中考数学一轮专项复习学案（人教版）锐角三角函数（含答案）

锐角三角函数

回归教材•过基础

【知识体系】

直角三角形

【考点清单】

知识点1锐角三角函数的定义

定义:在RtAABC中,NC=9()o,NA,/B,NC的对边分别为a,b,c.

K

b'

(1)ZA的正弦:sin边一；

(2)/A的余弦:cosA="嚣边=：.

/八/AAATJF../A的时边a

(3)NA的正切:tanA=二边二

技巧提示

锐角三角函数只能在直角三角形中使用,如果没有直角三为形，常通过作垂线构造直角三光形.

知识点2特殊角的三角函数值

Na三角函数值三角函数0°30°45°60°90°

1V3

sina01

2

1

1

LU〉VA10

2

tana01V3不存在

知识点3解直角三角形

1.定义

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形.(直角三角形

中，除直角外,一共有5个元素，即3条边长和2个锐角)

2.直角三角形的边角关系

在RtAABCM«,ZC=90°,ZA,ZB,ZC的对边分别为a,b,c.

（1）已知三边之间的关系:a2+b2=c?.

⑵已知锐角之间的关系:NA+/B=90。.

（3）边角之间的关系:sinA=^,cosA=^,tanA=^,sinB=^,cosB=^,1anB=^.

3.解直角三角形的几种类型及解法

已知条件解法

斜边c和锐角AB=90°-A,a=csinA,b=ccosA

一条边和一个锐角

直角边a和锐角AB=90°-A,b^,c=-^

两条直角边a和bc=Va2+b2,由tanA=^求角A,B=90°-A

两条边

直角边a和斜边c4招手,由sinA3求角A,B=90°-A

知识点4解直角三角形的常见实际应用

视线

铅在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角

垂加角

仰角、俯角水平线

线府角

叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角

鼻线

坡面的铅直高度h和水平宽度I的比叫坡度（坡比），

坡度（坡比）、坡角

用字母i表示，坡而与水平线的夹角。叫坡角,Tana-y

一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为

起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），

方向角通常表达成“北（南）偏东（西）XX度如图,A点位于O点

的北偏东30。方向,B点位于O点的南偏东60。方向，

C点位于O点的北偏西45。方向（或西北方向）

【基础演练】

（原创）已知△ABC,NB=30°,AB=6.

⑴如图l,ZC=90°,WJsinB=AC=,BC=，点C到直线AB的距离

是.

(2)如图2,NC=45。,则sinB=,AC=,BC=，点C到直线AB的距离

是.

(3)如图3,NC=135。,则sinB=,AC=,BC=，点C到直线AB的距离

是.

真题精粹•重变式

考向1锐角三角函数的计算

热点训练

l.sin30°=.

考向2解直角三角形

热点训练

2.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在珞点上，以AB为直径的圆经过点C,D,

则cosNADC的值为()

考向3解直角三角形的应用g年！考

3.(2022•福建)如图,衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC其中AB=AC,NABC=27)BC=44cm,

则高AD约为(参考数据:sin27°~0.45,cos27°=：O.89,tan27°~0.51)()

BD

A.9.90cm

B.11.22cm

C.19.58cm

D.22.44cm

4.（2024•福建）无动力帆船是借助风力前行的.如图，这是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船

航行方向与风向所在直线的夹角/PDA为70。,帆与航行方向的夹角NPDQ为30。,风对帆的作用

力F为400N.根据物理知识,F可以分解为两个力Fi与F2淇中与帆平行的力匕不起作用,与帆垂

直的力Fz又可以分解为两个力fi与6,6与航行方向垂直,被舵的阻力抵消无与航行方向一致，是真

正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学型：F=AD=400N,

则f?=CD=N/单位:N.参考,数据:0m40。巾.64<0540。乜）.77）

航行方向

热点训练

5.如图，小睿为测量公园一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得

NADC=31。燃后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得

/AFC=42。.求凉亭AB的高度.（A,C,B三点共线,AB_LBE,ACJ_CD,CD=BE,BC=DE.结果精确到

0.1m）（参考数据:sin3l0色0.52,cos3I^0.86,tan31°u0.60,sin42°^0.67,cos42^0.74,tan42%0.90）

核心突破•拓思维

考点1解直角三角形

例如图,AC,BD为四边形ABCD的对角线,AC_LBC,AB1AD,CA=CD.若tan/BAC=f,则

tan/DBC的值是)

巾

A.®C

14-瑶

★解题指南根据lan/BAC*,得出ZBAC的度数，则在RtAACB中，设BC=1,贝ljAC=V5.证明

△CAD为等边三角形，过点D作DE_LCA,交CA于点E,设CA与BD交于点F,贝ljDE〃BC,从而

NDBC=NFDE.设CF=x，则EF《x,根据tanZDBC=tanZFDE列出关于x的方程，解得x的值，则

可求得tanNDBC的值.

变式如图,NMON是一人锐角，以0为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM,ON于点A,B,再分

别以点A,B为圆心，大于TAB的长为半径画弧，两弧交于点C,画射线0C.过点A作AD〃ON,交射

线OC于点D.过点D作DE_LOC交ON于点E.设OA=10.DE=12MsinNMON=.

核心方法

三角函数在几何图中的用法

1.当所求三角函数（角或边）在直角三角形中时，考虑直接代入锐角三角函数的定义求解.

