2026年中考数学一轮复习：直角三角形（知识梳理+专项训练）

【中考数学一轮复习】直角三角形（知识梳理+专题训练）

专题26直角三角形

知识梳理

1.勾股定理

勾股定理：直角三角形的两条直角边。、人的平方和等于斜边C的平方，即：

a2+b2=c2

2.勾股定理的证明

在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理.

对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构

造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾

股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕

达哥拉斯拼图等.

3.勾股定理的应用

勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”

的特点转化为三边“数”的关系.利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的

计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题.其主要应用如

下：

（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；

（2）己知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；

（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；

（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际

问题.

4.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长。，b,C满足=，，那么这个三角形是直角三角形,

我们称它为勾股定理的逆定理.

5.勾股数

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即标+户=/中，

小4c为正整数时，称小b,。为一组勾股数.

勾股数的求法：

（1）如果。为一个大于1的奇数，江C是两个连续自然数，且有。2二什C,那

么〃，b,c为一组勾股数.如3为大于1的奇数，4,5为两个连续自然数，

且32=4+5,则3,4,5为一组勾股数,还有：5,12,13；7,24,25；9,4（）,

41；11,60,61；....

6.互逆命题与互逆定理

（1）互逆命题的定义

如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题.如

果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

（2）互逆定理的定义

一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则

称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.

7.直角三角形的性质与判定

（1）直角三角形的两个锐角互余.

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.

8.含30。角的直角三角形的性质

（1）内容：一在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角

边等于斜边的一半.

（2）注意：

①该性质是含3（）。角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角

三角形没有这个性质，更不能应用.

②这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系.

③该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切.

④在有些题目中，若给出的角是15c时，往往运用个外角等丁和它不相邻

的两个内角的和将15。的角转化后，再利用这个性质解决问题.

专题训练

一、选择题（共8小题）

1.在RSA8C中，ZC=90°,AB=10,BC=6,则cosA的值是（）

A.

34

2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1）,后人称

其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2,它是用八个全等的直角三角形拼接而

成，记图中正方形A8C。，正方形EFGH,正方形MNK7的面积分别为Si、

S2、S3.若S+S2+S=24,则S2的值为（）

3.如图，在RtAAAC中/C=90。，A。平分/RAC交"C于。点，AC=4,AR

=5,则BO的长度为（）

4.在△ABC中，ZC=90°,若AC=8,AB=10,则的长是（）

A.7B.6C.5D.2

5.设直角三角形中一个锐角为x度（0VxV90）,另一个锐角为），度，则），与1

的函数关系式为（）

A.y=180+xB.y=18（）-xC.y=90+xD.y=90-x

6.如图，在△ABC中，AB=AC,NB=30。，交BC于点。，4D=2,则

BC的长是（）

7.如图，在RtZXABC中，NB=90。,ZC=30°,AC的垂直平分线交AC于点

D,交BC于点、E,若8c=12,则OE的长为()

C.6D.7

8.将一个含30。角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若Nl=40。，则

二、填空题(共8小题)

9.如图1,跷跷板是常见的一种游戏.跷跷板一端着地时如图2,支柱。加，地

面MN,OA=()B,PC为握把，且尸C_LAB于C,AC=40c/n,OM=72cm.跷

跷板可以绕点。转动，如图3是跷跷板水平时即EF〃MM此时点A、C、。、

B对应点分别为点E、G、H、凡恰有AE=AG.则跷跷板AB的长为cm.

10.定义：有两个内角的差为9()。的三角形叫做“反直角三角形”.如图，在△ABC

中，4B=AC=5,BC=8,点尸为边BC上一点，若为“反直角三角形”，

则8P的长为.

11.如图，“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理•.它是由四个全等直角

三角形和中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.若中间的小正

方形EEG”的周长为4,AE=1,则大正方形A3C3的周长为.

12.如图，在△ABC中，AC=11,点石在边AC上，EB=EA,NA=2/CBE,

CDtBE交BE的延长线于点D,若8。=8,则BC的长为

13.如图，把一张纸片沿0E折叠,若/1=7()。，ZC=90°,则N2的

度数为.

14.如图，直线。〃〃，RtZVWC的直角顶点。在直线〃上，若Nl=40。，则N2

15.如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从距离地面2米处折断倒下，倒

下部分与地面成30。角，这棵树在折断前的高度为.

16.如图，△ABC是等边三角形，点。是边上一点，过点。作。E_L3C垂

足为点E,直线。七与CA的延长线相交于点P.若BD=4o小AF=3cm,则

EC的长为cm.

三、解答题(共4小题)

17.如图，在△ABC中，AB=AC,NB=3()。，DAA.AC,交BC于点D.

(1)求NBA。的度数；

(2)若AO=4,求BC的长.

