高中数学人教A版必修2例题、课后习题及变式题-空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.1平面

练习

1.判断下列命题是否正确，正确的画7”,错误的画“x”.

（1）书桌面是平面.

（2）平面。与平面々相交，它们只有有限个公共点.

（3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.

【答案】（1）x；（2）x；（3）（

【解析】

【分析】

根据平面性质可知（1）错误，根据公理2知（2）错误，根据公理3可判断（3）正

确.

【详解】（1）由平面性质知，平面具有无限延展性，所以桌面只是平面一部分，不

是平面；（2）根据公理2可知，若两个平面有一个共点，则有过该点的唯一交线，

可知有无限个公共点，且在一条直线上，故判断错误；根据公理3,不共线的三个

点确定一个平面，因此两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，正

确.

【点睛】本题主要考查了平面的基本性质，属于容易题.

2.下列命题正确的是（）

A.三点确定一个平面B,一条直线和一个点确定一个平面

C.梯形可确定一个平面D.圆心和圆上两点确定一个平面

【答案】C

【解析】

【分析】根据公理2对选项逐一分析，由此确定正价选项.

【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.

对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.

对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平

行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.

对于D诜项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上一的两点在直径上，则

无法确定一个平面.所以D选项错误.

故选：C

【点睛】本小题主要考查公理.2的理解和运用，属于基础题.

3.不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论.

【答案】4个

【解析】

【分析】

画出空间四边形，可以得到确定的平面个数.

【详解】可确定4个平面，

如图：

由不共线的三个点确定一个平面可知，

不共线的四个点可确定平面Z8C,平面ZCQ,平面力5。,平面BCD,共4个平面.

【点睛】本题主要考查了不共线的三个点确定一个平面，属于容易题.

4.用符号表示下列语句，并画出相应的图形：

(1)点A在平面a内，点B在平面。外：

(2)直线。经过平面。外的一点

(3)直线。既在平面。内，又在平面£内.

【答案】(1)Awa,Bea,如图.(2)Mea,如图.(3)aua,auB,

如图.

【解析】

【分析】

根据点线面的关系，借用集合符号，表示即可.

【详解】（1）Asa,Bwa,

如图:

(3)aua,〃u夕或aCl夕=a,

如图:

【点睛】本题主要考查了空间几何中的符号语言，属于容易题.

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系

例1：如图8.4-16,用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.

分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.

解：在(1)中，aC。=I,=A,ac。=B.

在(2)中，«0/?=/,aua,bu/3,a[}l=P,bfV=P，a[}b=P.

例2：如图8.4-17,ABca=B,A'iafaua,8£a.直线43与a具有怎样的位置

关系？为什么？

解：直线48与a是异面直线.理由如下.

若直线48与直线。不是界面直线，则它们相交或平行.设它们确定的平面为£,则8£4，

au4.由于经过点B与直线〃有且仅有一个平面a,因此平面a与。重合，从而45ua,

进而这与力ia矛盾.所以直线48与a是异面直线.

练习

5.如果两条直线。与b没有公共点，那么。与6

A.共面B.平行C,异面D.平行或异面

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间中直线与直线的位置关系的定义即可判断出直线。与力的位置关

系.

【详解】如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，则。与人平行或异

面.

故选：D.

【点睛】本题考查空间中两直线位置关系的判断，属于基础题.

6.设直线力分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则。与力（）

A.平行B.相交

C.是异面直线D,可能相交，也可能是异面直线

【答案】D

【解析】

【分析】

按直线的三种位置关系分析.

【详解】如图，长方体中,

当/Z所在直线为。，8C所在直线为h时，。与b相交；

当/Z所在直线为。，8'。所在直线为人时，。与方异面.

故选：D.

【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题.

7.如图，在长方体/BCO-WB'C'。'中，判定直线48与4C,直线/C与4C',

直线H8与4C,直线与C7)的位置关系.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

按直接的三种位置关系判断.

