2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册 第九章 图形的相似 专项练习

第九章图形的相似

1成比例线段

第1课时线段的比和比例的基本性质

基础夯实

知识点一两条线段的比

1.一个矩形花圃，它的周长是30m,长是9m,这个矩形花圃的长与宽的比是（）

A.I0:3B32

C.5:3D.3:10

2.为了将优质教育资源更好地惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区

骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为2.2km,当地图上比例尺由1:

1000变为1:500时,则地图上两个校区的路程增加了cm.

3.如图C是线段AB上的一点,AC:CB=2:1.

I.1

ACB

⑴图中以点A,B,C中任意两点为端点的线段共有条

⑵若AC=4.求AB的长.

识点二比例线段

4.下列各组中的四条线段成比例的是（）

A.2cm,3cm,4cm,6cm

B.2cm,3cm,4cm,5cm

C.lcm,2cm,3cm,4cm

D.3cm,4cm,6cm,9cm

5.（2024.青岛即墨区期中）已知四条线段a,3,a+l,4是成比例线段则a的值为（）

A.4B.3

C.-4D.-3或-4

6.如图，有矩形ABCD和矩形A,B'C,D',AB=8cm,BC=I2cm,AB=4cmBC'=6cm.则线段AB,ABBC',BC是

成比例线段吗？

4I------------------\D

A\--------

BCB'C

知识点三比例的基本性质

7.根据4a=5b,可以组成的比例有()

A.a:b=4:5B.a:b=5:4

C.a:4=b:5D.a:5=4:b

8若2y-5x=0,则

易错点悟没有分情况讨论导致漏解

9.已知三条线段的长分别为1cm,2cm,V2cm,如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的

长为.

能力提升

10若三角形三个内角的比为1：2：3,则它的最长边与最短边的比为()

A.3:lB.2:lC.3:2D.4:l

11若a,b,b,c是成比例线段，其中a=3,c=12,则线段b的长为()

A.2D.4C.6D.15

12《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于秤杆.衡杆正中有拱肩提纽和

穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线.用该衡杆称物，可以把被称物与祛码放在提纽两边不同位置的刻线上，这

样，用同一个祛码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体.如图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物质量是祛码质

量的倍.

13」新考向|小慧同学在学习了八年级下册“9.1成比例线段”一课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请

在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程.

当£■=____时

।ayl当时

1E2c.

比例线段出现比例

中项线段

出现特殊线段比

14求下列各式中x的值.

,,x-32

(1)—=—；

x-6

(2)x:(x+l)=(l-x):3.

15如图，在RtAABC中CD是斜边AB上的高线.找出一组比例线段，并说明理由.

△

16如图,已知芫=卷=；，且PQ=2cm,求AR的长.

APQB

素养培优

17」推理能力］如图，在平行四边形ABCD中，DE1AB于点E.BF_LAD于点F.

(1)AB,BC,BF,DE这四条线段能否成比例?如果不能，请说明理由；如果能，请写出比例式；

(2)若AB=1(),DE=2.5,BF=5.求BC的长.

第2课时合比、等比性质

基础夯实

知识点一合比性质

1.若尸泗」：的值为()

I)4I)

B1号D；

2.已知沪:，则下列结论错误的是()

o3

A.<=-3B.

a-bb什J

c，-=2D-=-

a+b5'23

3.(2024.济南市中区月考)已知则3的值是()

43b

A.y3Bg4C.3D.1|

433

知识点二等比性质

4.如果^=^=j=^(/)+^+^0),S.a+c+e=^(b+d+f),SP^Ak()

A.2B.3C.1D.1

5若2-则凸±=

bdf4'人」b~2d+3f-

6.已知:g=：=:=3,且b+d+f=O.

bdJ

求+、证：r：.ra+~c;=TK7u=3c.

b+dd+f

易错点因考虑问题不全面导致漏解

7.已知a,b,c均为实数，且abc#）,若k=七=£"=上",求k的值.

a^bb^-ca^c

能力提升

8.已知:沁）0叱0）,则下列结论错误的是（）

A.生=：B.三=]

y4”44

C.等=2D.千：

2y-xyH5

9.若2g=[且3a-2b+c=3,则2a+4b-3c的值是（）

57o

A.I4B.42

C.7D.y

10若W=9则a/b的值为_______.

a+b5

11已知'=8G+4x>y视）则'=

y3y-1/4i产7"

12已知？=三=亍=2乃-2d+沪5,求a-2c+3e的值.

baf

13设a,b,c是^ABC三条边的长.