主题：检测雕塑(如图)底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB.

素材：一个雕塑，一把卷尺

步骤1：利用卷尺测量边4。，边和底边AB的长度，并测量出点&D之

间的距离；

步骤2：通过计算验证底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB.

解决问题：

(1)通过测量得到边AO的长是60厘米，边48的长是80厘米，8。的长是

1()()厘米，边AO垂直于边A8吗？为什么？

(2)如果你随身只有一个长度为30cm的刻度尺，你能有办法检验边AD是

否垂直于边4B吗？如果能，请写出你的方法，并证明.

19.某校八年级数学兴趣小组开展“测量旗杆高度”数学活动.

如图1,甲组利用含30。角的直角三角尺(即RtZUBC中，ZC=90°,NB=

30。）进行测量，小文同学将三角尺水平放置于眼前，使直角边3C垂直于地

面/,行走到点尸处时，视线透过A8边刚好经过旗杆顶部经测得，小文

的眼睛离地面AP=1.6加，点P离旗杆底部距离PN=6,n.

如图2,乙组发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面后多出一段。M该绳子长度

未知.

（1）根据甲组的方案，求旗杆A/N的长（结果保留整数，其中6力.73）；

（2）请利用卷尺，运用所学知识帮助乙组设计一个测量方案，并写出具体的

求解旗杆MN长度的过程.（注：卷尺的功能是直接测量任意可到达的两点间

的距离，卷尺测量得到的长度用。、b.c..表示，方案的相关图示在图2中标

注出来，旗杆与绳子间距离忽略不计）

图1图2

20.如图，在△八中，CDLAB,垂足为点D若八。=1,CD=2,BC=2舟

判断△A8C的形状，并说明理由.

参考答案与解析

、选择题（共8小题）

题号12345678

答案ABCBDDAC

一、选择题（共8小题）

1.【答案】A

【分析】先根据勾股定理求得AC=8,再依据余弦函数的定义求解可得.

【解答】解：在R34BC中,ZC=90°,AB=IO,BC=6,

由勾股定理得：AC=yjAB2-BC2=V102-62=8,

・AC84

••COsA=AB=10=Sf

故选：A.

2.【答案】B

【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解.

【解答】解：将四边形MTKN的面积设为X,将其余八个全等的三角形面积一

个设为户

•.,正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为Si,S2,S3,

Si+82+63=24,

♦•♦得出Si=8y+x,Sz=4y+x,S3=x,

・•・Si+S2+S3=3x+12y=12,故3x+12y=24,

x+4y=8,

所以S2=x+4y=8.

故选:B,

3.【答案】C

【分析】过。作。E_LAB交于点E,由角平分线的性质得CQ=OE,进一步

利用II必丝=箸^=*翌得出*=黑，即可结合勾股定理得出答案.

2sAABDABDEDBACABDB

【解答】解：过D作DE上AB交于点E,

555

nD--X3-

o993-

故选：c.

4.【答案】B

【分析】直接利用勾股定理计算即可.

【解答】解:在△ABC中，TNC=90。，AC=8,AB=Wf

・•・根据勾股定理得到：BC=>/AB2-AC2=V102-82=6,

故选：B.

5.【答案】D

【分析】根据直角三角形的性质得到x+y=90,根据题意列出不等式，解不等

式求出x的范围.

【解答】解：在Rtz\45C中，己知其中一个锐角为)，。，另一个锐角为工。，

则x+y=90,

.,.y=90-x,

由题意得：90-A>r.

解得：烂45,

Ay=90-x(0<A<45),

故选：D.

6.【答案】D

【分析】AOJ_4B得RtZ\AB。，ZB=30°,八。=2,可得BQ=2AO=2x2=4,

由A8=AC,ZB=30°,可知等腰三角形ABC,N8=NC=30。，ZCAD=\20°

-90°=30°,△ACO是等腰三角形，即AQ=CO=2,由此即可求解.

【解答】解：根据题意得，ADLABRtA^D,ZB=30°,AD=2,

・・・BO=24O=2x2=4,

\9AB=AC,ZB=30°,

・•・等腰三角形ABC,ZB=ZC=30°,

,180°-30°-30°=120°,

*：ADLAB,即NZMQ=900,

.•.ZCAD=i20°-90°=30°,

・・・△ACO是等腰三角形，即AD=CO=2,

/.RC=RD+0c=4+2=6.

故选：D.

7.【答案】A

【分析】先利用含30。角的直角三角形的性质可得A8=4V5,BC=8痘,再利

用线段垂直平分线的性质可得DA=DC=4V3,从而可得DE=4,即可解答.

【解答】解：在RtzXABC中，ZB=90°,ZC=30°,

:,BC=WAB,AC=2AB,

VBC=12,

・・・A8=gBC=86，

・・・。七是线段AC的垂直平分线，

：.DC=DA=4V3tDELAC,

VZC=30°,

：.DC=V3Df=4V3,

/.DE=4,

故选：A.

