人教版九年级数学下册相似三角形专项讲义：方法技巧

方法技巧1成比例线段的证明（一）三点定形法

方法技巧：要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用“三点定形法.'左右定形或上下

定形找相似三角形.

1.如图，在口/YCQ中,E是AB延长线上的一点,DE交BC于点F,求证：庠磊

2.如图，在ZU8C,中，点D,E分别在AB,AC上,.匚力项A匚9,AG平分□历1C,,分别交线段DE,BC于点F,G.

—ADDF

求证：

3.如图,△ABC和^ADE都是等为三角形，点D在BC上,DE交AC于点F.求证：4Q2=AFAC.

4.如图，在△ABC中，匚区4C=90.,M为BC的中点，匚8c交CA的延长线于点D,交AB于点E.求证：4守

=MD匚ME.

方法技巧2成比例线段的证明（二）等线段代换法

方法技巧：从要证的结论中难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用，'三

点定形法”找相似三角形.

类型一替换一条线段

1.如图，在四边形ABCD中,E是BC的中点.且.C.求证：ABLZ）E=BEAE.

2.如图在菱形ABCD中，匚4BC=60,,E是射线CB上一点,F是边CD上一点,且CEAF=⑵.求证：三=三

类型二替换两条线段

3.如图，在口48。中，点D.E在BC上，且口/。£是等边三角形，口640120.求证：^f^BD-CE.

方法技巧3成比例线段的证明（三）等比代换法（找中间比）

方法技巧：要证明的比例式无法直接通过平行或相似得到时，往往要找中间比进行代换.

类型一两次运用平行线找中间比

1.如图.AC是DABCD的对角线,G是AD延长线上的一点.BG交AC于点F,交CD于点E.求证：”—徵

FE=BF-

ADG

2.如图.AD〃BC,AB交CD于点E,F是AD上的一点,连接FE并延长交BC于点G.求证：祟=殍

5CCr

类型二两次运用相似找中间比

3.如图，在四边形ABCD中，ADBC^ABC=90<D=CD-0是对角线AC的中点，连接BO并延长交边CD

干点E.

(1)求证：4DAC^AOBC;

—DCOE

（2求证：就=正

4.如图在RtAABC中.［历1C=9O，力。匚8CC于点D,E为AC的中点，过D,E两点作直线交AB的延长线于

点F.

(1)求证：［\CBA二ABD;

冰证：—ABDF.

(2ACAr

方法技巧4成比例线段的证明（四）等积代换法（找中间积）

方法技巧：常借助于射影定理的基本图形和结论及两次相似找中间积.

1.如图.在△ABC中，4。口"于点D,。£口力8于点E,。尸口工。于点F.求证：AEUAB=AFAC.

2.如图,CE是ABC的斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P,连接AP,BG4吁点G,交CE于点

D.

(1球证:△AEP^ADEB;

(2)求证：CE2=PECDE.

3.如图.在△ABC中点D,E分别在BC和AC上,G是BE上一点，且口3力。=匚86。=口。,连接AG.

⑴求证:△BDG^ABEC;

Q）求证:与嚏

4.如图.在矩形ABCD中,AE_LBD于点E,P是边AD上一点，PEREC.

⑴求证:△AEP^ADEC;

(2求证:DEAP=ADBE.

方法技巧1成比例线段的

证明（一）三点定形法

1.证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

・・・AE〃DC,NA=NC,

AZCDF=ZE,

/.△DAE^AFCD,

-DC_CF

~AE~'AD'

2.证明:TNAED=NB,

ZDAE=ZCAB,

AAADE^AACB,

AZADE=ZACB,

VAG平分NBAC,

.*.ZDAF=ZCAG,

/.△ADF^AACG,

AD_DF

AC-CG'

3.证明:〈△ABC和^ADE都是等边三角形，

.*.ZADF=ZACD=60o,

VZDAF=ZCAD,

/.△ADF^AACD,

AD_AF

AC~AD^

LA^AFUAC.

4.证明:,・•NBAC=9()o,M为BC的中点，

・・・AM=BM=CM,

/.ZB=ZBAM.

