浙江省杭州某中学2025-2026学年高一年级下册数学周末练1

杭州二中2025学年高一下学期数学周末练1

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在平行四边形A8C。中，点石是BC边上的点，BC=4EC，点F是线段DE的中点,若标=AAB+^AD,

则〃=()

A*3

B.ID.

44

2.设向量4,瓦，&不共面，已知丽=£+瓦+备，Z=4+2瓦+&，而=短+眄+4瓦，若A,C,D

三点共线，则4=（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知5=（1,-2）,贝i在心上的投影向量为（）

A•卜0B.你|,|。卜¥，竽,'(旧2亚

U・一一，~

4.若△ABC的三个内角均小于120。，点M满足乙4M8=/AMC=N8MC=120。，则点M到三角形三个顶

点的距离之和最小，点M被人们称为费马点.根据以上性质，已知,是平面内的任意一个向量，向量

[满足B工万，且W=3,修|=打，则|。-5|+|。-[|+|。+5|的最小值是（）

A.9B.4百C.6D.3G

5.在△4BC中，AC2_=2AM-BC那么动点M的轨迹必通过△ABC的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

6.如图，扇形的半径为1,圆心角N84C=150。，点P在弧3c上运动，而=4而+〃恁，则的

A.0B.6C.2D.-1

7.已知平面向量不，b,3满足：aZ=0，H=l,卜一4=忸-4=5,则卜一方的最小值为

A.5B.6C.7D.8

8.设AABC是边长为1的正三隹形，M是△A3。所在平面上的一点，且满足标+24讪+荻=N，则

当语•砒取最小值时，丸的值为（）

A.』B.3C.1D.2

一3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知向量5=0,6）,B=（cosa,sina）,则下列结论正确的是（）

A.若G_£B,则lana=—'^B.若不〃则。=彳

33

C.若B在力上的投影向量为刁，则向量。与B的夹角为与D.忖-■的最大值为3

10.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距

离是重心到垂心距离的一半.此在线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知AABC的外心为。，重心

为G,垂心为，，且A8=6,4c=4,以下结论正确的是（）

------’0

A.AGBC=­—B.AOBC=\0

D.若|比卜2",则砺•瓦=_分

COH=OA+OB+OC

11.如图，已知直线”4,点4是4,A之间的一个定点，点A到h4的距离分别为1,2.点8是直线4上

一个动点，过点A作AC_LAB,交直线4于点C,GA+GB+GC=0，则（）

B.4GAB面积的最小值是2:

D.方］而存在最小值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12,若向量满足W=3,卜一,=5,〃％=1,则Bb.

13.如图所示，已知△人8C中，点P,Q,R依次是边BC上的三个四等分点，若BC=8,AP-AR=20

则福•/二.

BPQRC

14.已知平面向量刁石而满足同则=卜-司=2,伍-可则同的最小值是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6(本小题13分)

如窑在平行四边形A8CO中，点E在48上，且AE=2BE,点尸是BC的中点.

⑴设AD=b1用1了表水日＞EF'

3

(2)已知£O_L£7"求证：AB=-AD.

2

16.(本小题15分)

4

在A/WC中，已知AB=2,AC=4,角A的平分线AO与8c交于点。且A。=可.

⑴求而•恁的值；

⑵若,求cosNAPB.

①西+而+定=6,②网=|网=|正卜③苏・丽=丽.正=定.可，请从这三个条件任选一个，补充

到上面问题的横线中解答.

17.(本小题15分)

(2)如图2,设点用%…，心…，心是线段反的〃等分点，丽=4次+(1-4)丽其中1人。-1,

〃，攵eN*,fl>2,当〃=2025时，求|砺+丽+1R+…+5耳;+而|的值；

(3)若求卜丽-布卜；丽+(1T)丽的最小值.

18.（本小题17分）

如织，A,8是单位圆上的相异两定点（。为圆心），且乙4。8=0（0为锐角）.点C为单位圆上的动点，线段

4。交线段OB于点M.

（I）求况而（结果用。表示）；

（2）若。=60。.

①求瓦•瓦的取值范围;

②设两=/丽（0</<1）,记?3=/。），求函数/1）的值域.

BMA

19.（本小题17分）

己知。为坐标原点，对于函数f（x）=asinx+bcosx,称向量两=（。力）为f（x）的相伴向量,同时称f（x）

为司量。麻的相伴函数.

⑴记两=（1/）的相伴函数为於），求/W的最大值；

（2）已知动点满足〃c0,一，且丽的相伴函数g（x）在工=小时取得最大值，求+tan」的

Jtan

最小值；

/\

⑶已知次=（。,1）为函数/?"）的用伴向量，在△回（?中，AB=2,cosC=A?，且点G为NBC的外心，

求况•通+而・5的最大值.

