新疆乌鲁木齐市2025届高三数学第三次质量监测试题含解析

（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）

注意事项：

1．本试卷分为问卷和答卷，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上．

2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚．

第I卷（选择题共58分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目

要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

2

1.已知抛物线C:y4x，则C的焦点坐标为（）

A.1,0B.2,0C.0,1D.0,2

【答案】A

【解析】

【分析】直接根据抛物线方程计算可得.

【详解】抛物线C:y24x的焦点坐标为1,0.

故选：A

2.已知p:x1,q:x2，则p是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即得解

【详解】由题意，x1推不出x2，故充分性不成立；

但x2可以推出x1，故必要性成立

故p是q的必要不充分条件

故选：B

3.已知复数z满足z12，则z的取值范围是（）

A.0,1B.0,3C.（1，3）D.1,3

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的模的几何意义作图，数形结合即可求得z的取值范围.

【详解】由z12可理解为复数z表示的点Z的轨迹是以C(1,0)为圆心，半径为2的圆，

而z则可理解为圆C上的点到原点的距离，作出图形如下.

如图，当点Z在Z1(3,0)时，与原点距离最大为3，当点当点Z在Z2(1,0)时，与原点距离最小为1，

故z的取值范围是1,3.

故选：D.

2ð

4.已知集合Ax2xx10，Bxx1，则RAB（）

1111

A.,1B.,1C.1,D.1,

2222

【答案】A

【解析】

2ð

【分析】解不等式2xx10求得集合A，可求得RA，解不等式x1，求得集合B，进而求得

ð

RAB.

1

【详解】由2x2x10，得2x1x10，解得1x，

2

11

所以Ax1x，所以ðAxx1或x，

2R2

由x1，可得1x1，所以Bx1x1，

ð11

所以RABx|x1,1.

22

故选：A.

5.已知Sn是等差数列an的前n项和，若S4S11，a41，则a12（）

A.2B.1C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件，利用数列的性质得到a80，进而求出公差，即可求解.

【详解】因为S4S11，则a5a6a117a80，所以a80，

a8a411

又a41，所以数列a的公差为d，所以aan8dn8，

n844n84

1

则a1281，

124

故选：B.

6.溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pHlgH，其中H表示溶液中氢离子的浓

度（单位：mol/L）．某强酸溶液加水稀释后pH值增加2，则稀释后溶液中氢离子的浓度与稀释前溶液中

氢离子的浓度比值为（）

11

A.2B.C.100D.

2100

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，列出方程，利用对数的运算性质和指对数的互化计算即得.

【详解】设稀释前溶液的pH值为m，氢离子的浓度为n1，

加水稀释后pH值为m2，氢离子的浓度为n2.

则mlgn1,m2lgn2，

两式相减，可得lgn2lgn12，

nn1

化简得lg22，解得2.

n1n1100

故选：D.

π

7.函数yAsinxA0,0,0π的部分图象如图所示，AC23，ACB，则

6

（）

1π

A.B.1C.D.π

22

【答案】C

【解析】

【分析】记BC与x轴的交点为M，连接AB，设AB=a，则BC2a，在△ACB中，利用余弦定理可

求得a，进而在△ACM中，求得AM，进而利用周期可求.

【详解】记BC与x轴的交点为M，连接AB，由题意可得M在函数yAsinx的图象上，且为

一个对称中心，

π

设AB=a，则BC2a，又AC23，ACB，

6

π

在△ACB中，由余弦定理可得AB2AC2BC22ACBCcos，

6

23

即a2234a22232a，整理得3a212a120，解得a2，

2

π

在△ACM中，由余弦定理可得AM2AC2MC22ACCMcos，

6

3

所以AM212422324，所以AM2，

2

所以函数yAsinx的最小正周期为T2AM4，

π

所以2π，所以.

42

故选：C.

