用配方法解一元二次方程（学案）-2025-2026学年鲁教版八年级数学下册

第八章•一元二次方程

2用配方法解一元二次方程

第1课时直接开平方法

列清单•划重点

知识点①直接开平方法的概念

一般地，运用平方根的意义直接—求出一元二次方程的解的方法叫直接开平方法.

知识点②用直接开平方法解一元二次方程的步骤

(1)观察方程是否符合x2=Q(a0)或(x+a)2=b(QH0，b0)的形式；

(2)直接开平方，得到一一元一次方程；

(3)解一元一次方程得到原方程的一根.

知识点③直接开平方法的使用范围及注意事项

(1)用直接开平方法解形如((x+a)2=b的一元二次方程时，要注意b的符号.当b_0时，

方程的解是x=±VF-a;当b_0时，方程的解是x=-a;当b<0时，方程—实数解：

(2)宜接开平方法适合解一边是含—的完全平方式，另一边是—的形式的一元二次方程.

明考点•识方法

考点①形如x2=a(a>0)型方程的解法

典例1解方程：

(l)y2=4;(2)；x2-3=0;(3)9/-5=8.

3

思路导析将方程化为X2=a(a>0)的形式直接开平方。

变式1用直接开平方法解下列方程：

(1)2/=8;(2)浮-15=0;

(3)4/—V64=0;(4)x(2%+1)=%+2.

变式2解关于x的方程：bx2+l=2(/)0).

考点②形如(x+Q)2=帅>0)型方程的解法

典例2用直接开平方法解下列方程：

(1)4(X-2)2-3=0;

(2)x2—6x+9=7;

(3)(%—23=4(2%+5产

思路导析将方程化为((无+Q)2=b(b>0)的形式，开平方即可.

变式1若方程(x+2)2=m-1有解，则m的取值范围是,

变式2逐步分析4(2%-1尸=36.

解：(2x-I)2=9;

2x-l=9…第一步；

2x=8…第二步；

x=4...第三步.

(1)以上解方程的过程中从第一步开始出现错误；

(2)请写出正确的解方程过程.

变式3用直接开平方法解下列方程:

(1)9(2%-5)2-4=0;

(2)72(6-x)2=128V2;

(3)25(%-4)2-4(5-2K。=0;

(4)x2—10x4-25=(5-2x)2.

考点③用直接开平方法求代数式的值

典例3若(/+y2+3)(x2+y2-3)=27,则X2+好的值为.

思路导析利用直接开平方法解方程，勿忽略向+廿是非负数.

变式1已知(x2+y2+I)2=81,则X2+y2=.

变式2若关于x的方程(奴-1尸—16=0的一个根为2,则a的值为

变式3若(X2+y2-5)2=4,则X24-y2=

第2课时配方法

列清单•划重点

知识点①配方法

I.定义：把一元二次方程配成—得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做

配方法.

2.配方的目的是一,把一个一元二次方程转化为两个一元一方:程求解..

3.配方的实质：当二次项系数为1时，方程两边都加上一次项系数—的—

知识点②配方法解一元二次方程的一般步骤

1.移：把常数项移到等号的右边；

2.化：把二次项的系数化为1；

3.配：等式两边同时加上一次项系数一半的平方；

4.开：利用平方根的意义，将方程开平方降次；

5.解：解两个一元一次方程.

明考点•识方法

考点①二次三项式配方

典例1填空：

(l)x2-4x4-()=(x-)2;

(2)%2-1%+()2=(x-_)2;

(3)4/-6x+()=4U-)3=(2x-)2.

思路导析(1)(2)根据完全平方公式的特点，利用公式/+QX+照了=1进行配方，

(3)可直接配，也可提取4再配方.

变式给下列各式配上适当的数，使其成为恒等式.

(1)3/+5x4-=3a4-7；

(2以-y/sy+=(y-)2；

(3)x2+g%+_=(x+_)2.

考点②用配方法解•元二次方程

典例2用配方法解方程：

(I)%2-4x-7=0;

(2)x(x-4)=2;

(3)-3x2+4%+1=0.

