0,

所以函数/(x)的值域为［0，9］：

⑵H(x)=悬’

则如)告,

所以〃。)+〃(1一乃=合2X+51Q^1-7X5

3刀3工3.4

-3》+万3/31一4+心)

二3、Q

-3叶873+3x一'

灯bi”,1x,„2024.„2、，”,2023、...3、…〃2022、..,2024.,

所以^^2025^+Hz^2025^=H^z2025^+^^2025)=^^2025)+^^2025)=…=^(2025^+

H(J^)=1，

故"(益亏)十”(吞耳)十”(恚耳)+…十"(瑞3)=1012；

2

(3)G(x)=(log3x)+(4—k)log3x+4-/c,

令r=logxx-,

当尤［1,9］时，/G［0,2］,

则函数G(x)等价于y=p(/)=t2+(4-k)z+4-k,

若函数G(x)在区间［1,9］上有零点，

则等价于y=p(f)=噂(4・k)r+4-左在怎［0,2］上有零点，

即p(/)=?+(4-k)什4-左=0在区间［0,2］上有解,

所以»+4什4-k(1+/)=0在区间［0,2］上有解,

所以k=£^i=l£±n^1ll±l=t+i+』+2,

设〃?=什1,则〃£［1,3］,

则/c=m+士+2,

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因为函数q(m)=m+［+2在区间口，3］上单调递增，

且q(l)=4，q(3)=竽，

即当时，q(m)e［4,竽］,

所以4WkW竽，

所以实数上的取值范围是［4,均.

【点评】本题考查了指数函数、对数函数及对勾函数的性质，考杳函数的零点及转化思想，属于中档题.

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考点卡片

1.复合函数的值域

【知识点的认识】函数值的集合｛/«)I.托㈤叫做函数的值域.力是函数的定义域.

【解题方法点拨】

(I)求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法

等.

无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.

(2)函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些甚本知识相结合的题目.

此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.

在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.

(3)运用函数的值域解决实际府题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析

能力和数学建模能力.

【命题方向】

复合函数的值域是内层函数和外层函数值域的共同部分.复合函数形式如/(g(x)).■分析内层函数g

(x)的值域.

-将内层函数的值域代入外层函数，求出外层函数的值域.

-踪合内层和外层函数的值域，确定复合函数的值域.

求函数y=2l3K的值域..

解：|x-3|20,

则y=2l3-M220=l,

故函数y的值域为［1,+8).

2.分段函数的解析式求法及其图象的作法

【知识点的认识】

分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数.若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可

用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数.已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函

数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题.

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【解题方法点拨】

求解函数解析式的几种常用方法主要有

1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；

2、换无法或配凑法，已知复合函数/［g（x）］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；

3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解/（X）；

另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.分段函数是一类重要的函数模型.解

决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题.

【命题方向】

分表函数是今后高考的热点题型.常考题型为函数值的求解，不等式有关问题，函数的图形相联系的简单

问题.

3.函数的单调性

【知识点的认识】

一般地，设函数/（X）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量XI，X2，

当X1VX2时，都有/（XI）那么就说函数/（x）在区间。上是增函数；当X1VX2时，都有/（XI）

>/（X2）,那么就说函数/（X）在区间。上是减函数.

若函数/（X）在区间。上是增函数或减函数，则称函数/（X）在这一区间具有（严格的）单调性，区间。

叫做y=/（x）的单调区间.【解题方法点拨】

判断函数的单调性.有四种方法：定义法：导数法：函数图象法：基本函数的单调性的应用：复合函数遵

循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法.

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“U”

联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结.

设任意xi,X2£［a,切且xi#x2,那么

①/（%1）一/（戈2）〉0o/,（X）在口，句上是增函数;

xl-x2

<0可（X）在［a,勿上是减函数.

%1一%2

@（xi-X2）［f（xi）-f（X2）在［a,6］上是增函数;

（XI-X2）［/（Xi）-f（X2）］<0«/1（X）在［用0上是减函数.

函数的单调区间，定义求解求解i般包括端点值，导数一般是开区间.

【命题方向】

函数的单调性及单调区间.是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调

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性定义证明考查大题的可能性比较小.从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最

值诃题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单

调性、最值的灵活确定与简单应用，主观