【详解】解：直线与力C相交；直线4C与平行；直线48与4C异面；直

线08与CQ异面.

【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题.

8.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画错误的画“x”.

(1)若直线/上有无数个点不在平面。内，则〃/a.()

(2)若直线/与平面。平行，则/与平面。内的任意一条直线都平行.()

(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.

()

(4)若直线/与平面a平行，则/与平面。内的任意一条直线都没有公共点.(

【答案】(1)x(2)x(3)x(4)Y

【解析】

【分析】

(1)举反例说明；

(2)分析三种位置关系的可能性.由线面平行的性质定理得平行线，平面内与这平

行相交的直线，与平面外的那条直线异面；

(3)把与平行平行的直线平移，观察与平面的位置关系；

(4)由线面平行的定义判断.

【详解】(1)当直线1与平面”相交时，直线1上也有无数个点不在平面a内；

(2)也可能异面；

(3)也可能直线在平面内；

(4)与。没有公共点，与。内任意一条直线都没有公共点.

答案：(1)x(2)x(3)x(4)4

【点睛】本题考查线面平行的定义与性质.掌握线面平行的定义是解题基础.

9.已知直线。力,平面见/，且Qua,bufhalip.判断直线。力的位置关系,

并说明理由.

【答案】它们是平行直线或异面直线：答案见解析.

【解析】

【分析】利用反证法，根据两条直线交点的个数，可判断其位粗关系；

【详解】直线。力的位置关系是平行直线或异面直线；

理由如下：由a/勿，直线a,b分别在平面a,0内,

可知直线。力没有公共点.

因为若6有公共点，那么这个点也是平面a,£的公共点，

这与是平面a,6平行矛盾.

因此直线〃力不相交，它们是平行直线或异面直线.

习题8.4

复习巩固

10.画出满足下列条件的图形：

(1)aua/ua,acb=4cca=4；

(2)acp=l,ABua,CDuP,ABIil,CD

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由题意直接画图即可.

【详解】如图

【点睛】本题主耍考查的是空间图形的画法,直线和平面的位置关系.基本知识的

考查，是基础题.

11.经过同一条直线上的3个点的平面

A.有且只有一个B.有且只有3个

C.有无数多个D.不存在

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面的性质，直接判定即可得出结果.

【详解】经过一条直线可以作无数多个平面.

故选：C.

【点睛】本题主要考杳11线确定平面的数量，熟记基础题型.

12.若直线。不平行于平面4且。0夕，则下列结论成立的是

A.平面。内的所有直线与。异面

B.平面。内不存在与。平行的直线

C.平面a内存在唯一的直线与。平行

D.平面。内的直线与。都相交

【答案】B

【解析】

【分析】

山题意知直线。与平面。相交，依次判断选项即可.

【详解】解:山条件知直线。与平面a相交，

则平面a内的直线与。可能相交，也可能异面.不可能平行

故选:B.

【点睛】本题考查判断直线与平面相交，属于基础题.

13.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画y”，错误的画口”

（1）两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.（）

（2）四边形可以确定一个平面.（）

（3）若。，b是两条直线，％夕是两个平面，且aua,6u/?,则〃，b是异面直线.

（）

【答案】①Z②.X③.X

【解析】

【分析】

根据空间中的平面公理与推理，以及异面直线的定义，对命题进行判断即可.

【详解】对于（1）,两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,如三角形所在的三边

确定一个平面，（1）正确；

对于（2）,当四边形是空间四边形时不能确定一个平面，（2）错误；

对于（3）,若mb是两条直线，。，尸是两个平面，且。ua,〃u/7,则小b是平行、

相交、异面直线，（3）错误.

【点睹】本题主要考查的是平面公理与推论的应用诃题以及异面直线的判定，是基

础题.

14.填空题

（1）如果。、b是异面直线，直线。与。、6都相交，那么这三条直线中的两条所

确定的平面共有个：

（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位

置关系是;

（3）已知两条相交直线。、b,且。〃平面则人与。的位置关系是.

