河南长葛市2025-2026学年上学期学科素养测评九年级数学（试卷+解析）

2025〜2026学年上学期学科素养测评

九年级数学

注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答

题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上.

1.下列图标中，是中心对称图形的是（）

2.关于x的一元二次方程+=0有两个相等的实数根，则小的值是（）

A±1B.1C.0D.±4

3.二次函数y=（x-l）2—l的图象的顶点在第（）象限.

A.-B."C.三D.四

4.下列选项中，两个变量机和〃成反比例关系的是（）

A.长为小，宽为〃，周长为1的矩形B.底面半径为相，高为〃，体积为1的圆柱

C.对角线长分别为〃?、小面积为1的菱形D.长为处宽和高均为〃，体积为1的长方体

5.如图，在VABC中，DE〃AB,若CD:BD=3：2,那么的值为（）

A.3:2B.5:2C.5:3D.3:1

6.如图，AB为00直径，点。在。O上，且CO_LA8于点O,弦CO与AB相交于点E,连接4D，

若4DEB=66。,则N7M8的度数为（）

C

A.19°B.21°C.26°D.33°

7.如图，在VABC中，Z4=80°,A4=4，AC=6,将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角

形与原三角形不相似的是（）

8.某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到1000次时，统计

了某一结果出现了252次，则符合这一结果的试验最有可能是•）

A.从一副52张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃

B.掷一枚一元的硬币，正面朝上

C.三张同样的纸片，分别写有数字1，3,4,背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数

D.掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”

9.如图，在正方形网格图中，以。为位似中心，作线段的位似图形，若点。是点8的对应点，则点

A的对应点是（）

C.E点、D.G点

10.已知抛物线），=0^+法一2（%〃都是常数，且经过点（2,-2）,且对于符合-1＜内＜。，

3＜£＜4的任意实数%,,.r2,其对应的函数值y,_y2始终满足y8＜。，则抛物线顶点的纵坐标为（）

5810

A.-B.一一C.-3D.

333

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.请将答案填入答题卡相应的位置上.

11.平面直角坐标系中，点历（机2）关于原点对称的点为N（5,〃），则〃?〃=.

12.将抛物线），=/一1向左平移।个单位，得到的新抛物线的解析式为.

13.如图，VABC,AC=3叵,ZC=45°,AD，BC千D,tanZABC=3,BC的长是_______

14.如图，半径为3的扇形。钻中，ZAOB=90°,。是AB上一点，8_1。4于0,CE1.08于E,

连接。石，若NCED=50。，图中阴影部分的面积为

15.如图，RtAABC,ZABC=90°,。是AC边上一点，AO=4，CD=1,连接8D，点E在8。上,

连接CE,以CE所在的直线为轴将上8。后翻折，翻折后点4的对应点“恰好落在AC边上，当EF上BD

时，BE=

三、解答题：本大题共8小题，满分共75分.将解答过程写在答题卡的相应位置上，作图或

添辅助线先用铅笔画完，再用水性笔描黑.

16.(1)解方程：x2—6x—4=0；

（2）计算：3tan300-tan245°4-2sin600.

17.如图，在平面直角坐标系中，直线A3分别与4轴，y轴交于点A，B,与反比例函数），=4*>。）的图

x

k

象交干点C.已知点A的坐标为点。的坐标为（1.6）,点。在反比例函数），=个*>0）的图像匕

x

纵坐标为2.

（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点8的坐标;

（2）连接BDOD,请直接写四四边形ABOO的面积.

18.有五张相同的小纸条，分别写有语句：①函数表达式为），=2；②函数表达式为），二/；③函数的图象

x

关于原点对称；④函数的图象关于），轴对称；⑤函数值），随自变量X增大而增大.将这五张小纸条做成五

支签，①②放在不透明的盒子A中搅匀，③④⑤放在不透明的盒子B中搅匀.

（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是；

（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的两支签上的语句对函数的

描述相符合的概率.

