北京某中学2025-2026学年九年级（下）开学考数学试卷（含答案）

2026北京师达中学初三（下）开学考

数学

一、选择题（共16分，每题2分）

1.中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义.下列纹样中，是中心对称图形的是（）

2.实数。力在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（）

ah

i।।।i.11A

-4-3-2-10123

A.a>-3B.\a\>3C.b-a>4D.a+b<0

12

3.如图，在A43c中，AB=AC,ADJ.BC于点、D.若BC=24,cos5=—,则4。的长为()

C.6D.5

4.下列函数中，当x>0时，y的值随着x的值增大而减小的是（)

2

A.y=2xB.y二X2C-尸一D.y=(x-2)

x

5.不透明袋子中装有1个红球和2个黄球，这些小球除颜色外无其他差别.从中随机推出两个小球，恰好

摸出1个红球和1个黄球的概率是（）

12、14

A.-B.一C.—D.-

3399

6.DeepSeek-V3是由中国AI初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的LLM模型,

于2024年12月发布，它具有Mixture-of-Experts架构，总共有671B个参数.这里“B”的含义是

Billion,即IB等于十亿.将671B用科学记数法表示应为（）

A.671xl08B.671x10'°C.6.71x10,°D.6.71x10"

7.如图，等腰直角三角形力8c中，N4BC=90。,B4=BC,将BC绕点8顺时针旋转。（0。<。<90。）,

得到8P，连接CP，过点4作加/_LC尸交CP的延长线于点〃，连接/10，则随着6的增大，NP/1〃的

度数（）

B.减小C.不变D.先增大后减小

ax

8.小明使用图形计算器探究函数y=的图象，他输入了一组。力的值，得到了下面的函数图象,

由学习函数的经验，可以推断出小明输入的。力的值满足（）

A.a>0,h>0B,«>0,Z）<0

C.。<0力>0D.a<0,Zj<0

二、填空题（共16分，每题2分）

9.若J7T5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

10.分解因式：ax2-2ax+a=.

11.若点/（凡〃）在双曲线产三;上，则代数式ab—g的值为.

12.若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0无实数根，则k的取值范围是

13.某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统汁的银杏树苗移植成活的相关数据如下表

所示：

移植棵数。1003006001000700015000

成活的棵数687279535887633713581

成活的频率2（保留小数点后三位）

0.8700.9300.8920.8870.9050.905

a

根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为（精确到0.1）.

14.如图，48是O。的直径，点C,。在。。上，OD1AC,若N8=50。，则/

c

a

15.如图所示的网格是正方形网格，线段绕点力顺时针旋转a（0。<〃<18（）。）后与。O相切，则a的值

为

16.某工厂生产的一种产品由力，8两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有4条流水线

生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）:

零件流水线1流水线2流水线3流水线4

A80907060

B10012011()70

程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换.

（1）如果只开通其中一条流水线，7天最多生产该产品件；

（2）如果4条流水线都开通，7天最多生产该产品件.

三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20题6分，第21—23题，每题5分,

第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）

17.计算：-1+2COS450-X/8-（^4->/2）0.

<3/

3(x-2)<4+x

18.解不等式组：\\+2x

------<x

3

⑼已知2x+I=。，求代数式『，的值.

20.如图，在出力中，NB=2乙4CB,点D在BC上,AD=AB.过点4c分别作8CD4的平行

线交于点E.

（D求证：四边形力力是菱形:

4

(2)若BD=6,tan/BCE=—,求力C的长.

3

21.京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通.通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，

比原来节省了3()分钟.小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27.5千米，如果平

均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是

多少？

22.在平面直角坐标系xOp中，函数y=H+〃左。0)的图象经过点力(1,2)和8(0,-1).

(1)求该函数的表达式；

(2)当x>l时，对于工的每一个值，函数V=x+〃的值小于函数》=h+6(攵工0)的值且大于0,直接

写出〃的取值范围.

23.某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极

参与志愿服务.该校从七、八两个年级中各随机抽取1()名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志

愿服务时长.下面给出了该活动的部分信息.

a.七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图：

知识测评得分/分知识测弹得分/分

I»*I*1I

1

町：……::……so?……i……：f

711.........T....1.....：70....................:

M...>……1.....3.....i60....4……T……W....1

50-…………-：....：..彳50.....；....彳..:..1

40....：•....J....\.....W40....：.....•：.....W.....；

30....：.....-：....，.....i30.....：.....•：.....，.....[

—:::：1'；；:::.

0123大于3志总果务时长/小时0123大于3志愚收分时同小时

七年级八年级

b.学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表：

每周志愿服务时长/小时123大于3

志愿服务得分/分60708090

c.每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学刍可获得“北

京小使者”奖章.

