2026年人教版八年级数学上册期末复习：函数新定义型问题（平面直角坐标系一次函数）（2大题型）

I题型通关•靶向提分I

题型一平面直角坐标系中的新定义型问题（共3小题）

1.（24-25七年级下•全国•期末）在平面直角坐标系中，对于点把点占卜U作点P的友好

点.已知点A的友好点为点4，点&的友好点为点A，…这样依次得到点4，42,4,4,…，A,，若点A的坐

标为（g,2）,则根据友好点的定义，点&o”的坐标为（）

A.（J'2）B.（2,一1）C.（-1,-1）D.（T,g）

2.（23-24八年级上•福建厦门・期末）我们给出如下的定义：点A（x,.y）先关于x轴对称得到点A,再将点

A关于直线）'=〃？（直线上各点的纵坐标都为机）对称得点A，则称点A为点A关于X轴和直线y=〃2的二

次反射点.已知点P（2,3）,。（2,2）关于x轴和直线），=，〃的二次反射点分别为a，点P（2,3）关于直线

x=小（直线上各点的横坐标都为的）对称的点为巴，则当Al。浜的面积为1时，加=.

3.（24-25七年级上•吉林・期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到％轴、）'轴的距离的较大值

称为点尸的“长距”，点。到x轴、5轴的距离相等时，称点。为“角平分线点

⑴点以-3,5）的“长距”为:

⑵若点C（-2,弘-2）的长距为4,且点C在第二象限内，点。的坐标为（9-4,-5）,请判断点。是否为“角

平分线点”，并说明理由.

4.（24-25八年级上•福建三明•期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、"日军商的较小

值称为点P的“短距”，点。到人•轴、轴的距离相等时，称点。为“完美点”.

⑴点A（f3）的“短距”为；

⑵若点以2〃-5,〃）是第一象限内H勺“完美点”，求a的值；

（3）若点。（纹力-3）为“完美点”,求点。（-2,2+6）的“短距”.

5.（24-25七年级下•山东临沂•期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点。到x轴、湾口的距离的较

大值称为点P的“长距”，点Q到工轴、1y轴的距离相等时，称点。为“完美点

⑴点A（-4,3）的“长距”为；

⑵若点巩3-皆,-1）是“完美点”，求。的值；

2/43

⑶若点c（-2,劝+1）的长距为5,且点C在第三象限内，点。的坐标为（4-劝8）,试说明：点。是“完美

点”.

6.（23-24八年级上♦江苏苏州•期末）对于平面直角坐标系内点M（〃?,〃），我们定义如下变换K：将点M

的横坐标用乘以2再减去1,纵坐标〃加上3就可以得到新的一点N（2〃L1,〃+3）

⑴洛点。进行K变换后得到点。（2,-1）,则点P坐标为；

⑵洛点尸进行K变换后得到点Q连接PQ,且勺2=5,试求〃［的值；

⑶已知点4（-2,0）,4（3,0）,点尸在线段人B上运动（不包含点A8）,将点P进行K变换后得到点Q,连接

PQ，试求线段PQ长度范围

7.（25-26八年级上•全国・期末）新定义：对于平面直角坐标系X。），中的点尸（4〃），若点〃的坐标为

（〃+处，依+））（其中攵为常数，且攵/0）,则祢点产为点。的,“属派生点”.

例如：*1,4）的“2属派生点”为夕（1+2x4,2x1+4）,即。（9,6）,

（1）点P（T6）的“2属派生点”P的坐标为；

（2）若点P的“3属派生点”尸的坐标为（6,2）,则点尸的坐标为:

（3）若点/，在x轴的正半轴上，点。的“左属派生点”为点P,且线段尸产的长度为线段OP长度的2倍，求k

的值.

8.（24-25七年级上•云南保山・期末）平面直角坐标系.心），中，对于户，。两点给出如下定义：若点P到工

轴、）'轴的距离中的最大值等于。点到工轴、）'轴的距离中的最大值，则称P，。两点为“等距点已知点

A的坐标为（＜2）.

歹八

------P

I

I

I

।।।1।।।I■।»

O.X

Q:

⑴在点E（0,5）,F（-2,3）,G（l,4）中，与点A等距的点是；

3/43

⑵若点4的坐标为（〃A3）,且AB两点为“等距点”，求点4的坐标；

（3）若4―2,—%—3）,石（6,2"6）两点为“等距点”,求女的值.

9.（24-25七年级下•辽宁大连•期末）在平面直角坐标系中，对于P,。两点给出如下定义：点P到x,y

轴的距离中的最大值等于点Q到上，），轴的距离中的最大值，则称P,。两点为“等距点如点尸（3,2）马

2（-1，3）两点即为等距点.