19.如图，AC是OO直径，点B在OO上，3。平分/ABC交。。于点O，。石是OO的切线，交

3C的延长线于点£.

（1）求证：DE//ACx

（2）若tanA=-,CE=5,求8E的长.

2

20.如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座

与水平地面垂直.在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂

AB=12cm,中臂8C=8cm,底座CD=4cm.

B

B

（1）若上臂AB与水平面平行，NA3c=60。，计算点A到地面的距离（结果保留根号）；

（2）在一次操作中，中臂与底座成135。夹角，上臂与中臂夹角为105。，如图③，计算此时点4到地面的

距离（精确到0.1cm,也6414,6a1.732）.

21.玲玲文化工作室借助线上平台推广特色文化产品.已知该文化产品的成本价格为20元/作，每天的俏

量了（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）满足关系式y=-5x+200,销售单价不低于成本且不高

于40元/件，设销售该文创产品的日获利为卬元.

（1）当销售单价定为多少元时，口获利最大？最大利润为多少元？

（2）若线上平台将向该工作室收取。元/件（0<〃<4）的相关费用，若此时把销售单价定为31元/件，日获

利最大，求。的值.

22.已知点和B（m+3,、2）都在二次函数的图象上，且A、B两点位于该

二次函数图象对称轴的异侧.

（1）如图，若该二次函数的图象经过点。（0,7）.

①求这个二次函数的表达式；

②当,=为时，求VA8C的面积；

（2）当初WxWm+3时，二次函数的最大值与最小值的差为I,直接写出。的取值范围.

23综合与实践

问题情境：”综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1,在RtZSADC中，ZC-90%CA-6,

C6=8.将VA8C绕点A逆时针旋转得到VAOE，旋转角小于NC45,点8的对应点为点。，点C的

对应点为点£,DE交AB于点0,延长。E交于点P.

数学思考：（1）试判断PC与总的数量关系，并说明理由.

深入探究：（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题.

①“勤学小组”提出问题：如图2,当/C4E=45。时，求线段3P的长.

②“善思小组”提出问题：如图3,当NC4E=N3时，直接写出线段OE的长.

2025〜2026学年上学期学科素养测评

九年级数学

注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答

题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上.

1.下列图标中，是中心对称图形的是（）

圉△0*

【答案】A

【解析】

【详解】解：A选项的图标是中心对称图形，B、C、D选项的图标不是中心对称图形.

故选：A.

2.关于x的一元二次方程f+24+m=0有两个相等的实数根，则小的值是（）

A.±1B.iC.OD.±4

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次方程根的判别式性质，当方程有两个相等的实数根时，判别式4=0,代入方程系数

计算即可求出加的值.

【详解】•・•关于x的一元二次方程V+2x+机有两个相等的实数根，

•'•A=22-4xlxm=4-4机=0，

解得相=1.

3.二次函数》二（九-1）2-1的图象的顶点在第（）象限.

A.一B.二C.三D.四

【答案】D

【解析】

【分析】），=4（X-力丫+攵的顶点坐标为（人次），求出顶点坐标后，根据象限内点的坐标特征即可判断.

【详解】解：二次函数了=。-1）2-1的顶点坐标为。,_1）,该点在第四象限.

故选:D.

4.下列选项中，两个变量相和〃成反比例关系的是（）

A.长为加，宽为小周长为1的矩形B.底面半径为〃?，高为〃，体积为1的圆柱

C.对角线长分别为〃?、〃，面积为1的菱形D.长为如宽和高均为〃，体积为I的长方体

【答案】C

【解析】

【分析】本题根据反比例关系定义：若两个变量〃?、〃的乘积为非零定值，则〃?与〃成反比例关系，结合

各选项的几何公式推导出阳、〃的关系式，即可判断.