根据以上信息，回答下列问题：

(1)在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为〃乙，加2,

则叫_____〃?2,记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为§3尺，则s：_____S；(填“>”“V”

或“="):

(2)某年级所抽取的1()名学生的综合得分频数分布直方图如下(数据分6组：第1组120Wx<130,第

2组13()Wx<14(),第3组14()«x<15(),第4组15()Kx<160,第5组160vx<170,第6组

170<x<180)：

②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第____组;

（3）该校七年级有120名学生，八年级有1（）0名学生.若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可

获得“北京小使者”奖章的学生总人数为

点C,。在。。上，平分/4OC.

延长QO交。。于点连接CE交于点尸，过点8作的切线交QE的延长线于点P.若

——OF—j5PE-l,求。。半径的长.

BF6

25.乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号.发球机成为

乒乓球爱好者的热门训练器.如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长。8为274cm,球网CQ高

15.25cm.发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行孰迹近似为抛物线的一

部分.

B

()C

某次训练，发球机从球台边缘O点正上方28.75cm的高度/处发球（即。4的长为28.75cm）,乒乓球

到球台的竖直高度记为V（单位：cm）,乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）,测得兀组数据如下:

根据以上数据，解决卜.列问题:

水平距离x/cm0105090130170230

竖直高度>/cm28.75334549n330

（1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是____cm,表格中〃的值为；

（2）求出满足条件的函数表达式；

（3）若发球机的发球高度增加15cm,其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后____落到对

面球台上（填“能”或“不能”）.

26.在平面直角坐标系xQp中，已知抛物线y=-2QX+Q-4（Qw0）.

（1）求抛物线》二。/一2〃二+。-4的顶点坐标；

（2）当一14x45时，V的最大值为12；

①请求出。的值：

②若力（团,必），4（〃7+r,y2）是抛物线上两点，其中f>0,记抛物线在力，8之间的部分为图象G（包

含,4,8两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为4,直接写出Z的取值范围.

27.如图，在放△ABC中，/ABC=90/,AB=BC,D为包ABC内一点、,/力。8=90。，其中

45°<ZABD<90°,将线段3。绕点8顺时针旋转90。得到线段8E,连接CE,作直线交/C于点

F，

（1）求/C£5的度数：

（2）用等式表示力厂与C户的数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系xOy中，对于出力8。与。。，给出如下定义：若cfe/fAC与。。有且只有两个公共

点，其中一个公共点为点力，另一个公共点在边8。上（不与点8,C重合），则称出/8C为。。的“点

（1）如图，。。的半径为1,点。（0,2）.ZVi。。为。。的“点片关联三角形”.

正］

①在耳(-1,0)，2rv2

~T9~T这两个点中，点/可以与点重合:

②点力的横坐标的最小值为

（2）OO的半径为1,点4（1,0）,点8是N轴负半轴上的一个动点，点。在》轴下方，是等边三

角形，.且出力8。为。。的“点力关联三角形”.设点C的横坐标为〃?，求〃?的取值范围;

（3）O。的半径为，直线歹=》与。。在第一象限的交点为,4,点。（4,0）.若平面直角坐标系中

存在点5,使得出力3C是等腰直角三角形，且cfe/lBC为。。的“点4关联三角形”，直接写11，•的取值

范围.

参考答案

一、选择题（共16分，每题2分）

题号12345678

答案AADCBDCA

二、填空题（共16分，每题2分）

9.x>-2

10.a(x-l)2

11.—5

12.k>l.

13.0.9

14.65°

15.60°或120°

16.①.360②.1250

三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20题6分，第21—23题，每题5分,

第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）

17.解：原式=3+2x^--272-1

2

=2-5/2•

3（x-2）＜4+x®

解不等式①得x«5；

解不等式②得x〉l；

・•・该不等式组的解集为1<xW5.

19.解：由2x+y-3=0得，2x+y=3,

2卜-2")+3)，

4x2-y2

2x-4y+3y

(2x+^)(2x-y)

2x-y

~(2x+y)(2x-y)

1

'2x+y

将2工+歹=3代入上式得,

原式=;.

20.(1)证明：•.•4O〃CE,AE//DC,

・•・四边形4?。£是平行四边形，

•:AB=AD，

;.2B=/ADB,

•;NB=2ZACB,

：ZDB=2/ACB,

••・ADAC=ZADB-/ACB=NACB,

DA=DC，

・•・四边形是菱形；

(2)解：如图，过点力作/b13C于点尸，

AB=AD,AFJ.BC,且8。=6，

ABF=FD=-8D=3,

2

VAD//EC，

・•・NADF=ZECB,

4

二.tan/.ADF=tanZ.ECB=—,

3

•••/AFD=90°,

AF4

••,一—_9

DF3

，,4尸=4,

在中，由勾股定理得//)=，力b2+即2=:4?+32=5,

,/DA=DC,

CD—5，

:.CF=FD+DC=3+5=S,

在RtZX//7。中，由勾股定理得/c==J4+G=4亚.

