2024人教版七年级数学上册期末复习全册知识点练习题（含答案解析）

【新教材】人教版（2024）七年级上册数学期末复习：全册知识点练习题

一、基础篇

【考点一】有理数的概念与分类

【题型1］科学记数法与近似数

1.据国内4产品榜统计数据，某款A/搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（DAU）

迅速突破两千万大关，达22150000.将数据22150000用科学记数法表示为（）

A.0.2215x107B.2.215xl06C.22.15xl06D.2.215x10?

2截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破1.64亿，成为世界第一大教育资源数字

化中心和平台,将1.64亿用科学记数法表示应为（）

A.16.4xl（）7B.0.164xl09C.1.64xl08D.1.64xl（）9

3.下列说法正确的是（）

A.1.8和1.80的精确度相同B.5.7万精确到0.1

C.6.610精确到千分位D.0.12349精确到0.001是0.124

4.2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京开跑.本次比赛全程约21公里，

这意味着采用双足步态的人形机器人要完成约25万次精密关节运动.将数据“25OXX）”用科

学记数法表示为（）

A.2.5xia5B.2.5x10,

C.25x10」D.0.25xlO6

【题型2］有理数的辨析

1.某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±0.02g,如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作

+0.02g,那么低于标准质量0.02g记作（）

A.-O.O2gB.+0.02oC.T）.（）4gD.+＜）.04g

।4

2.下列7个数：0,-2乃，3.3,-3.141441444,-3.14I441444--（每两个1之间依次

多一个4）其中有理数有（）个

A.3B.4C.5D.6

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4

3.在—12,y,19%,环-O,i2,0,-3.14,6.3,2022中，负有理数的个数为;非

负整数的个数为.

4.把下列各数填入相应的集合中：

+3,-4p-1.9,0,17,0,-8,+123.

正有理数集合｛｝;

负分数集合｛｝;

整数集合｛｝：

非负整数集合｛｝.

【题型3］数轴的三要素应用

1.下列数轴的画法正确的是（）.

A.———B.-5-4-3-2-1612,

111」」」」」」」.111」」」」」」」.

c.-1-2-3-4-501234D.-5-4-3-2-101234

2.将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的-3.6和工，则

x的值是（）

—3.60x

1||甲|||||||『|||||||甲||?|川||叫||川||叫||叫|11中11甲npni|nii|n川||1中11甲||,2>

IOcml234^6789$

A.4.4B.4.3C.4.2D.4.1

3.如图所示，表示数a，b的点在数轴上，则将。八。，-，，“从小到大排列正确的是（）

-------1---------------1-------1-------------->

a0b

A.-a<-b<i)<a<bB.a<-b<()<b<-a

C.-b<-a<O<a<bD.a<b<O<-h<-a

4.下列有关数轴的说法:

（1）在画数轴时，原点位置可以任意确定；

（2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向;

（3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取;

（4）数轴上的点只能表示整数.

其中正确的有个.

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【题型4］相反数、绝对值、倒数的概念辨析

1.如图，数轴上点夕表示的数的相反数是（）

P

-3-2-10123

A.-2B.-1C.0

2.|2025|的相反数是（）

A.2025B.-2025C.士盛

2025

3.一个有理数的倒数是31,则这个数的相反数是（)

A.-3.35B.-3?5C.2

5318

4.如图，在数轴上有三个点A,B,C,请回答下列问题：

（1）点A,B,C表示的数分别为

（2）点A,B,。表示的数的相反数分别为

（3）将点“向左移动3个单位长度后，其对应点方所表示的数的相反数是」

（4）将点A向某个方向移动4个单位长度后，其对应点A，所表示的数的绝对值是

ABC

-5-4-3-2-I0I2345

【考点二】有理数的混合运算

【题型5］有理数的加减运算

1.如果两个有理数的和是负教，那么这两个数（）

A.都是负数B.一个是正数，另一个是负数

C.至少有一个是负数D.以上答案都不正确

2.错用运算律，可能会导致计算的结果出错

例如有同学计算5-3.2+0.2时，得到的结果为1.6,这位同学的计算过程如下:

解：5-3.2+0.2①

=5-（3.2+0.2）②

=5-（3.4）③

=1.6④

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以上计算过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是.