【答案】①.2②.直线平行于平面或直线在平面内③.b/la或b与a

相交

【解析】

【分析】（1）根据两相交直线可确定一个平面可得解；

（2）利用图形可判断直线与平面的位置关系；

（3）利用图形可判断b与。的位置关系.

【详解】（1）因为。、A是异面直线，直线。与。、6都相交，则。与。、c与b可分

别确定一个平面，

故这三条直线中的两条所确定的平面共有2个；

（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线在这个平面内或这

条直线与平面平行，如下图所示：

已知a/〃?，alia,则〃//（如图1）,aup（如图2）.

如图3所示，可知〃/。，如图4所示，力与a相交.

故答案为：（1）2：（2）直线与平面平行或直线在平面内：（3）R/a或b与。相交.

15.正方体各面所在平面将空间分成几部分？

【答案】27个部分

【解析】

【分析】

根据题意画出图形即可得出答案.

如图，图中画出了正方体最上层把空间分成9个部分，

同理中层、下层也分别把空间分成9个部分，

因此共将空间分成27个部分.

【点睛】本题主要考查的是平面基本性质，正确理解确定平面的儿个公理及由题意

画出图形且有较强的空间想象能力是解题的关键，是中档题.

综合运用

16.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗？请说说你的理

由.

【答案】共面，理由见解析

【解析】

【分析】

先说明两条平行直线确定一个平面，再证第三条直线在这个平面内即可.

【详解】共面.

•••两条平行直线确定唯一的平面，

又第三条直线与两条平行直线都相交，

，第三条直线有两个点在此平面内，

则第三条直线也在这个平面内，

所以这三条直线共面.

【点睛】本题主要考查的线共面的判定，以及学生对平面基本性质的理解和应用，

是基础题.

17.如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定

几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？

【答案】三条直线两两平行且不共面，一共可以确定三个平面；如果三条直线相交

于一点，则最多可以确定三个平面.

【解析】

【分析】

这三条直线象三棱柱的三条侧棱根据平面的基本性质可以确定3个平面，得到结果;

满足相交于一点的三条直线能够确定一个平面或三个平面，从而得出其最多可以确

定几个平面.

【详解】①三条直线两两平行，这三条直线象三棱柱的三条侧楂，其中每两条宜线

可以确定一个平面，则可以确定3个平面；

②三条直线两两相交每两条确定一个平面，当这三条直线在同一个平面时则可以确

定1个平面；当这三条直线不在同一个平面时，则可以确定3个平面；

这三条直线能够确定一个平面或三个平面，最多可以确定3个平面.

【点睛】本题考查查平面的基本性质及其应用，考查进行简单的合情推理，本题是

一个推论应用问题，是一个基础题.

18.已知△48C在平面a外，其三边所在的直线满足N8na=P,BCCa=Q,ACQa

=R,如图所示，求证：P,Q,R三点共线.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】推导出P,Q,/?都在平面48。与平面a的交线上，即可证明.

【详解】证明：法一：・・・48八a=产，

：・PGAB,尸£平面a.

又力BU平面4BC,・・・尸£平面48c.

・•・由基本事实3可知：点尸在平面4与平面a的交线上，同理可证0,R也在平

面45C与平面a的交线上.

:,P,0,R三点共线.

法二：・；4PCUR=4,

・•・直线AP与直线AR确定平面APR.

又・・・480。=尸，4Cna=R,

・二平面4P/?n平面

平面4PR,C£平面片PH,.・・8CU平面力PR.

9

：Q^BCf平面又:.QWPR,

:,P,Q>R三点共线.

拓广探索

19.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在48,CD,EF,

G〃这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？

【答案】直线跖和直线“G,直线"和直线”G,直线/"和直线CD

【解析】

【分析】

首先将正方体的展开图还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平

面内不经过该点的直线是异面直线，进行判断.

