重庆市合川中学2025-2026学年高二上学期期末模拟考试数学试题

度上期高二期末模拟考试数学试题考试时间：分钟；一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.1.已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据计算即可.【详解】由题意可得直线l的斜率.故选：D2.双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】化为双曲线的标准方程，再结合渐近线公式，即可求出结果【详解】双曲线的标准方程是.则.渐近线方程是.故选：D.3.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（）A.相交B.内含C.内切D.外切【答案】B【解析】【分析】根据圆心距与两半径之间的关系判断即得.第1页/共20页

【详解】由得，故的圆心为，半径为，由得，故的圆心为，半径为，圆心距为，因，故圆与圆的位置关系是内含，故选：B4.已知数列满足，且，则（）A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意得到数列周期性，进而直接求解.，，，依次类推：.所以.故选：C5.已知椭圆的一个焦点是相交于点，，的面积是，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设直线方程，联立直线与椭圆，根据的面积求出，第2页/共20页

利用弦长公式求出弦长.【详解】如图：由题，不妨设，直线斜率存在，设直线方程，联立，，，解得，故，故选：D.6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，平面，且，若，，，则（）A.B.第3页/共20页

C.D.【答案】C【解析】【分析】运用空间向量的加减运算，把已知向量用空间中一组基底表示.【详解】，，所以．故选：C7.已知直线l与焦点为F的抛物线相交于MN的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（）A.B.C.3D.【答案】A【解析】【分析】如图，利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解.【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，如图，因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为，在中，由余弦定理得，第4页/共20页

所以，又，所以（当且仅当所以，即最小值为．故选：A．【点睛】思路点睛：解决本题的思路是利用余弦定理的应用得出，结合分析即可求解.8.函数的导函数满足的解集是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】利用单调性求解不等式即得.【详解】令函数，而，求导得，因此函数在R上单调递增，由，得，不等式，解得，所以不等式的解集是.故选：A【点睛】思路点睛：对于含有导函数不等式的问题，在求解过程中一般要通过构造函数来解决，构造时要结合题中的条件，再判断出所构造的函数的单调性，借助单调性求解.第5页/共20页

3个小题，每小题6分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线．则下列说法中正确的是（）A.若，则是单位圆B.若，则是焦点在轴上的椭圆C.若，则是平行于轴的两条直线D.若，则是双曲线且渐近线方程为【答案】ABD【解析】【分析】根据的取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可.【详解】对于A时，：，表示以为圆心，以1为半径的单位圆，故A正确；对于B：当时，，，曲线：，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；对于C：当，，曲线：或，表示平行于轴的两条直线，故C错误；对于D时，：，表示焦点在轴上的双曲线，且其渐进性方程为：，故D正确.故选：ABD10.若函数，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A.在与处的瞬时增长率相同第6页/共20页

B.在上不单调C.可能为奇函数D.【答案】ACD【解析】【分析】根据给定的导函数图象及性质，结合瞬时增长率、单调性判断ABC上的单调性质确定在上的凹凸性判断D.【详解】对于A，由函数的导函数为偶函数，得，因此在与处的瞬时增长率相同，A正确；对于B，当时，，因此在上单调递减，B错误；对于C，函数的导函数符合给定图象，函数是奇函数，C正确；对于D，当时，且函数在上单调递增，则函数在上为凹函数，因此，即，D正确.如图，在凹函数定义域内，观察图象得.故选：ACD如图，在棱长为6的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（）第7页/共20页

A.三棱锥体积为定值B.存在点，使平面平面C.设直线与平面所成角为，则最小值为D.平面截正方体所得截面的面积为【答案】ACD【解析】【分析】选项A：由等体积变换可得，可判断；选项B断；选项C：根据空间向量法表示线面角，可得，进而可得；选项D：先做出平面截正方体所得截面，根据线面关系可得截面的面积.【详解】选项A：，故A正确；选项B：第8页/共20页

如图建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，则，则，，设，故，则,由，得，不合题意，故B错误；选项C：平面的法向量为，则，，当时，取最小值为，故C正确；选项D：如图，直线分别交的延长线于点，第9页/共20页