（1）已知点A的坐标为（T，4）

①点以3,1）,C（-2,4）,O（T,1）中，与点4为“等距点”的是一；

②若点"的坐标为M（"?，-〃?+6）,且人，M两点为“等距点”，求出点M的坐标；

（2）若点以一2,〃+3）与点/（8,2〃-5）两点为“等距点”，在），轴上有一点“（（）/）,连接）OE,OF,

FH.若三角形"O尸的面积为三角形EO/的面积的3倍时，求出〃的值.

10.（24-25八年级上•江苏扬州•期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点若点N坐标为

（x+%勿），我们称点N是点M的等距平移点，其中。为等距平移常量.例如：当。=0时，点

例（3,2）的等距平移点N为（3,-2）.

（1）①当等距平移常量-3时,，点M坐标为（4,3）,则它的等距平移点N的坐标为；

②若点M坐标为它的等矩平移点N的坐标为（4,-7）,则等距平移常量。=.

⑵若点M在x轴上，且它的等距平移点N的坐标为（-2々+1,-9-4々），其中〃为等距平移常量，。为坐标

原点，求△的邠的面积；

⑶点M（x,y）的等距平移点是N（x+2a,），2），其中〃为等距平移常量，若乂-乃=2,且其中一个点到x轴

的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求。的值.

题型二一次函数中的新定义型问题（共12小题）

1.（24-25八年级下•河南安阳•期末）定义新运算：“☆〃=2〃L〃，例如：2M=2x2-3=l,则下列关于

函数丁=（1+3）☆（-1）的说法正确的是（）

4/43

A.点（-3,1）在函数图象上

B.图象经过第一、三、四象限

C.函数图象与x轴的交点为（3,0）

D.若点（一2,）；）、（1,力）在函数图象上，则升＞为

2.325八年级下•福建泉州•期末）定义：若点小），）中的/,满足"二为常数，且

Xfy）,则称点/，为“生长点”，下列各点是一次函数y=2x-4图象上的“生长点”的为（

A.(-U-6)B.(U-2)C.(2,0)D.(3,-4)

3.（24-25八年级上•辽宁丹东•期末）定义新运算：机㊉〃=-2,〃+〃，则对于函数y=x㊉3,下列说法正确

的是（）

A.该函数图象过点（21）

B.该函数可由的图象向下平移3个单位长度得到

C.y随x的增大而增大

D.当一2＜¥＜一1时，5＜），＜7

4.（24-25八年级上•辽宁锦州•期末）定义：已知一次函数），=依+力（〃，〃为常数，人工0）,我们称函

数），=-£-刍（3b为常数,%0）是一次函数工也+。的“相垂函数那么一次函数"2x+4的相

KK

2（〃+1）个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，〃称为这个函数的“可回旋单

位”.如果），=-61是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位''是一.

2

6.（24-25八年级上•浙江杭州•期末）定义：若X,满足x=*+3y=-2t-3k-3（&为常数），则称

点M（x,y）为“好点”.

（1）若P（l，〃?）是“好点”，则机=；

5/43

（2）在-3cx<6的范围内，若直线）=x+c上存在“好点”，则。的取值范围为.

7.（23-24八年级下•四川乐山・期末）对某一个函数给出如下定义：若存在正数M,函数值），都满足

b区加，则称这个函数是有界函数，其中，M的最小值称为这个函数的边界值.

（1）若函数y=2x（TWxWl）是有界函数，请写出其中一个W的取值：；

（2）若函数），=2x+l（a<x<b,且〃中，y的最大值是2,边界值小于3,则。应满足的条件

是.

8.（23-24八年级上•浙江金华・期末）定义：若乂），满足x=/+）'=一不一木々一3（k为常数），则称

点"（兑y）为“好点”.

（1）若P（IO，M是“好点“，则〃1=.

（2）在-3<x<6的范围内，若宜线）'=X+C上存在“好点”，则c的取值范围为.

9.（24-25八年级下•云南楚雄・期末）定义：若两个实数。，力满足。+人=必，则”与〃互为”和酒数”，点

（a力）为“和谐点”.

⑴若（aM）为“和谐点”，求A的值.

⑵已知点（X,），）是关于x的一次函数X=-3x+3加-8和），-胃的图象的交点，是否存在实数〃?，

乙乙

使点（X,），）为'‘和谐点”若存在，清求出加的值；若不存在，请说明理由.

10.（23-24八年级下•全国•期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点M（x,y）和点N（x,y'），当xN（）时，

y'=7,当xvo时，y'=y+i，则称点N为点M的变换点.

例如：点（3,2）变换点的坐标是（3,-2）,点（-3,2）变换点的坐标是（-3,3）.