⑴如果9=空=7，。+加h2,那么4ABC的三边长分别是多少?

234

（2）如果?="==那么△ABC为何种三角形?请说明理由.

素养培优

14.阅读理解，并解决问题：

小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为（）的数a,b,c,d,使得分式（=滤立（即a,b,c,d成比

例）.小明同学还有新的发现（分比性质）：若壮：厕

bdba

已知D-=^;C-=-.

caac

问题解决：

（1）仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式.

（2）证明⑴中的分比性质等式成立

2平行线分线段成比例

基础夯实

知识点一平行线分线段成比例

1.（2024济宁任城区期末）如图,AD〃BE〃CF若AB=4,BC=6,DE=2,则DF的长是（）

2、如图.已知AB〃CD〃EF,那么下歹I」结论正确的是()

人CDAD卜DFBC

A-=—B—=—

•CBDF•ADCE

AD_BEAD_BC

c/=而Db~CE

，直线和被所截,贝!的长为

3.如图直线liII12II13ACDFkE13AC=11,BC=6,EF=4,JDE

第4题图

4.如图直线AD,BC交于点O,AB〃EF〃CD.若AO=2,OF=1,FD=2.则热勺值为.

知识点二平行线分线段成比例的推论

5.（临沂中考）如图，在△ABC中,DE〃BC,黑=：,若AC=6,则EC=（）

UoJ

6.（2024河南）如图，在口ABCD中.对角线AC,BD相交于点O点E为OC的中点,EF〃AB交BC于点F.若A

B=4,则EF的长为（）

I4

A"B.16D.2

7.如图，在△ABC中点D,E分别在边AB,AC的反向延长线上.且DE〃BC若AE=2,AC=4,AB=5,则AD的长

为.

8.［跨学科］如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B.C都在横线

上.若线段AB=3.则线段BC的长是（）

9.如图，在RtAABC中.NACB=90。,。为AB的中点,0G平分NAOC交AC于点G,则牌的值为__________

DC

10如图，在△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC上的点.且DE〃BC,EF〃AB.AD:DB=2:3,BC=20cm,则BF

11如图,已知点F在AB上，且AF:BF=1:2,点D是BC延长线上一点,BC:CD=2:1,连接FD与AC交于

点N,则FN:ND=.

12.（2024.烟台芝果区期末）如图.△ABC中,AB二AC,ADJ_BC于点D,E在AD上，^=；,CE交AB于点F,D

AD5

G〃CF.若AB=6cm,求GF的长.

13.（2024.聊城期末）如图,正方形ABCD的边长为3,G,F是对角线BD的三等分点，点E在边AB上,EG〃

AD,连接EF,FC.

⑴求EF的长；

（2斌判断EF与FC之间的位置关系，并说明理由.

素养培优

14」推理能力］阅读材料：

角平分线分线段成比例定理：如图1,在^ABC中,AD平分NBAC,则暇=怒.下面是这个定理的部分证明过

ACCD

程：

证明:如图2,过点C作CE〃AD,交BA的延长线于点E..........

解决问题：

(1请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程；

(2)如图3,在4ABC中,AD是角平分线.AB=5,AC=4.BC=7.求BD的长

3相似多边形

基础夯实

知识点一相似多边形的概念及性质

1.如图，四边形ABCDs四边形EFGH,NE=85O,/G=90O,ND=120OJM/B等于()

2.在比例尺为1：8000的某学校地图上，如果矩形运动场的图上尺寸是1cmx2cm,那么矩形运动场的实际

尺寸应为（）

A.80mxi60mB.8mxi6ni

C.800mxl60mD.80mx80（）m

3.如图.五边形ABCDEs五边形ABCDE.则五边形ABCDE与五边形ABCDE的相似比是

4.（2024.连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似

A.甲和乙B.乙和丁

C甲和丙D.甲和丁

5.下列说法正确的是()