【详解】解：选项A：,•♦矩形周长为1,・・・2（m+〃）=1,即〃z+〃=g,两个变量和为定值，不是乘积为

定值，因此加与〃不成反比例关系；

选项R:二•圆柱体积为1,圆柱体积公式为\/=万产〃，，71//”=1,即=一,是〃/与”乘积为定

71

值，因此小与〃不成反比例关系；

选项C•・•菱形面积为1,菱形面积等于对角线乘积的一半，・・・！"7〃=1,即〃〃7=2,乘积为定值，因此

2

，〃与〃成反比例关系，符合题意：

选项D：'・,长方体体积为1,长方体体积公式为V=长、宽X高，〃./2=1,即帆〃2=],是m与〃2

乘积为定值，因此，"与〃不成反比例关系.

5.如图，在VA8C中，DE//AB,若。£>:3。=3:2,那么AC:A£的值为（）

A.3:2B.5:2C.5:3D.3:1

【答案】B

【解析】

【详解】解：・「OE〃AB，8:80=3:2,

：.CE:AE=CD:BD=3:2,

/.AC:AE=5:2.

6.如图，A3为。O的直径，点C在00上，且CO_LAA于点0,弦C£）与相交于点E连接AO,

若/DEB=66°,则/DAB的度数为（）

A.19°B.21°C.26°D.33°

【答案】B

【解析】

【分析】先根据圆周角定理求出NO=L/AOC=45。，再根据三角形外角定理即可求出

2

ZA=/DEB-/D=2l。.

【详解】解：vCOLAB,

Z4OC=90。，

•.・AC=AC，

AZD=-ZAOC=45°,

2

•・•/DEB是YADE外角,

:.ZA=/DEB-ZD=66°-45°=21°.

7.如图，在VA8C中，ZA=80°,A8=4，AC=6,将VA8C沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角

形与原三角形不相似的是（）

AAAA

【答案】C

【解析】

【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可二

【详解】解：A.利用两个内角相等的三角形相似进行判断，该选项两个三角形相似；

B.利用两个内角相等的三角形相似进行判断，该选项两个三角形相似；

C.无法判断该选项两个三角形相似；

D.利用两边对应成比例，且其夹侑相等判断，该选项两个三角形相似；

8.某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到1000次时，统计

了某一结果出现了252次，则符合这一结果的试验最有可能是（）

A.从一副52张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃

B.掷一枚一元的硬币，正面朝上

C.三张同样的纸片，分别写有数字1，3,4,背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数

D.掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”

【答案】A

【解析】

【分析】先计算题目中事件频率，根据用频率估计概率得到该事件概率约为0.25,再计算各选项事件的

概率，选出概率最接近0.25的选项即可.

【详解】解：•・•试验总次数为1000次，该结果出现252次,

252

.・.频率为二二二0.252,

1000

可得该事件的概率约为（）.25；

对各选项逐一计算概率：

A选项：

•••52张不含大小王的扑克牌中，红桃有13张，

131

・•・抽到红桃的概率为二二一=0.25,符合要求；

524

B选项：掷一枚硬币正面朝上的概率为1=0.5,不符合要求；

2

C选项：

•.•共3张纸片，其中奇数纸片有2张，

・•・抽到奇数的概率为2*0.67,不符合要求；

3

D选项：

•・•质地均匀的骰子共6个点数，点数为6的情况只有1种，

・•・点数为6的概率为,之0.17,不符合要求，

6

9.如图，在正方形网格图中，以。为位似中心，作线段位似图形，若点。是点8的对应点，则点

A的对应点是（）

A.C点B.尸点C.E点D.G点

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了位似变换.连接40并延长，根据位似变换性质判断即可.

【详解】解：如图，连接A0,并延长,

•・•以。为位似中心，作线段A区的位似图形，点。是点8的对应点,

•・•位似比为黑=!=；

・••点4的对应点是G,

故选：D.

