2026年希望杯IHC六年级数学竞赛试卷（B卷）含答案

2026年希望杯IHC六年级数学竞赛试卷（B卷）

1.计算：2X1000+5X5+1=

2.计算：1+3+5+・・・+2023+2025=

3.有一个等比数列{“〃},它的前〃项之和记为S〃，已知S20=4,540=40,则SIO=

中式十十.1+2+♦•.+9Q

41+2J+2+31+2+…+100,1.1+2———二的整数部分是,

q•舁1.十•十一t—-—+•••+

11+21+2+…+991+21+2+31+2+…+100

5.小望参加社区组织的“周末农贸小超市”活动。他先去农贸批发市场分别花了60元和90元买了一些

新鲜的番茄和土豆，然后到小超市活动现场摆摊标价售卖。如果按照他的标价卖完所有的番茄和土豆,

一共可以获和16%,而如果他在批发市场买番茄和土豆花的钱一样多，按照现标价卖完，一共可获利

15%。那么，小望只将所有的番茄卖完，可以获利兀O

6.甲、乙、丙三人同时从同地同向出发，沿着周长为900米的环行跑道跑步，甲每分钟跑360米，乙每

分钟跑300米，丙每分钟跑210米，他们至少绕多少圈后三人再次相遇？（）

A.甲12圈，乙1()111,丙8圈

B.甲15圈，乙12圈,丙9圈

C.甲12圈，乙10圈,丙7圈

D.甲18圈，乙15圈,丙9圈

7.如图所示，一个正十二面体（由12个全等的正五边形组成的立体图形）悬浮在空间中且上下底面水平,

注意到和顶面相邻的是5个斜面形成的环（称为顶环），和底面相邻的面也是5个斜面形成的环（称为

底环）。如果沿着一系列相邻的面从顶面移动到底面，每个而最多访问一次且不允许从下往上移动，一

共有种移动方法。

8.将1、2、3、4、5、6写在一个圆周上，如图所示是其中一种写法。然后把圆周上相邻三个数之和写下

来，得到六个数41、。2、。3、G4、"5、。6，将这六个数中最大的数记为力。那么在各种写法中，力的最

小值是.