3.计算：

(1)73+(-84)-36+(-73)；(2)一3外一8.2+，一6：--5-^1.

\*)I')\I)

4.计算：

(2)(-1.5)4-41+2.75+(-51

(1)-20+(-14)-(-18)-13

【题型6］有理数的乘除运算

1.有理数〃、。在数轴上对应的位置如图所示，则下列说法正确的是()

IIIII»

a-10b1

A.a+b<()B.a-b>0C.ab>0D.a-i-b>0

2.用运算律进行简便运算.

(1)(-7)4-11+(-13)+9；(2)C+|—{|x(—12).

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3.计算:

2

(1)42x+(-0.75)-F(-0.25)；(2)(-2

4.（25-26七年级上•河北廊坊•期中）（1）阅读一道计算题的解答过程，回答问题:

7)+(-2)4

计算:J--1---电

24

_72

解：原式=~6并-3|①

7878784

+-X—+—x----②

2747673

,,44

=-4+2+----

33

步骤①到②，比先算括号里的简便吗？用的什么运算律?

（2）若a,b互为相反数,c,d互为倒数，/〃的绝对值是3.求代数式上明-cH+M的值.

in

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【题型7］有理数的混合运算

(2)(-+[05—1；+工卜(一8).

2.计算：

(1)-12+|-4^(-2)|；

3.计算：

(1)25.3+(-7.3)+(-13.7)+7.3；(2)-I2024-(-3)\1++(-5).

\3)

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(4)-32-N-|xlO-5j+(-3)2

4.计算：

⑴-l2O24-|xlx2-(-3)2］；

(2)(-6)2X

/5L」

【题型81有理数的简便运算

1.先阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题.

①一5|+卜9|卜吗+卜3目.

解：原式=(一+(-9)+卜|)+07+()+(-3)+(£)

二[(-5)+(-9)+(-3)+17[+

=O+f-l-l=-l-

I4j4

上述这种方法叫做拆项法，灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便.

②仿照上面的方法计算：,2024争+,2025胃+4048+1；).

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2.阅读下面的解题过程并解决问题

计算：(―3.4)一(+1|卜(+1.6)+(+(

解：原式=(-3.4)+11|)+(-1.6)+(+|)(第一步)

=(-3.4)+1.6+f-l|kf+|j(第二步)

（第三步）

（1）计算过程中，第一步变形的依据是，从第步开始出现错误;

（2）为了计算简便，第二步和第三步分别应用了（填数学定律）

（3）请将正确解答过程补充完整.

3.【阅读思考】设，〃是不为0和1的有理数，我们把1与，〃的倒数的差，即1-'称为阳的“倒

m

减数”，如3的“倒减数”是=-2的“倒减数”是1-卜£|=?.

【探索理解】若〃?=4,叫=?是”的“倒减数"，网=T是町的“倒减数”，多是叫的“倒减

数二…，以此类推.

（1）直接写出叫的结果吗=,并写出计算人的算式为：叫=,

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值为砥=;

（2）求町•…砥7,〃如•/9的值，并写出计算过程；

【拓展应用】

（3）某小区为丰富社区活动，举办积分挑战赛，设置儿6两个组，初始积分分别为g和T,

每周按照规则更新积分，新积分=1-।出〔口,（积分不为0和1）.求经过12周后，两组每周

上周枳分

积分的总和（即所有周积分相加的总分）.

4.阅读理解:

11111xII11111।1n

计算।+LLUX1411++++—+-+—时，若把与

234八23+4+52345）2342345234）

分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度.过程如下:

1111111

解：设为A,为B,

2342345

贝I」原式二8（l+A）-A（l+8）=8+A8—4-AB=B-4=g.

请用上面的方法计算:

1iiii

23456；23451423456j

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【考点三】整式的基础概念

【题型9］单项式与多项式的识别

1.在代数式!/，3x,2心勺，-5,受中，单项式的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.已知|〃+1|+（%-2）2=0,则单项式-产产的次数是.

3.单项式|乃町/的系数是,次数是.