VZB+ZC=90°,

AZBAM+ZC=90°,

VZC+ZD=90°,

AZBAM=ZD,

VZAME=ZDMA,

•••△AMES/XDMA,

r-AM_ME

匚Z1M2=MD二ME.

方法技巧2成比例线段的

证明（二）等线段代换法

1.证明:•/ZCEA=ZDEA+ZCED.ZCEA=ZB+ZBAE,

VZAED=ZB.

・・・NCED=NBAE,

VZB=ZC,

AAABE^AECD,

丝任

£C-£D,

二.ABED:ECEA,

VE是BC的中点

ABE=EC,

AABDE=BEAE.

（注:本题实质是用EC替换BE.）

2.证明:连接ACJMaABC为等边三角形，

■:ZEAF=120°,ZBAC=60°,

・・・NEAB+NCAF=60。，

又ZAEC+ZEAB=ZABC=60°,

:.ZFAC=ZAEC,

又NACE=NACD=60。，

/.△AEC^AFAC,

AE=AC

AF~CF>

又TAB二AC,

AE_AB

（注：本题实质是用AC替换AB.）

3.证明:〈△ADE是等边三角形、

AZADE=ZAED=60o,

AZB+ZBAD=60o,

"BAO1200,

匚口8+口。=60,

.*.ZBAD=ZC,

又：ZADB=ZCEA=120°,

AAADB^ACEA,

AD_BD

~~CE~~AE"

・・・ADAE:BDCE,

■:DF-AD=AF.,

[DE2=BDJCE.

（注：本题实质是用DE2替换AD和AE两条线段之积.）

方法技巧3成比例线段的

证明（三）等比代换法

（找中间比）

1.证明:：AB〃CD,AD〃BC,

/.△ABF^ACEF,AAGF^ACBF,

EFBF'

（注:本题的中间比是弟）

2.证明:,・，AD〃BC,

.,.△AFE^ABGE,

「AFEF

BGEG

VAD/7BC,

/.△DFE^ACGE,

DFEF

CGEG

AFDFoAFBG

—=—pUn—=—

BGCG'ZDFCG

（注：本题的中间比是黑.）

3.证明:⑴・.・AD=CD,

.*.ZDAC=ZDCA,

VAD//BC,

.\ZDAC=ZACB.

•・,BO是RtAABC斜边AC上的中线，

AOB=OC,

AZOBC=ZOCB,

:.ZDAC=ZDCA=ZACB=ZOBC,

/.△DAC^AOBC;

(2)由(1)得△DACS/XOBC,空=a,Qa=CMC8=N0BC,

ACBC

又•・・/BEC=NOEC,

/.△EOC^AECB,

r-=—

-'EC~~BCy

DC=OE

AC-EC'

(注：本题的中间比是,•)

4证明:(1);NBAC=90°,AD±BC,

/.ZBAC=ZADB=90°,

又•••/ABC二NABD,

AACBA-^AABD;

(2)VACBA^AABD,

匚《"皿今嚏，

又,・任为AC的中点,ADJ_BC,

ED=EC=\AC,

/.ZC=ZEDC,

又丁ZEDC=ZFDB,

AZFAD=ZFDB,

VZF=ZF,

.•.△DBFs^ADF,

也=丝包=如

AD4f'ACAF'

(注：本题的中间比是黑

方法技巧4成比例线段的

证明（四）等积代换法

（找中间积）

1.证B月：:BJZ>ZADE,ZADB=ZAED=90°,

/.△ABD^AADE,

CAD2=AEAB,

同理△ACDsaADF,可得力。2=AF.AC,

.\AEAB=AFAC.

（注：本题的中间积是AD2.）

2.证明:⑴•••BG±AP,CE1AB,

/.ZDEB=ZDGP=ZPEA=90°.

VZGDP=ZEDB,

AZP=ZDBE.

AAAEP^ADEB;

（2）VAAEP^ADEB,

PE_AE

~BE~'DE'

:.PEDE=AEBE.

VZACB=90°,CE±AB,

・•・NACE+ZBCE=90°,ZACE+ZCAE=90°.

AZCAE=ZBCE.

/.RtAACE^RtACBE.

CE_AE

BE-C