10.已知抛物线），=加+版—2（«,〃都是常数，且〃工（））经过点（2,-2）,且对于符合

3＜々＜4的任意实数与，々，其对应的函数值M，%始终满足）1%＜。，则抛物线顶点的纵坐标为（）

8

A.一B.——C.-3D.-12

33

【答案】B

【解析】

【分析】先利用两个纵坐标相等的点求出抛物线对称轴，再根据X%＜0的条件确定抛物线与X轴的交点,

用交点式求出系数。，最后代入对称轴位置计算顶点纵坐标即可.

【详解】解：•・•抛物线解析式为》=原2+以-2

・••当X=O时，），=-2,即抛物线经过点（0,-2）

乂1•抛物线经过点（2,—2）

・•・两点纵坐标相等，则抛物线对称轴为直线x="2=1

2

vx=-l关于对称轴X=1的对称点为X=3,且对任意一1＜玉V0,3＜々＜4都满足X%＜0

・•・抛物线与工轴交于（一1,0）和（3,0）

设抛物线解析式为），=a（x+

将（0,-2）代入得-2=ax（0+l）x（0—3）

解得。=]

3

•・•顶点横坐标为1,将％=1代入解析式得y=§x（l+l）x（l—3）=—§

Q

即顶点纵坐标为一-.

3

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.请将答案填入答题卡相应的位置上.

11.平面直角坐标系中，点历（"?,一2）关于原点对称的点为N（5,〃），则〃?〃=.

【答案】-10

【解析】

【分析】在平面直角坐标系中，点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-乂-））

【详解】解:由题意知，m二一5,〃=一（一2）=2,

/.m/?=（-5）x2=-10.

12.将抛物线y=V-l向左平移1个单位，得到的新抛物线的解析式为.

【答案】y=（x+l）2-l或y=9+2x

【解析】

【分析】先确定原抛物线的顶点坐标，根据平移规律得到平移后的顶点坐标，再利用顶点式写出新抛物线

的解析式.

【详解】解：抛物线y=/T的顶点坐标为（0,-1）,

顶点的横坐标变为纵坐标不变，

即平移后的顶点坐标为（-1,一1）,

•・•平移不改变抛物线的二次项系数，

:.新抛物线的解析式为y=（x+1产-1或），=f+2工.

13.如图，VABC,AC=36,ZC=45°,AD18C于D,tanZABC=3,8c的长是

【答案】4

【解析】

【分析】先证「.AC。为等腰直角三角形，求得AQ=£)C,再解RtZSAB。，求出80,根据

BC=BD+DC,即可求解.

【详解】解：・・・4力_LBC,

ZADC=90°,

・・•ZC=45°,

/.zmc=90°-ZC=45°,

Acr＞为等腰直角三角形，

,:AC=3叵，

.\AD=DC=—AC=3^

2

AD

在RtZXABO中，tanZABD=——，

BD

:.BD=———=-=l,

tanZ.ABD3

BC=BD+DC=\+3=4.

14.如图，半径为3的扇形046中，NAQB=90。，C是43上一点，6_1。4于。，CELOB于E,

连接OE，若NCED=50。,图中阴影部分的面积为

【答案】万

【解析】

【分析】连接OC,根据矩形的性质得出圆心角的度数和阴影部分的面积.

【详解】解：如图，连接OC,

VCD1O4,CE工OB,404=90。,

・•・四边形ODCE为矩形，S=SKOE，

•:ZCED=50°,

・•・AOED=90°-ZCED=40°,

・•・ZCOE=ZOED=40°,

・•・阴影部分的面积为竺竺旦=乃.

360

15.如图，RtAABC,ZABC=90°,。是4c边上一点，AD=4,CD=\,连接8D,点E在8D上,

连接CE,以CE所在的直线为轴将/.以主翻折，翻折后点8的对应点〃恰好落在AC边上，当EF上BD

时，BE=.

B

、

CDA

3屈

【答案】

可

【解析】

【分析】由AZ)=4,CO=1得到AC=5.根据垂直和折叠的性质证得NA8O=NFZ)E,因此

A8=AP=4，CF=BC=3,过点。作CPJL3。于点P,证得砂是等腰直角三角形，设

CP=EP=k,则C尸〃石尸，记得FEia,CPD,根据相似三角形的性质和勾股定理进行计算求解即

可.