A.所有的菱形都是相似形

B.对应边成比例的两个多边形相似

C.对应角相等的两个多边形相似

D.所有的正方形都是相似形

6」教材P96随堂练习T1变式］如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（）

5

2IIL0

32.51

甲乙丙

A.甲和乙B.甲和丙

C乙和丙D.甲、乙和丙

7.如图,在四边形ABCD的边AB上任取一点0（不与点A.B重合），连接0CQD,分别取0A.0BQC0D的中

点A，BCD.连接ADQCCB,四边形ABCD与四边形ABCD相似吗?为什么？

易借点因忽视相似比的顺序性而致错

8.四边形ABCD与四边形A】B】CiDx相似，相似比为2：3,四边形.小小。0|与四边形生为好功相似，相

似比为5：4,则四边形ABCD与四边形.力242c2。2相似，且相似比为（）

A.5:6B.6:5

C.5:6或6:5D.8:15

能力提升

9.如图,用放大镜将图形放大,这种图形的改变是（）

A.相似B.平移C.轴对称D.旋转

1。两个相似多边形的相似比是3:7,其中一个多边形的最长边是21,则另一个多边形的最长边是______.

11（2024.临沂苜南县模拟）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在

DC边上，点A落在点H处折痕为DE：使CB边落在CD边上，点B落在点G处,折痕为CF若矩形HEFG与

原矩形ABCD相似,HG=I厕AD的长为.

12」教材P97随堂练习T3变式|如图矩形ABCD的长AB=30,宽BC=20.

(I)如图I,若沿矩形ABCD四周有宽为I的环形区域周中所形成的两个矩形ABCD与ABCD相似吗？请说

明埋由

(2)如图2,x为多少时,图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'7相(以?

素养培优

13如图1,将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2,将1张A4纸对折，使

其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸.

图2

(DA4纸较长边与较短边的比为；

(2)A4纸与A5纸是否为相似图形?请说明理由.

9.1-93滚动练习五(1〜3节)

1下列图形，不是相似图形的一组是()

ABCD

2.若5x-6y=0.且xy/),则蓝*的值等于()

32

A4B.lC.qD.-l

3.如图.矩形OABCs矩形OABCB(10,5)口44'=1,,贝！JCC的长是()

B'

0CCx

A.IB.2C.3D.4

4.已知x:4;y:5;z:6,则(x+y):(y+x)=()

A.2:3B.4:5

C.9:llD.5:ll

5.若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为8cm,则

剩下的小矩形的较短边长为cm.()

A.2V5B.5V5-8

C.4V5-4D.I2-4V5

6.如图在△ABC+,ZA=90°,AB=6.BC=10,ZABC的平分线交AC于点D,与BC的垂线CE相交于点E则

BD:DE为)

A.3:2B.5:3

C.4:3D.2:l

7.若2x=y，则昔的值是______.

8.［数学文化］《九章算术》之'•粟米篇''中记载了我国古代的“粟米之法”「粟率五十，砺米.十……”(粟指带壳的

谷子，精米指糙米)，其意为：”50单位的粟，可换得30单位的砺米……”问题:有3斗的粟(1斗=10升)，若按照此,噪

米之法’，则可以换得的砺米为______升.

9.已知户巳则含=.

］().已知平=1,求二的值.

352K-3.V

II若二=°=:且3x+2y-z=l4,求x的值

xy£

12如图,四边形ABCDs四边形A'B'C'D',且/A=62°,NB=75°,ND'=140o,AD=9,AB=ll,A'D'=6BC'=8.

(1请直接写出:NC二_____度;

(2床边AB和BC的长.

13.如图，四边形ABCD为平行四边形,AE平分NBAD交BC于点E过点E作EF〃AB^AD于点F.连

接BF.

(1求证:BF平分/ABC:

(2)若AB=6.且四边形ABCDs四边形CEFD,求BC的长.

14」推理能力］如图点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AE为边作一个菱形AEFG,

且菱形AEFGs菱形ABCD相似比是62、连接EB,GD.

(1球证:EB=GD;

(2)若NDAB=6()o,AB=2,求GD的长.

