广东省佛山市七校2023-2024学年高一年级下册5月联考数学试卷（含答案）

广东省佛山市七校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试卷

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.下列几何体为棱柱的是()

2.友数z=(2-3i)(l+i)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.下列说法不正确的是()

A.正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形

B.棱台的各侧棱延长线必交于一点

C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台

D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形

4.在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinB+sinC=2sin4若△ABC的周长为3,则。=

()

A.1B.2C.V2D.V3

5.已知单位向量2,石满足同一瓦=2日不，则立在了上的投影向量为()

A.察了B./C./D.

6.己知函数/'(%)=2COS(4K+9)-1(0V9<2兀)在［0,争上单调递增，则g=()

A.1B.今C.5D.7T

7.已知函数/'(%)=4sin((ox+0)(4>0,eo>0,0<<?)的部分图象如图所示，其中一个最高点的坐标为

(”)，与％轴的一个交点的坐标为(含0).设M,N为直线y=呜f(x)的图象的两个相邻交点，且|MN|=

则£的值为()

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A.±iB.-iC.i

D-

8.如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形

48C。的边长为2,则荏•前=()

C.5D.6

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知复数21=2+1*2=言，则(

A.为*2互为共加复数B.Z]+Z2=4

C.㈤=|z2|D.zi>z2

10.已知函数/'(%)=sinQ—》，则(

A./(%)为奇函数B.f(x)的最小正周期为7T

C./(x)在(1,2)上单调递增D./(%)在(1,20)上有6个零点

11.如图，在梯形A8CD中，AD//BC,南•近=0,4D=4B=3,8C>4B,M,N分别为边4B,BC上的动点,

且MN=2,贝IJ()

A.丽•丽的最小值为18-6灰B.丽・丽的最小值为9

C.两.丽的最大值为12D.丽•丽的最大值为18

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分,把答案填在答题卡中的横线上.

12.若tana+tan/?=3—3tana•tan/7,则tan(a+/?)=.

13.如图，△。'48’表不水平放置的△OHB根据斜二测回法得到的直观图，。'4'在V轴上，。耳在y'轴上,

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/犷与x'轴垂直，且oA=a，则△048的面积为

14.如图，测量队员在山脚M处测得山顶P的仰角为多沿着倾斜角为强的斜坡向上走400米到达N处，在N

处测得山顶P的仰角为M与。在同一水平面上，M,0,N,P四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量五=(l,x),b=(2,3).

(1)若0+E)，求|五+讣

(2)若向量2=(1,2),b||(a+cy求G与石的夹角的余弦值.

16.已知cos^+x)=|,苧V%V攀

(1)求cosx和sin(x-$)的值；

(2)求siny-2sin2”的值.

1-tanx

17.在△4BC中，角A,B,C的对边分别为田瓦c,已知a2=b@+c).

(D证明:2bcosA=c—b.

(2)证明：A=28.

(3)若△ABC为锐角三角形,求。的取值范围.

Q

18.已知向量五=(sinx,cosx),b=(cosx,-V3cosx)»函数f(x)=G.B+卓.

(1)求/■(%)图象的对称中心与对称轴；

(2)当％6吟,用时，求/㈤的单调递增区间；

(3)将/(%)的图象向左平移v个单位长度后，所得图象对应的函数为g(x),若关于x的方程2(g(x))2+

mg(x)+1=0在［0,当上恰有两个不相等的实根，求实数m的取值范围.

19.其镇为了拓展旅游业务，把一块形如△。力B的空地(如图所示)改造成一个旅游景点，其中。4=

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3km,OB=乙4。8=90°.现拟在中间挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上，且4MON=

30°,挖出的泥土堆放在AOAM地带上形成假山，剩下的△08N地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在△

OAN的周围安装防护网.

(1)当AM=,km时，求防护网的总长度.

(2)为节省投入资金，人工湖^OMN的面积要尽可能小，试问当乙4OM多大时，△OMN的面积最小?最

小面积是多少？

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答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：选项A为简单组合体；根据棱柱的概念可知选项B为棱柱；根据棱台的定义知选项C

为棱台；

根据棱锥的概念如选项D为棱铢.

故答案为：B.