⑴则点（4,-5）的变换点的坐标是」

（2）已知点M在函数y=-x+l的图象上，点M的变换点N的纵坐标为5,求点M的坐标.

6/43

⑶已知点M在函数），=T+1（-34x4上々＞-3）的图象上，其变换点N的纵坐标y的取值范围是

-14yY5,求攵的取值范围.

11.（24-25八年级上•辽宁沈阳•期末）定义：一次函数丁=依+》和＞，=以+々（其中%、。为常数，狂0,

"0）互为“友好函数比如y=3x+5和y=5x+3互为“友好函数”

⑴已知点外«4）在y=-2犬+3的“友好函数”上，则。=.

⑵y=-2x+3上的点Q也在它的“友好函数”上，求点Q的坐标.

⑶若），="+力和它的“友好函数”与）'轴围成的三角形的面积是2,求〃值.

12.（24-25八年级下•福建龙岩・期末）直线/："9-32+3与4轴、丁轴分别交于点4B,无论攵取何

值，直线/经过定点

（1）请直接写出定点M的坐标；

（2）定义：在平面百角坐标系xOv中.将点尸（x，F）变换为爪办+〃，by+a）（小〃为常数）,我们把这种

变换称为“兔变换”，当时，点区",。（〃?-”2+加经过“兔变换”后的对应点分别是

4（2,5）,GR,若。6〃1轴，点2在％轴上，求S△“闽；

⑶在（2）的条件下，点。在工轴上，连接MQ,若SJMQ=9S*GT，求点。的坐标.

13.（23-24八年级上.湖南岳阳・期末）【定义】对于点P（x,.V）,规定x+y="?,那么就把〃川点〜的“点

和数

例如：若尸（2,3）,则2+3=5,那么5叫尸的“点和数”.

【概念理解】（1）①在平面直角坐标系中，已知点A（-2,6）,则以下3个点8（3,1）,C（-l,4）,D（-2,-2）

中，与点A的“点和数，，相等的是

7/43

②若点N在直线y=x+5上，旦与点A的“点和数”相等，则点N的坐标是.

【尝试应用】（2）点尸是矩形边上的任意点，点石（T3）,F（-4-3）,G（4,-3）,月（4,3）,先在

如下的平面宜角坐标系中画出矩形£FG",这时如果点Q是直线），=-<+〃上的任意点，若存在两点P、Q

的‘'点和数''相同，求。的取值范隹.

14.（23-24八年级下•吉林长春•期末）在平面直角坐标系中，作如下定义；点。的坐标为（百/）,点。的

坐标为（9,%），若%则称尸、。两点为“同和点如图①，点P、。为“同和点

⑴若点4的坐标为（3,-1）.

①在点C（0,4）,仇-4,2）、E（-3,5）中，是点4的“同和点”的是.（填或“昭）

②若点8在x轴上，且4、8两点为“同和点”，则点4的坐标为.

⑵如图②，直线y=-2x+4与x轴、丁轴分别交于点M、N,点C为线段MN上一动点.

①若点C与点D（-l,4）为“同和点”，则点C的坐标为.

②若存在点石（〃?,-3）与点。为“同和点”，求机的取值范围.

15.（24-25八年级上•浙江金华•期末）定义：一次函数>（女工0且〃工。）和一次函数y=

为‘逆反函数"，如y=3x+2和），=-2、-3为“逆反函数”.如图1,一次函数R），=工-2的图象分别交x

轴、）'轴于点A、B.

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（1）请写出一次函数4的“逆反函数”4的解析式.:点0）在，2的函数图象上，则〃的值是

⑵一次函数4图象上一点。（〃?,〃）又是它的“逆反函数叱图象上的点,

①求出。点坐标;

②求出△ACZ）的面积.

（3）如图2,过点力作了轴的垂线段OE,垂足为E,M为），轴上的一点，且NMOE=NCQA,请直接写出

直线DM的解析式.

专题12函数新定义型问题（平面直角坐标系、一次函数）

题里通关•靶向提分]

题型一平面直角坐标系中的新定义型问题（共3小题）

1.（24-25七年级下•全国•期末）在平面直角坐标系中，对于点。«丁），把点《卜,乙）

叫作点尸的友好

点.已知点A的友好点为点人,点4的友好点为点4,…这样依次得到点4，4，444,…，4，若点4的坐

1、

标为-,2,则根据友好点的定义，点&必的坐标为（）

I/Z

A.（；，2）B.（2,-1）C.（-1,-1）

D.-4

【答案】B

【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键.由题意可得

为{2,2），4（21），4（-11）,4卜，34（；[}…，再找出规律求解即可.