《杭州二中2025学年高一下学期数学周末练1》参考答案

题号12345678910

答案CCACCDBCACDACD

题号11

答案ABC

12.3及13.814.且一1

2

r2rrIf

15.【详解】(1)因为AE=28E,则他=丁3,班=丁8,

->T->f2f

所以£7)=80_8£：=〃_乎，

EF=EB+BF=-AB+-AD=-a+-b-

3232

(2)证明：因为EO_LE〃，所以访.升'=0，

r-*2fI-♦I-*I-t22~*2

HP(b—a)•(—a+—b)=—b—a=0,

33229

-»3-»3

即所以A8=：AO.

16.【详解】(1)・.\4。平分角A,由角平分线定理..•g=eg=2,.•.丽=2丽,

设而=4而+小记,则

而=而一/=4而+(〃-1)记丽=丽，AD=(\-X]AB-pAC,

：,AAB+(p-i)AC=2(l-A)AB-2pAC,{2=2—2221

4T=一2〃33

1

’2’一11--_•---24--21——•2

v-ABACt3=±x4+kl6+匕

/.AD=-AB+-ACtAD=-AB+-ACt

339999999

解得丽•冠=4

AB-AC1导从号,

⑵由c°"二网相F及0—彳

如图，建立平面直角坐标系匕»,

答案第1页，共6页

则4（0,0）,B（-l,>/3）,C（4,0）.

选①，显然条件两+方+1=0表示点P为ZMBC的重心,

则AC的中点。（2,0）,丽=（3,-，设P（x,），），根据重心的几何性质有

丽4丽,（23_），）=（1,当

丽二丽

cosZ.APB

间网

选②，显然条件表示△48C的外接圆的圆心，则P在直线x=2上，可设P（2,），）,

选③，由条件豌方=而元=咫向可得：（而一定）再=0,1：（而-西）=0,

C<ra=0,A«PC=0,即点户是△入8c的垂心,

过8点作4C的垂线，则垂线方程为x=-1,垂心户在直线--1上，可设P（-I,y）,

答案第2页，共6页

p

则西=(l,—y),BC=(5,-V3),

由⑸，比，得两灰=5+伤=0,

17.［详解］⑴因为AP=OP-^4=(x-l)a4+(l-A)dB=(x-l)(a4-d^)=(x-l)^4,

而P为线段AB的中点，所以而=g而x-1=-最得x=l

⑵由题意得OP^^-OA+—OB.

-----I—2()24——--------....——

^024=—^+—^*所以。6+。424=3+08，

事实上，对任意正整数加，〃，且，〃+〃=2025,有

­=202^—+^——=2O25-n-+^—

20252025”20252025

所以d^+d^=OA+bB,

所以|砺+丽+诬+…+西+砺〔=1013|赤+砺卜1013户下=1013及.

(3)线段A8上存在一点M,使得tAB=AM,(\-t)BA=BM,

且存在点丽=：砺，

贝I」tAB-Ad=7^-Ad=OM,

g砺+(1一/)丽=丽+俞=丽，

答案第3页，共6页

所以|/^-^o|+1d«+(i-

作点。关于线段A3的对称点如图所示,

则最小值为Io'M=J(i-o)2+(i—|j=/l

18.【详解】(1)因为04=08=1,ZAOB=8，

所以方.丽=丽•(砺_丽=厉•而_l=cos"l.

(2)①五屈=(次-瓦)•(砺-反)=次.砺-方衣-反•丽+南.

设N80C=a,又夕=60。=^,所以ae。，彳

—*J

则方.砺=:,方灰=cos兀

—+a,0C-OB=costy,0C=1

3

所以N・瓦=3-cos(%+a-cosa二」c°sa+且sin-osa

2(3)222

22+旦2…二2(目2且2J2I6；

E、1「八2冗］皿7T「兀5冗

因为aw0,—,则二+工6工，7-，

3J6|_66

所以cosa+~e—乎，半，则0一Gcos(a+^)43

故&•W(),3］；

(2)®AM=AAC(O</1<1),

则两=次+奇=况+4/=况+/l(芯一次)=(l_/i)E+/l1=/砺,

所以瓦二海一号就由反=1得眄--叩，

答案第4页，共6页

所以<?沁_

3BMA

所以")=吊(。<«"⑺二吊‘吊

/X,a.4«

g(")=i+7―—;-T

令21—1=a(-1<a<1),「〃+1'a+\.a+3,

----------------+1

I2)2

V«,,a2€(-1,1),令苗<%,

44](4%]_4(4-%)(3-44)

则g(q)-g(%)港厂[不可一(。：+3"+3)

因为(。；+3)(W+3)>0,q_%<。,3-4%>°，

则g(4)-g(%)<。，即g(aj〈g(%)，

所以g(a)=l+T=在(T1)上单调递增,则g(a)«0,2),

a~+3

所以/(/)=总2(0</<1)的取值范围是(0,2).

19.【详解】(1)由题意得/(x)=sin,r+cosx=&sin(x+：)

因为-lKsin(x+；卜1,所以/("的最大值为血；

(2)由题设可得8(1)=5山+反0双=6；下sin(x+e),

且lane=Z?w0,上，g(x)在x=小时取得最大值，

X-

得七+9=二+24兀伙eZ),则与=--(p+2hi(keZ),

22

btI11ItanV-11if1)

所以------+tanx0=---------+--