6

3

9.曾爷爷卖玩具时发现，如果每件玩具定价16元，一周可以卖出500件，但价格每上涨1元，这一周就

会少卖出10件。那么曾爷爷想要一周的销售额最大，每件玩具应该定价元。

10.一个2X2的长方形中有如区所示的3种不同形状的长方形，分别为2X2,2义1,1X1的长方形。若

一个机X“（加22,〃22）的长方形中有24种不同形状的长方形，则用与〃的乘积为o（注：

长方形包含正方形）

II.新年快到了，小希设计了一个灯笼，如图是灯笼轮廓的平面图。这个图的画法是：先画一个圆，在圆

里面画一个长方形（4个顶点都在圆周上），然后分别以长方形的4条边为直径画4个半圆。已知图中

长方形的面积为100平方厘米，那么阴影部分面积为平方厘米。

12.从1〜2025中取出若干个数，要使取出的数中任意两个数的和都不等于取出的数的个数，最多可以取

出个数。

13.两兄弟一起养了一群牛，有一天他们去集市将牛卖掉，每头牛的钱数恰好等于牛的只数。兄弟二人在

回家的路上遇到有人卖羊，每只大羊10文钱。他们买了若干只大羊，剩余的钱又恰好买了一只小羊。

兄弟二人回家后分羊，最后剩了一只大羊和一只小羊，哥哥分到大羊，弟弟分到小羊。为了公平，哥哥

应该再给弟弟文钱。

14.在11!的所有因数中，个位为1的正因数有个。

（注：正整数的阶乘定义为所有小于及等于该数的正整数的积，记为〃!，例如5的阶乘表示为5!,其

值为1X2X3X4X5=120）

15.牧羊人在一片均匀生长的草地上放羊，每天放羊结束都会卖掉一只羊。如果最初有30只羊，那么恰

好11天吃完这片草；如果最初有25只羊，那么恰好21天吃完这片草。如果这片草地至少能供应15天，

那么牧羊人最初放养的羊最多是只。

16.甲、乙、丙三个工程队要完成/、8两项工程，两项工程的工作量相同。甲、乙、丙单独完成力工程

所需时间分别是10天、12天、20天。为了尽快同时完成这两项工程，先派甲队做力工程，乙、丙两

队共同做片工程；经过若干天后，又调其中一队与甲队共同做力工程，调动途中花了整整2天的时间。

那么，丙队与乙队共同做8工程的天数为天。

17.在1〜2025的所有正整数中，有个整数〃使得2〃与/被7除的余数相同。

18.如图，正方形48CO的边长为51,E、F、G、”分别为所在边的四等分点，那么阴影部分面积

19.有一台特殊的计算器，输入一个整数后，它会进行如下操作中的一种:

①将这个数+1;

②将这个数X2。

己知这两种操作发生的概率相同。现在小希将整数1输入计算器，输出一个结果后将这个结果再输入计

算器，不断重复。在机器运行10次后得到一个数，这个数是奇数的概率为（）

BD

A.给-1c・居4

20.正整数力的2024倍和2025倍的因数个数相同，则力最小是。

21.如表所示，将由1,2,3,4组成的所有整数从小到大排在第一行；再将由0,1,2,3组成的所有整

数从小到大排在第二行。在表格的前2025列中，共有列中的两个数的位数相同。

1234111213........

01231()1112........

22.六位同学站成一排照相，他们拍了若干张照片，每张照片中他们的排列顺序都不完全相同。对于任意

的两位同学，记他们分别为力和比满足/最多在一张照片中位丁6左侧的相邻位置，6也最多在一张

照片中位于4左侧的相邻位置。那么他们最多拍了张照片。

23.甲、乙、丙三人从周长2千米的环形道路的同一点同时出发，每人环行两周。现有自行车两辆，乙和

丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑。已知甲步行的速度是每

小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，三人骑车的速度都是每小时20千米。那么，要使三

人和两辆自行车同时到达终点，三人环行两周最少要用分钟。

24.一个多位数，从它任意一位起连续的数字可以形成一些新数。例如，整数128可以形成的全部新数有

1、2、8、12、28、128。若一个多位数按如上方式形成的新数都不是9的倍数，则称它是“安全数”。

那么五位数中最大的无重复数字的“安全数”是o

25.正整数〃是两个不同质数的乘积，且〃的所有因数的平均数能被25整除，那么〃的最小值

是。

2026年希望杯IHC六年级数学竞赛试卷(B卷)

参考答案与试题解析

一.选择题(共2小题)

题号619

答案CA

1.计算：2X1000+5X5+1=2026。

【解答】解：2X1000+5X5+1

=2000+25+1

=2026。

故答案为：2026o

2.计算：1+3+5+・・・+2()23+2()25=1026169。

【解答】解：1+3+5+・・・+2023-2025

=10132

=1026169o

故答案为：1026169o

3.有一个等比数列{a〃},它的前〃项之和记为S〃，已知S20=4,540=40,则Sio=I

【解答】解：设等比数列的首项是可，公比是小

J20-Q

q-y

解得：.a]]

ll-q2

(y10、

aik1-q)

5io=-....................

1-q

=-lx(1-3)

2

-1o

故答案为：1。

1+2+,••+gQ

4.算式里4^“/+2+…+10Q.1,t1+2+...—，——灯的整数部分是200

11+21+2+•••+991+21+2+31+2+…+100

I解答】解苦陪i喑三署代崔三孺

=1+&1+&1+。1+2+...+1+-^+（1-2）+（1-2）+（1-2）+……+（1--2-）

123499345101

=1X99+2X...+JL）+1X99-2X（工二....+-L-）

23499345101

=99+2Xl+2xXi-2X（U...+」-）+99-2X...+—1—）

2399345101

=99+2+1+99+2X（1+……+JL）-2X（IJ4JU……+-L-）

399345101

=200+1-2X-L--2X-L-,

100101

算式J+2J+2+3+…J+2+-+100,1,1+2+...+~2+,一+99的整数部分是200p

11+21+2+-+991+21+2+31+2+-+1QQ

故答案为:200o

5.小望参加社区组织的“周末农贸小超市”活动。他先去农贸批发市场分别花了60元和90元买了一些

新鲜的番茄和土豆，然后到小超市活动现场摆摊标价售卖。如果按照他的标价卖完所有的番茄和土豆，

一共可以获和16%,而如果他在批发市场买番茄和土豆花的钱一样多，按照现标价卖完，一共可获利

15%。那么，小望只将所有的番茄卖完，可以获利6元，

【解答】解：60元的番茄和90元土豆比(60+90)+2=75(元)的番茄和75元土豆售卖完多获利:

