北师大版2025-2026学年度第二学期八年级数学3月学情自测卷2（第1-2章）

2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测卷

（考试时间：12（）分钟试卷满分：120分）

第一部分（选择题共27分）

一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，满27分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求的）

1.若则下列不等式变形正确的是（）

0b

A.a+\<b-\B.-a<-bC.—14-67<-1+Z?D.---<

22

2.下面正确的命题中，其逆命题不成立的是（）

A.同旁内角互补，两直线平行

B.全等三角形的「条对应边相等

C,在角的内部，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

D.对顶角相等

3.不等式号的解集是（）

A.x>3B.x>2.5C.x<--D.x>--

33

4.如图，点C在线段B。上，ZByAC=100°,ZB=40°,ZD=20°AB=3,则6=（）

A.2B.3

5.茗香茶园研发小组准备用篱笆围出一块长方形试验田培育新品种茶叶，已知该试验田的宽比长少40m,

若要求围绕试验田的篱笆总长度不超过200m,设此试验田的宽为加，则可列不等式为（）

A.Zr-?.（r+40）<?（）0B,2r+?.（x+<））<?«）

C.2.r-2（x-40）<200D.2x+2（x-40）<200

6.如图，在VA3C中，分别以点A和点8为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N,作直

线MN,交BC于点D,连接AO.若AC=5,BC=10,则AAOC的周长为（）

(TV

A.20B.15C.10D.25

5-2x22

7.若关丁x的不等式组，的整数解共有3个，则，〃的取值范围是（)

A.-2<ni<-\B.-2<rn<-\C.-2<//?<-1D.-2<///<-1

8.如图，函数）、=，“和）力的图象相交于点P（I,〃?），则不等式-AK米-后心的解集为（）

A.0<x<lB.-IWXWO-m<x<m

9.如图，。是一B4C内部一点，P关于A3、AC的对称点分别是点片、点鸟，连接《鸟分战与4/3AC

交于点M，点N,连接尸M,PN,下列结论：①若N84C=30。，则是等边三角形；②；.PMN

的周长等于线段片鸟的长；③PA平分NMPN；④g/MPN+/8AC=90°.正确的有（）

第二部分（非选择题共93分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

10.如图，数轴上表示的是关于［的不等式组的解集，则该不等式组的整数解有个.

-3-2-10123

11.如图是一款儿童小推车的示意图，若AB〃C。，Zl=30°,22=70°,则N3的度数为

12.关于工的不等式组工的解集为-3c<2,则（~P=--------------

13.如图，在VA8C中，ZC=60°,点。，E分别在边AC,8c上，连接8£>、AE,BO与AE交于点忆

过点8作3G_LA£于点G.若△A4D/Z\C4£,则NbBG］勺度数为一.

14.如图，已知而_LON于点4,PB上OM于点R,且PA=Pb,NMON=50°,NOP320。，则NPC4=

M

Q

15.如图，在平面直角坐标系xQy中，一次函数y=-方/+8的图象交X,），轴于点A,B,以A为圆心，适

当长为半径画弧，交AO,48于点C,D,再分别以C,。为圆心，大于;C。的长为半径画弧，两弧

交于点£，作射线AE.若一次函数〃的图象为直线/,点O关于直线/的对称点广恰好落在射

线AE上，则力的值为

三、解答题（本大题共9小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.(12分)

解下列方程组9r+v2=y9臼①②;

(I)

5x-l>3（x+l）

（2）解不等式组2x-l并把它的解集表示在数轴上.

-2~

（3）解不等式：（2工一1）2-.1（3工+2）=（、+3）（\-3）.

17.（7分）如图，在VA3C中，ZC=9f）0,

（I）在边4c上找一点。，使得点。到边的距离与到边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹,

标注有关字母，不用写作法和证明）;

⑵在（1）的条件下，若8=2,8C+A8=14,求VA3C的面积.

18.（8分）如图，已知：在VA5C中，AC±BC,NB+NBCD=90。，点E、”分别为边A3、AC上的点,

且N/V^=NA.求证：EFCD.

证明：VAC±BC,

AZACB=90°(),

/.NACD+NBCD=90。.

XVNB+NBCD=90°,

:,ZACD=/B(),

^AFE=/B,

JZAFE=Z_____.

AEFlCD().

19.(6分)某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案;

方案一：每人票价打九折；

方案二：10人以内(含10人)不优惠，超过10人的部分打八折.

设该旅行社组织10)人去该景区旅游，方案一中购票总金额为y元，方案二中购票总金额为为元.

(1)分别写出方案一、方案二中方，力与X之间的关系式；

(2)某单位组织10人以上去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由.