【分析】根据棱柱的定义判断即可.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：z=(2-3i)(l4-0=2+2t-3i-3i2=5-i,所以该复数在复平面内对应的点为

(5,-1),在第四象限.

故答案为：D.

【分析】利用复数乘法运算化简，再根据复数的几何意义确定对应点所在的象限.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：A、正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，故A正确；

B、由棱台的定义可知棱台的各侧核延长线必交于一点，故B正魂；

C、用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是楼台，故C错误；

D、棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D正确.

故答案为：C.

【分析】根据棱锥、棱柱、棱台的定义一一判断选项即可.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：sinB+sinC=2sin4,由正弦定理得b+c=2Q.

因为△ABC的周长为3,所以3=Q+b+c=a+2a=3Q,得a=1.

故答案为：A.

【分析】将已知等式用正弦定理将角化边，再结合周长为3,即可得解.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：因为-力=2d•B工0，所以项—加广=(24・9)2,化简得：2(G・中+益.B—1=

0,即近不或@7=-1(舍去)，

1

所以师上的投影向量端=-

2

故答案为：D.

【分析】由己知等式两边平方可得日•另=会利用投影向量的定义即可得解.

6.【答案】D

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【解析】【解答】解：因为f⑶在［0,勺上单调递增，且最小正周期7=3,所以f(x)在久=0处取得最小值，在

”处处取得最大值，

所以4x0+s=4+2k7T,k€Z,即3=TT+2/or,A£Z,又0V9V2TT,所以9=兀.

故答案为：D.

【分析】由题意可知丁=今则/■(%)在％=0处取得最小值，得4xO+0=7i+2kTT,k€Z,即可得解.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：由图象可知丁=4播一看)=力毯=n，即3=2.

因为(泉1)是/Xx)图象的最高点，所以4=1,/(%)=sin(2x+<p).

因为|MN|=^<^=^»

所以MN的横坐标一定位于f(x)的相邻两个零点之间，且M,N到它们之间的对称轴的距离都是高而对称轴

的横坐标比一定满足2a+0=百+kn(k6Z),

k

所以£=sin(2(u+5)+9)=sin(2u+@+刍=sing+kzr+刍=(-l)fc-sin^=(?=

故答案为：A.

【分析】由图象可知T,即可求出3=2,4=1,然后根据M/V的长度确定它们与中间对称轴之间的距离，

再由此求出它们的函数值即可.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：如图，

连EF,延长A。交EF于点M,延长8c交ET于点N.

由题意可知力M1EF,BN1EF,且4M=BN=2+骏2=3,

ME=NF=2x孝x^+2乂畀¥=2，

AE-BF=(AM+就)•(丽+而)=彳必•丽+1耘•祈+福•丽+福•祈=3必•前+近•评=\AM\•

|丽|cos0+\ME\•\NF\cosn=9-4=5.

故答案为：C.

【分析】作辅助线，将旗和能用AK,M'E,8%,NA表示出来，再利用数量积定义和运算律计算即可.

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9.【答案】A,B.C

【解析】【解答】解：A、Z2=岛=(2霏渣I)=2_i,Zi=2+i,所以Z1，Z2互为共轨复数，故A止确；

B、zi+Z2=(2+i)+(2-i)=4,故B正确：

2222

C、\zr\=V2+I=V5,\z2\=yj2+(―l)=V5»所以|21|=|Z2|,故C正确；

D、虚数不能比较大小，故D错误.

故答案为：ABC.

【分析】利用复数除法运算化简Z2,根据共胡复数的概念可判断A,利用复数加法运算可判断B,求复数模

可判断C,根据虚数不能比较大小判断D.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、/(x)=sin(x—i),定义域为{x|xW0},/(-%)=sin(—x+j)=—sin(x~~)=

所以/(x)=sin(x-3为奇函数，故A正确；

B、八%+兀)=sin(x+7r—亲)=-sin(%-*)Hf(x),故B错误；

C、令［=%-工t在(1,2)上单调递增，且士£(03，

又因为y=5的在£6(0岛上单调递增，

由复合函数的单调性可知/'(%)=sin(x-勺在(1,2)上单调递增，故C正确；

D、令二=%-工，t在(1,20)上单调递增，所以「€(0,禁)，

X/U

令f(x)=sin(x—J)=0,即si"=0,所以t=k7i(k€Z),

—?QQqqq7QQ

又因为£E(0,瓷)，671a18.84〈宗，77rB21.98>登，

乙U乙U4u

所以Z=1,2,3,456,所以t有6个解，即函数/O)=sin(%-3在(1,20)上有6个零点，故D正确：

故答案为：ACD.