【详解】解：•・•A/)=4,CD=],

AC=CD+AD=5，

•：EF工BD,ZABC=90°

:.NDFE+ZFDE=90°，/CBE+ZABD=90°

由折叠的性质得/CBE=/DFE

:.ZABD=ZFDE

..AB=AD=4,

•・•在RtZ^ABC中，BC=yjAC2-AB2=752-42=3»

・•・由折叠可得CF=BC=3,

:.DF=CF-CD=3-\=2.

过点C作CP_L于点A

."BEF=90。,

:./BEC+ZFEC=360°-NBEF=270°,

・•・由折叠可得/BEC=ZFEC=135°

:"CEP=180°-ZBEC=45°，

.•.△C"是等腰直角三角形

设CP=EP=k

・；CP工BD,EF.LBD,

:.CP//EF

:.^FED^.CPD

.DPCPCD\

'~DE~~EF~~DF~2

:.EF=2CP=2k,DP=-DE=-PE=-k,

233

•・•在Rl二C。。中，CP?+DP2=CD2,

（iA2

即二+为=1，

（3）

.?3Vio

••k=----»

10

.*o/3M

••Er=2k=----»

5

，由折叠得到BE=EE=*叵.

5

三、解答题：本大题共8小题，满分共75分.将解答过程写在答题卡的相应位置上，作图或

添辅助线先用铅笔画完，再用水性笔描黑.

16.（1）解方程：X2-6X-4=0；

（2）计算；3tan300-tan2450-t-2sin600.

【答案】（1）x,=3+713,&=3—屈；（2）2>/3-1

【解析】

【分析】（1）利用配方法解方程即可；

（2）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘方和乘法，最后计算加减即可.

【详解】（1）解:X2-6X-4=0>

移项，得/2-6%=4,

配方，得f-6x+9=4+9，

即（x—3『=13,

开平方，得X—3=±JB，

解得：x,=3+713,X2=3-V13：

（2）解：原式二3x也一『+2x立

32

=V3-1+V3

=2^-1.

17.如图，在平面直角坐标系中，直线A3分别与x轴，y轴交于点A，B,与反比例函数），=&（x>0）的图

x

象交于点C已知点A的坐标为（-2,0）,点。的坐标为（1,6）,点。在反比例函数），=&（4>0）的图像上，

纵坐标为2.

（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点8的坐标:

（2）连接3DOD,请直接写匕四边形A3OO的面积.

【答案】（1）），=9,（0,4）

（2）10

【解析】

【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得上的值，即可求得反比例函数解析式；由4、C

的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，令1=0,求出），的值，即可得点3的坐标；

（2）点。在反比例函数的图像匕纵坐标为2,则可求得点。的横坐标，利用四边形ABD。的面积等于

LAOB,一80D面枳的和即可求解.

【小问1详解】

解：•・,点C的坐标为（1,6）,且在反比例函数），=4。>0）的图像上，

X

6=Y,即左=6,

・••反比例函数的解析式为y=9；

设直线AC的解析式为丁=办+仪〃。0）,把A、。两点坐标分别代入得:

-2a+/?=（）fa=2

7,，解得：,J

a+b=6[b=4

即直线AC的解析式为y=2x+4；

上式中，令x=0,y=4,

・••点5的坐标为（0,4）；

【小问2详解】

解：•・•点。在反比例函数），=9的图像上，纵坐标为2,

x

,c6

2——,

x

解得：x=3；

由题意知，。4=2,08=4,

•c-v+q

••。四边形八OD8—。.AOB干UBOD

=^OAOB+^OBXD

=-x2x4+—x4x3

22

=10.

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割

补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键.

18.有五张相同的小纸条，分别写有语句：①函数表达式为），=■；②函数表达式为），=/；③函数的图象

x

关于原点对称；④函数的图象关于），轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大.将这五张小纸条做成五

支签，①②放在不透明的盒子A中搅匀，③④⑤放在不透明的盒子B中搅匀.

