高考数学考前预习热点（八） 平面向量

热点（八）平面向量

1.（平面向量基本定理）设D为△ABC的边BC的延长线上

一点，反?=3⑦，则()

A.AT)=彳加一彳At?

41.

B.Al)=g助+gAt?

14

C.Ab=—T/O+TAt?

答案：c

解析：Al）=油+皿=A1?+Q反?=A1?+Q（A&—油）=—式2?

4

+，At;故选C.

J)

2.（向量共线的坐标表示）已知向量a=（4,2）,向量）=（茏3）,

且。〃A,则x=（）

A.9B.6

C.5D.3

答案：B

解析：因为向量Q=（4,2）,向量方=（X,3）且。〃A,

所以4X3=2x,x=6,故选B.

3.（向量的模）已知⑷=1,|例=2,a=Ab,zER,则|Q一加

等于（）

A.1B.3

C.1或3D.|z|

答案：C

解析：由可知。〃从即。与力的夹角为0或兀，

|a—肝=/+户一2⑷.臼cos0=|裙+血2-2⑷悯=1+4-4=

1,

或|0一肝=层+/一2|妙|臼cos兀=|印+|肝+2|研+=1+4+4

=9,

一"=1或3,故选C.

4.（数量积的应用）设向量Q=（1,cos。）与b=（-1,2cos。）

垂直，则cos2。等于（）

y[21

A，B.5

C.-1D.0

答案：D

解析：向量。=（1,cos。）与）=（—1,2cos8）垂直，可得2cos2。

—1=0,故cos26=2cos2。-1=0,故选D.

5.（向量的线性运算）在△ABC中，AB=2,BC=3,ZABC

=60。,4。为边上的高，。为4。的中点，若初=7勘+〃辰:,

则2+〃=（）

A.1B.g

C」D2

匕u.3

答案：D

解析：在中，BD=；AB=1.

又BC=3,所以・・・通=屈+协=⑰+:阮.

*/0为AD的中点，血=暴力=4油+；此.

2Zo

112

==

*•A0/J.BC9/»22»〃=不••.2+〃=可，故选D.

6.（共线定理的推广十角平分线性质）在△AOB中，G为AB

2

边上一点，0G是/AOB的平分线，且为=[/+优四，mER,

■*

5I

则)

I的

A2B.1

C.5D.2

套案.c

2

解析：如图所示，中，由平面向

bAOBOb=j，^0A+md^,

2323

量的基本定理得《+〃2=1,解得〃2=之，，而=［（%+3加，.•.才不

（油_9,・・・和=勤，二国=今・,•四=之

又0G是NAOB的平分线，.•.@1=殴，.•.因=,.故选C.

I西I的I的2

7.（向量的夹角）已知向量a,b满足H+4=|G—加，且⑷=小,

\b\=\,则向量力与Q—〃的夹角为（）

兀

A一B

•32731

兀

c一D

•65761

答案：B

2

解析：因为|。十）|=|。一b\9所以，+2a•）+/=02—2ab~\~b9

即ab=O.

b（a—b）—b1\b\

因此COS〈b,i=而寸回（…一而k

—91所以向量gai的夹角为2拳兀故选B.

8.（数量积的应用）已知向量。=（、徨,—^2）,b=（cosa,sin

。），则I。一例的最大值为（）

A.1B.小

C.3D.9

答案：C_________________________

解析：因为|a—臼=^/（A/2-cosa）2+（—^2-sina）2=

5+2吸（sin夕一cosa）=5+4sina-,

所以当sin^a—=1时，|a—b|取得最大值，最大值为吊5+4

=3,故选C.

9.（数量积的应用）在△ABC中，设|碇|2_|油产=2磁.沈，

则动点M的轨迹必通过△A5C的（）

A.垂心B.内心

C.重心D.外心

答案：D

解析：|杭|2-|勘|2=（祝+勘＞（疵一勘）=（祝+曲）.欧=

2碰•沈，

・•・史（At+初一2丽=0=＞求.（At一川+油一瓶）=

肥（杭+函=0,

设上为3C的中心，则碇+阳》=2陞,

・•・沈・2催=00况J_陞今ME为BC的垂直平分线，

的轨迹必过△ABC的外心，故选D.