4,下列式子：①?，②-1，③4,④-2〃"?，⑤），⑥空，属于多项式的有.（填

序号）

【题型10］多项式的项与次数

1.关于多项式产丁―；丁+9的说法错误的是（）

A.次数是4B.常数项为9

C.不含一次项D.各项分别是f），2,lx3,9

2.多项式3XV_4），2+2X的项数为；次数为.

3,多项式，加-卜出-。/+＞必+28-1是次项式，其中四次项有.

4.已知关于/〃、，的多项式-5-2*+mn2-3mP-y的次数是6,且与关于/〃、〃的单项式3m2¥yn?~x

的次数相同.

（1）求x、y的值；

（2）求该多项式各项的系数之和.

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【题型11］同类项的判定

1.在下列各组单项式中，不是同类项的是（)

A.和一）无B.一3和100

C.-x2yz-x2yzD.-abc—abc

2.若单项式3£"y2”与;d）,2是同类项，则

)

A.m=2,〃=1B.tn=3,n=\C.〃z=3,/:=0D.m=\t〃=3

3.若单项式5犬-2）/与能合并成一项,则J6的值分别是（)

a=3a=3a=-3a=-3

A.B.C.D.

h=-]b=\b=\b=-\

4.若单项式3aL2与一7叱号是同类项,可以得到关于人的方程为

【考点四】整式的加减运算

【题型12］整式的加减运算

1.下列各式中，去括号正确的是()

A.3(x+2)=3x4-2B.-2(x-l)=-2x-2

C.—(2x—3)=—2x+3D.5-(x+y)=5-x+y

2.若a+O=5,c+d=-4,贝—(2J-Z?)=.

3.化简：

(1)3(2£)-冷，)-4(7/+2。)(2)4yH3)，-(3-2)，)+2y1

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【题型13］整式的化简求值

1.已知（。+3）2+忖-2|=0,则代数式3•一［2•一（2"一九）-4/］一"的值是（）

A.-34B.34C.30D.-30

2.已知2x+3y-5=0,贝"6x_4y_2（X_5y）=.

3.先化简，再求值：若卜一2|+（b—炉=0,求代数式3a加一口匕4一2（而一口〃为［+他］+3//的值.

【题型14］整式加减的应用

1.如图，将连续奇数1,3,5,7,…，排成图表.将十字框上下左右移动，可框住另外五个

数，若设中间数为a,则十字框中的五个数的和为（）

13579

11131517■

212325272S

313335373s

414345474S

A.aB.3。C.5aD.la

2.某厂家生产儿8两种款式的购物袋，每天生产3500个，两种购物袋的成本和售价如下表.若

设每天生产力种购物袋x个，则该厂家每天获得的利润（单个利润==售价-成本）为

元.（用含1的代数式的最简形式表示）

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购物袋成本/（元/个）售价/（元/个）

A22.3

B33.5

【考点五】一元一次方程的概念与解法

【题型15]一元一次方程的定义等式的性质辨析

1.下列变形正确的是（）

A.如果5=那么x=yB.如果那么x+2=y-2

C.如果土=2,那么x=yD.如果3x=Y,那么X=-1

cc4

2.若关于x的方程9=0是一元一次方程，则d的值为（）

A.1B.±1C.-1D.0

3.如果一3铲T+6=O是一元一次方程，那么〃=,贝12。一5=.

4.如果□+△=30,而口+口+^+/\=72,那么□二（）

【题型16]一元一次方程的偎法（1）

1.通过移项将下列方程变形，正确的是（）

A.由5x-7=2,得5x=2-7B,由6工一3=工+4,得3-6汇=4+x

C.由8—x=x-5,得—x—x=-5—8D.由.Y+9=3X—1,得3x—x=-1+9

2.解方程：

（1）4x-2=2.v；（2）6（x-l）-4（x-l）=16.

3.解方程：

(1)2+x=10-2x(2)2(2x+l)-(5x-l)=6

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4.方程2-3（1+1）=0的解与关于x的方程宝-3Z-2=2x的解互为倒数，求出的值.