【详解】•・•点A的坐标为

\乙/

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...4（2,2），4（ZT），4（T,T）,DT，；），MO呜2），…

观察发现，每6个点为一个循环组依次循环.

•/2025+6=337...3,

・••点/25的坐标与点4的坐标相同，为（2,-1）.

故选：B

2.（23-24八年级上,福建厦门・期末）我们给出如下的定义：点A（x,y）先关于x轴对称得到点N,再将点

A'关于直线（直线上各点的纵坐标都为小）对•称得点A，则称点A为点A关于大轴和直线丁=，〃的二

次反射点.已知点P（Z3）,Q（Z2）关于x轴和直线3=小的二次反射点分别为尖,。，点P（2,3）关于直线

、=〃？（直线上各点的横坐标都为由）对称的点为2,则当△626的面积为1时，机=.

【答案】1或3

【分析】本题考查/新定义，直角坐标系的点的特征，三角形的面积公式.根据对称性质由已知点坐标求

得ft,鸟的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得加的值便可.

【详解】解：根据题意得,4（2.2加+3）,Q（22〃+2）,鸟（2/〃-2.3）,

2

y=m

AAQI=12〃？+3-2m-21=1”=|2，〃-2-2|=|2，〃-4|,

OX

\Q,

।

x=m

△/Qi鸟的面积为L

/.〈xlx|2m-41=1,

z.

解得〃2=1或3,

故答案为：1或3.

3.（24-25七年级上•吉林・期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点，到、轴、＞轴的距离的较大值

称为点P的“长距”，点。到x轴、轴的距离相等时，称点。为“角平分线点

⑴点A（—3,5）的“长距”为

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⑵若点C（-2,3/A2）的长距为4,且点C在第二象限内，点。的坐标为（9-绒-5）,请判断点D是否为“角

平分线点”，并说明理由.

【答案】⑴5；

（2）点。是“角平分线点”.见解析

【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点

（1）根据“长距”的定义解答即可：

（2）先根据“长距”的定义求解得到〃=2,再据“角平分线点”的定义解答即可；

【详解】（1）解：由题意得：点尸到x轴、轴的距离的较大值称为点P的“长距”，

V5>|-3|=3,

・•・点4（-3,5）的“长距”为5,

故答案为：5；

（2）解：•・•点。（-2,38-2）的长距为4,且点。在第二象限内，

-2=4,解得/?=2,

，9一》=5,

•••点。的坐标为（5,-5）,

，点。到工轴、V轴的距离都是5,

，点。是“角平分线点

4.（24-25八年级上•福建三明•期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、港口胆商的较小

值称为点P的''短距"，点Q到上轴、），轴的距离相等时，称点Q为“完美点

⑴点A（-l,3）的“短距”为：

⑵若点8（2〃-5,〃）是第一象限内的“完美点”，求。的值；

（3）若点C（2帅-3）为“完美点”，求点。（-2,2+6）的“短距”.

【答案】⑴1

（2）5

（3）1或2

【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，正确理解“短距”和“完美点”的定义是解题关键.

11/43

（1）根据“短距”的定义和点到坐标轴的距离求解即可得；

（2）根据“完美点”的定义建立方程，解方程可得。的值，再根据第-象限内的点的横、纵坐标均大于。求

解即可得；

（3）先根据“完美点”的定义建立方程，解方程可得〃的值，再根据“短距”的定义求解即可得.

【详解】（1）解：点A（-l，3）到内轴的距离为|3|=3,至I”轴的距离为卜1|=1,

所以点A（T,3）的“短距”为1,

故答案为：1.

⑵解：•・•点川加-5M）是“完美点”，

工|功-5|=同,

即2a-5=〃或勿-5=-。，

解得。=5或〃=:，

"=5时，为-5=5,此时点8的坐标为3（5,5）,位于第一象限内，符合题意：

当”=|时，2«-5=-|,此时点B的坐标为81位于第二象限内，不符合题意；

综上，〃的值为5.

（3）解：•・•点。（2反力一3）为“完美点”，

・・.|物=也_3|,

印力"3或2b=3-人

解得b=-3或人=1,

当。=-3时，2+Z?=2-3=-l,

工点。的坐标为

•・•点仇-2,-1）到x轴的距离为卜1|=1,到>轴的距离为|-2|=2,

・••点£>（-2,-1）的“短距”为I；

当力=1时，2+b=2+l=3,

・••点。的坐标为。（一2,3）,

12/43

.,•点D（-2,3）到x轴的距离为|3|=3,到y轴的距离为|-2|=2,

.•.点。（-2,3）的“短距”为2,

综上，点。（-2,2+b）的“短距”为1或2.