21.解：设通车前小东爸爸驾车去维安新区出差的路程为x千米，则通车后小东爸爸驾车去雄安新区出差的

路程为(x-27.5)千米，

x-27.5x,,

=17

山题意得：1[30-------,

60

解得：x=133.5,

・上=些

:30।1,

1+——14--

602

答：通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时.

22.(1)解：将点力(1,2)和8(0,7)代入.”="+力(左。0)得，

k+b=2

\b=-\

[k=3

解得，

[D=-1

/.v=3x-1；

(2)解：当x=l时，=3-1=2,

在平面直角坐标系中画出直线y=3x-1和满足条件的直线，=工+n,如图:

•・•当x>l时，对于％的每一个值，函数V=x+〃的值小于函数〉="+6(4工0)的值,

.••当y=x+〃经过(1,2)时满足题意，

1+7?=2>

解得〃=1,

•・•当%>1时，对于％的每一个值，函数y=x+〃的值大于o,

・•・当歹=x+〃过点(1,0)时满足题意，

/.1+/?=0>

解得〃二一1,

综上，满足条件的〃的取值为-1W〃W1.

23.(1)解：根据统计图，可列出“七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长”的统计表如下:

时长123大于3

七年级5113

八年级2332

七年级10名学生每周志愿服务时长的中位数为上2=1.5

2

八年级10名学生每周志愿服务时长的中位数为2+签3=2.5,

记:、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，叫、m?.叫<叫,

七年级10名学生的知识测评得分分别为52,62,65,65,75,79,81,82,82,92,

七年级10名学生的知识测评得分的平均数为

丁(52+62+65+65+75+79+81+82+82+92)=73.5(分),

七年级10名学生的知识测评得分为方差为

—[(52-73.5『+@_73.5)2+(65-73.5)2+(65-73.5j+(75-73.5f+

2

(79-73.5)2+(8i_73.5)2+(82-73.5)+(82-73.5丫+(92-73.5)[=131.45

八年级10名学生的知识测评得分分别为61,63,69,73,73,78,78,81,82,87,

八年级10名学生的知识测评得分的平均数为

5(61+63+69+73+73+78+78+81+82+87)=74.5(分),

八年级10名学生的知识测评得分的方差为

-1[(61-74.5)2+(63-74.5)2+(69-74.5[+(73-74.5f+(73-74.5J

4-

10

(78-74.5)2+(78-74.5『+(81-74.5)2+(82-74.5f+^7-74.5f]=62.85

记：、八年级学生知识测评得分的方差分别为S：、S；,

S；>S；,

故答案为：V,＞；

(2)解：七年级10名学生的知识测评综合得分分别为112,122,125,135,165,139,171,142,172,

172,

组ll()<x<12(120vx<13(130<x<14(140<x<15(150<x<16(160<x<17C170vx<18(

别

学

生1221013

数

八年级10名学生的知识测评综合得分分别为121,133,129,153,163,148,158,171,162,157,

组

120<x<130130Vx<140140<x<150150<x<160160<x<170170Kx<180

别

学

生211321

数

表格数据与八年级学生的知识测评综合得分符合，

••・该频数分布直方图反映的是八年级的学生得分情况；

②该年级知识测评得分最高的学生其得分是87分，综合得分是157分，位于第4组；

故答案为：①八，②4；

（3）解；综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章，该校七年级有120名学生，八年级有

100名学生，被抽取的学生中七年级可获得“北京小使者”奖章的有4人，八年级有3人，

・•・估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为

43

120x—+100x—=78（人）。

1010

故答案为：78.

24.（1）证明：•・•OD平分ZAOC,

・••乙AOC=2乙AOD,

又7/AOC=2/B,

・•・£AOD=NB,

・•・OD//BCx

（2）解：如图所示,

设。b=5x,4"=6x,则。8=。/+8/=15=。。=。后，

•・,OD//BC,

:.QFEs4BFC,AOBC=4P0B,

,OEOF5

••_—―,

BCBF6

,llx5

••二,

BC6

解得8C=W，

取3C的中点M,连接OM,

33T

贝—,

5

,：OB=OC、

・•・OMIBC,

cBM3

/.cosZ.OBM=-----=—,

OB5

3

/.cosZ.POB=—,

5

•••尸8是。。的切线，

・•・OB1PB,

OBOB

/.cosZ.POB=—==

5OPOE+PE0B+\

解得。8=2

2

3

・•・0。的半径长为一.