【题型17］含分母与括号的一元一次方程求解

1.解方程・=1-4时，去分母正确的是（）

•J乙

A.2（x-l）=l-3（x+2）B.2（x-l）=6-3（x+2）

C.3（x-1）=6-2（x+2）D.2（x-l）=3-3（x+2）

2.下列解方程的过程中正确的是（）

A.1-与老=一手去分母，得1-5（4.・8）=-4（工+19）

$x0.16-0.8,lO.r16-80%

B.由--------------=2得B--------------=20（）

0.40.0343

C.50-4（2x-3）=3（7x+l）去括号得5（）—8X-12=2a+3

n3_7用—49

D.--x=l,侍x=--—

/D

3.解方程：

（1）5（x-l）+2=3-x；（2）号-号=1；

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⑶3"”等10.2x+0.1x-1.6

(4)+1.

0.20.4

4.（25-26七年级上-山东枣庄・月考）解方程：

（1）3（x-2）+l=x-（2x-l）；（2）=

【考点六】几何图形的初步认识

【题型18］立体图形与平面图形的识别

1.下面几何体中为圆锥的是（）

2.如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（)

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3.一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为

A.我B.中C.国D.梦

4.下列图形中可以作为正方体的展开图的是（）

耳P”

【题型19］直线、射线、线段的区分

1.下列选项中，能用2〃+6表示的是（）

A.整条线段的长度।2।Q।6

B.整条线段的长1〃I616

c.这个图形的面积“

D.这个长方形的周长

2.主师傅将甲、乙两块木板叠放在一起，截面图如图麻示，若乙板确定是平直的，则王师傅

判断甲板受潮变形，不再平直.这个结论的数学依据是（）

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甲

A.两点之间直线最短

B.经过一点有且只有一条直线

C.经过两点有且只有一条直线

D.线段可以向两个方向延长

3.往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经过青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站,

那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种类为.

4.如图，是直线/上的三个点.

（1）图中共有条线段；

（2）图中以点8为端点的射线有条，分别是；

（3）直线/还可以表示为.

【题型20］角的概念与度量

1.已知N4与互为余角，NC与N8互为补角，则NC比/A大（）

A.45°B.90°C.135°D.180°

2.如图，已知Nl=28。，N4OC=90。，点氏0、〃在同一条直线上，则N2的度数为（

A.102°B.118°C.122°D.62°

3.比较大小24.25。24。25，

4.如图，钟表上显示的时刻是10点整，此时时针与分针所成的较小的夹角的度数为

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【题型21］角的平分线与线段的中点

1.如图，点。是线段48的中点，AC=8,点〃在线段C3上，且D8=3,则线段。。的长为()

IDil

ACDB

A.7B.6C.5D.4

2.如图，已知ZAO8=120。，平分NAOC,OE平分/BOC,则.

3.如图，已知A4=4(),NB=7,点"为A3的中点，点q在线段地上，点A,为m的中点.

(1)BP=；

(2)求MP的长.

AM~~PNB

4.如图，点。在直线AB上，O。平分N8OC,且/。。。=60。.

(1)求NAOC的度数；

(2)若RAOE=2/DOE,求NCOE的度数.

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cED

二、培优篇

【考点七】有理数的综合应用

【题型22］有理数的实际应用

1.在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负

数如图检测结果中最接近标准质量的是()

A.+0.8B.+2.6C.+2.5D.-0.7

2.下表记录了四个地区的最低海拔，其中海拔最低的地区是()

乌鲁木

死海吐鲁番青岛

齐

-424m-155m490m0m

A.死海B.吐鲁番C.乌鲁木齐D.青岛

3.如图，以A、B、C、。四人的平均体重为基准，已用条形统计图表示出A、B、。三人的

体重(整千克数).

(1)A的体重比。的体重多kg.

(2)平均体重记作0kg,C的体重可记作kg.

(3)若平均体重是45kg,那么B的体重是kg.

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4.【信息提取】学习/绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的

绝对值等于它的相反数，即当。20时，14=。；当。＜0时，时=-4,对于含绝对值的算式，在

有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：|8-5|=8-5；|5-8|=8-5;

4_\__4_j__[_441

7-2-7-22-7-7-2

（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）:

①3-7|=;②|2_小.

【拓广应用】

（2）用合适的方法计算：91s12+1121

oZJ2ZDO

（3）请利用你探究的结论计算：

--I+----+----+...+----------+----------

232432024202320252024

【题型23］绝对值的非负性综合

1.若+同+2（「+2『=〃，则言的值为（

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A.2B.-2C.1D.