连接交于，连接交于，连接，由题意可知五边形即为平面截正方体所得截面，因，分别为棱，的中点，，，，得，由正方体性质可知，，故所求截面面积为，由选项可知，，，故，，故，，，故所求截面面积为，故D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项的关键是先根据空间点线面的关系做出截面，进而由线面关系可求面积.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共分.12.若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离最大值为_________．【答案】【解析】【分析】根据圆心到直线距离求圆上点到直线距离的最大值即可.【详解】由题意，圆心坐标且半径，圆心到直线的距离，则直线与圆相交，显然点P到直线距离.第10页/共20页

故答案：13.已知等差数列项和为项中的偶数项之和为的通项公式______.【答案】【解析】【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列性质条件可转化为，，解方程求，再结合等差数列通项公式求，由此可求通项公式.【详解】设等差数列的公差为，因为等差数列中，前项和为，所以，故，因为等差数列中前项中的偶数项之和为，所以，故，所以，解得，所以，又，所以，，所以，，所以所以数列的通项公式为.故答案为：.14.数列的前项和是，且，则__________.第11页/共20页

【答案】【解析】【分析】将数列的通项公式进行裂项，利用裂项相消法求和.【详解】因为，故，，，，所以，故答案为：.四、解答题：本题共5个小题，共分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列满足，且对任意的，都有.（1）令，证明：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式及数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2），【解析】1）由递推公式可得，即，结合等比数列的定义证明即可；（2）由（1）求出的通项，即可得到的通项公式，再由分组求和法计算可得.【小问1详解】因为，即，又，即，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列；第12页/共20页

【小问2详解】由（1）可得，所以，所以.16.如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点，分别在线段，上，且，.（1）求证：平面（2）求直线与平面所成角正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）过点作交于点，连接，由，得到，运用线面平行判定定理得到平面和平面平面面平行性质得到线面平行即可（2角余弦值公式计算即可.【小问1详解】第13页/共20页

证明：过点作交于点，连接因为，且，又因为，故，所以又因为平面，平面，所以平面.因为，平面，平面，所以平面又，平面，则平面平面，因为平面，所以平面.【小问2详解】以中点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图.则，，，，设，由即得，，易知，平面的一个法向量为设直线与平面所成角为，第14页/共20页

故直线与平面所成角的正弦值为17.已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为．（1）求的顶点、的坐标．（2）若圆经过不同的三点、、，且斜率为的直线与圆相切于点，求圆的方程．【答案】（1），2）【解析】1）由题意可知直线的方程为：，与直线CD联立可得C点的坐标，设，则的中点，代入方程，解得，所以．（2）由题意可得圆的弦的中垂线方程为，圆心坐标为，圆心在直线上，则，且，即，据此可得圆心，半径，所求圆方程为．1）边上的高所在直线的方程为，所以直线的方程为：，又直线方程为：，联立得解得，所以设，则的中点，代入方程，解得，所以．（2）由，可得，圆的弦的中垂线方程为，第15页/共20页

注意到也是圆的弦，所以圆心在直线上，设圆心坐标为，因为圆心在直线上，所以①，又因为斜率为的直线与圆相切于点，所以，即，整理得②，由①②解得，，所以圆心，半径，故所求圆方程为，即．18.若函数．（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）判断方程解的个数，并说明理由；（3）当，设，求的单调区间．【答案】（1）（2）方程有两个解，理由见解析（3）答案见解析【解析】1）求导，得出，求出，即可得切线方程.（2解的个数即为函数与的交点个数.（3）求导，分别讨论、和时的单调性.【小问1详解】第16页/共20页

，，又，所以切线方程为.【小问2详解】方程有两个解.由（1）可得，在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，当时，，当时，，所以函数与有两个焦点，所以方程有两个解.【小问3详解】，当时，，在上单调递增；当时，，所以时，，单调递减，和时，，单调递增；当时，，所以时，，单调递减，和时，，单调递增；综上所述：当时，的单调增区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为和；当时，的单调减区间为，单调增区间为和.19.已知双曲线的右焦点为，离心率为．（1）求的标准方程；（2的右顶点为的直线与的右支交于的斜率分别为第17页/共20页

，证明：为定值；（3）已知点是上任意一点，直线：是在点处的切线，点是上异于点与（交于为双曲线在点处的切割比，记为，求切割比．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】1曲线的标准方程.（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，进而求出两条直线斜率之积.（3）先求出双曲线在点处的切线方程以及直线的斜率，设出直线的方程，通过联立方程组求出点的坐标，进而得到，再联立直线与双曲线方程，利用韦达定理求出，最后求出的值