思路导析先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1,接着把方程两边同时加上一

次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可.

变式1用配方法解一元二次方程2X2-4X-1=0时，配方正确的是()

A.(x-I)2=1B.(%一1尸=：

C.(x-27=3D.(x-2/=5

变式2解方程：

(I)%2+8x4-3=0;

(2)x+3)(x・5尸1.

考点③配方法的其他应用

典例3先阅读下面的内容，再解决问题.

例题：若/+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值.

解：vm2+2mn+2n2-6n4-9=0,

:.mz+2mn4-n2+n2-6n+9=0,

:.(m+n)2+(n-3)2=0,

.•-m+n=0,n-3=0,

••.m=-3,n=3.

解决问题：

2

(1)若x-2xy+2y2+你+4=o,求xy的值;

(2)已知a,b,c是4ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8。-41,求第三边c的取值范围.

变式1当x=—时，代数式-2/+4X+3有最(填“大”或“小”)值为一、

变式2已知△ABC的三边长a.b,c都是正整数，且满足Q2+/-6Q-4b+13+|3-c|=0,请

问AABC是什么形状的三角形？

2用配方法解一元二次方程

第1课时直接开平方法

【列清单•划重点】

知识点1开平方

知识点2(1心之(2)两个(3)两个

知识点3(1)>=没有

(2)未知数升负数

【明考点•识方法】

典例1

解:⑴开平方，得y=±2,

所以%=2,y2=-2;

⑵移项，得32=3,

方程两边同乘以3,得/=9,

方程两边同时开方，得.x=±3,

所以=3,%2=-3；

(3)移项合并同类项，得9工2=13,方程两边同除以9,得/=苏方程两边同时开方，得

》=±乎,所以/=V13V13

——3,122=------3----

变式1

解：⑴方程两边同除以2,得y2=4,开平方，得y=±2,

解得力=2,y2=-2;

⑵移项居92=15,

方程两边同除以j得为2=25,

开平方，得.x=±5;

解得Xy=5,%2=-5；

(3)原方程可化为4x2-8=0,

移项，得4/=8,

方程两边同除以4,得/=2,

开平方，得.X=±&,

解得%i=V2,X2=-V2;

(4)原方程可化为2/=2,

方程两边同除以2,得M=i,

开平方，得x=±l,

解得%=l,x2=

变式2

解：方程整理，得以2=1(6=0),即％2=/b和),

若b>(),开方，得x=±f;若b<(),方程无实数根.

D

典例2

解:(1)移项，得4(。-2尸=3,

方程两边同除以4,得("-2)2=：

开平方，得％-2=±4，

即x_2=?或x-2=

所以=2+y,%2=2-y；

(2)原方程可化为(%-3)2=7,

开平方，得.为一3=±夕，

即％—3=V7或x—3=

所以/=3+V7,x2=3-V7;

(3)开平方,得

x-2=±2(2x+5),

即x・2=2(2x+5)或x-2=-2(2x+5),

所以无1=-4,x2=

变式lm>l

变式2

解:⑴一;

(2)4(2%-I)2=36,

(2%-I)2=9,

2x-l=±3,

2x=l+3或2x=l・3,

x=2或x=-l.

变式3

解：（1）整理原方程，得（2x—5）2=：

直接开平方，得2%-5=±条

(2)72(6-x)2=128V2,

方程两边同除以鱼居((6-x)2=128,

开平方，得6-％=±8&,

即6—%=8四或6—x=-8^2,

=6-8A/2,x2=6+8>/2;

(3)原方程可化为[5(%-4)]2-[2(5-2x)]2=0,

移项，得[5(无一4)F=[2(5-2幻]2,

.••5(x-4)=±2(5-2x),

即5(x-4)=2(5-2x)或5(x-4)=-2(5-2x),

X1==I。；

(4)原方程可化为(x-5)2=(5-2x)2,

方程两边开平方，得x-5=±(5-2x),

即x-5=5-2x或x-5=2x-5,

10八

­,•=—，x2=0.