8.【答案】C

【分析】根据题意，Nl=NBED=40。,中，ZBDE=90°-40°=50°,

根据对顶角相等即可求解.

【解答】解：如图所示,/8=90。,

根据题意，N1=NBEO=40。（对顶角相等），

在△6。石中，NBDE-9U。-/BED-90。-40°-50°,

.*.Z2=ZBDE=50°,

所以N2的度数是50。，

故选：C.

二、填空题(共8小题)

9.【答案】265.

【分析】由题意得，EG=AC=40cm,OE=OAf过A作AP_L£G于P,根据

勾股定理即可得到结论.

【解答】解：由题意得，EG=AC=40cnuOE=OA,

过A作4P_LEG于P,

*：AE=AG,

：.PE=PG=；EG=20(cm)，

VEF//MN,

工AP=OM=70cm,

在影△”(*,A尸+PO2=AO2,

.e.702+(AO-20)2=AO2,

，AO=^^(cm),

：.AB=2OA=265(c/r/),

故答案为：265.

图3

10.【答案】m2s或三11

【分析】分情况讨论：①当NAPC-NC=90。时，过点A作AO_LBC于点。，

ADDF)

由等腰三角形的性质得到8。=。。=4,证明△AOBs△以从得到一二丁,

BPAB

即可求出BP的长；

②当NAPC-NC4P=90。时，过点尸作尸M_LBC交AC于点M,由等角.对等

边得到AA/=PM,再证明△CWPsZ\CAO,设CP=x,进而得出PM=孩，CM=

根据AC=AM+CM=PM+CM,求出x的值，即可求出BP的长；

③当NC4产=/。+90。时，利用锐用三角函数，得出NC>30。，ZBAC<120°,

即此种情况不存在；

④当NC4P=NAPC+90。时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解.

【解答】解：•••A8=AC=5,

:・/B=/C,

ZAPC=ZB^ZBAPf

：.ZAPOZB,

：./APONC,

若aAPC为“反直角三角形”，

①当NAPC・NC=90。时，过点A作AO_LBC于点。，

：.AD=>/AB2-BD2=3,

VZ^=ZC,

AZAPC-N8=NBAP=90。，

♦：/B=/B,NAQ8=N^8=90。,

，/XADB^/XPAB,

■•=9

BPAB

._5__4

••—―,

BP5

・・・f

②当NAPC-NCAP=90。时，过点。作PM_LBC交AC于点M,

・•・ZAPC-NAPM=NCPM=9U。,

：.ZCAP=ZAPM,

：.AM=PM.

\'PM±BC,AD±BCt

:.PM"AD,

•••△CMPs/\C4。，

.CPPMCM

CD~AD~AC"

设CP=R,则8P=8-x,

.xPMCM

..PM=CM=-rXi

44

：.AC=AM+CM=PM+CM=孩+恭=5,

44

/5

=

天

5

#

=11

./?2一

T;

③当NC4P=NC+90。时，如图，在C8上截取CE=AE,连接A£,过点A作

4O_L3C于O,过点E作E/JLAC于产，

则NE4C=NC,NAOE=NE4E=9()。,

又•・・/AED=NPEA,

：・l\AEDs丛PEA,

.AEED

••PE~AE1

*：CE=AE,EFVAC,

：.AF=CF=^AC=I，

•；/ADC=NEFC=90。,ZC=ZC,

:•△CEFsXCkD,

•生一竺明生_i

ACCD54

：.CE=^-=AE,

：.DE=CD-CE=l，

o

同理可得：△AE7)SZ\PE4,

•”一丝nnZ£_Z

AEDE--

88

・力仁625

・・PE=$,

TJ•»一口3962539

X•BE—BC-CE=-3-,>一,

8568

:・PE>BE,即点尸在C8的延长线上，不符合题意；

④当NC4P=乙4PC+90。时，

•・•当点P与点8重合时，NAPC最小，此时/APC=N5>3()。，

同③理可证，此种情况不存在；

2511

综上可知，80的长为?或热

”11

故答案为：下或刀.

42

11.【答案】4-^5.

【分析】由四个全等的直角三角形可知AE=BF=CG=DH=\,EF=FG=GH

=GE=1,利用勾股定理可求得大正方形A8CD的边长，由此即可求解•.

【解答】解：・・,中忖的小正方形EFG”的周长为4,

:.EF=FG=GH=GE=1,

・・・AE=1,

:・AE=BF=CG=DH=L

根据题意得，在Rtz\A8/中，AF=1+1=2,BF=1,

：.AB=y/AF2+BF2=V224-l2=底

・•・大正方形A8CO的周长为44?=4A/5,

故答案是：475.

