北京市2025-2026学年八年级上学期学业水平测试数学试题（试卷+解析）

北京市2025-2026学年八年级上学期学业水平测试数学试题

（试卷共7页，100分.考试时长120分钟）

第一部分（选择题共16分）

一、选择题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

i.要使代数式有意义，则x的取值范围是（）

A.x/2B.x>2C.x<2D.x=2

22

2.下列数一，兀，—,0.021021021…中,无理数的个数是（）

712

A.1B.2C.3D.4

3.面积为3的正方形的边长是（)

A.坦B.1.5c.±6D.9

4.正五边形A8COE中,N8EC的度数为（)

A.18°B.30°C.36°D.72°

5.在RL^ABC中，NACB=90。，AC=BC=1.点Q在直线BC上，且AQ=2,则线段BQ的长为

)

A.6B.V5c.用1或6-1D.石+1或石-1

6.如图，在AABC中，AB=AC,。是8C边上动点（点。与氏。不重合），△A3。和△AC。的面积分

别表示为与和负，下列条件不能说明AO是△A5C角平分线的先（）

A.BD=CDB.ZADB=ZADCC.Si=S2D.AD=：BC

7.已知长方形A3CQ可以按图示方式分成九部分，在〃，力变化的过程中，下面说法正确的芍（）

①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABC。的周长

②长方形A8CD的长宽之比可能为2

③当长方形43co为正方形时，九部分都为正方形

④当长方形A8CO的周长为60时，它的面积可能为100.

A.①②B.①③C.②③④D.®@®

8.如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两人小正方形，则余下部分的面积为（）

B.（4V3+\/30）cm2C.12>/10cm2D.24V10cm2

第二部分（非选择题共84分）

二、填空题共8小题,每小题2分，共16分.

9分解因式：fy-4产.

10.图中的两个三角形是全等三隹形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是

H.写出一个比不大且比jn■小的无理数.

12.如图，△A8C中，AC=7,BC=4,A8的垂直平分线力上交A8于点。，交边AC于点£那么△BCE

的周长为.

A

CB

13.如图，经过直线A8外一点C作这条直线的垂线，作法如下:

（1）任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁.

（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点。和£

（3）分别以点。和点£为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E

2

（4）作直线CF.

则直线C厂就是所求作的垂线.根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中小二房是等

腰三角形的为

14.某地需建设内部场馆，此场馆为圆形设计，面积为12〃〃%（。，人均为正数）平方米，请你根据所学

的知识计算出此场馆内部的半径为米.（用含有小〃的式子表示）

15.如图，在长方形A8C力的对称轴/上找点P,使得MAB，APBC均为等腰三角形，则满足条件的点

16.下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（。+/炉（〃为非负整数）的展开式的项数及

各项系数的有关规律.请你观察，并根据此规律写出：（。+匕）7的展开式共有项，（〃+/?）〃的展开式

共有项，各项的系数和是

1

1I......共有2项各项系数和；2

7

121......(a+h)2=a2+2ab+h2共有3项各项系数和：4

\/\/

I331......(a+b)3=a3+3q26+3a〃+〃共有4项各项系数和：8

14641......3+份4="+4"6+642加+4必3+"共有5项各项系数和：16

三、解答题共8小题，共68分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17计算、化简求值：

(1)W-V12+|>/3-2

(2)夜・厄+加+3；

V3

(3)(夜+6『+百(行一向；

凤…)。咱一:卜倒.

⑷

(5)2sin60°+V12+1-5|-(71+2)°；

(6)解分式方程：—+—=1：

x-3x+3

x2-4y22x2+2xy

(7)

x1-vlxy+y2x+2y

(8)先化简，再求值：(2/mw+Z〃>+—]、'(rn2-2nm+n2],其中加一〃二1；

Im-mnmJv/

2

⑼先山化八间：〜(1一2a丁-\\卜\也-a

然后从—1，0,1,2中选一个你认为合适的。值，代入求值.

18.食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害

且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A、6两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加

该添加剂2克，8饮料每瓶需加该添加剂3克，已知生产10()瓶人、8两种饮料，共添加270克该添加剂,

问A、8两种饮料各生产了多少瓶？

19.证明：如果两个三角形有两个角及它们的夹边的高分别相等，那么这两个三角形全等.

