2025北京一七一中初三10月月考数学试题及答案

初中2025北京一七一中初三10月月考数学（时长：120分钟总分值：100分）一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史，2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是（）A.（﹣1，2） B.（﹣1，﹣2） C.（1，﹣2） D.（1，2）3.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（）A. B. C.4 D.164.用配方法解方程x2＋4x＝1，变形后结果正确的是（）A.(x＋2)2＝5 B.(x＋2)2＝2 C.(x－2)2＝5 D.(x－2)2＝25.若圆的半径为1，则的圆心角所对的弧长为（）A. B. C. D.6.如图，圆心角，则的度数是（）A. B. C. D.7.已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值大于的自变量的取值可以是（）A. B. C. D.8.已知二次函数的图象如图所示，过点．有以下结论：①；②；③，④．其中正确结论的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（每题2分，共16分）9.方程的解是______．10.若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为________．11.如图，是的直径，是弦，，则_________°．12.已知y是x的二次函数，表中列出了部分y与x的对应值：x012y01则该二次函数有______（填“最小值”或“最大值”）．13.物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______．14.如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=___度．15.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，BC=5，则△ABC的周长为_____．16.如图，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与x轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为______．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17.解方程：．18.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径．19.已知：如图1，点，在上，点在外．求作：的切线，且切点在劣弧上．作法：如图2，①连接；②作线段的垂直平分线，交于点；③以点为圆心，的长为半径画圆，交劣弧于点；④画直线．直线即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接．∵是的直径，∴________（__________）（填推理的依据）．∴．∵是的半径，∴直线是的切线（____________）（填推理的依据）．20.已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根均为负数，求的取值范围．21.已知二次函数．（1）二次函数的图象与轴交于点，（点在点左边），则，两点的坐标为________；（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）当时，的取值范围是________．22.如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为．（1）画出与关于原点O中心对称的，点的坐标是______；（2）画出绕着点A逆时针方向旋转得到的．（3）在（2）的条件下，求点B走过的弧长．23.有一块长、宽的矩形纸片，在它的四角各截去一个相同的小正方形，然后将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，若使长方体盒子的底面积为，求截去的小正方形的边长．24.如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD=2AD，⊙O的直径为10，求线段AB的长.25.如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头的M处有一棵高度是的树，距离这棵树的N处有一面高的围墙．建立如图所示的平面直角坐标系．已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）（单位：m）近似满足函数关系（1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：x02610121416y0①根据上述数据．求这些数据满足的函数关系；②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由．（2）某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式：（A）；（B）；（C）；（D）．其中正确的不等式是．（填上所有正确的选项）26.已知抛物线．（1）求此抛物线的顶点的坐标；（2）若点，均在抛物线上，求线段的长度；（3）若这条抛物线经过点，，且，求的取值范围．27.如图，为等边三角形，点M为边上一点（不与点A，B重合），连接，过点A作于点D，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．（1）依题意补全图形，直接写出的大小，并证明；（2）连接并延长交于点F，用等式表示与的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点C是弦的“可及点”．（1）如图，点，．①在点，，中，点______是弦的“可及点”，其中______°；②若点D是弦的“可及点”，则点D的横坐标的最大值为______；（2）已知P是直线上一点，且存在的弦，使得点P是弦的“可及点”．记点P的横坐标为t，直接写出t的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）12345678ADCADCBC二、填空题（每题2分，共16分）9.【答案】解：，或，，．故答案为：，．10.【答案】解：关于的一元二次方程有一个根为，设另一个根为，∴，即，∴，∴，∴，故答案为：

．11.【答案】∵是的直径，，又∵，．故答案为：．12.【答案】解：由表格可知：随的增大，先减小后增大，∴该二次函数图像的开口向上，∴该二次函数有最小值；故答案为：最小值

．13.【答案】解：，，，,的高为,为,为,，故答案为：14.【答案】∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=40°．在△ABB′中，∠ABB′=（180°﹣∠BAB′）=（180°﹣40°）=70°．∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣70°=20°．15.【答案】∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，∵BE+CE=BC=5，∴BD+CF=BC=5，∴△ABC的周长=2+2+5+5=14，16.【答案】解：∵为的弦，且，∴点是的中点，∵点D是的中点，∴是的中位线，∴，即当最大时，线段取得最大，此时为的直径；如图所示：∵点M坐标为，点A坐标为，垂直平分，∴；∵点M是的中点，∴；∵点D是的中点，，；∴，故答案为：三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17.【答案】解：由得：，解得：；18.【答案】如图，连接OC，∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，∴EM⊥CD．∴CM=MD．∵CD=10，∴CM=5．设OC=x，则OM=25-x，在Rt△COM中，根据勾股定理，得52+（25-x）2=x2．解得