5.（24-25七年级下•山东临沂・期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点。到大轴、y轴的距离的较

大信称为点。的“长距''，点。到工轴、y轴的距离相等时，称点。为“完美点

⑴点A（T,3）的“长距”为：

⑵若点网3-勿,-1）是“完美点”，求。的值；

⑶若点C（-2,劝+1）的长距为5,且点C在第三象限内，点。的坐标为（4-力8）,试说明：点。是“完美

点”.

【答案】（1）4

（2）«=1或。=2

（3）见解析

【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关

键；

对于（1）,根据“长距”的定义解答即可；

对于（2）,根据完美点的定义可得|3-勿求出答案；

对于（3）,先根据“长距”是5求出〃，进而得出点。的坐标，然后根据"完美点''的定义判断即可.

【详解】⑴解：因为点A到x轴的距离数3,到），轴的距离是4,

所以点4-4,3）的“长距”为4；

故答案为：4；

（2）解：:•点4（3-24-1）是“完美点”，

|3-2^|=|-1|,

3-24=1或3-2a=-1,

解得a=1或a=2；

（3）解：点C（-2,幼+1）的长距为5,且点C在第三象限内，

3Z?+1=—5,

13/43

解得。=-2,

A4-2Z?=4+4=8,

，点。的坐标为（8,-8）,

点。到x轴、y轴的距离都是8,

，。是“完美点”.

6.（23-24八年级上•江苏苏州•期末）对于平面直角坐标系内点例（〃7,〃），我们定义如下变换K：将点M

的横坐标机乘以2再减去I,纵坐标〃加上3就可以得到新的一点N（2m-l,〃+3）

（1）将点P进行K变换后得到点Q（2,-l）,则点P坐标为；

⑵将点尸进行K变换后得到点Q,连接也，且PQ=5,试求〃［的值；

⑶己知点4-2,0）1（3,0）,点。在线段上运动（不包含点48）,将点。进行K变换后得到点Q,连接

PQ，试求线段长度范围

【答案】（1）（1.5,-4）

⑵-3或5

⑶34PQV3加

【分析】本题考查了新定义下的图形与坐标变化及一元一次方程应用，

（1）根据新定义，列方程解决即可；

（2）分两种情况：当点尸在点。右侧或点P在点。左侧两种情况，分别计算即可；

（3）根据垂线段最短及当点P在线段端点A处时尸。最长写出范围即可.

【详解】（1）解：设点P的坐标为（机，〃），

由题意得：2/w-l=2,/?+3=-l,

解得：机=1.5,〃=-4,

•••点P坐标为（15-4）,

故答案为：（L5,T）；

（2）当点尸在点。右侧，如图1,过点P,。分别做坐标轴的垂线，两垂线交于点G,

得到RSPQG,

14/43

Q

由题意得：QQG=XPQ=5,

:.PG=4f

•・,点P横坐标为如

点Q横坐标二点G横坐标=2〃?-1,

解得：m--3,

当点P在点。左侧，同样方法可得到2m-lr〃=4,

Q

ni=5,

综上：，〃=一3或〃?=5；

（3）解：•••点。在线段A8上运动（不包含点A8）,点A（-2,0）,8（3,0）,

设P。砥0）（—2<根<3）,

则由题意得：Q（2〃1,3）,

当〃?=1时PQ最短，此时=Q=J（l-iy+32=3,

当〃?=-2时。。最长，此时也=\/（-2-11+32=3&,

:.3<PQ<342.

7.（25-26八年级上.全国.期末）新定义：对于平面直角坐标系X。》中的点尸（《〃），若点户的坐标为

（a+kb,ka+b）（其中k为常数，且女工0）,则称点P为点。的”属派生点”.

15/43

例如：P(L4)的“2属派生点”为P(l+2x4,2xl+4),即玖9,6).

⑴点P(T6)的“2属派生点”户的坐标为；

(2)若点尸的“3属派生点''产的坐标为(6,2),则点尸的坐标为；

(3)若点P在X轴的正半轴上，点尸的“k属派生点”为点尸，且线段夕产的长度为线段OP长度的2倍―，求k

的值.