20.如图，ABYAC,AB=AC,过点B,C分别向射线AD作垂线,垂足分别为E,F.

A

（2）求证：BE=EF+FC.

21.已知X=4+Z?-2,y-2cib=a'+b'.

（1）用x表示y；

4x4

（2）求代数式（x——）一+—的值.

xyx+2

22.如图，点A在直线/上，点6在直线/外，点3关于直线/对称点为C,连接4C,过点8作4QL4C

于点D，延长至七使连接AE并延长与BC的延长线交于点E

8/

（1）补全图形；

（2）若/BAC=2a,求出N4E8的大小（用含a的式子表示）；

（3）用等式表示线段E尸与的数量关系，并证明.

23.如图，在等边三角形A8C右侧作射线CRZACP=a（0。<1<60。），点4关于射线CP的对称点为点

（1）求NOBC的大小（用含。的代数式表示）；

（2）在a（0。<]<60。）的变化过程中，NAE3的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的

范围；如果不发生变化，请直接写出NAK8的大小；

（3）用等式表示线段AE,BD,CE之间的数量关系，并证明.

24.阅读下面材料：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图，A。为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点、F,AE=EF.求证：AC=BF.

经过讨论，同学们得到以下思路:

如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△AOC且△GO&再利用AE=En可以进一步

证得NG=N/^E=NAF£=N8FG,从而证明结论.

G

图①

完成下面问题：

（1）这一思路的辅助线的作法是：.

（2）请你给出一•种不同于以上思路证明方法（要求：写出辅助线的作法，画出相应的图形，并写出证

明过程）.

北京市2025-2026学年八年级上学期学业水平测试数学试题

(试卷共7页，100分.考试时长120分钟)

第一部分(选择题共16分)

一、选择题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.要使代数式,X-2有意义，则x的取值范围是()

A.x/2B.x>2C.x<2D.x=2

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，计算即可得出结果.

【详解】解：•・•代数式有意义，

:.x-2>0»

解得：x>2.

221

2.下列数一,兀，一,列021021021…中,无理数的个数是()

712

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数

与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选

项.其中初中范围内学习的无理数有：兀，2兀等；开不尽方的数；以及像().1010()100()10()0()1…等有这样

规律的数.

22

【详解】解：亍是分数，属于有理数，故不符合题意；

兀是无理数，符合题意，

是分数，属于有理数，故不符合题意；

12

0.021021021…是无限循环小数,属于有理数,故不符合题意;

综上所述，无理数有兀，共1个.

3.面积为3的正方形的边长是()

A.GB.1.5C.±6D.9

【答案】A

【解析】

【分析】面积为3的正方形边长是3的算术平方根，据此即可求解.

【详解】面枳为3的正方形边长是G.

故选A.

【点睛】本题考查了算术平方根的定义，理解定义是关键.

4.正五边形A8CQE中，N8EC的度数为()

A.18°B.30°C.36°D.72°

【答案】C

【解析】

【分析】根据正五边形的性质和内角和为540。，得到△A8E@AOCE,先求出N8E4和NCE。的度数,

再求N8EC即可.

【详解】解：根据正五边形的性质可得AB二AE=CD=DE,ZBAE=ZCDE=108°,

i\ABE^/\DCE,

BEA=NCED=g(180°-108°)=36°,

.•・N8EC=108。-36。-360=36。，

故选：C.

【点睛】木题考查了正多边形性质和内角和，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，证明

是解题关犍.

5.在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=BC=1.点Q在直线BC上，且AQ=2,则线段BQ的长为

()

A.6B,V5C.G+]或&_]D,石+1或石_]

【答案】C

【解析】

【分析】分Q在CB延长线上和Q在BC延长线上两种情况分类讨论，求出CQ长，根据线段的和差关系

即可求解.

【详解】解：如图h当Q在CB延长线上时，

在RtAACQ中，CQ=4AQ2_AC2=切―/=6

ABQ=CQ-BC=V3-1;

如图2,当Q在BC延长线上时,

在RiZXACQ中，CQNAQjC之地?-/=日

・・・BQ=CQ+BC=G+1；

・・・BQ的长为6+1或6—1.

故选：C

【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键.