20.（6分）如图，四边形ABCD中，C4平分NBA。，ZABC+Z4ZX7=18O°,b_LAO于r.

c

⑴求证：CB=CD；

(2)若AZ)=16,AB=6,求。尸和"的长.

21.（8分）油布伞是中国传统手工艺的重要代表，融合了实用性与艺术性，被多省列入非物质文化遗产名

录.油布伞的截面如图所示，伞骨/W=AC=60cm,支撑杆O£=O£AE=；人民=当点0

沿伞杆八£）滑动时，可.使雨伞开闭.

（1）问雨伞开闭过程中，-84。与NC4。有何关系？说明理由.

（2）若OE=A£。尸=4/，当雨伞由闭合撑开到N84C=120°时，点。沿A。滑动的距离是多少？

22.（8分）综合与实践

【模型感知】

手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型.两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角

形组成的图形叫手拉手模型.

(1)如图1,已知VA8C和VADE都是等边三角形，连接监，CD.求证：BE=CD；

A

C

图2图3

【模型应用】

(2)如图2,已知VABC和V/WM都是等边三角形，将V”如绕点A旋转一定的角度.当点。在CB的

延长线上时,求i止：AB+BD=BE;

【类比探究】

(3)如图3,已知VA8C和VADE都是等边三角形.当点D在射线8C上时，过点E作斯于点

F.直接写出线段48,与8。之间存在的数量关系.

23.(10分)阅读理解:

定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想

解”.例如，已知方程2犬-1=1与不等式x+l>0,当x=l时，2x-l=2xl-l=l,1+1=2>0同时成立，

则称“41”是方程2工-1=1与不等式x+l>0的“理想解”.

问题解决：

⑴请判断方程3x-5=1的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解"：（直接填写序号；

3x-5>2（x-3）

①2x-3>4x+l；②2（x+l）-125；③卜+1

（2）若x=m是方程组\{x-2y=5。+:q与不等式x-y>i的“理想解”，求V的取值范围；

y=n[2x-y=%+1

x+y=3〃+5

（3）若关于％,丁的方程组与不等式x+2y>a+10的“理想解”均为正数（即“理想解”中的工

x-y=5a-3

均为正数），直接写出。的取信范围.

24.（10分）如图，在平面直角坐标系xQy中，点A的坐标为（“.〃），且实数m〃满足^/^=T+卜-&|=。,

点B在x轴正半轴上，点P是)，轴正半轴上一点，且△048为等边三角形.

(1)如图1,直接写出小8两点的坐标：A,B

(2)如图2,以外为边在第一象限内作等边连接M4并延长交)，轴于点。，求证：OD=AD；

(3)如图1,若Q为,，轴上一动点，求-AQA周长的最小值.

2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测卷

参考答案

一、选择题(本大题共9小题，每小题3分，共27分，在每小题给出的四个选项中，只有一里是符合题目

要求的)

123456789

CDCBBBCBD

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

10.311.40。/40度12.1

13.300/30度14.4515.3

三、解答题：本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16.(每小题4分，共12分)

x+y=9®

(1)解:‘3x+2y=21②

②-①/2得：x=3,

将x=3代入①得:3+y=9,

解得：y=6,

x=3

故原方程组的解为4分

y=6

(2)解：解不等式①，得x>2；

解不等式②，得xM8.

故不等式组的解集为2Vx48..............•••3分

这个不等式组的解集在数轴上表示如图:

...............

-8-6-4-202468

(3)解：(2x-\\-x(3.¥4-2)<(x4-3)(.r-3)

4x2-4x+1-3d-2x<d-9

4x2-4x+l-3x2-2.r-x2+9<0

-6x+1()<()

-6x<-10

x>-....................................4分

3

17.(7分)

（1）解：如图，点。即为所求,

3分

过点/）作。♦…4分

由（1）可知，点。到边的距离与到边44的距离相等,

VZC=90°,8=2,

:・DH=CD=2,..................................5分

■:BC+AB=U,

=

,•SABCSBCD+S1TAD

=-xCDxBC+-xDHxAR

22

」x2xBC+』x2x4B

22

=BC+AB

=14..................................7分

18.(8分)