AD

E

还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不进过该点的直

线是异面直线可得，

AB,CD,EF,G”这四条线段所在直线是异面直线为：

直线和直线〃G,直线48和直线〃G,直线和直线CD

【点睛】本题考查的是异面直线的判定，将正方体的展开图还原成正方体，再利用

异面直线的判定定理判断是解题的关键，是基础题.

20.在本节，我们学习了平面，了解了它的基本特征以及一些利用点、直线、平面

等组成立体图形的基本元素刻画这些特征的方法，类似地，直线有什么基本特征？

如何刻画直线的这些基本特征？

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】写出直线的特点：直的，无限延伸，无粗细，不可以测量长度，再指出直

线的对称性即可.

【详解】直线的基本特征：直线是宜的，没有粗细，没有端点，可以向两端无线延

展、不可以测量长度；

刻画直线的基本特征：直线是轴对称图形，它有无数条对称轴，直线本身以及与它

垂直的直线都是它的对称轴.

变式练习题

21.如图，在空间四边形43CQ中，E,b分别为.44,8C的中点，点G,〃分

别在边C。，1上，且满足CG=，G。，。“二2”4.求证：四边形E尸G”为梯形.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】利用条件证明互相平行，且不相等即可证得四边形为梯形.

【详解】证明：因为E,尸分别为43,8c的中点，

所以所||24C.

-2

,DH2DG2

又而丁宝"T'

所以黑=空，从而〃GI1，C,

HAGC=3

所以EF〃HG旦EF丰HG,

故四边形E/G〃为梯形.

22.在正方体/BCDdiBiGOi中，P,Q,M,N分别为力D,AB,C\D\,B\C\

的中点.求证：AiP〃CN,A\Q〃CM,且乙以|0=NMCN.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质及等角定理，即可得到答案；

【详解】证明：如图，取小片的中点K,连接8K,KM.易知四边形MK8C为平行

四边形，所以CM〃BK.

因为4K〃3。且4K=30,

所以四边形4K80为平行四边形,

从而40〃8K.

山基本事实4有40〃CW.

同理可证小P〃CM

因为乙玄1。与NA/CN对应边分别平行，且方向相反，

所以N为iQ=N〃CN.

23.如图，尸是△/I8C所在平面外一点，D,E分别是△以3和△PBC的重心.求证:

E,A,。四点共面且。£=；力仁

P

B

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】如图，连接PD,PE并延长，分别交力8,BC于点、M,M连接A/M

2

证明。E〃MV且。E=：MN,原题即得证.

【详解】证明：如图，连接P。，并延长，分别交力8,BC于点、M,N,

P

B

因为。，E分别是△必以△P8C的重心，所以M,N分别是48,3c的中点,

连接MM贝U〃彳C且A/N=；4C.

pnPE

在△PMN中，因为匕=匕=42,

PMPN3

2

所以DE//MN且DE=-MN.

011

所以DE//AC且DE=7X-AC=-AC.

323

则。，E,A,。四点共面.

24.如图，在四面体力BCQ中，E,G分别为BC,48的中点，点F在CO上，点

“在片。上，且有。厂：/。=1：3,ZW：44=1：3.求证：ERGH,BD交于一

点.

【解析】

【分析】利用基本事实4和基本事实2可证三线共点.

【详解】证明连接GE,HF.

因为邑G分别为BC,48中点，所以GE〃1/C.

2

因为"C=l：3,DH：HA=\：3,所以

3

从而GE〃HF且GE，HF,故G,E,凡〃四点共面且四边形QHG为梯形,

因为比r与G〃不能平行，设EFCGH=O,则平面力80,。£平面BCD

而平面43Z)n平面所以EEGH,8。交于一点.

25.在长方体18。。一48©2中，

AH

（1）直线48与直线的位置关系是；

（2）直线48与直线4。的位置关系是；

（3）直线与直线0C的位置关系是；

（4）直线与直线BC的位置关系是.

【答案】①.平行.②.异面.③.相交.