6.如图，在AABC中，AB=AC,D是8c边上的动点(点。与B,C不重合)，△A3。和△ACO的面积分

别表示为S和S2,下列条件不用说明A。是△ABC角平分线的是()

A.BD=CDB.ZADB=ZADCC.S\=S2D.AD=^BC

【答案】D

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质进行分析即可.

【详解】在△人8c中，AB=AC,如果D是BC中点或AD_LBC,那么AD是△人8C角平分线.

因为BD=CD所以根据“三线合一”可得AD是△A8C角平分线.

因为N4Q4=NHQC,ZADB+ZADC=180。,所以N4O4=NA0C=9。。,所以AD_LBC,那么AD是

△ABC角平分线.

因为S=S2.,所以AD是BC上的中线，所以AD是△4BC角平分线.

如果不一定能保证D是BC中点或ADJ_BC,故不能保证AD是△48C角平分线.

【点睛】考核知识点：等腰三角形性质.理解“三线合•”是关键.

7.已知长方形A3CD可以按图示方式分成九部分，在〃，〃变化的过程中，下面说法正确的芍（）

AD

①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABC。的周长

②长方形A8C。的长宽之比可能为2

③当长方形ABCO为正方形时，九部分都为正方形

④当长方形A3CO的周长为60时，它的面积可能为100.

A.①@B.①③C.②③④D.®@®

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了图形与完全平方公式，熟练掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题关键.根

据长方形的周长公式可判断说法①；先分别求出49，的长，再根据长宽之比为2求出〃，〃的值，

由此可判断说法②；先求出当长方形A3CQ为正方形时，a=b,由此可判断说法③；先根据长方形的周

长公式可得a+〃=10,再根据长方形的面积公式，结合完全平方公式和整式的运算法则求出面积的取值

范围，由此可判断说法④.

【详解】解：①四边形AEFG、FHKM、SKWC周长之和等于长方形A3c。的周长；

AGND

②长方形的长为〃+2力，祗为2a+b,若该长方形的长宽之比为2,

则〃+幼=2（为+力），

解得。=0,这与题意不符，故②的说法不正确：

③当长方形A8C。为正方形时，2a+b=a+2b,

所以所以九部分都为正方形，故③的说法正确；

④当长方形ABCO的周长为60时，即2（2〃+人+。+⑦）=60,

整理，得〃+。=10,

所以四边形G//WD的面积为100,

故当长方形48co的周长为60时，它的面积不可能为100,故④的说法不正确.

综上正确的是①③.

故选:B.

8.如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两人小正方形，则余下部分的面积为（）

22

B.(4>/3+V30)cmC.12^10cmD.24Ji3cm2

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查二次根式的实际应用，求出大正方形的边长，分割法求出余下部分的面积即可.

【详解】解：•・•两个小正方形的面积为30cm2和48cm?，

・••两个小正方形的边长为\/48=45/3cm和＞/30cm»

・•・大正方形的边长为（46+而,

・•・余下部分的面积为卜G+病丫-30—48=2x46X廊二24限H?,

故选:D.

第二部分(非选择题共84分)

二、填空题共8小题，每小题2分，共16分.

9.分解因式：/广4)=.

【答案】.y(x+2)(x-2)

【解析】

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出

来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式.

【详解】/),.4产义©.4)二义计2)(心2),

故答案为：义x+2)(x・2).

【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解.

10.图中的两个三角形是全等三角形，其中些角和边的大小如图所示，那么”的值是.

【答案】50°

【解析】

【分析】根据三角形内角和定理以及全等三角形的性质解答即可.

【详解】解：180。-85°-45°=50。，

•・•两个三角形是全等三角形，

.*.x=50°,

故答案为50°.

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的

关键.

H.写出一个比J7大且比而小的无理数.

【答案】我(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据无理数的定义写出两者范围内的数即可.

【详解】i个比五大且比而小的无理数有：&、M等.

故答案为答案不唯一，如瓜、丽等.

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.

12.如图，ZVIBC中，AC=1,BC=4,A8的垂直平分线OE交4B于点。，交边AC于点、E,那么aBCE

【答案】II

【解析】

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB,根据三角形的周K公式计算，得到答案.

【详解】解：YOE是的垂直平分线，

：・EA=EB,

・•・匕BCE的周长=8C+8E+EC

=BC+EA+EC

=BC+AC

=11,

故答案为：11.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离

相等是解题的关键.

