2025北京首师大附中高二(上)期中数学试题及答案

高中2025北京首都师大附中高二（上）期中数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.2.经过点且倾斜角为的直线的方程是（）A. B.C. D.3.与圆相切于点的直线的斜率为（）A. B. C. D.24.直线被圆截得的弦长为（）A. B. C. D.5.已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（）A. B. C. D.6.已知直线：，：，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为（）A. B. C. D.8.已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（）A. B. C. D.9.已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.10.点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“点”，则下列结论中正确的是()A.直线上的所有点都是“点”B.直线上仅有有限个点是“点”C.直线上的所有点都不是“点”D.直线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点”第Ⅱ卷（共100分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为___________．2.若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为________．13.P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为_____.14.已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点，且满足，则抛物线的方程为_______；设直线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为______.15.古希腊数学家阿波罗尼斯在其著作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义和利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，并探究了许多圆锥曲线的性质．其研究的问题之一是“三线轨迹”问题：给定三条直线，若动点到其中两条直线的距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数，求该点的轨迹．小明打算使用解析几何的方法重新研究此问题，他先将问题特殊化如下：给定条直线，，，动点到直线、和的距离分别为、和，且满足，记动点的轨迹为曲线．给出下列四个结论：①曲线关于轴对称；②曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为；③平面内存在两个定点，曲线上有无数个点到这两个定点的距离之差为；④的最小值为．其中所有正确结论的序号是___________．三、解答题共5小题，每小题15分，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.椭圆E的方程为（1）直接写出椭圆E的焦点坐标和长轴长；（2）已知直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线l的方程.17.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，E是线段的中点，连结.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.18.已知抛物线过点，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M、N，过点M作x轴的垂线分别与直线，交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标；（2）求证：A为线段的中点．19.已知椭圆E的两个顶点分别为，，焦点在x轴上，且椭圆E过点.（1）求椭圆E的方程；（2）设O为原点，不经过椭圆E的顶点的直线l与椭圆E交于两点，直线BP与直线OC交于点H，点M与点Q关于原点对称.（i）求点H的坐标（用，表示）；（ii）若A，H，M三点共线，求证：直线l经过定点.20.已知集合，对于，，定义与之间的距离为．（1）已知，写出所有的，使得；（2）已知，若，并且，求的最大值；（3）设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．

参考答案第Ⅰ卷（共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910BBADBCBBBA第Ⅱ卷（共100分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】因为双曲线的渐近线为，所以，则，故答案为：.12.【答案】联立，化简并整理得：，由题意得或，解得或无解，即，经检验，符合题意.故答案为：（或，答案不唯一）.13.【答案】设，则，易知，当且仅当时取得最小值.故答案为：14.【答案】解：依题意，根据抛物线的定义可得为抛物线的准线，所以，即，所以抛物线方程为，则，当时，，所以，所以直线的方程为，设直线与抛物线的另一个交点为，联立直线与抛物线方程，消去得，所以，所以故答案为：；15.【答案】直线的方程为，直线的方程为，设点，则，，，所以，，化简可得.对于①，在曲线上任取一点，则点关于轴的对称点为，所以，，故点在曲线上，①对；对于②，设点.当时，则曲线的方程可化为，可得，设坐标原点为，则，且原点坐标满足方程，此时有意义，②错；对于③，当，则曲线的方程可化为，整理可得，取双曲线的焦点、，根据双曲线的定义可知，曲线上有无数个点，使得，③对；对于④，当点在抛物线上，且时，，当且仅当时，等号成立，当点在双曲线的上支时，则，且且，此时，，因为，所以，且，故，当且仅当时，等号成立；当点在双曲线的下支时，同理可求得的最小值为.综上所述，的最小值为，④对.故答案为：①③④.三、解答题共5小题，每小题15分，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）设E的焦点坐标，由可知，该椭圆的长轴长，短轴长，所以，则焦点坐标为；（2）设，联立直线与椭圆方程，则，所以，即，且，所以，则直线l的方程为.17.【答案】（1）因为四边形为菱形，所以．又因为，为的中点，所以．又因为平面平面，平面平面，所以平面．因为平面，所以．（2）连结．因为，为的中点，所以．由（1）可知平面，所以，．设，则．如图，建立空间直角坐标系．所以．所以，．因为平面，所以是平面的一个法向量．设平面的法向量为，则，即，所以令，则，．于是．所以．由题知，二面角为钝角，所以其余弦值为．18.【答案】（1）由抛物线过点，得．∴抛物线的方程为．抛物线的焦点坐标为；（2）由题意，设直线的方程为与抛物线的交点为．由，得．当时，．∵点的坐标为，∴直线的方程为，点的坐标为．直线的方程为，点的坐标为．∵∴，．故为线段的中点．19.【答案】（1）设椭圆E的方程为由题意得，解得，所以椭圆E的方程为（2）（i）由题可知：且.设直线BP的方程为，直线OC的方程为.由得，所以H的坐标为.（ii）由题可知，直线l的斜率存在.设直线l的方程为，由得，由于直线l与椭圆E交于不同的两点，所以，则，.由题可知.因为A，H，M三点共线，所以，化简得，即.所以，所以.化简得，即，解得或.当时，直线l的方程为，经过，不符合题意.当时，直线l的方程为，经过，其中.综上，直线l经过定点.20.【答案】（