4探索三角形相似的条件

第I课时利用角的关系判定两三角形相似

基础夯实

知识点一相似三角形的相关概念及性质

1.已知△ABCszXABC,NA=45o,NB=105。,则NC的度数是()

A.300B.45°

C.30。或45°D.75°

2.已知口48。匚。£6盛二;，若BC=2,则EF=()

A.4B.6C.8D.16

3.如图，已知△ABC^AADE,AD=5cm,DB=3cm,BC=8.8cm,则DE=cm.

知识点二利用角的关系判定两三角形相似

4.如图，在△ABC中.高BD,CE相交于点F.图中与△AEC一定相似的三角形有（）

A.I个B.2个

C.3个D.4个

5.如图,AB〃CD点E在AB上，点F在CD上,AC,BD,EF相交于点0,则图中相似三角形共有（）

A.I对B.2对C.3对D.4对

6.如图，在RtAABC中,/ABC=9（r,E是边AC上一点，且BE=BC,过点A作BE的垂线，交BE的延长线于

点D,求证:△ADE^AABC.

易错点悟不理解相似三角形的对应关系而出错

7.如图,△AOBs△COD,下列各式中正确的有()

丝=".।.

CD~CO1CD~DO,

rAO_BOAO_BO

"ob~~cd^"CO~~DO"

A.l个B.2个C.3个D.4个

能力提升

8.将两个完全相同的等腰直角4ABC与4AFG按如图所示的方式放置,那么图中一定相似（不含全等）的三角

形是（）

A.AAEC与^ADB

B.AABE与^DAE

C.AABC与4ADE

D.AAEC与4ADC

9」教材P99例1变式］如图,在平面直角坐标系中,C为^AOB的OA边上一点,AC:OC=1:2,过点C作CD

〃OB交AB于点D,CD=2厕点B的纵坐标为（）

10（北京中考）如图,在矩形ABCD中若48=3MC=5，SW，则AE的长为________

FC4

11如图，在△ABC中,NBAC是直角，过斜边中点M且垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于点E,交A

B于点D.连接AM.

求证:（1）△ABC^AMEC;

（2）AM2=MDUME.

12.（2024・聊城东昌府区期末）已知△ABC是等腰三角形，过△ABC底边BC的中点D作DE_LAC垂足为E,并

延长ED到F,使得DF.=DF,连接RF.

求证:△AED^ADFB.

A

素养培优

13如图，在△ABC中,AB=AC,NBAC=36o,BD是仆ABC的角平分线.

（1戏出图中的相似三角形，并证明；

⑵求出。的值.

AD

第2课时利用边角关系判定两三角形相似

基础夯实

1.如图，在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若黑=3.则图中一定相似的三角形是（）

（70UA

A.ABOA^ABAD

B.ABOA^ACOD

C.ABOC^ABCD

D.ACOB^ACBA

2.如图，在□ABCD中,AB=10,AD=6.E是AD的中点，在CD上取一点F,使△CBFs^ABE,则DF的长是（

)

A.8.2

B.6.4

C.5

D.1.8

3.下列4x4的正方形网格中，小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△

ABC相似的是（）

B

D

4.（2024.滨州）如图在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上添加一t条件使△ADEs/\ACB.则这个条件可

以是.（写出一种情况即可）

5.在RtAABC和RtADEF中,NC=NF=9(T,AC=3,BC=4,DF=6,DE=8,判定这两个三角形是否相似：

.（填“相似,或‘不相似"）

6.如图点D为AABC边AB上一点,AD=2.BD=6,AC=4.求证:△ACD^AABC.

易错点悟因考虑问题不全面而漏解

7.在△ABC中,AB=6,AC=5,点D在边AB上,且AD=2点E在边AC上,当AE=时，以A,D,E为

顶点的三角形与^ABC相似.

能力提升

8.如图，在△ABC中,NA=78o,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相

9.如图在RSABC中.直角边AC上有一动点D（不与点A,C重合）.过点D作直线截^ABC,使截得的三

角形与AABC相似（不包括全等）,则满足这样条件的直线共有条。

第10题图

10如图.在RtAABC中,NC=9（T.AD平分NBAC,点E在AC上,AB=9,AD=6,AE=4,NBAC=50。,则/CDE=_

11.（2024.广州）如图点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求证:△ABEs/\ECF.