典例36

变式18

变式2煞一,

变式33或7

第2课时配方法

【列清单•划重点】

知识点11.完全平方式

2.降次一次3.一半平方

【明考点•识方法】

典例1⑴42⑵*⑶浮

变式(展出:博⑶最

典例2

(I)%2-4X-7=0,X2-4X=7,

x2-4%+4=7+4,即(x-2)2=11,

•••%—2=±VTT,

•••Xj=2+VTT,x2=2-VTT；

⑵整理原方程，得/一依=2,

%2-4%+4=24-4,:.[x-2)2=6,

•••x-2=+V6,

:.x1=2+V6,x2=2—痣

(3)-3xz+4x+1=0,3x2-4x-1=0,

3x2—4x=l,x2—-x=-,

33

x2_ix+l=l+i

3939'

变式1A

变式2

解：(1)/+8X+3=0,X2+8X=-3,x2+8x+16=16-3,(x+4)2=13,•••x+4=

±713,

:*x1=-4+V13,X2=-4—y/13;

(2)(x+3)(x—5)=l,x2-2x=16,

%2-2x+1=16+l,(x-I)2=17,

x-1=±V17,

=1+-/17,x2=1—V17.

典例3

解：(1)•••义2-2xy+2y2+4y+4=0,

•••x2-2xy+y?+y2+dy+4=0,

•••(%-y)2+(y+2)2=0,

.•.x-y=0,y+2=0,

解得x=-2,y=-2,

•••班=(-2)-2=：；

(2)va24-b2=10a4-8t-41,

a2-10a+25+b2-8b4-16=0,

即(a-5)2+(b-4)2=0,

•,•a-5=0,b-4=0,解得a=5,b=4,

.•.5-4<C<5+4,BP1<C<9.

变式11大5

变式2

解：Q2+/?2—6Q—4匕+13+|3-c|=0,

a?-6a+9+廿一4b+4+|3-c|=0,

3-3)2+3-2)2+|3-c1=0,

则a-3=0,b-2=0,3-c=0,

解得a=3,b=2,c=3,

•••a=c,

.•.△ABC是等腰三角形.

3用公式法解一元二次方程第1课时公式法

【列清单•划重点】

-b±-<Jb2-4ac

知识点1NX二

2a

【明考点•识方法】

典例

解:(l)，；a=l,b=-5,c=3,

Ab2-4ac=(一5/-4x1x3=13>0,

_-(-5)±V13_5±V13

,•X—~一"f

2x12

5+\/135->/13

•々I—2，%2-2，

(2)将方程变形，得4/+12x+9=0,

.••a=4,b=12,c=9,

b2-4ac=122-4x4x9=0,

-12±03

x=--------=——,

2X42

=海=

(3)v2x(x+2)-l=0,

•••2x2+4x-1=0,

a=2,b=4,c=-1,

/.b2-4ac=42-4x2x(-1)=24,

_-4±V24_-2±V6

X=.

2X22

-2+n-2-V6

*'•X1=-2-，％2=-2-,

变式IB

变式25#+3%-2=0

变式3

解:(l)；a=3,b=^5,c=・l,

/.b2-4ac=(一5y-4x3x(-1)=37>0,

5±>/37

AX=----------,

2X3

5+V375-V37

；

二/=-OO'%2=—7—

(2)va=V2,b=4A/3,c=6V2,

b2-4ac=(4V3)2-4xV2x6V2=0,

-4\/3±0rr

•，•X=^7F=-^

•••x1=x2=-y/6.

(3)整理成一般式，Wx2-4x-7=0,

.••a=l,b=-4,c=-7,

•••b2-4ac=(-4)2—4x1x(-7)=44>0,

则无=磬=2±m,

工1=2+V1T,x2=2—V1T.

第2课时根的判别式

【列清单•划重点】

知识点Ib2-4ac

知识点2

(1)两个不相等芈三远

2a

(2)两个相等-白(3)无实根