2.当所求三角函数（角或边）不在直角三角形中时，可根据等角的锐角三角函数值相等,进行等

量转换或作辅助线构造直角三角形.

考点2解直角三角形的应用

例2如图，这是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图,0A是垂直于工作台的移动基

座,AB,BC为机械臂,0A=1m,AB=5m,BC=2m,NABC=143。机械臂端点C到工作台的距离

CD=6m.

工作台

(1)求A,C两点之间的距离.

(2)求0D的长度.

（结果精确到0.1m,参考数据:sin37°=0.60,cos37°=O.8O,tan3«3.75,得2.24）

核心方法

解直角三角形的实际应用问题的方法

要读懂题意,分析背景语言，再理清题中各个量的具体意义及各个已知量和未知量之间的关系

把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题，具体方法如下:

1.紧扣三角函数的定义，寻找边角关系;

2.添加辅助线，构造直角三角形，作高是常用的辅助线添加方法(如图所示);

3.逐个分析相关直角三角形，构造方程求解，一般设最短的边为x,先分别在不同的直角三角形

中用含x的代数式表示出未知边，再根据两个直角三角形边的数量关系(和、差或相等)列方程求出

未知量.

变式1在东海一次军事演习中,某潜艇由西向东航行，如图，到达A处时，测得某岛上的敌方预警

雷达C位于它的北偏东70。方向,且与潜艇相距500海里，再航行一段时间后于当天晚上6:00到达

B处，测得岛上的敌方预警雷达C位于它的北偏东37。方向.上级要求潜艇以每小时20节.（海里）速

度继续航行，到达岛的正南方向的D处20分钟后使用舰对岸导弹攻击，摧毁假设敌方预警雷达C,

求发起攻击的时间.(参考数据:sin700M.94,cos70%0.34,tan70*2.75,sin37%0.6,cos37%0.80,

(an370-0.75)

变式Z［真情境］图1是一-辆吊车的实物图，图2是其工作示意图,AC是可以伸缩的起重臂，其转

动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m,张角ZHAC为118。时，求操作平

台C离地面的

高度.（结果保留小数点后一位，参考数据:sin28o^0.47,cos28°^0.88,tan28吐0.53）

变式“3综合与实践活动中,要利用测角仪测量塔的高度加图，塔AB前有一座高为DE的观景台,

已知CD=6m,/DCE=30。,点E,C,A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B

的仰角为45。,在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27。.

⑴求DE的长.

（2）设塔AB的高度为h（单位:m）.

①用含有h的式了•表示线段EA的长（结果保留根号）；

②求塔AB的高度（tan27。取0.5,百取1.7,结果取整数）.

参考答案

回归教材•过基础

基础演练

(%33V3苧(2)13V23V3+3当里

(3,3V23V33

真题精粹•重变式

埒2.B3,B

4.128解析:如图,

•・•ZPDA=70°,ZPDQ=30°,

JZADQ=ZPDA-ZPDQ=70°-30°=40°,Zl=ZPDQ=30°.

•••AB〃QD,

，NBAD=NADQ=40。.

在RtAABD中,F=AD=4()0N,ZABD=90°,

/.F2=BD=ADsinZBAD=400sin400-400x0.64=256(N).

由题意可知,BD_LDQ,

AZBDC+Z1=9O°,

/.ZBDC=90°-Zl=60°.

在RlABCD4J,BD-256N,ZBCD-900,

.*.f^=CD=BDcosZBDC=256xcos600=256xl=)28(N).

故答案为128.

5.解析:由题意得BC=FG=DE=1.5m,DF=GE=3m,ZACF=90°.

设CF=xm,

则CD=CF+DF=(x+3)m.

在RtAACF中,NAFC=42。，

AAC=CFtan42°~0.9x(m).

在RtAACD中,NADC=3I。，

・•・tan31。普华0.6,

CDx+3'

/.x=6.

经检验,x=6是原方程的根，

・•・AB=AC+BC=0.9x+1.5=6.9(m),

・,•凉亭AB的高度约为6.9m.

核心突破•拓思维

例1D解析:・.・tanNBAcT，

・•・ZBAC=30°.

VAC1BC,

ZACB=90°.

设BC=1,则AC=V3.

VABIAD,

••・ZBAD=90°,

二ZDAC=60°.

VCA=CD,

•••△CAD为等边三角形.

过点D作DEJ_CA,交CA于点E,设CA与BD交于点F,如图所示.

贝ijCE=|AC=y,DE=ADsin60°=V3xy=1.

设CF=x，贝ijEF=y-x.

VAC1BC,DE±CA,

••・DE〃BC,

/.ZDBC=ZFDE,

/.tanZDBC=tanZFDE,

.C£_pF

'*BC-DE,

解得x咯

AtanZDBC=^=^.

变式I

例2解析:（1）如图，过点A作AE_LCB,垂足为E,

在RtAABE中,AB=5,NABE=37°.

sinZABE=T^,COSZABE=T^,

ABAB

.,.y=0.60,y=0,80,

AAE=3,BE=4,

ACE=6.

在RtAACE中,由勾股定理得AC=A/32+62=3此=6.7m.

DO

工作台

（2）如图，过点A作AF_LCD,垂足为F,

・・・FD=AO=1,

ACF=5.

在RtAACF中,由勾股定理得AF=V45-25=275,

/.OD=2V5m-4.5m.

变式I