【分析】由奇函数的定义判断A；通过判断/(X+TT)=/(X)是否成立可判断B；令亡=%-$£在(1,2)上单

调递增，结合y=Si也在£6(03上单调性即可判断C;令£=%」£((),嘿)，由函数y=f")=0,得"

乙XZU

kW),解出t的个数可判断D.

11.【答案】A,C

【解析】【解答】解：以8为坐标原点，BC、84所在直线分别为K轴y轴，建立平面直角坐标系如图所示：

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z

D(3,3).iSM(0,y),N(x,0),

%e[0,2],y€[0,2],且/+y2=4两=(-3,y-3)/丽=(%一3,—3)，

得丽•丽=-3x+9-3y+9=-3(x+y)+18.

22

因为/+y=(工+/2_2。之(工+m2_"_=印_，所以Q+y)2w8,

解得x4-y<2V2,(当且仅当％=y=1时，等号成立).x+y=BM+BN>MN=2,

当且仅当点M或点N与点B重合时，等号成立，则18—6&W—3(x+y)+18W12.

所以两•丽的最大值为12,最小值为18-6立.

故答案为：AC.

【分析】以8为原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出丽.丽，再由基本不等式求解即可.

12.【答案】3

【解析】【解答】解：由tana+tan£=3—3tana•tan氏可得tana+tan/?=3（1—tana•tan/Q,

tazia+tan。_3

所以£an（Q+/?）=

l-tanatanp-

故答案为：3.

【分析】利用两角和的正切公式计算即可.

13.【答案】2a

【解析】【解答】解：易知。4在不轴上，。8在y轴上，且|。川=|00|,|08|=2|。叫.如图所示:

\OA\=\O'A'\=V2,\OB\=2|O^Z|=4,所以=^\OA\•\OB\=1V2-4=2V2.

故答案为：2a.

【分析】利用斜二测的定义还原，寻求出△0A8的面积.

14.【答案】200+2006

【解析】【解答】解：过点N作NHICM,垂足为过N作N/7IPQ,垂足为伍如图所示:

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p

在直角4皿“中，"用"建,"'"4°()‘可得'"=时碗碟=4°()>4=2()0,

在直角△MOP中,乙PMO=p可得乙MP。=p

TTjr

在直角4可。。中，乙PNG=?可得乙NPG=z，

3O

所以乙WPN=乙MPO-乙NPG=?-5=^»

4o1Z

乙PMN=4PMO-乙NMO=?-5=^5，即/PMN=乙MPN,

4-O1Z

所以PN=MN=400,PG=PNsin5=400x*=200百，

再由图中三个直角可知四边形NHOG是矩形，所以NH=OG,

所以。p=OG+GP=NH+GP=200+200百，

故答案为：200+200百.

【分析】作两条垂线，在直角AM/VH中求出NH,再由乙尸MN=4MPN求出NP=400,进而求出PG,即可

求出。P.

15.【答案】(1)解:由五=(1,%),3=(2,3)，有苍+5=(3*+3)，而:JL0+」),故方・0+石)=0.

所以6+3(x+3)=0,解得X=—5,这表明荏十b=(3,—2)，所以|日十。|=V32十2?=

(2)解:由1=(1,2),知。+力=(2,>+2),而石=(2,3)，b||(a+c),故2x3=2(%+2),解得x=l,从

而M=(1,1).