10.（向量运算与函数）如图，在平面四边形ABCD中，

ABLBC,ADLCD,ZBAD=120°,AB=AD=\,若点E为边

CO上的动点，则魂•踮的最小值为（）

A21

A16B2

C型

c-16D.3

答案:A

解析:连接BD,AC,由ABA.BC,ADLCD,得NBCD=

60°,

易证△ACO四△AC6,所以CO=6C,所以△6CO为等边三

角形，易知80=黄.设历=Qt?(OWWl),

A^B^=(Ab+ffE)\Bb+ffE)=AbBb+ffE\Ab+Bb)+

防2=5+协.读+读2=3尸一5，+5(owW1).

乙乙乙

\21

所以当，=；时，上式取得最大值篇，故选A.

11.(数量积的定义)在正三角形ABC中，AB=2,Bb=Dt,

A£=1E&,且AD与BE相交于点0,则6•仍=()

A-4B.-1

C.-2D.—2

答案：B

解析：如图.

因为肋=力匕所以。是8C的中点，

所以助=；协

因为所以屈=:市?，

乙J

设At)=2A2),2>0,则AZ)=；/l油+，At\

因为以。，E三点共线，所以存在实数〃，使得

At)—//A&+(1-//)A&—//A&+T(1—U)ATJ,

相=〃，Z=2>

所以Ji]解得Jj

、手=W(1-〃)，4»

所以

3—]

Bb=B\+Ab=—

所以为•仍=A&而

=（暴+家卜油+（里

311

=一归油F—访・碇+记|杭产

311

22

=—T7X2—QX2X2Xcos600+T7X2

loolo

=—I，故选B.

12.[2018・浙江卷]（向量的综合应用）已知a,b,e是平面向

量，。是单位向量.若非零向量。与e的夹角为去向量力满足

力2—40力+3=0,则一臼的最小值是（）

A.^3-1B?j3+1

C.2D.2一小

答案：A

解析：解法一:〃一49）+3=0,

，S—2e）2=l,

・•・\b-2e\=\,

如图所示，把a,b,e的起点作为公共点。，以。为原点，

向量e所在直线为x轴，则〃的终点在以点（2,0）为圆心，半径为

1的圆上，|。一句就是线段的长度.

要求|4阴的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小

值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，

因此|〃一力|的最小值为仍一1.

故选A.

解法二设0为坐标原点，4=9,）=加=（占y）,e=（i。）,

由加一402+3=0得x2+丫2—4冗+3=0,即。-2）2+9=1,所以

点B的轨迹是以。（2,0）为圆心，1为半径的圆.因为。与e的夹

角为会所以不妨令点4在射线)，=313>0)上，如图，数形结合

可知|。一如产|土一|的=小一L故选A.

解法三由万?一4+3=0得力2—4e彷+3/=3—e)0—3e)

=0.

设b=加,e=应，3e=OX所以〃-e=£6,b—3e=裔,

所以西.踮=0,取E/的中点为C,则5在以。为圆心，EF为

直径的圆上，如图.设。=®,作射线04使得4。E=卓所

以I。一加=|(a-2e)+(2e-A)121a—2e|一|2©一/=|6|一|居2小

—1.故选A.

13.(向量的模)已知向量a,b满足Q=(L—1),a+b=(3J),

则吻=.

答案：2y(2

解析：依题意6=3+加一。=(3,1)—(1,—1)=(2,2),故|例

=^/22+22=2^2.

14.(数量积)设a,力是互相垂直的单位向量，且(2a+b)，(〃

+26),则实数2的值是.

答案：一2

解析：依题意，有⑷=|力|=1,且。•方=0,

又(〃+〃)_!_(〃+2力)，所以(痴+力>(0+2。)=0,

即2〃+2〃+(22+1)0。=0,即2+2=0,所以2=-2.

15.(向量的夹角)已知非零向量a,b满足|2a+"=|a+2加

=小⑷，则m〃的夹角为.

较案.—

u■3

解析：由题意，知|2a+b|=|a+2A|,

即(2a+5)2=3+20)2,即4a2+4ab+b2=a2+4ab+4b2；

解得/=〃，.•.⑷=族|.

又|。+2"=仍|。|,・・・(。+2〃)2=3屋，：.a1+4ah+4h2=3a2,

/.a2+4a2cos〈〃,b〉+4屋=3层,

又aWO,/.l+4cos〈〃，b〉+4=3,/.cos〈a,b)=—