【答案】⑴。1,4)

(2)(0.2)

⑶±2

【分析】本题考查了坐标与图形：

(1)根据*属派生点''的定义即可得；

(2)设点。的坐标为(尤月，根据"属派生点''的定义列方程组求解即可；

(3)根据题意得点户的坐标为30),点P的坐标为3㈤,求出PP和。P,根据线段PP的长度为线段

。户长度的2倍列方程求解即可

【详解】(1)解：点尸(T6)的“2属派生点”P的坐标为(T+6X2,-1X2+6),

即(11,4),

故答案为:(1L4)；

(2)解：设点P的坐标为(乂》)，

fx+3y=6

由题意知匕-c，

3x+y=2

fx=0

解得：

[y=2

即点尸的坐标为(0,2),

故答案为：(0,2)；

(3)解：•・•点产在x轴的正半轴上，

/>=(),。>0,

，点尸的坐标为3,0),点P的坐标为3,3),

・•・线段PP的长为P'到X轴距离为J(。-小+(履-0)2=⑼,

•••P在X轴正半轴，线段0P的长为

16/43

|to|=2a,即网=2,

・」=±2.

8.（24-25七年级上•云南保山・期末）平面直角坐标系中，对于P，。两点给出如下定义：若点P到工

轴、）'轴的距离中的最大值等于。点到“轴、）'轴的距禽中的最大值，则称P，Q两点为“等距点已知点

A的坐标为（-4,2）.

歹八

1-----P

⑴在点七（。,5）,?（-2,3）,G（l,4）中，与点A等距的点是;

⑵若点6的坐标为（九3）,且AB两点为“等距点”，求点4的坐标；

（3）若彳（一2,-"3）,。（6,24-6）两点为“等距点”,求学的值.

【答案】（1）G（1,4）

（2）｛4,3）或（~4,3）

（3）3或9

【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后

根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力.

（1）找到大、y轴距离最大为4的点即可；

（2）先分析出直线上的点到小）轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可；

（3）先分析出直线上的点到工、）轴距离中有6的点，再根据“等距点”概念进行解答即可.

【详解】（1）解：•・•点A的坐标为（-4,2）,

・••点A到x轴、y轴的距离中的最大值为4,

•・•点醺0,5）,尸（—2,3）,G（l,4）到x轴、y轴的距离中的最大值分别为5,3,4,

・••点A等距的点是G（l,4）：

17/43

故答案为：G（1.4）

（2）VA8两点为“等距点”，点A到x轴、＞轴的距离中的最大值为4,

・••点B到X轴、＞轴的距离中的最大值为4,

•・•点8的坐标为（切,3）,

・••帆=4,

m=±4,

・••点8的坐标为（4,3）或（~4,3）；

（3）解：若即6隹6,此时a6或心0,

・・・彳（-2,-"3）,笃（6,2"6）两点为“等距点”,

A|2A:-6|=|-A:-3|,

解得：4=9或I（舍去）；

若|2左一6|＜6,此时0v攵＜6,

•・•刀（-2,—:-3）,石（6,2"6）两点为“等距点”，

|-A:—3|=6,

解得：攵=3或一9（舍去）；

综上所述，&的值为3或9.

9.（24-25七年级下•辽宁大连•期末）在平面直角坐标系中，对于P,。两点给出如下定义：点P到x,y

轴的距离中的最大值等于点Q到工，），轴的距离中的最大值，则称P,Q两点为“等距点如点尸（3,2）与

Q（-L3）两点即为等距点.

（1）已知点A的坐标为（T，4）

①点*3,1）,C（-2,4）,O（Y,1）中，与点A为“等距点”的是一：

②若点M的坐标为M（〃?，-〃?+6）,且人，M两点为“等距点”，求出点M的坐标；

⑵若点以一2,〃+3）与点尸（8,2〃-5）两点为“等距点”，在），轴上有一点“（（）/）,连接E/LOE,OF,

18/43

FH.若三角形〃O”的面积为三角形比下的面积的§倍时，求出〃的值.

【答案】⑴①c，D；②点M（42）或（2,4）

（2）b=±±37或〃=±535

1212

【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程.

（1）①根据“等距点”的定义作答即可；

②根据“等距点''的定义列出方程即m的取值范围，再计算即可；

（2）根据“等距点”的定义求出E（-22）,尸（8,5）或E（-211）,F（8,l1）,根据面积法列方程计算即可.

【详解】（1）①解：点A（-L4）到x,y轴的距离中的最大值为4,

8（3,1）到心），轴的距离中的最大值为3/4.不是点A的“等距点”；

C'（-2,4）到羽y轴的距离中的最大值为4=4,是点A的“等距点”；

仇41）到x,y轴的距离中的最大值为H|=4,是点A的“等距点”；

故答案为：C,。；

②解：・・F,M两点为“等距点”

工|时=4或卜僧+6]=4且-4£6与4,-4<-//i+6<4

解得：m=±4,rn=2,/«=1OK2</7Z<4

/.〃？=4或〃？=2

••・点M（4,2）或（2,4）

（2）解：•・•点E（-2,〃+3）与点尸（8,2〃-5）两点为“等距点”