221

8.已知椭圆xy，直线*，若*，都存在椭圆上两点，

C:1ln:y2xnNnNCPnxn,yn

432n1

2025

'''关于对称，则''（）

Pnxn,ynlnxkxkykyk

k1

1111

A.51B.101C.151D.201

22025220252202522025

【答案】A

【解析】

1

【分析】利用点和点'关于直线对称得出''和

PnPnlnynyn2xnxn

2n

''''

1xxxxyyyy

''，再利用点差法得出nnnnnnnn，

ynynxnxn0

243

将前两个式子代入化简即可求得'，'，最后利用等比数列的前项和公式计算即可.

xnxnynynn

xx'yy'

【详解】由题意可得，线段'的中点坐标为nnnn，

PnPnQn,

22

''

ynynxnxn1

则点Qn坐标满足直线ln的方程，即2，

222n1

1

即''，①

ynyn2xnxn

2n

yy'11

又由题意可得nn，则''，②

k'ynynxnxn

PnPn'

xnxn22

22

'''xy

因点Pnxn,yn，Pnxn,yn都在椭圆C:1，

43

22'2'2

xnynxnyn

则1，1，

4343

2'22'2

xnxnynyn

两式相减得，0，

43

''''

xnxnxnxnynynynyn

即0，

43

'11'

''2xxxx

nnnnn

将①式和②式代入得，xnxnxnxn22，

0

43

1

化简得xx'，

nn2n1

1213

则''，

ynyn2xnxn

2n2n12n2n

135

则xx'yy'，

nnnn2n12n2n

20252025520251111

则''

xkxkykykk5k522025

k1k12k12222

11

202611

5225151.

120252025

122

2

故选：A

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9.甲，乙，丙，丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可

以判断出一定没有出现点数6的同学是（）

A.甲：平均数为3，中位数为2B.乙：众数为3，平均数为2.4

C.丙：平均数为2，方差为2.4D.丁：中位数为3，众数为2

【答案】BC

【解析】

【分析】根据选项中的数字特征通过举例说明A，D满足条件但出现了点数6，对于B，C项，则通过分析说

明没有出现点数6即可判断.

【详解】对于A，当甲的统计结果为1,2,2,4,6时，满足平均数为3，中位数为2，故A不正确；

对于B，因乙同学的统计平均数为2.4，则总点数为2.4512，又众数为3，则至少有两个3.

当有两个3时，另外三个骰子点数之和为6，则任何一个骰子不可能出现点数6；

当有三个3时，另外两个骰子点数之和为3，不可能出现点数6；有四个3更不可能，故B正确；

对于C，因丙同学的统计平均数为2，若出现了至少一次点数6，设其余四次点数分别为x1,x2,x3,x4，

1

则其方差为s2[(x2)2(x2)2(x2)2(x2)2(62)2]42.4，故C正确；

51234

对于D，当丁同学的统计结果为2,2,3,4,6时，满足中位数为3，众数为2，故D不正确.

故选：BC.

10.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，互相不垂直且有公共原点的两条数轴构成平

面斜坐标系，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点的斜坐标这样定义：若，

xOyxOyPOPxe1ye2

（其中，是分别与x轴，y轴方向相同的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标

e1e2Px,yOP

为x,y．已知点A,B的斜坐标分别为x1,y1,x2,y2，则下列结论正确的是（）

A.

OAOBx1x2,y1y2

B.

OAx1,y1

C.若，则

OAOBx1x2y1y20

D.22

ABx1x2y1y22x1x2y1y2cos

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据斜坐标定义将表示成的形式，可判断A正确，再由数乘运算可得B正确，利用向

OB,OAe1,e2

量数量积的坐标运算可得x1x2y1y2x2y1x1y2cos，不一定为0，即C错误；再由向量模长的坐

标表示计算可求得D正确.