（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是：

（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的两支签上的语句对函数的

描述相符合的概率.

【答案】（1）g

⑵-

3

【解析】

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）用树状图画出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式，即可求解.

【小问1详解】

解：从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是

【小问2详解】

解：根据题意，画树状图如下，

开始

A①②

/K/N

B③④⑤③④⑤

由树状图可知共有6种等可能结果，抽到的两支签上的语句对函数的描述相符合的有①和③，②和④，共

2种，

二.抽到的两支签上的语句对函数的描述相符合的概率为P=-=-.

63

19.如图，AC是。。的直径，点3在OO上，BD平分ZABC交OO丁点D,DE是。。的切线，交

8C的延长线于点E.

（1）求证：DE//ACx

（2）若tan4=,，CE=5,求BE1的长.

2

【答案】（1）见解析（2）9

【解析】

【分析】（1）连接。。，由切线的性质得ODJ.DE,再由圆周角定理可求得

ZAOD=2ZABD=ZABC=90°,从而得结论成立.

（2）过点C作b_LO£,证明NEb=NA,求出b=2£F,利用勾股定理得到Cb=2、后，再证

明四边形。。尸C是正方形，得到。产=。。=2不，得到AC=46，设=由tanA=5,求出

AB=2x,再利用勾股定理求出BC,即可得出结果.

【小问I详解】

证明：连接O。，如图.

B

AC

D'E

,:DE是O的切线，切点是。，

IODIDE.

・•・ZODE=90°.

•••AC是G。的直径，

：.ZABC=90°.

•・•/ACB的平分线交00于点。,

・•・ZABD=ZCBD=45°.

・•・ZAOD=90°.

・•・ZAOD=/ODE.

:.DEAC；

【小问2详解】

解：过点。作CbJL。石，则NCFE=90。,

•:DE//AB,

：・/E=ZACB,

■:ZABC=/CFE=90°,

ZECF=ZA,

丁lanA=—,CE=5，

2

EF]

tanZ.ECF=----=tanA=—,

CF2

:・CF=2EF,

：•CF2+EF2=5EF2=CE2=25，

EF=y/5（负值舍去），

:.CF=2EF=26，

•・•AODE=ZCFD=ZDOC=90°,OD=OC,

・•・四边形。。尸C是正方形，

・•・CF=OC=*，

・•・AC=2OC=46，

设BC=x,

4BC1

*/tanA=——=—,

AB2

：•AB=2x，

vBC2+AB2=AC\即J+4产=80，

***x=4（负值含去），

・•・BC=4,

:.BE=BC+CE=9.

本题考查圆的切线性质，圆周角定理的推论，解直角三角形，勾股定理，正方形的判定与性质，解决问题

的关键是在圆中利用弧确定角的度数.

2（）.如图①所示的是一款机械手鸩，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上愣和中臂可自由转动，底座

与水平地面垂直.在实际运用中要求二部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上售

AB—12cm»中臂BC=8cm,底座CZ）=4cm.

图①图②图③

（1）若上臂A8与水平面平行，ZABC=60°,计算点A到地面的距离（结果保留根号）；

（2）在一次操作中，中臂与底座成135。夹角，上臂与中臂夹角为105。，如图③，计算此时点4到地面的

距离（精确到0.1cm,72«1.414»73«1.732）.

【答案】（1）（46+4km

(2)3.7cm

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含30?角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识.

(1)过点C作以/1AB,垂足为M,则N3MC=9()，证NBCM=30。，由含角30?的直角三角形的

性质得，即可得出答案；

(2)过点B作BG垂直于地面，垂足为G,分别过点A,C作BG的垂线，垂足分别为应F,则四边形

CFGD是矩形，利用解直角三角形及矩形的性质即可解决问题.