素养培优

12.如图，/BZ14O,CO[Z14aJA=6c〃z,CD=4cm,BD=14cmj^P在BD上由点B向点D方向移动，当C

「C尸。相似时,PD=_cm.

13.⑴问题背景:如图1所示匚力8疗口口力。以3为等腰直角三角形，□4C8=NAED=90o,AC=BC,AE=DE,B,D,

E三点共线，线段BE,AC交于点F.

①求线段BD,CE之间的数量关系；

②求NBEC的度数.

图1

（2柘展应用:如图2,在4ABC和^ADE中,NBAC=ZDAE=90°,ZABC=NADE=30。,点D在BC边上,

AC与DE相交于点F,且今=6,求背的值

第3课时利用三边关系判定两三角形相似

基础夯实

1.将一个三角形的各边都缩小到原来的；后，得到三角形与原三角形（）

A.一定不相似B.不一定相似

C.无法判定是否相似D.一定相似

2.已知△ABC的三边长分别为1,A/2,V5ADEF的三边长分别V3,倔43,则4ABC与4DEF

（）

A.一定相似B.一定不相似

C.不一定相似D.无法判定是否相似

3.（2024.滨州邹平市期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）

A.①与③B.②与③

C.①与④D.③弓④

4.如图,在正方形网格中有三个三角形，分别是^EBC.ACDBqDEB.其中与△ABC相似的是.

5.如图，在△ABC中,D,E,F分别是CA,AB,BC的中点,则△ABC与二FDE相似吗?为什么?

6.如图，点O是^ABC外的一点，分别在射线OAQB.OC上取一点A1,B；C,使得第=芸=2=3,连接A1

B：BC,CA,所得△人89与4ABC是否相似？证明你的结论.

易错点悟因考虑问题不全面而致错

7.（大庆中考）已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,m和6,8,n,且这两个直角三角形不相似，则m+n

的值为（）

A.10+4或5+2中B.15

C.10+V7D.15+3近

能力提升

8.在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中根据漏走日的规则；焉落在下列哪个位置，能使“思'

"箕"炮''所在位置的格点构成的三角形与嘟"相“兵”所在位置的格点构成的三角形相似？（）

A.®B.②C.③D.@

9.如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是:①AABC,②4ACD,③AADE,④△AEE（5）4AGH,其中与

⑤相似的三角形是（）

A.①③B.①④

C.②④D.①③④

10一个三角形支架三条边长分别是75cm,100cm,120cm,现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为

60cm,120cm的两根木条，要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截

法有（）

A.一种B.两种

C.三种D.四种

II如图在△ABC和^ADE中，祭=^=ACAE,NBAE=8（）:NDAC=2NDAB,则/CAE的度数为.

B'

C

E

12如图,AB〃DE,AC〃DF,BC〃EF,则△DEF与△ABC相似吗？为什么?

素养培优

13［推理能力］我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，如图，△ABC就是格点三角形，设每个小正

方形的边长为1.

।--r-r-r-牙，

（庇图I中，有格点D,E,再找f格点P,使这三点所成的△PDE与△ABC相似；灶之为

“1

ib।।C••

（2在图2中，有格点M,N,再找一个格点Q.使这三点所成的^QMN与^ABC相似，且△QMN面积最大.

r-T-i-n

।।/7i।।।।।।।।

iiIiiiiiiii:一卜一・卜_|_+447・七1

IIII七IIIIIII

|一H—T-十一A-，T«-T-T

IIIIIIIIIII匚工瓯工工

图1图2

5相似三角形判定定理的证明*

基础夯实

1.如图,在△ABC和^DEF中,NA二ND,则添加下列条件后无法判定△ABC-ADEF的是（）

c喘啜D・瑞嗤

2.如图.在△ABC中点D在AB边上点E在AC边上，且N1=N2=N3,则与△ADE相似的三角形的个数为

)

A.4B.3C.2D.l

3.如图.一副三角板.AD=AB,顶点A重合、将△ADE绕其顶点A旋转，在旋转过程中，以下4个位置，不一定

存在相似三角形的是（）

4.如图.在RtAABC中.NCAB=9（r,AD_LBC在图中的三角形中，两两相似的三角形对数为（）

5.如图.如果NBAD二NCAE,那么添力口条件，能确定aABC和^ADE相似.