【详解】对于A，由定义可知,，

OAx1e1y1e2OBx2e1y2e2

所以，

OAOBx1e1y1e2x2e1y2e2x1x2e1y1y2e2

即可得，可知A正确；

OAOBx1x2,y1y2

对于B，易知，所以，即B正确；

OAx1e1y1e2x1e1y1e2OAx1,y1

对于C，若OAOB，

22

则

OAOBx1e1y1e2x2e1y2e2x1x2e1x2y1x1y2e1e2y1y2e2

x1x2y1y2x2y1x1y2cos0，

因此x1x2y1y2x2y1x1y2cos，不一定为0，即C错误；

对于D，易知ABOBOAx2e1y2e2x1e1y1e2x2x1e1y2y1e2，

222

所以22

ABx2x1e1y2y1e2x1x2e1y1y2e22x1x2y1y21ee2

22，即D正确.

x1x2y1y22x1x2y1y2cos

故选：ABD

1

11.设函数fx的定义域为0,，fx的导函数fx满足xfxfx，且f11，则

x

下列结论一定成立的是（）

A.fx的最大值为1

11

B.yfx在点,f处的切线为e2xye0

ee

C.若方程fxt有两个不同的解x1，x2，则x1x22

9

D.若x1>0，x0，xxe，则fxfx

212124e

【答案】ABD

【解析】

1

【分析】先求f(x)表达式：由xf(x)f(x)，根据求导法则得xf(x)lnxC，再代入f(1)1求

x

lnx1

出C，进而得到f(x)，用除法求导法则对f(x)求导.对于A选项：令f(x)0得极值点，根

x

1

据导数正负判断单调性，求出最大值.对于B选项：先求x处的函数值和导数值，再用点斜式求切线方

e

程.对于C选项：设0<x1<1<x2，通过构造函数g(x)f(x)f(2x)，判断其单调性来证明.对于D选

项：由x1x2e得lnx1lnx21，将f(x1)f(x2)变形，换元后根据二次函数性质求最值.

11

【详解】已知xf(x)f(x)，可知(xf(x))xf(x)f(x).

xx

可得xf(x)lnxC（C为常数）.

因为f(1)1，将x1，f(1)1代入xf(x)lnxC，可得1f(1)ln1C，即10C，解得C1.

lnx1

所以xf(x)lnx1，则f(x)，x(0,).

x

lnx1

对f(x)求导，可得：

x

1

x(lnx1)1

(lnx1)x(lnx1)x1lnx1lnx.

f(x)x

x2x2x2x2

lnx

对于选项A，令f(x)0，即0，解得x1.

x2

当0<x1时，lnx<0，则f(x)0，f(x)单调递增；

当x>1时，lnx>0，则f(x)<0，f(x)单调递减.

ln11

所以f(x)在x1处取得极大值，也是最大值，f(1)1，但当x时，f(x)0，所以f(x)

1

没有最小值，A选项正确.

1

ln1

11-1+1

对于选项B，当x时，f()e0.

ee11

ee

1

ln

11

f()ee2.

11

e()2

ee2

111

根据点斜式方程可得y0e2(x)，即e2xye0，所以yf(x)在点(,f())处的切线为

eee

e2xye0，B选项正确.

对于选项C，由前面分析可知f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减.

不妨设0<x1<1x2，若x1x2<2，则x2<2x1，因为2x1>1，且f(x)在(1,)上单调递减，所以只

需证明f(x2)>f(2x1)，又因为f(x1)f(x2)，所以只需证明f(x1)>f(2x1).

lnxln(2x)

令g(x)f(x)f(2x)，0<x<1，则g(x)f(x)f(2x).

x2(2x)2

当0<x<1时，lnx<0，ln(2x)>0，x2>0，(2x)2>0，所以g(x)>0，g(x)在(0,1)上单调递增，则

g(x)g(1)f(1)f(1)0，即f(x)<f(2x)，所以f(x1)<f(2x1)，与f(x1)>f(2x1)矛盾，C选

项错误.

对于选项D，因为x1x2e，所以lnx1lnx21.

(lnx11)(lnx21)lnx1lnx2lnx1lnx21lnx1lnx22

f(x1)f(x2).

x1x2ee

t(1t)2t2t2

令tlnx1，则lnx21t，所以f(x)f(x).

12ee

111

对于二次函数yt2t2，其对称轴为t，开口向下，所以当t时，y取得最大值，

2(1)22

119

y()22.

max224

9

则9，D选项正确.

f(x)f(x)4

12e4e

故选：ABD.