••・,+3|=8或,+3|=|2〃-5|

2

解得：n=5,-ll,8,-

3

•••仪/⑻，”（8,5）或双一2,-8）,F（8,-27）（舍去）或E（—2,l1）,2（8,11）或《-2；｝尸|&一?）（舍

去）

・・・E（-2,8）,二（8,5）或E（-241）,F（8,ll）,

当E（-2,8）,尸（8,5）时

19/43

分别过点E,尸向x轴作垂线，垂足为P,Q,过点尸向y轴作垂线，垂足为K

S,EOF=S糕EPOF~S&EPO_S#OQ

=；（EP+FQ）xPQ-；xEPxPO-；XFQxOQ

=-x（8+5）xl0--x8x2--x8x5

2'’22

=37

・s_lc—卫

••八HOF~tfiOF~7

137

：.-xOHxKF=—

23

147

.••一x网x8=一

;屋

37

：.b=±—

12

九

E

P0QX

当E（—2,ll）,尸（8,11）时

E尸与），轴交于点K

SmF^-xEFxKO

=—X11x10

2

=55

・c3-史

,,之HOF~§LEOF_

：.-xOHxKF=—

23

；x网*8=鼻

20/43

•・布若

:.b=±—

12

10.（24-25八年级上•江苏扬州•期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点若点N坐标为

（x+勿我们称点N是点”的等距平移点，其中〃为等距平移常量.例如：当。=0时，点

M（3,2）的等距平移点N为（3,-2）.

⑴①当等距平移常量。=-3时，点例坐标为（4,3）,则它的等距平移点N的坐标为.

②若点例坐标为它的等距平移点N的坐标为（4,-7）,则等距平移常量〃=

⑵若点何在工轴,，旦它的等距平移点N的坐标为（-24+1,-9-*，），其中。为等距平移常星，O为坐标

原点，求△的介的面积:

⑶点M（xj）的等距平移点是N（x+2a），2）,其中〃为等距平移常量，若X-%=2,且其中一个点到x轴

的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求。的值.

【答案】⑴①(-2,3),②3

（2）T

（3）一；或-3或;或3

【分析】本题考查了坐标变换、等距平移点的定义及几何图形的面枳计算，解题的关键在于根据定义准确

计算坐标，利用绝对值条件分类讨论，以及灵活运用几何公式求解面积.

（1）直接应用定义计算坐标:

（2）需结合点的位置与出标关系求解面积;

21/43

（3）需联立方程并分类讨论绝对值条件.

【详解】（1）解.：①由定义，N的坐标为：

Xy=+2^7=4+2x（—3）=4—6=―2丫耳=——2a=-3—2x（—3）=—3+6=3,

故N的坐标为（-2,3）：

故答案为：（-2,3）,

根据定义：K、，=%+2〃，

:.4=-2+2a,解得。=3：

检验：当a=3时，yN=~yM-2«=-l-2x3=-7,成立，

故答案为：3.

（2）设例为（工,0）,根据定义，W的坐标为：xN=x+2a=-2a+\,解得x=4+1,

yN=-0-2a=-2a,

3

:.-2a=-9+4（i,解得，〃=—,

2

3

/.A=-4X—+1=-6+1=-5,

2

.•"1的坐标为（一5,0）,

.-.^=-2xj+l=-3+l=-2,^=-9+4xj=-9+6=-3,即N为（-2,一3）,

。为原点，”（-5,0）,N（-2,-3）

c1-15

•♦SQMN=-x5x3=y.

（3）;N的坐标为（x+加,一y-2Q）,

•'•力二一y一？。，

'-'Ji->2=2,

-初=2

•••N=1-。

/.y2=_y-2a=-（\-a）-2a=-\+a-2a=-\-ar

验证：>1-y2=（l-«）-（-l-«）=!-«+!+«=2,符合题意，

22/43

•.•其中一个点到X轴的距离等于另一个点到X轴的距离的2倍,

，闻=2冈|或2回耳外|，

因凹=1-Gy2=-\-a,分情况讨论：

情况一：|1一。|=2卜1一4即|j|=2.+1],分四种情况：

①：l-67>0Ka+l>0（B|J-l<d<l）,

方程变为1-。=2（〃+1）,解得a=-g,符合题意；

②：l-a>0Ka+l<0（即。<-1）,此时-

方程为：1—。=2（-〃-1）解得，。=-3,符合题意；

③：1一。<0且a+lNO（即。>1）此时|1一。|二。一1,

方程为：〃-1=2（〃+1）,解得。=—3,小合题意，舍去；

④：1一〃<0且。+1<0（即4>1且4<一1）,矛盾，无解；

综上，情况一所有可能的，值为-；、-3.