【小问1详解】

解：如图，过点C作±AB,垂足为M,则/用0。=90，

•・•CO垂直水平地面，臂AB与水平面平行，

・・・2C,M三点共线，

vZABC=60°,BC=8cm,

/.ZBCM=30°,

「.BM=gBC=4(cm),CM=46(cm),

/.DM=CM+CO=(46+4卜m,

即点4到地面的距离为(46+4km；

【小问2详解】

解:如图，过点8作8G垂直于地面，垂足为G,分别过点A,C作BG的垂线，垂足分别为£,F,则四

边形C尸G。是矩形，

FG=CD=4an；

B

・・・N8CD=135。，ZABC=\05°,

ZBCF=135°-90°=45°>ZCBF=45°,ZABF=105c-45°=60°,

...BF=CF=与BC=4X/2（cm），AE=ABxsinZABF=12x#=66（cm），

BE=1/lB=6（cm）,

点A到地面的距离为EG=BF+FG—BE=4\/2+4—6=（4>/2-2jcm®3.7cm.

21.玲玲文化工作室借助线上平台推广特色文化产品.已知该文化产品的成本价格为20元/件，每天的销

量y（单位：件）与销隹单价X（单位：元/件）满足关系式），=-51+2。0,销售单价不低于成本且不高

于40元/件，设销售该文创产品的日获利为卬元.

（1）当销售单价定为多少元时，日获利最大？最大利润为多少元？

（2）若线上平台将向该工作室收取。元/件（0<〃<4）的相关费用，若此时把销售单价定为31元/件，日获

利最大，求。的值.

【答案】（1）当销售单价定为30元时，日获利最大，最大利润为500元.

（2）〃的值为2.

【解析】

【分析】（1）根据利润=利润单价x数量直接列式即可得到答案；

（2）首先表示出收取费用后的H获利，然后根据函数的性质直或求解即可得到答案；

本题考查二次函数解决销售利润问题，解题的关键是根据题意列出函数解析式，熟练掌握二次函数的性

质.

【小问1详解】

解：日获利卬=（五一20）（-5x+200）=-5x2+300x-4000=-5（x-30）2+500（20<x<40）

V-5<0

・•・二次函数开口向下，

・••当x=30时，卬最大值为500.

答：当销售单价定为30元时，日获利最大，最大利涧为500元.

【小问2详解】

解：收取费用后，日获利卬=（x-20-.）（-5x+200）=-512+（300+5々）工一4000—200a

300+5a与八1

・•・顶点横坐标x=_0/c=30+；a

2x（-5）2

根据题意，x=31时日获利最大，

30H—。=31

2

解得。=2.

22.已知点A（加,）1）和8（m+3,3，2）都在二次函数）=。*一2）2-1（。＞0）的图象上，且A、8两点位于该

二次函数图象对称轴的异侧.

（1）如图，若该二次函数的图象经过点。（0,7）.

①求这个二次函数的表达式：

②当y=为时，求VA3c的面积；

（2）当〃+3时，二次函数最大值与最小值的差为1,直接写出。的取值范围.

21

4一

14

-<a-<-

99

【解析】

【分析】（1）①将点。（0,7）代入），=〃（尤-2）2-1（。＞0）中即可求出二次函数表达式；

②当时，4B〃x轴，根据二次函数的对称性求出〃2=；和y,为的值，然后根据

Sv,帆=:A8-（K「以）列式计算即可；

（2）根据4,8两点位于对称轴的异侧，二次函数的最小值为-1，分两种情况：①当,之为时，

y=o,②当时，必=。，分别求出。关于〃，的等式，结合，〃的取值范围可得答案.

【小问1详解】

解：①将点C(0,7)代入y=45-2)2一1(。>0)中,

得：7=a(0—2)2—1,

解得：a=2,

・•・这个二次函数的表达式为：），=2。-2）2-1=2/-8x+7；

②;点A（根,y）和B（〃z+3,%）在二次函数的图象上，y=%，抛物线＞=2（x-2）2-1的对称轴为

x=2,

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