第II卷（非选择题共92分）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．

12已知a，blog2，则_____．

.233ab

【答案】1

【解析】

【分析】根据条件，利用指对数互换和换底公式，即可求解.

a

【详解】因为23，则alog23，又blog32，

log33

所以ablog23log32log32log331，

log32

故答案为：1.

π3

13.单位圆上位于第一象限的点P按逆时针方向旋转后到点Q，若点Q横坐标为-，则点P横坐标为

35

_____．

【答案】433

10

【解析】

ππ3

【分析】先由题设Px,yx0,y0,xOP0,，接着结合题意得到cos，

235

再结合两角和的余弦公式、x2y21以及求根公式求出x即可得解.

π

【详解】由题可设Px,yx0,y0,xOP0,，

2

π

则siny,cosx,xOQ，

3

πππ1336

则由题coscoscossinsinxyx3y，

3332255

2

22622123362

所以xy3yy4yy1，即100y603y110，

5525

2

解得660360341001161808036343，

x3y3

521005200510

433

又x0，所以x.

10

故答案为：433.

10

14.已知正三棱锥PABC，底面边长为3，二面角PABC的正切值为23，则正三棱锥PABC

的外接球半径为_____，E,F分别为正三棱锥PABC内切球，外接球球面上的动点，则线段EF长度的

最大值为_____．

【答案】①.2②.3

【解析】

【分析】过P作PE面ABC，利用正三棱锥的性质，知E是ABC的中心，再利用几何关系和条件，

可得AE3，由正三棱锥的性质知外接球球心在PE上，再利用勾股定理，即可求出外接球的半径，再

利用等体积法，求出内切球的半径，根据条件转化成求两球心距和内切球、外接球半径之和，即可求解.

【详解】如图，过P作PE面ABC，因为PABC是正三棱锥，则E是ABC的中心，

连接AE并延长交BC于F，则F是BC的中点，连接PF，

因为AFBC，PFBC，所以PFA为二面角PABC的平面角，

331333233

又AF，E是中心，则EF，AE3，

232232

PE3

在Rt△PEF中，由tanPEF，得到PEEFtanPFE233，

EF2

因为PABC是正三棱锥，则PABC的外接球球心在PE上，设球心为O，半径为R，连接OA，

22222

如图，由OAOEEA，得到R23R3，解得R2.

22233939

因为PFPEEF9，所以PF，

442

则139339，又，1393，

S3SPBCSPACSPABS33

PBC224ABC224

设正三棱锥PABC内切球的圆心为O1，半径为r，易知O1在PE上，

11133993193

由，得到3r3，所以

SPBCSPACSPABSABCrSABCPE

3334434

131

r，

4

131513

又OE1，OO1，

144

513131

则线段EF长度的最大值为OOrR23，

144

故答案为：2，3.

四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步

骤．

15.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acosB3asinBbc．

（1）求A；

π

（2）若B，ABC的面积为33，求a的值．

4

π

【答案】（1）A；

3

（2）a23.

【解析】

【分析】（1）先由题和正弦定理边化角并结合两角和正弦公式化简得3sinA1cosA，接着由两角差的

π1

正弦公式得到sinA即可求解角A；

62

11sinBsinC

（2）结合（1）求出角C，接着由SabsinCa233即可求解.

△ABC22sinA

【小问1详解】

由题和正弦定理得sinAcosB3sinAsinBsinBsinC，

所以sinAcosB3sinAsinBsinBsinABsinBsinAcosBcosAsinB，

所以3sinAsinBsinBcosAsinB，

π1

因为B0,π，所以sinB0，所以3sinA1cosA，即sinA，

62

ππ5ππππ

又A0,π，所以A,，所以A，即A；

666663

【小问2详解】

5π11sinBsinC

由题意可得C，SabsinCa233，

12△ABC22sinA

解得a23．

16.如图，点C在以AB为直径的圆周上运动，PA平面ABC，PAAB2，M是PB的中点．

（1）若AC1，求三棱锥P－AMC的体积；

（2）当ABC面积最大时，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．

【答案】（1）3

6

（2）6

3

【解析】

【分析】（1）先证BC平面PAC，推得BC的长即点B平面PAC的距离，利用M是PB的中点可得

1

VV，即可求出三棱锥P－AMC的体积；

PAMC2PABC

（2）依题意建系，写出相关点的坐标，求得平面PBC的法向量，利用两空间向量的夹角的坐标公式计算

即得.