x=13．∴⊙O的半径为13．19.【答案】（1）解：使用直尺和圆规，依作法补全图形如下：．（2）证明：连接．∵是的直径，∴（直径所对的圆周角是直角）．∴．∵是的半径，∴直线是的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．20.【答案】解：（1）证明：依题意，得==4．∵，∴该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵，∴∴，．∵方程的两个根均为负数，∴解得．21.【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，（点在点左边），∴，即，解得：，，∴，；故答案为：，（2）解：列表：描点、连线，画出图象，如图所示：（3）解：观察图象，可得：当时，的取值范围为．故答案为：22.【答案】（1）解：如图所示：即为所求由图可知：点的坐标是；（2）解：如图所示：即为所求（3）解：由图可知：，∴点B走过的弧长23.【答案】解：设截去正方形的边长为，由题意得：，整理得：，解得：（舍去），∴截去的小正方形的边长为；24.【答案】试题分析：（1）要证CD为⊙O的切线，只要证CD垂直于对切点的半径，故作辅助线：连接OC，由三角形三个内角和为180°的性质和等腰三角形的判定和性质，即能证出∠DCO=90°，从而得证；（2）要求AB的长，就要考虑它是三角形中的线段或与三角形中的线段有关系，根据垂径定理，只要作OF⊥AB，即有AB=2AF，故只要求出AF即可，由勾股定理和等量代换即可求得.试题解析：（1）如图，连接OC,∵点C在⊙O上，OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°.∴∠CAD+∠DCA=90°.∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO.∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC="90°."又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线.（2）如图，过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°.∴四边形OCDF为矩形，∴OC=FD，OF=CD.∵CD=2AD，设AD=x，则OF=CD=2x，∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x.在Rt△AOF中，由勾股定理得.即，化简得：，解得或（舍去）.∴AD="2,"AF=5-2=3.∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6.考点：1.三角形内角和定理；2.等腰三角形的判定和性质；3.圆的切线的判定；4.矩形的判定和性质；5.勾股定理；6.等量代换；7.解一元二次方程；8.垂径定理.25.【答案】（1）解：①根据抛物线过原点，设抛物线解析式为，把和代入得：，解得，∴抛物线解析式为；②当时，，∵，∴喷水头喷出的水柱能越过这棵树；（2）解：∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，∴当时，，即，故A正确，符合题意；∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外，∴当时，，即，故B不正确，不符合题，C符合题意；抛物线对称轴为，∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，∴，故D不正确，不符合题意．故答案为：A、C．26.【答案】（1）解：把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，可得：，抛物线的顶点坐标是；（2）解：点和点的纵坐标相等，点与关于对称轴对称，点到对称轴的距离是，点到对称轴的距离也是，；（3）解：抛物线的解析式中，抛物线开口向上，由可知，抛物线的解析可以整理为，抛物线的对称轴是，点的坐标为，点关于的对称点的坐标是，当点，在对称轴左侧时，若，则，解得：；当点，在对称轴右侧时，若，则，解得：；综上所述，若，则或．27.【答案】（1）如图所示，即为补全的图形，证明：∵为等边三角形，∴，由旋转知，，∴，∴，∵，∴；（2），理由如下：如图，过点C作，交的延长线于点G，则，∵，∴是等边三角形，∴，由（1）知：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．28.【答案】（1）解：作出关于直线的对称圆，则的半径为，如图所示：∵，，在平面直角坐标系中分别是边长为一个单位长度的正方形的三个顶点，∴根据正方形的对称性可知，∵若点C关于直线的对称点在上或其内部，∴点C应该在的圆内或圆上，①根据点与圆的位置关系，结合图可知：∵，∴，∴在上，连接，，∵，，，∴，即是等腰直角三角形，∴.故点是弦的“可及点”，其中.∵点，点，∴，，∴点，点在的外部，故都不是弦的“可及点”.②取的中点，若点D是弦的“可及点”可知：∵，∴，以点为圆心，为半径作，如图所示：则点的运动轨迹为在内部的（不包括端点）；∵，，，∴，；当轴时，点D的横坐标的最大，且最大值为.（2）解：作出关于直线的对称圆，则的半径为，如图所示：∵点P是弦的“可及点”，∴点P应该在的圆内或圆上，作出的外接圆，连接，，∴点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点、），∴，∴，由轴对称的性质得、在的垂直平分线上，∵的外接圆为，∴点也在的垂直平分线上，连接交于Q，∴，∴，∵满足条件的点P既要在的上（不包括端点、），又要在的圆内或圆上，∴随着的增大，会越来越靠近，当点与点