2.如果两个有理数x,y满足x+），=3,则k+）卜卜-3|的最大值,卜-3|+卜+4］的最

小值为.

3.（1）若|。一3|+|"—4|=0,贝,b=.

（2）已知I。一2|+|8一4|+|c-5|=。，则〃+2/?+4<:=.

（3）已知『2|与|），-3|互为相反数，则lx+上.

4.（1）已知问=6,网=4,且a>0,b>0,求a-b的值;

（2）若|。+2|+忸7|=0,求a〃的值.

【题型24］有理数的规律探究

1.如图，数轴上点4表示的数为-2,点A（不与4重合）、4到1的距离相等，点4（不与A

重合）、A到2的距离相等，京Aj（不与人重合）、4到3的距离相等，...按此规律，点4侬表

示的数为.

4

-4-3-2-1012345678

2.将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：

（1）在力处的数是正数还是负数？

（2）负数排在儿B,C,〃中的什么位置？

（3）第2028个数是正数还是负数？排在对应于4B,C,〃中的什么位置？

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J—►B

10—>•••C—►Z)

3.化简下列各式的符号，并回答问题：

（1）-（二）;

（2）+（-5）；

（3）-[-（M；

（4）-[-（+3.5）]；

问：①当*5前面有2023个负号，化简后结果是多少？

②当-5前面有2024个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？

4.观察下列算式,

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第一个式子七一击:'I；

第二个式子x(x+2)=5一不/卜耳；

第二个式子Mx+3)=(j-Q)x§；

第四个式子不%=&一占卜;……

根据你发现的规律解决-卜列问题：

(1)写出第〃个算式：(〃为正整数)

(2)7—T7—]=(〃，，〃为正整数且〃?工〃)

(3)若0—2|+(a7)=0,试求(〃+])e+])+(a+2)S+2)+…+(〃+2()24)(1+2()24)的值•

【考点八】整式的综合运算与应用

【题型25]整式的化简求值

1.先化简，再求值：

(1)2x2-3(-gf+g町-2/-2(x2-xy+2y2),其中％=；,y=-\.

(2)3〃%+2(岫一|/“一[2〃从一(3"〃、")],其中〃，〃满足(a-2)2+b+；=0.

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2.已知：P=4x2+3^-2y+5,Q=2x2-xy.

(1)计算：尸一2Q；

(2)当x=-2,)，=l时，求P—2Q的值；

(3)若2-2。的值与y无关，求x的值.

3.(1)先化简，再求值：gx-2卜++其中刀=-2,y=-|.

(2)先化简，再求值：2,%+3加)-29必-1)-2加一1,其中(〃+2)2+b+g=0.

4.(1)化简：设A=2〃-4,8=-/一。，求A+3;A-B.

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（2）先化简，再求值：2（2九一3曲一1）一3（八—2成）,其中方-；,/7=2.

【题型26）整式加减的应用

1.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：\a+c\-\c-b\+\a+t\.

2.如图，某公园有一块长为（勿-1）米，宽为。米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出

宽都是x米的小路，余下部分设计成花圃进行美化，并月篱笆把不靠墙的三边围起来.

（1）用代数式表示所用篱笆的总长度；

（2）。=6工=30米，若篱笆的造价为60元/米，请计算全部篱笆的造价.

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1(2。-1冰T

3.某商场开展春节促销活动出售48两种商品，活动方案如下两种：

方案一：商品力每件标价90元，按标价的30%返还现金；商品8每件标价100元，返利按标

价的15%；

方案二：所购商品一律按标价的20%返利.

（1）某单位购买/商品30件，〃商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？

（2）某单位购买/I商品x件（x为正整数），购买8商品的件数是力商品件数的2倍多1件,

该单位选择哪种方案更合算？请说明理由.

4.如图所示，宽为20米，长为30米的长方形地面上，修筑宽度为x米的两条互相垂直的小

路，余下的部分用来种花，现将两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是每平方米百元.

（1）求买地砖至少需要多少元？（用含〃、大的式子表示）

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(2)计算当a=50,x=1时，地砖的费用.