情况二：2|1一司=|一1一々|即2|1-4=|〃+1|,分四种情况：

©：l-a>0Ka+l>（）（RP-1<£?<!）,

方程变为2（1-々）=。+1,解得a=g,符合题意；

②：l-a>0E.a+l<0（即。<一1）此H寸|〃+1|=—（〃+1）,

方程为：2（1-〃）=-5+1）,解得a=3,不合题意，舍去；

©：1-«<（）K«+1>（）（即a>l）此时|l-4=a-l,

方程为：2（〃-1）=〃+1,解得々=3,符合题意；

®：l-a<011«+1<0（矛盾），无解，

综上，情况二解为。或4=3.

综上所述，。的值为-;或-3或g或3.

题型二一次函数中的新定义型问题（共12小题:

23/43

1.(24-25八年级下•河南安阳•期末)定义新运算：加☆〃=2〃L〃，例如：2☆3=2x2-3=l,则下列关于

函数y=(x+3)^(—1)的说法正确的是()

A.点(-3,1)在函数图象上

B.图象经过第一、三、四象限

C.函数图象与工轴的交点为(3,0)

D.若点(-2J)、(1,)，2)在函数图象上，则

【答案】A

【分析】本题考查了•次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键.

先根据题目所给新定义，得出该函数的解析式，再根据一次函数的性质即可解答.

【详解】解：根据题意可得：

y=(x+3)☆(-l)=2(x+3)-(-l)=2x+7,

A、把x=—3代入y=2x+7得y=2x(-3)+7=l,・••点(-3,1)在函数图象上，故A正确，符合题意；

B、•・・左=2>0,8=7>0,・••图象经过第一、二、三象限，故B不正确，不符合题意；

7/7、

C、把y=0代入y=2x+7得0=2上+7,解得x=-j,，函数图象与工轴的交点为-不,0,故C不正确，

不符合题意；

D、•・・k=2>0,・•・)，随k的增大而增大，•・•点(一2,)1)、(1,%)在函数图象上，一2<1,・•・,<)%，故D不

正确，不符合题意；

故选：A.

2

2.(24-25八年级下•福建泉州•期末)定义：若点尸(尤力中的3丁满足(/为常数，且

人工丁)，则称点〃为,•生长点”，下列各点是一次函数y=2x-4图象上的“生长点，，的为(；

A.(-1-6)B.(1,-2)C.(2,0)D.(3,-4)

【答案】B

，2

Y=V+1

【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，新定义.根据“生长点”的定义，点需满足方程组2

y£=x+t

且同时位于直线度2x-4上，需逐一验证选项是否满足条件.

24/43

【详解】解：A、当x=T时，v=2x(-l)-4=-6,故点(—1,-6)在一次函数)，=2工一4图象上，则

z=x2—y=(-1)2—(-6)=7,t=y'—x=(-6)'-(-1)=37,f不唯一，不符合题意；

B、当x=l时，y=2xl-4=-2,故点(1,一2)在一次函数y=2/-4图象上，则，=幺一丁=/一(一2)=3,

/=>,2-X=(-2)2-1=3,符合题意；

C、当x=2时，y=2x2—4=0,故点(2,0)在一次函数y=2x—4图象上，则/=x2—y=22—0=4,

2

t=y-x=0~-2=-2t1不唯一，不符合题意；

D、当x=3时，y=2x3-4=2,故点(3,Y)不在一次函数y=2x—4图象上，不符合题意；

故选:B.

3.(24-25八年级上•辽宁丹东•期末)定义新运算：〃㊉〃=-2〃?+〃，则对于函数丁=海3,下列说法正确

的是()

A.该函数图象过点(2,1)

B.该函数可由的图象向下平移3个单位长度得到

C.y随x的增大而增大

D.当一2<¥<—1时，5<y<7

【答案】D

【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的性质以及一次函数平移的特点是关键.先根据

定义得出函数解析式为丁="㊉3=-24+3,再根据•次函数的性质以及•次函数平移的特点逐•分析，即

可得到答案.

【详解】解：对于一次函数y=x㊉3=-2x+3,

当工=2时，y=-2x2+3=-l,因此图象不经过点(2,1),故A选项结论错误；

y=-2x的图象向下平移3个单位长度得到)，=-2x-3的图象，放B选项结论错误；

k=-2<0,因此)，随x的增大而减小，故C选项结论错误；

当了=—2时，y=-2x(-2)+3=7,当不=—1时，>'=-2x(-l)+3=5,即当_24<_］时，5<y<l,故D

选项结论正确.

故选:D.

4.(24-25八年级上•辽宁锦州•期末)定义：己知一次函数了="+〃(3。为常数，女工0),我们称函