13.如图，经过直线A8外一点C作这条直线的垂线，作法如下：

(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁.

(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点。和E.

（3）分别以点£＞和点E为圆心，大于gOE的长为半径作弧，两弧相交于点F.

2

（4）作直线。尸.

则直线C/就是所求作的垂线.根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中下二房是等

腰三角形的为.

【答案】/XDKF、ADKE、/KE、AFKC、ACEF、NCDF

【解析】

【分析】连接C。、CK、CE、DF、KF、EF、DK、EK,由作图可得止=EF，

CD=CK=CE,再结合等腰三角形的定义分析即可得出结果.

故等腰三角形有△CDK、△CEK、ACDE、ADFE,

不：定是等腰三角形的为△DKF、ADKE、AFKE、△尸KC、MEF、NCDF.

14.某地需建设内部场馆，此场馆为圆形设计，面积为124。2人（。，人均为正数）平方米，请你根据所学

的知识计算出此场馆内部的半径为米.（用含有m〃的式子表示）

【答案】2。回

【解析】

【分析】根据圆的面积公式S=〃R2求解即可.

【详解】解：由题意得，此场馆内部的半径为，互弛=，已/匕=2a®.

15.如图，在长方形A8CQ的对称轴/上找点P,使得A^45，A/C均为等腰三角形，则满足条件的点

P有个.

AB

D

【答案】5

【解析】

【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交1于

P；二是在长方形内部在1上作点P,使PA=AB,PD=DC,同理，在I上作点P,使PC=DC,AB=PB；三

是如图，在长方形外1上作点P,使AB=BP,DC=PC,

同理，在长方形外1上作点P,使AP=AB,PD=DC.

【详解】如图，作A8或。。的垂直平分线交/于P,

AB

DC

如图，在/上作点P,使以=AB,同理，在/上作点P,使尸LDC,

如图，在长方形外/上作点儿使同埋，在长方形外/上作点匕使尸。

故答案为5

【点睛】考查等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论思想在解题中的应用.

16.下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（〃十。）”（〃为非负整数）的展开式的项数及

各项系数的有关规律.请你观察，并根据此规律写出：（〃+〃）’的展开式共有项，（。+占）”的展开式

共有项，各项的系数和是_____.

1

11............共有2项各项系数和；2

7

121............（a+h）2=a2+2ab+h2共有3项各项系数和：4

\/\/

1331............（a+b）3=a3+3q2b+3a"+〃共有4项各项系数和：8

14641............（4+份4=44+4"6+6/加+4必3+"共有5项各项系数和：16

【答案】①.8②.n+\③.2”

【解析】

【分析】根据杨辉三角，,+/?）〃的展开式共有（〃+1）项，各项系数和为2"，据此解答即可.

【详解】解：根据规律，（〃+〃）7的展开式共有8项，

（。+人）”的展开式共有（〃+1）项，各项系数和为2"・

故答案为8,〃+1,2".

三、解答题共8小题，共68分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.计算、化简求值：

(1)y/8—y/l2+1>/3—2

(2)>/2—A/F2+VFs+；

(夜+6『+百(夜一6卜

(4)必（兀叫。+（J+3

(5)2sin60°+V12+1-5|-(7T+2)°；

(6)解分式方程：——十——

x-3x+3

、x2-4y22x2+2xy

(7)--------------；----------------

r+2xy+y.x+2y

(p1A

h

(8)先化简，再求值：7+—4m2-2nm+n2],其中加一〃二1；

1m-mnmJ'

⑼先化简：（。一手卜黑’然后从一，0,1，2中选一个你认为合适的。值，代入求值.

【答案】（1）4-3>/3

5右

⑵4>/2

3

⑶2+3瓜

⑷372+3

（5）3舟4

（6）x=l

/、2x2-4xy

（7）--------

x+）'

（8）3（m-n）,3

（9）\-a,-1

【解析】

【分析】（1）先il算立方根、算术平方根、绝对值，再冲算加减即可得出结果；

（2）先化简各二次根式，再计算加减即可得出结果；

（3）根据二次根式混合运算法则计算即可得出结果；

（4）先计算算术平方根、负整数指数累、零指数暴、绝对值，再计算加减即可得出结果；

（5）先计算特殊角的三角函数值、算术平方根、绝对值、零指数哥，再计算乘法，最后计算加减即可得出

结果；

（C）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果；

（7）根据分式的乘法法则计算即可得出结果；

（8）先根据分式的混合运算法则进行化简，再整体代入=1计算即可得出结果；

（9）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入合适的值计算即可得出结果.