30

【题型27］整式的规律探究

1/_£4

1.一定规律排列的一列单项式如下：x,第2025个单项式是()

5,7,

J^2025

A.'12。25B.—一L-25JD.--------产

4049404940504050

2.用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形.拼第1个图形

所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规

律拼出的第〃个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多20枚，则拼第〃个图形所用两

种卡片的总数为.

XXXKXXXXXXXXXXX...

第I个图形第2个图形第3个图形

2

3.探索规律：观察下面的一列单项式：-X,3x,-5.??7/，…-37/9,39婢，…,根据其

中的规律得出的第〃个单项式是.

【规律发现】

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如图所示的图案都是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有或

第1个图案中”有4x1个；”有1+3x1个；

第2个图案中有4x2个；有1+3x2个；

第3个图案中有4x3个；“▲”有1+3x3个；

第4个图案中有4x4个；“▲”有1+3x4个；….

（1）第99个图案中“★”有4x______个；“▲”有l+3x个：

（2）第〃个图案中有个，“▲”有______个；（用含〃的代数式表示）

【规律应用】

（3）在第2025个图案中，求“▲”的个数比的个数少多少.

【考点九】一元一次方程的实际应用

【题型28］和差倍分问题

1.下列数学问题中，不能用方程“3x+6=15”解决的是（）

A.哥哥今年15岁，比弟弟年龄的3倍多6岁，弟弟几岁？

B.买3本笔记本和1个6元的文具袋共15元，1本笔记本多少元？

x人

男生：自

C.15人

女生:

长方形面积

D.是15cm2

xcm3cm

2.如图，两根铁棒直立于圆柱形水桶的桶底.一根露出水面的长度是它本身长度的g,另一

根露出水面的长度是它本身长度的g,两根铁棒的长度之和为55cm.设此时水桶中水的深度是

xcm,则可列方程为.

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3.给定方程2.5x+2.5（x+2）=55,联系生活实际编写一道数学问题，并写出完整的解题过程.

【题型29］行程问题

1.小明参加了一场2000米的跑步比赛，他以6米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米/秒的

速度跑完了剩下的路程，一共花了10分钟，设小明以6式/秒的速度跑了x米，则列方程为

（）

/-/1八\cx2000-x，八

AA.6A-=5（x4-10）B.-+---=10

65

_x2000—%“1八nx2000-x0

C.-+-----------=60x10D.-+-----------=60x10

5665

2.某校学生列队以8千米/时的速度前进，队尾一名学生以12千米/时的速度跑步到队伍最前

列传达通知，然后立即返回队尾，整个过程共用时9分钟.求队伍的长度.可设队伍长为x

千米，依题意可列出方程.

3.育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步行速度为5千米/时，

七（2）班学生组成后队，步行速度为7千米/时，前队9发1小时后，后队才出发，同时后队

派一名联络员骑自行车在两队之间不间断进行联络，他骑车的速度为12千米/时，根据上面的

事实回答问题.

（1）后队第一次追上前队用了一小时；后队第一次追上前队时联络员行了一千米.

（2）联络员第一次追上前队用了多长时间？请你写出求解过程.

（3）联络员第一次与后队相遇用了多长时间？请你写出求解过程.

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【题型30］工程问题

1.一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合做,

完成这项工程需多少天？若设完成这项工程需x天，依题意可列方程为（）

2.一件工作，甲单独完成需2.5小时，乙单独完成需5小时，先由甲、乙两人合作1小时，再由

乙单独完成剩余任务，则完成此任务还需小时.

3.甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘

的长度是乙工程队每天挖掘长度的L5倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的;.

（1）求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米.

（2）若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94

万元.已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程

队单独挖掘的天数.

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【题型31］销售利润问题

1,某商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,

那么该商店卖出这两件衣服总的是（）

A.盈利16元B.亏损16元C.盈利20元D.亏损20元

2.小松鼠的坚果店搞“秋日特惠”，两件爆款坚果礼盒售价都是60元，其中一盒坚果因为是

当季新采，盈利了60%；另一盒是库存坚果，只能亏本20%清仓.小松鼠卖出这两盒坚果后,

赚了元.

3.综合与实践问题背景：

吉县苹果和隰县梨都是山西著名的农产品，某超市购进吉县苹果和隰县梨进行销售.