6.如图.在△ABC中点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,DE〃AC,EF〃AB.

⑴求证:△BDE^AEFC;

(2)若FC=3AF,BC=I2,求线段BE的长.

能力提升

7.如图，在下歹I」四个条件：口匚8NC,②NADB=NAEC,③AD:AC=AE:AB,④PE:PD=PB:PC中，随机抽取

一个能使的概率是（）

A.0.25

B.0.5

C.0.75

D.I

8.如图,M是」ABCD的对角线BD上一点,AM的延长线交BC于点E.交DC的延长线于点F,图中相似三

角形有)

A.6对B.5对

C.4对D.3对

第8题图第9题图

9.如图.若A,B.C,P,Q.甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点为使△PQRsAABC,则点R应是甲、乙、丙、丁四

点中的()

A.甲B.乙C.丙D.T

10［分类讨论］如图，正方形ABCD的边长为2,BE二CE,MN=1,线段MN的两端在边CD,AD上滑动.当DM

为多长时.△ABE与以点D,M,N为顶点的三角形相似?请说明理由.

素养培优

11如图.AB,CD相交于点E,且AC〃EF〃DB点C,F.B在同一条直线上.已知AC=p,EF=r,DB=q，则pqr之间满

足的数量关系式是（）

rqPPrq

^1,11—1,12

P<1rq「P

12.（上海中考）如图在等腰三角形ABC中,AB二AC点E,F在线段BC上点Q在线段AB上，且CF=BE/E?

=AQQAB.

求证:(I)NCAE=NBAF;

(2)CFFQ=AFBQ.

专题九相似三角形的基本模型

模型一“旋转”型

1.如图，若N1=N2,则下列各式不能说明△ABC-AADE的是()

B.ZD=ZB

D.ZE=ZC

2.如图,NBAC=90。^ABC绕点A逆时针旋转得到aADE,点D恰好在BC上，连接CE.

(DZBAE与NDAC有何关系？并说明理由.

(2)AABD与^ACE有何关系？并说明理由.

(3饯段BC与CE在位置上有何关系?为什么?

模型二“八”字型及其变形

3.如图在&ABC中CD.BE分别是△ABC的边AB,AC上的中线,则箸•=()

DrCr

第4题图

4.如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到

地面时，另一端A到地面的高度为90cm,则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是()

A.36cmB.40cm

C.42cmD.45cm

5.如图在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.过点O作BD的垂线，交BA的延长线于点E,交

AD于点F.交BC于点N.若EF=OF,ZCBD=30°,BD=6V3

⑴求证：EF=；EN;

⑵求AF的长.

模型三“8”字型及其变形

6.如图,AD,BC相交于点P,连接AC,BD,且N1=N2,AC=3,CP=2,DP=1,求BD的长.

7.如图,E为。ABCD的边CD延长线上的一点.连接BE交AC于点O,交AD于点F.

(1)求证:4AOB^ACOE;

(2)求证：B〃=EOFO.

模型四一线三等角型

8.如图,等边△ABC中,D为BC边上的一点,E为AC边上的一点且/人口£=60。而/4©£=3则4人8(2的边长

为()

A.I2B.14C.15D.16

9.如图,ABJ_BC,DC_LBC,E是BC上一点，使得AE_LDE.

(1球证:△ABE^AECD;

(2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的长；

⑶当^AED-AECD时，请写出线段AD.AB,CD之间的数量关系,并说明理由.

专题十平行线、相似三角形中等积式或比例式的证明方法

1.如图，点D在^ABC的边AB±,DE交AC于点E,NADE=NB,点F在AD上，且AD2=AFAB.

求,p1证—r-：/(1|、)A花D二元AE;

(2)AAEF^AACD.

2.如图.在四边形ABCD中,AC与BD相交于点0.直线I平行于BD,且与AB,DC,BC,AD及AC的延长线

分别相交于点M,N,R,S和P.求证：PMDPN=PR匚PS.

3.如图I,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点.连接CP并延长，交AD于点E,交BA的延长线于点F.

