多边形及其内角和课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章四边形21.1四边形及多边形21.1.2多边形及其内角和目录1.学习目标4.知识点1 多边形及其相关概念7.课堂小结3.新课导入8.当堂小练CONTENTS9.对接中考10.拓展与延伸2.知识回顾5.知识点2 多边形的内角和6.知识点3 多边形的外角1.探索并掌握多边形内角和与外角和公式.2.能运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，提升推理能力.学习目标知识回顾四边形的定义在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.四边形的外角和

四边形的内角和

新课导入在实际生活中，除了三角形、四边形，还有许多由线段围成的图形，观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？新课讲解知识点1多边形及其相关概念与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.边顶点对角线内角外角

说明多边形的三个必要条件：1.线段在“同一平面内”；2.线段“不在同一直线上”且条数不少于3；3.首尾顺次相接.新课讲解多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似.多边形有几条边就叫作几边形.多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的六边形，记作“六边形ABCDEF”.AEDCBF与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.说明新课讲解多边形的相关概念概念定义图形边组成多边形的各条线段顶点每相邻两条线段的公共端点内角多边形相邻两边组成的角外角多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角对角线连接多边形不相邻的两个顶点的线段新课讲解我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.下图中是正多边形的一些例子.正三角形正方形正五边形正六边形新课讲解例1.下列说法中，正确的有()①三角形是边数最少的多边形；②等边三角形和长方形都是正多边形；③n边形有n条边、n个顶点、n个内角和n个外角；④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解：①三角形是边数最少的多边形，正确；②等边三角形是正多边形，但长方形不是正多边形，错误；③n边形有n

条边、n个顶点、n个内角和2n个外角，错误；④根据对角线的定义画出六边形的对角线可知，从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条，正确.B新课讲解例2.下列图形中，一定是正多边形的是()A.直角三角形B.等腰三角形C.长方形D.正方形三条边不都相等，三个角不都相等.三条边不一定都相等，三个角也不一定都相等.四个角都相等，但四条边不一定都相等.四条边都相等，四个角都相等.D新课讲解练一练1.下列说法错误的是(

)A.五边形有5条边，5个内角，5个顶点B.四边形有2条对角线C.正多边形的每个外角都相等D.六边形的六个角都相等D新课讲解练一练2.从一个多边形的一个顶点可引2026条对角线，则这个多边形的边数是(

)A.2026 B.2027C.2028 D.2029D新课讲解1.三角形是最简单的多边形.2.多边形用表示它的各个顶点的字母表示时，字母必须按顺时针或逆时针的方向排列.3.若一个多边形的各个角都相等或各条边都相等，则它不一定是正多边形.注意新课讲解知识点2多边形的内角和探究类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？(1)从四边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，将四边形分成____个三角形，四边形的内角和等于____×180°；(2)从五边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，将五边形分成____个三角形，五边形的内角和等于____×180°；(3)从六边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，将六边形分成____个三角形，六边形内角和等于____×180°；(4)从n边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，将n边形分成_____个三角形，n边形内角和等于_____×180°.221332443(n-2)(n-3)(n-2)新课讲解证明方法图形证法2在n边形内任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角，即可得到n边形的内角和为(n－2)×180°证法3在n边形的一边上任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成(n－1)个三角形，这(n－1)个三角形的内角和为(n－1)×180°，再减去这点处的一个平角，即可得到n边形的内角和为(n－2)×180°证法4在n边形外任取一点O，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，得到以n边形的边为一边，顶点为O的三角形有n个，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去两个三角形的内角和，即可得到n边形的内角和为(n－2)×180°新课讲解

多边形的内角和公式

注意新课讲解例3.如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与边DE平行，求∠BCA的度数.

新课讲解例

新课讲解练一练1.如图，在正六边形ABCDEF中，∠CAE的度数是_______．

ADCEBF新课讲解练一练2.已知两个多边形的内角总和为1080°，且边数之比为2∶3，求这两个多边形的边数.

新课讲解

归纳新课讲解知识点3多边形的外角探究与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角、它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度？请你说明理由.与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于

n×180°-(n-2)×180°=360°.新课讲解

多边形的外角和公式

说明新课讲解

多边形的外角和在正多边形中的应用新课讲解例

新课讲解例

方法点拨：解：设原多边形的边数为n，将一个多边形截去一个角后图形有以下三种情况：①当边数增加1时，则有(n＋1－2)×180°＝2880°，解得n＝17；②当边数不变时，则有(n－2)×180°＝2880°，解得n＝18；③当边数减小1时，则有(n－1－2)×180°＝2880°，解得n＝19.综上可知，原多边形的边数是17或18或19.新课讲解练一练1.图(1)是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图(2)是从图(1)冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的一个图形.已知∠3+∠4=180°，∠2=61°，∠5=52°，则∠1的度数为（

）A.57°B.66°C.63°D.67°D解：∵多边形的外角和等于360°，∴∠1+2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠1=360°-∠2-∠3-∠4-∠5=67°.新课讲解练一练2.一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，求这个多边形对角线的条数是多少？

课堂小结多边形及其内角和相关概念与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.内角和公式n边形的内角和等于(n-2)×180°外角和公式多边形的外角和等于360°当堂小练1.求出下列图形中x的值：x°x°x°x°x°2x°150°120°(1)(2)(3)135°150°x°AB//CDBACDE解：(1)由2x+x+150+120+90=(5-2)×180，得x=60.(2)由4x+90+90=(6-2)×180，得x=135.(3)∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°.由x+150+180+135=(5-2)×180，得x=75.当堂小练2.如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝()A.140°B.150°C.160°D.170°B当堂小练3.(1)一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是几边形？(2)一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？(3)一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？

当堂小练4.一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？

当堂小练5.如图，从一个五边形中切去一个三角形，得到一个三角形和一个新的多边形，那么这个新多边形的边数为多少？请画图说明.解：分三种情况：(1)如图①，新多边形为四边形；(2)如图②，新多边形为五边形；(3)如图③，新多边形为六边形.综上所述，这个新多边形的边数为4或5或6.当堂小练6.如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，求∠P的度数．对接中考1.已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为()A.10B.11C.12D.13A解：设这个多边形的边数为n.根据题意，得(n－2)×180°＝4×360°.解方程，得n＝10.因此该多边形的边数为10.对接中考2.如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于点M，N，则∠1＋∠2的度数为()A.216°B.180°C.144°D.120°C

(1)如图①，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为________；(2)如图②，求