证明：.•AC工BC,

.­.ZACT=90°（垂直的定义）,2分

:.ZACD+/BCD=90。,

又•:/B+/BCD=90。,

:.ZACD=/B,（同角的余角相等）..................4分

■:ZAFE=4B,

.-.ZAFE=ZACD,.................6分

:.EFCD（同位角相等，两直线平行）...................8分

19.（6分）

（1）解：由题意，y=150x0.9x=135x；

>'2=150xl0+0.8xl50（x-10）=120x4-300；

.■.y,=135x；y2=120x+300（x>10,x为正整数）：..................3分

（2）解：当>>当时,则135m20X+300,

解得：x>2（）,

当X=%时，则135x=120x+300,

解得：x=20,

当X<%时，贝打35x<120x+300,

解得：x<20）.................5分

所以，当人数在10到20人之间时，（不包含10与20）选择方案一优惠,

当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以，

当人数在20人以上时，选择方案二优惠...................6分

20.（6分）

（1）证明：如图，过点。作CESA6,交A8的延长线丁E,

•••C4平分NBA。，CE上AB,CFA.AD,

:・CE=CF,NCEB=NCFD=90°,

VZ4BC+ZCB£:=180°,加C+ZADC=180°,

AZCBE=ZADC,即NC8£=NCOF,..................................2分

在△CBE和VCDE中，

NCBE=NCDF

NCEB=NCFD=900,

CE=CF

・•・C8EWCD尸（AAS）,

:・CB=CD：................................3分

（2）解：•・•△CBE^ACDF,

，BE=DF,

在RtACE和RtAAb中，

CE=CF

AC=AC'

ARt_AC£^Rt^ACF（HL）,..................................4分

AAF=AE,

・•・AD-DF=AB+BE=AB+DF,

J2OF=A£>-A8=16-6=10,

JDF=5,

・•・AF=AD-DF=i6-5=i\,

JO厂的长为5,A尸的长为11..................................6分

21.（8分）

（1）解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：ZBAD=ZC4D,

理由如下：

AB=AC,AE=-AB,AF=-AC

33f

:.AE=AF,.................................1分

在/^。后与AO厂中，

AE=AF

AO=AOt

OE=OF

AOE^AOF(SSS),

ZBAD=ZCAD......................................3分

(2)解：•・•伞骨A8=AC=60cm,

AE=-AB=20cm,AF=-AC=20ctn,.....................................4分

33

...OE=AE=20cm,OF=AF=20cm,....................................5分

当雨伞闭合时，AO=AE+OE=20+20=40cm,

当NBAC=120°时，则ZE4O=60°,

OE=AE,

.•.AOE为等边三角形，故AO=20cm,....................................7分

故。沿4。滑动的距离是40-20=20cm......................................8分

22.(8分)

(1)证明：•・•VA4C和VAOE都是等边三角形，

AAI3=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=(^°,

A^BAC+ZBAD=ADAE+ZBAD,BPZCAD=ZBAEt

在C4。和-84E中，

AC=AB

^CAD=ZBAE,

AD=AE

CO&B4E(SAS),

:,CD=BE；....................................2分

(2)证明：•・•VA6C和VA0石都是等边三角形，

AAB=AC=BC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=a)°,

JABAC+/BAD=ZDAE+/BAD,即ZC4D=/BAE,

在CAO和二BAE中，

AC=AB

ZCAD=NBAE,

AQ=A£

..CAD^BAE(SAS),4分

:・CD=BE,

:,AB+BD=BC+BD=CD=BE；..................................5分

(3)•・•V48c和VAOE都是等边三角形，

AAB=AC=BC,AD=AE,N8AC=ND4E=60。，

JZBAC-ZBAD=NDAE-/BAD,即ZCAD=NBAE,

在C4£>和二3A£中，

AC=AB

<ZCAD=ZBAE,

AD=AE

，CO绦84£(SAS),..................................7分

:.CD=BE,NA8E=NAa)=60°,

CD=BC-BD=AB-BD,

/.BE=AB-BD,

VEFA.AB,

・•・Z.BEF=90°-ZABE=30°,

JBE=2BF,

A2BF=AB-BD...................................8分

23.(10分)

⑴解：3x-5=l,

解得：x=2,

①2x-3>4工+1,

解得：x<-2,

・・・x=2不是此不等式的解；

②2(x+l)-lN5,

解得：x>2,

・・・x=2是此不等式的解；

3x-5>2(x-3)

③,x+1<1，

万

解得：-l<x<2,

・・・x=2是此不等式组的解；

・•・方程3x-5=1的解是此方程与②③的“理想解”，

故答案为：②③；..................2分

（2）解：'〃是方程组J：—2）"：*：与不等式的“理想解”,

y=n\2x-y=2q+\

tn—=5+//

2m-〃=24+1

m-2〃=5+〃m=q-\

解方程组，得:5分

2m-n=2q+\n=-3

g-1-3）>1,

<7>-1,

即9的取值范围为4>一1；................................6分

x+y=3a+5,fx=4A+1

（3）解：解方程组4°，得：/，

x-j=?a-3[y=4-a

x+y=3a+5

•・•关于X,）'的方程组-u。与不等式x+2转〃+10的“理想解”均为正数（即“理