2

25.(1)解：•・•当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为230cm,

・••当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是230cm:

•・•当x=10和当x=170时的函数值相同，

・••对称轴为直线x=lfU170=90,

•••当x=13()时的函数值与当x=9°X2T30=5。的函数值相同,

2

:.〃二45：

(2)解:设歹二。(工一90『+49,

把(230,0)代入V=〃(X-90)2+49中得0=〃(230-90『+49.

解得〃二一」7

400

・••满足条件的函数表达式为丁二—焉（x—90『+49：

（3）解：当发球机的发球高度增加15cm时，则此时抛物线解析式为

1(X-90)2+49+15=-^-(X-90)2+64,

y=------

400

在了二—击（x—90『+64中，当歹=—击a—go）?+64=0时,

解得x=250或x=-70,

250cm<274cm,

•••乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上.

26.(1)解：Vy=ax1-2ax+fl-4=^(x-l)"-4,

・•・顶点坐标为（1,-4）；

（2）解：①若。<0,当-1工工45时，，的最大值为顶点纵坐标-4,不符合题意；

若a>0,此时抛物线开口向匕且距离对称轴越远的点的纵坐标越大，对称轴为直线x=l,

Vl-（-l）=2,5-1=4,且4>2,

・•・当x=5时，卜=12,

即“5—1）2—4=12,

解得a=\\

②由①可得抛物线解析式为y=f-2x-3=（工一1『一4,

顶点坐标为（1,-4）,

J一2m一3）,+2mt+t2-2m-2t-3^,

当图象G不包含顶点,机>1时，『+2（〃z-1）E=4,

・・•〃一金

2t

.4-/2

>0,

2/

*//>0,

.\0</<2；

当图象G不包含顶点，〃7+f〈l时，「+2（〃7-1）/二-4,

-4-/2

ni-\=

2/

.一4"

*>•----=77?-1<-/»

2t

*//>0,

A0</<2；

当图象G包含顶点，加+Z21,<1,〃7+/-121-加时，tn2+2mt+/2-2m-2r-3-(-4)=4,

2(/7?+/)-3=0,

/.(m+/-3)(〃?+/+1)=0,

工〃?+/=3或〃?+/=-1(舍去)，即〃？=3—,

,//??<1,1>1-m,

/.〃zW1,2m+/-2>0,

・13-Z《l,2(3-/)+/-220,

/.2</<4；

当图象G包含顶点，7/7+/>1»w1,1一阳+时，〃尸一2阳一3-(-4)=4,

:、(w-3)(m+l)=0,

，加=3(舍去)或〃7=—1,

*//??4-/>1»1-/??>7774-/-1>

.,./??+/>1,2m+/-2<0»

—14-/21,-2+/—2工0,

/.2<r<4；

综上，0<，W4.

27.(1)解：•・•将线段BD绕点3顺时针旋转90°得到线段BE,

・•・Z.ABC=/DBE=90°,BD=BE,

工AABC-Z.DBC=/DBE-NDBC，

即4BD=/CBE,

•・•BA=BC,

：.△JZ?D^ACZ?Z;(SAS),

・"ADB=/CEB=9M

(2)解：AF=CF,理由如下：

过点C作C〃_LCE交EF于点”，

C

HD

E

AB

在RaDBE中，DB=BEyDDBE=90°,

.•・/BED=ZBDE=45。,

•••"DB=/CEB=900,

：,DADF=DCEH=90°-45°=45°,

*/CHICE,

:,tECH=90%

/./CHE=90。一/CEH=45°.

:,CE=CH,

•・•"BD知CBE(SAS),

：・4D=CE,

・•・AD=CH,

又♦:QlDF”HF45靶47)=CFH,

：.AADFWCHF缶咐,

・•・AF=CF.

28.(1)解：①当点力与点片(-1,0)重合时，连接［C与圆相交，而OC也与圆相交，这样△力。。就与

圆有三个交点，所以不符合“点/关联三角形”的定义；

过C作。。的切线CW,交。。于"，连接OM,如图，

•*,CM=V22—I2=E»

x2+y2=\

设M(xj)，则｛7z.2

X2+(^-2)-=(X/3)

X=——X=-----

解得2或《2

11

y=—y=—

22

当-近W立时，线段C”与。0有唯一交点，

22

・•6/加/石

222

fV2夜］

・•・当点力与鸟—重合时，△力。。为。。的“点力关联三角形”；

\/

②由①得一由4x4立，

22

・••点A的横坐标的最小值为-近：

•・・(fe/BC为。。的“点/关联三角形”，

・•・