菽=5二5侬

所以cos<a,b>=

\a\\b\万同26

【解析】【分析】(1)直接由数量积的坐标运算求出无=-5,然后用模长的公式求解即可;

(2)用向量平行的坐标表示解出x=1,再由夹角公式求解即可,

16.【答案】⑴解：竽vxv给故》+“存,2兀)，则sin(%+：)V0,sin(%+$=

-Jl-cos2(x+^)=一击

由cos^+x)=卷可得苧(cosx—sinx)=,；由sin(算+/)=一1口.得冬(cosx+sinx)=—3

两式相加可得及cosx=-1，故cos%=-圣

310

.nx.z,n-7T1.,n.>/3,TT.14/334+3-

sm(f%-适)=sin(x+4-3)=^sin(rx+4)--ycos(zx+4)=2xr5)-TX5=------IQ-'

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(2)解：由(1)知，cosx=—盖：又当<%V与，故sinx<0,sinx=—V1—cos2x=

22

sin2x—2sinx(2sinxcosAr-2sinx)cosx2sinxcosx(cosx—sinx)oof7v'2、/、叵、7

1—tanx~~cosx—sinx~~cosx-sinx-sinxcosx-x(x(-TU)25,

【解析】【分析】⑴由cos(x+9可求出sin(%+/利用两角和的正弦余弦公式，即可求出cosx；利用x+

京配凑出x-令，再结合两角差的正弦公式即可得解；

(2)由cosx求出sinx,再根据正弦的倍角公式，整理化简即可.

17.【答案】(1)证明:由余弦定理结合Q2=b(b+c),

可得匕2+c2-2bccosA=b(b+c)，

化简得：2bcosA=c—b.

(2)证明：由(1)2bcoSi4=c-b结合正弦定理可得:2sinBcosA=sinC—sinB,

即2sinBcosA=sin(A+B)—sinB,

即2si九BcosA=sinAcosB+cosAsinB-sinB,

即sinB=sin(A-B),

因为B€(0,TT),A-BE(-7T,7r),故8=4-8或8+4—8=亦舍去)，

则4=2B.

(3)解：由(2)可得。=吗=当*=

asinAsin2B2cosB

因为△ABC为锐角三角形，

"

r";_

o<A<-oN<2

2

B

得

可o<<7-roN<7

C2T2_

o

<<7_ro<”^7_r

I2-3<2

解得：髀BV（即有乎vcosB〈孚，

所以*V4〈冬，

32cosB2

即狗取值范围为（李,孝）.

【解析】【分析】（1）直接由余弦定理化简即可得证；

（2）结合⑴利用正弦定理可得2sinBcos力=sinC-sinB,变形得到si几（4一B）=sinB,即可得证;

⑶由於黑=黯=焉，根据锐角三角形确定髀B<$即可得解・

18•【答案】（1）解：由J知力fQQ=五i+*=sinxcosx—JJcos?%+§=；sin2x—卓cos2x=sin（2x—

乙乙乙乙

部

所以/■⑸图象的对称中心的横坐标〃满足2a=kTT（keZ）,对称轴的摘坐标12满足2"一4=-y+kTT（ke

Z).

第10页

从而〃=J+学(kEZ),〃=—1+第(k£Z).

所以/(x)图象的对称中心是G+竽,0)(k£Z),对称轴是％=-存+第(AEZ).

。乙<14乙

(2)解：若要/(%)单调递增，则—?+2k/rW2%—?W?+2k7r［k€Z).

乙J乙

即一$+kn<%<+kn(kGZ).

而％喝,?r］,故髀％s老或等

所以/⑺在*G吟,河范围内的单调递增区间是有器］利聘,利.

⑶解：将/'(%)的图象向左平移部单位长度后，得到g(x)=f(x+V)=sin2x.

由于g(x)=sin2%在［0,勺上递增,在冷刍上递减，g(0)=g(^)=0,遍)=1.

故原命题等价于，关于t的方程2£2+瓶£+1=0在［0,1)上恰有一根，且£=1不是根.

设W(t)=2/+的+1,则由二次函数的性质知命题等价于，吗燎?£。或°

l8(1)=0I0<--4-<1

此喷累露或七即me(-8,-3)Uf-2V2}.

所以机的取值范围是(一8,-3)U{-2V2}.

【解析［【分析】(1)化简可得/(x)=sin(2x-g,利用正弦型函数的性质即可得解；

(2)利用正弦型函数的单调性即可确定单调区间；

(3)先求出g(x)的解析式，然后将问题转化为关于£的方程2d+血£+1=0在［0,1)上恰有一根，且“1不

是根，利用二次函数的知识即可得解.

19.【答案