12.【答案】4Vs.

【分析】过点。作CG〃AB,交8Z）的延长线于点G,延长。G到点F,使得

GC=GF,可得出AC=BG=BD+DG,得到。G=3；根据等边对等角，得到/

GCF=/GFC,从而得到NA=NECG=N£GC=2NG/<=2/C6E,得到/

GFC=/CBE,从而得到C8=CE根据等腰三角形的三线合一性质，得到

=28。=16,继而得至ljGC=G"=A"-根据勾股定理,得

DC=4,再次运用勾股定理计算即可.

【解答】解：如图，过点。作CG〃斗&交B0的延长线于点G,延长OG到

点F，使得GC=Gb,连接CH

AZA=ZECG,NABE=/EGC.

•：EA=EB,

/.ZA=ZABE,

，/ECG=NEGC,

:.EC=EG,

:・AE+EC=EB+EG,BPAC=BG=BD+DG,

：.DG=AC-BD=i\-8=3；

•:GC=GF,

：.ZGCF=ZGFC,

：.NA=ZECG=ZEGC=2ZGFC=2ZCBE,

:./GFC=/CBE,

:・CB=CF,

:・BF=2BD=\6,

:・GC=GF=BF-BG=BF-AC=5,

在直角三角形COG中，由勾股定理得：DC=VGC2一DG2==4,

在直角三角形BCQ中，由勾股定理得：BC=<BD2+DI==4旧.

故答案为：4百.

13.【答案】50°

【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：•・・把一张RtAAAC纸片沿力E折叠，

：.ZCDE=ZCDEf

VZl=70°,

：.ZCDE=ZCDE=\\0°t

，NC7M'=40。，

VZC=ZC=90°,

/.Z2=90°-40°=50°,

故答案为：50°.

14.【答案】50°.

【分析】由平行线的性质可得N3=N1=4O。，然后根据平角的性质可得/3+

Z2+90°=180。即可求得N2.

【解答】解：,・力〃b,

.e.Z3=Zl=40°,

VZ3+Z2+9()°=180°,

AZ2=50°.

故答案为：50°.

A

bC

15.【答案】6米.

【分析】根据含有30。角的直角三角形的性质可以得到AC的长，然后即可计

算出A6十AC的值，从而可以得到这棵树在折断前的高度.

【解答】解：・・・4B=2米，N4C5=30。，NABC=90。，

・"C=4米，

・♦・这棵树在折断前的高度为AC+AB=4+2=6(米).

故答案为：6米.

16.【答案】5

【分析】由等边三角形的性质可得/B=NC=60。，由含30度角的直角三箱

形的性质得*80=20〃，由等角对等边得AOuAbuSc、"?，所以

=AD+BD=7cm,据此即可求解.

【解答】解：・・•△ABC是等边三角形，

・・・N8=NC=60。，

VDE1BC,

：・NDEB=NCEF=9()。,

・・・NBDE=NF=30。,

•；BD=4cm,

BE=*BD=2cm,

,?ZADF=ZBDE=30°,

：.4ADF=4F,

.*.AD=AF=3c/?i,

BC=AB=AD+BD=7cm,

：.EC=BC-BE=5(cm).

故答案为：5.

三、解答题(共4小题)

17.【答案】(1)30°.

(2)12.

【分析】(1)由等腰三角形的性质得出NB=NC=30。，NC4O=90。；易证得

ND48=/8=30。；

(2)由ND48=NB得8O=AQ=4,RlZVlCD中，根据30。角所对直角边等

于斜边的一半，可求得CO=2AO=8；由此可求得8c的长.

【解答】解:(1)*：AB=ACfZB=30°,

.•・/A=/C=3O。，

AZBAC=180°-ZB-ZC=120°.

•・"_!_AC,

・・・ND4C=90。，

：.ZBAD=ZBAC-ZDAC=\20°-90°=30°.

(2)VZB=ZZ?AD=30°,

.\BD=AD=4.

为△OAC中，ZDAC=90°,ZC=30°,

：.DC=2AD=S,

：.BC=BD+DC=\2.

18.【答案】⑴AD±AB,理由见解析；

(2)能，证明见解析.

【分析】(I)根据勾股定理进行检验即可；

(2)在4。上取点AE=3厘米，在线段上取AF=4厘米，连接ER测量

出E尸的长即可得出结论.

【解答】解：(1)ADA.AB,理由：

•・泡。=60厘米，A8=80厘米，8。=100厘米，602+802=1002,

:.AD2+AB2=BD2,

•••△AB。是直角三角形，

・"Q_LAB；

（2）能，在AO上取点A£=3厘米，在线段A8上取A/=4厘米，连接砂,

测量出EF=5厘米，则A3_L43,

证明：