(I)求证：PEPF=Pd;

(2)如图2.连接AC交BD于点O,连接OE,若CE_LBC,求证:△POC^AAEC.

4.如图，在边长为6的正方形ABCD中、Q在CD的延长线上，H在CB的延长线上，ZHCQ绕点C逆时

针旋转口〃得到NHCQ：交AB于点E,交AD的延长线于点N.交BD于点F,NE与BD的交点为M,

连接CM.当BE=2时.

(I)求ND的长：

⑵求证:CFEF=MFBF;

(3球CM的性

5.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,NBAC=a，点P为AABC内部一点，且口利。=90+)

(1)如图I,若a=60。,延长BP交AC于点D,求证：DC2=DPCDB;

(2)如图2,过点P作EF//BC交AB,AC于E,F两点，求证：BE?=PE匚PF;

⑶如图3,连接AP并延长交BC于点G.若笑/直接写出差的值

6.点E在矩形ABCD的对角线BD上.DF_LAE于点G,交AB于点F.

(1)如图1,若DB平分/CDF,求证:AD=AE:

(2)如图2、取AD的中点M,若/AMF二/ABM*篝的值；

(3)如图3,过BD的中点0作OP_LAB于点P,延长P0交CD于点Q.连接EF交0P于点N.若NE=NF,

-AFAB

求证：族=而,

7.等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形CDE的直角顶点C重合.DE与AC相交于F,CD的延长线交A

B于G,连接BD.

⑴如图1,求证:ACCF=CECG;

(2)如图2,B,D,E在同一条直线上取AB的中点M,分别连接MC,ME.求证:MC二ME;

⑶如图3.过A作BD的平行线，过B作AC的平行线，两线相交于H,H在CG的延长线上.若BO2BH,

求当的值.

6黄金分割

基础夯实

1.(山西中考)神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹

直径的比约为0.618.这体现了数学中的()

A.平移B.旋转

C轴对称D.黄金分割

2.已知线段AB=2,点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP),则线段AP的长为()

A.V5B.V5C.3-V5D.V5-1

3.若P是线段AB上一点(AP>BP)且满足第=柴，则称点P是线段AB的黄金分割点.大自然是美的设计师，

即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”.如图，一片树叶的叶脉AB七'二之一cm.P为AB的黄金分割点

(AP>BP),求叶柄BP的长度.设BP=xcm,则符合题意的方程是()置官

A.(10-x)2=10xB.f=10(10r)B

C.x(10-x)=102D.10(l-x)2=10-x

4.(2024.山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字''晋"端庄稳重、舒展美观.

已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,且AB〃NP,“晋”字的笔画”、”的位置在AB的黄金

分割点C处，且々=与i苕NP=2cmWBC的长为cm.(结果保留根号)

5.九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图(如图1)比较美观，通过手绘(如图2)、测

量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DEM618AD.延长HF与AD相交于点G,则EG=DE.(精确

到0.001)

图1图2

能力提升

6.在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加

视觉美感如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01m.

参考数据：V2~1.414,V3~1.732,75=2.236)()2

A.0.73mB,1.24m

C.1.37mD,1.42m.

7.宽与长的比是字(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称

的美感我们可以用这样的方法画出黄金矩形，如图，作正方形ABCD,分别取AD.BC的中点E,F,连接EF以点

F为圆心，FD为半径画弧，交BC的延长线于点G;作GH_LAD,交AD的延长线于点H,则下列矩

形是黄金矩形的是)

A.矩形ABFEB.矩形EFCD

C.矩形EFGHD.矩形DCGH

8.某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置(如图，即车尾到倒

车镜的距离与车长之比为0.618).若车头与倒车镜的水平距离为1.91m,则该车车身总长为m.

9.古希腊的毕达哥拉斯在2500年前曾经大胆断言，一条线段(AB)的某一部分(AC)与另一部分(BC)之比，如

果正好等于另一部分(BC)同整个线段(AB)的比(即.8c^ZCIZIAB),那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分

割这条线段(AB)的点C称为线段AB的“黄金分割点”，如图所示，在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点

处最自然得体，那么在长20m的舞台AB上，主持人从A点向B点走多少米，他的站台最得体?（取加=1.4,6

=1.7,12.2