【小问1详解】

因AB为直径，则ACCB，可得BCAB2AC23，

因M是PB的中点，则点M到平面PAC的距离等于点B平面PAC的距离的一半.

因PA平面ABC，BC平面ABC，则PABC，

因ACPAA,AC,PA平面PAC，则BC平面PAC，则BC的长即点B平面PAC的距离.

11113

故VV213.

PAMC2PABC2326

【小问2详解】

因ABC为直角三角形，AB2，故当且仅当ACBC2时，ABC面积最大，

此时以点A为坐标原点，AB，AP所在直线为y轴、z轴，过A作x轴平面PAB，建立空间直角坐标

系Axyz，

则A0,0,0，B0,2,0，C1,1,0，P0,0,2，M0,1,1．

BP0,2,2，BC1,1,0，AM0,1,1．

设平面PBC的法向量为nx,y,z，

nBP2y2z0

则，则可取，

n1,1,1

nBCxy0

nAM26

于是cosn,AM.

nAM323

6

直线AM与平面PBC所成角的正弦值为

3

17.在数字通信中，信号的每一次传输都是从一个基站发到下一个基站，信号是由数字0和1组成的序列．由

于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知正确接收的概率为0.9，错误接收

的概率为0.1．

（1）在计算机内部，所有的信息都表示为一个二进制的字符串，八个二进制位被称为一个字节（byte），

上个世纪60年代制定了一套字符编码，对英语字符与二进制位之间的关系做了统一规定，这被称为ASCII

码，一直沿用至今，比如小写字母a的编码值是97（二进制01100001），d的编码值是100（二进制01100100），

ASCII码一共规定了128个字符的编码，这128个字符只占用了一个字节的后面7位，最前面的1位统一规

定为0．假如信息录入人员不小心将字母a看成了d，求接收端仍然接收为a的概率．

（2）假如发送字符a时，接收为a和d的概率分别为0.99和0.01，发送字符d时，接收为a和d的概率

分别为0.01和0.99，试求发送字符a经过n次传输后仍然接收为a的概率．

【答案】（1）5.9049103

（2）0.490.98n10.5

【解析】

【分析】（1）根据题意直接计算即可；

（2）设第n次传输后仍然接收为a的概率为Pn，则Pn0.99Pn10.011Pn1，构造等比数列可求得Pn.

【小问1详解】

由题知，P0.120.955.9049103.

【小问2详解】

设第n次传输后仍然接收为a的概率为Pn，

则Pn0.99Pn10.011Pn1，

Pn0.98Pn10.01，n2，

Pn0.50.98Pn10.5，又P10.50.990.50.49，

所以数列Pn0.5是以0.49为首项，0.98为公比的等比数列，

n1，

Pn0.50.490.98

n1.

Pn0.490.980.5

18.已知函数fxexax2a，aR．

（1）若fx在定义域上单调递增，求a的取值范围；

（2）当时，设，求ga的最大值．

a0gafxmin

e

【答案】（1）[,0]

2

1

（2）

e

【解析】

【分析】（1）根据函数二次求导，分类讨论原函数的单调性，求解不等式即得；

x0

exx1

（2）由（1）得时，，使，即，则得00，令

a0x00fx00afxmine(1)

2x022x0

x1

hxex(1)，通过求导求出该函数的最大值，即得ga的最大值.

22x

【小问1详解】

由fxexax2a可得fxex2ax，设s(x)ex2ax，则s(x)ex2a

①当a0时，s(x)0，则yfx在R上单调递增．

11

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因为当x时，fxex2axe2a2a()e2a10

2a2a

此时fx不可能在R上单调递增；

x

②当a0时，fxe．则fx在R上单调递增，符合题意；

③当a0时，令s(x)0，得xln2a

x,ln2aln2aln2a,

s(x)