【小问1详解】

解：次_屈+*—2

=2-26+2-6

=4-3岳

【小问2详解】

解：6-至+M占

=V2-2V3+3>/2+—

3

3组

3

【小问3详解】

解：（&+Gy+g（&-G）

=2+2々+3+逐-3

=2+3\/6;

【小问4详解】

解:存卜叫。++卜四

=272-1+4+72

=3a+3；

【小问5详解】

解：201160。+屈+|—5|—（万+2）°

=2x—+2V3+5-1

2

=73+273+5-1

=3百+4；

【小问6详解】

解：去分母可得：X（X+3）+6（A-3）=（X+3）（X-3）,

整理可得：9“=9,

解得x=l,

检验，当x=l时，（X+3）（X—3）HO,

・•・原分式方程的解为x=l；

【小问7详解】

x2-4y22x24-2xy

解;

x2+2xy+y2x+2y

(x+2y)(x-2y)2x(x+y)

(x+)，)2x+2y

lx2-4xy

x+y

小问8详解】

2m+n

解:-2mn+n2)

nr-mnm)

2m+n

3ni

ni-n

二3（〃?一〃）,

Vin-n=\»

二原式=3x1=3；

【小问9详解】

2a-\\\-a2

解:a-------

a十。

(r-2a+\\-a2

(6Z-1)-(1-6/)(1+6/)

a4(4+1)

a-I):〃(a+l)

a(i)(l+〃)

=\-a，

ci—IwO,。+1。0,

，〃w0,。工一1且4W1,

・,・当。=2时，原式=1—2=—1.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，分式的混合运算，解分式方程，分式的化简

求值等知识点，熟练掌握运算法则是解此题的关键.

18.食品安全是老百姓关注话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害

且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，4饮料每瓶需加

该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知生产100瓶4、A两种饮料，共添加270克该添加剂，

问A、8两种饮料各生产了多少瓶？

【答案】A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶

【解析】

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设A饮料生产了x瓶，8饮料生产了)，瓶，再根据题目中

的等量关系列出方程组，求出结果即可.

详解】解：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了)，瓶，由题意得：

x+y=100

[2x+3y=27()'

fx=30

解得：”，

y=70

答：A饮料生产了30瓶，8饮料生产了70瓶.

19.证明：如果两个三角形有两个角及它们的夹边的高分别相等，那么这两个三角形全等.

【答案】详见解析

【解析】

【分析】先利用几何语言写出已知、求证，然后证明这两个三角形中有条边对应相等，从而判断这两个三

角形全等.

【详解】已知：如图，在△ABC和△中，ZB=ZB\ZC=ZC,AD、ATT分别是BC,边上

的高，AD=AfD\

求证：△ABC^AA^V.

证明：VAD±BC,A'D'J_B'C',

・•・NADB=NA'D'B'=90°.

VZB=ZBr,AD=A,D,,

.,.△ABD^AA,B,D,(AAS),

AAB=A,B,,

VZB=ZBr,NC=NC'

/.△ABC^AA'BV（AAS）,

即如果两个三角形有两个角及它们的夹边的高分别相等，那么这两个三角形全等.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中

的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对

边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.

20.如图，ABLAC,AB=AC,过点B,C分别向射线人。作垂线，垂足分别为区F.

（2）求证:BE=EF+FC.

【答案】（1）如图，见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题画图；（2）证且△CAf*（AAS）,得的=AP,AE=CF.

【详解】（1）如图，

・・・/3AE+NCAF=90。，ZBAE+ZB=90°,ZCM=ZAEB=90°.

:.tCAF=4B.

在zX/W七和△CAP'中,

/B=/CAF,

NAEB=NCFA,

AB=AC,

:.'ABEgMCAF(AAS).

：.BE=AF,AE=CF.

*：AF=AE+EF,

：.BE=EF+CF.

【点睛】考核知识点：全等三角形判定和性质.熟记判定定理是关键.

21.已知x=-2,y-Icib=a'+b2.