信息一，该超市用50000元购进吉县苹果和隰县梨共4500千克.

信息二，这两种水果的进价、售价如下表所示：

水果进价/（元/千克）售价/（元/千克）

吉县苹果1218

隰县梨1020

问题解决：

（1）该超市购进吉县苹果和隰县梨各多少千克？

（2）若该超市销售完吉县苹果时，隰县梨还剩下40%,将剩余隰县梨打折出售，全部售完后，

共获利32600元，求剩余隰县梨打了几折.

（3）若在销售过程中，吉县革果和隰县梨都损坏10%,保持隰县梨的售价不变，在除损坏外

全部售完的情况下，若总利涧率为62%,则吉县苹果的售价应定为多少？

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【题型32］配套问题

1.某车间24名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓4个或螺母6个.现有x名工人

生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，为求x列出的方程正

确的是（）

A.2x4（24-x）=6xB.2x6x=4（24-x）

C.2X4X=6（24T）D.4X=2X6（24-X）

2.某车间共22名工人，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2

个螺母,应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？设安排x

名工人生产螺栓，可列出方程.

3.张老师准备购买/、8两种品牌钢笔，用于对表现优秀的学生进行奖励.已知月品牌钢笔每

支10元，6品牌钢笔每支6元.经预算，张老师购买两种钢笔共需花费588元，且月品牌钢

笔的数量比8品牌钢笔的数量少2支.

（1）求预算中两种品牌钢笔的数量分别是多少？

（2）张老师付款时，被告知文具店正推出“满送”活动：每消费100元送1张兑换券，凭此

券可兑换1支力品牌或2支C品牌钢笔.张老师将所得兑换券全部兑换后，恰好使两种品牌钢

笔的总数量相同.请求出用于兑换两种品牌钢笔的兑换券各是多少张？

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【考点十】几何图形的综合计算

【题型33］线段的和差计算

1.已知点八，B,。在同一条直线上，如果/W=9,线段AC=12,点。为线段AC的中点，则BQ

的长为（）

A.6或15B.3或15C.6或10.5D,3或10.5

2.如图，点。是线段延长线上一点，点"为线段AC的中点，在线段8c上存在一点N（N

RN

在材的右侧且N不与反C重合），使得4MN-NB=2AB,则工的值为.

CN

ANC

3.如图，C为线段AB上一点，AB=mtBC=n,M、N分别为AC、BC的中点.

（1）若"7=10,〃=4,求MN的长；

（2）若根=5〃，求的值.

CM

A~MCNB

4.【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数

轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点8表示的数分别为。、b,则A,。两点之间

的里离A8=|a.目，线段AB的中点表示的数为

【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为-2,点8表示的数为8,点。从点A出发，以每秒3

个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点。从点8出发，以每秒2个单位长度的速度向

左匀速运动.设运动时间为，秒。＞0）.

【综合运用】

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AB

----------1----1---------------1_>

-208

（1）填空：

①A、3两点间的距离AB=,线段A8的中点C表示的数为;

②用含/的代数式表示：，秒后，点。表示的数为;点。表示的数为;

（2）求当，为何值时，PQ=；AB；

（3）若点M为%的中点，点N为依的中点，点尸在运动过程中，线段的长度是否发生变

化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段"N的长.

【题型34］角的和差计算

1.如图，已知ZAO8=120。，0E平分NAOB,射线OC在/AOE内部，ZBOC=90°,作射线。尸,

使射线OC是NEO尸三等分线，则乙40F的度数为（）

A.15。B.30°C.15。或30。D.30。或45。

2.一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边。4,OC与直线所重合，4408=45。，/。。。=60。，

保持三角板CO。不动，将三角板AO8绕着点0顺时针旋转一个角度。，（如图2）,在转动过程

中两块三角板都在直线石尸的上方，当。8平分由OC,。。两边组成的角时，a的值为

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图1图2

3.如图，。例是ZAOC的平分线，OV是/BOC的平分线，

(1)如果ZAOC=28。，4WON=35。，求出/AIM的度数：

(2)如果/例ON=72。，求出/AIM的度数；

(3)如果ZMON的大小改变，/AO8的大小是否随之改变？它们之间有怎样的大小关系？请

写出来.

【题