(1)用x表示y：

4x4

(2)求代数式。--＞一+一的值.

xyx+2

【答案】(1)y=(x+2)2；(2)I.

【解析】

【分析】(1)由已知可得〃+》=x+2,y=a+2ab2+b2=(a+b)2.(2)根据分式的运算法则进行化简.

【详解】解：(1)*.*x=a+b-2,y-2ab=a1+bz,

a+b=x+2,y=a+2ab~+b2=(a+b)1.

/.y=(x+2)2.

(2)由题意可知：

a、x2-4x4

原式:--------十-----

xyx+2

_X2-4x4

一_x-°(x+2)27+2

(x-2)(x+2)x4

x(x+2)2x+2

x-24

=----+-----

工+2x+2

x+2

-x+2

=1

【点睛】考核知识点：分式运算.掌握运算法则是关键.

22.如图，点4在直线/上，点8在直线/外，点B关于直线/的对称点为C,连接AC,过点B作

BD_L4C于点Q,延长8D至E使连接4E并延长与8C的延长线交于点F.

A

B/

（1）补全图形；

（2）若N8AC=2a,求出NAE8的大小（用含。的式子表示）；

（3）用等式表示线段£“与BC的数量关系，并证明.

【答案】（1）见解析；（2）NAEB=450+a；（3）BC=C，EF，证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意作图即可补全图形；

（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质求出N/WQ,再由86/W,可得然后利用三角

形的内角和定理即可求得结果；

（3）设/与8c交于点”，过点£作EG_L8产于点G,如图3,先利用轴对称的性推出N8A”=NC4〃=a,

再根据质余角的性质推出NCMXNCAHR,进一步利用（2）的结论和三角形的外角性质推出NF=45。，

进而可得石尸=&EG，然后根据AAS可证明△ABHgaBEG,从而得BH=EG,而BC=2BH,进一步即

可得出E/与8c的数量关系.

【详解】解：（1）补全图形如图1所示：

图1

(2)・.・8O_LAC,ZBAD=2a,・•・//WD=90。-2a,

f叽4-

•：BE=AB,AZAEB=ZBAE=

22

(3)线段E/与BC的数量关系是：BC=6EF・

证明：设/与8C交于点H,过点E作EG_L8/于点G,如图2,

•・•点8关于直线/的对称点为C,ZBAC=2a,

：.BH=CH,/BAH=NCAH=a,

TAHLBC,8QJ_AC,；・NCAH+NAC〃=90°,NCBD+NACH=90。,

：.^CBD=ZCAH=a,

•.•NAEB=45°+a,NAEB-NCBD+NF,

：.ZF=45°,则为等腰直角三角形，・•・E尸=正EG，

VZBAH=ZEBG=a,NAHB=NBGE=90°,AB=BE,

:.i\ABHq4BEG(AAS),

：.BH=EG,

•:BC=2BH,ABC=2EG=y/2EF-

【点睛】本题考查了依题意作图、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三

角形的内角和定理、余角的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确

作出图形、热练掌握上述知识是解题关键.

23.如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP,ZACP=a（0。<1<60。），点4关于射线CP的对称点为点

D,BD交CP于点E,连接AD,4H

（1）求NOBC的大小（用含。的代数式表示）；

（2）在a（0°<«<60°）的变化过程中，N4EB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的

范闱：如果不发生变化，请直接写出NAE8的大小；

（3）用等式表示线段AE,BD,CE之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）ZDBC=60°-（2）NA即的大小不会发生变化，且乙4所=60。；（3）BD=2AE+CE,证明

见解析.

【解析】

【分析】（1）如图1,连接CQ,力轴对称的性质可得AC=OC,ZDCP=ZACP=a,由AABC是等边三角

形可得4C=8C,NACB=60。，进一步即得N8CZ>60。+2a,BC=DC,然后利用三角形的内角和定理即

可求出结果；

（2）设AC8D相交于点儿如图2,由轴对称的性质可证明AACEgAOCE,可得NCAE=/CO£,进

而得NQBGNCAE,然后根据三角形的内角和可得NA£3=N3CA,即可作出判断；

（3）如图3,在上取一点M,使得CM=CE,先利用三角形的外角性质得出NBEC=60。，进而得

△CME是等边三角形，可得NMCE=60。，M