(60+90)X(16%-15%)=1.5(元)，

即90-75=15(元)的土豆比15元是番茄多获利1.5元，

75元的番茄和75元土豆少获利：

75+15X1.5=7.5,

75元的番茄获利：

[(60+90)X15%-7.5]4-2=7.5(元),

60元的番茄获利：

7.54-75X60=6(元)。

答：可以获利6元。

故答案为：6。

6.甲、乙、丙三人同时从同地同向出发，沿着周长为900米的环行跑道跑步，甲每分钟跑36()米，乙每

分钟跑300米，丙每分钟跑210米，他们至少绕多少圈后三人再次相遇？（)

A.甲12圈，乙1（）圈，丙8圈

B.甲15圈，乙12圈，丙9圈

C.甲12圈，乙10圈，丙7圈

D.甲18圈，乙15圈，丙9圈

【解答】解：甲每次追上乙的用时：

9004-（360-300）=15（分钟），

乙每次追上丙的用时：

9004-（300-210）=10（分钟），

他们三人相遇的用时是15分钟与10分钟的最小公倍数：

5X3X2=30（分钟），

甲共走的圈数：

360X304-900=12（圈）,

乙共走的圈数：

300X304-900=10（圈），

丙共走的圈数：

210X304-900=7（圈）。

故选：C.

7.如图所示，一个正十二面体（由12个全等的正五边形组成的立体图形）悬浮在空间中且上下底面水平,

注意到和顶面相邻的是5个斜面形成的环（称为顶环），和底面相邻的面也是5个斜面形成的环（称为

底环）。如果沿着一系列相邻的面从顶面移动到底面，每个面最多访问一次且不允许从下往上移动，一

共有810种移动方法。

【解答】解：根据题意，路径需从顶面出发，经顶环、底环至底面，且仅允许从上向下移动。

顶面到顶环：顶面与5个顶环面相邻，共5种选择，

顶环内策略：每个顶环面均有9种路径策略可进入底环，共9种，

底环到底面：底环面均与底面相邻，共9种选择；

底环到顶面的对称系数：全局存在顺时针与逆时针2种路径方向，共2种。

总数：5X9X9X2=810(种)。

答：一共有810种移动方法。

故答案为：810。

8.将1、2、3、4、5、6写在一个圆周上，如图所示是其中一种写法。然后把圆周上相邻三个数之和写下

来，得到六个数⑶、。2、。3、四、/、〃6,将这六个数中最大的数记为力。那么在各种写法中，力的最

【解答】解：圆周上所有数字的和：1+2+3+4+5+6=21,

六个和值的总和为：21X3=63,

六个和值的平均数为：634-6=10.5,

由于和值必须是整数，且平均值为10.5,因此六个和值中最大值至少为11。

答：A的最小值是11。

故答案为：11.

9.曾爷爷卖玩具时发现，如果每件玩具定价16元，一周可以卖出500件，但价格每上涨1元，这一周就

会少卖出10件。那么曾爷爷想要一周的销售额最大，每件玩具应该定价那元。

【解答】解：设每件玩具涨价x元，贝IJ：

定价：(16+x)元，

销量：(500-10x)件，

销色额：y=(16ix)(50010.r),

即卜=-10.A340.Y+8000,

这是开口向下的二次函数，最大值在顶点处：

x=--=---——=17,

2a2X(-10)

此时定价：［6+17=33(元)。

答：曾爷爷想要一周的销售额最大，每件玩具应该定价33元。

故答案为：33。

10.一个2X2的长方形中有如医所示的3种不同形状的长方形，分别为2X2,2X1,1X1的长方形。若

一个小X〃（胆22,〃22）的长方形中有24种不同形状的长方形，则〃?与〃的乘积为27。（注：

长方形包含正方形）

2

即〃（2///-/7+1）=48,

枚举〃22的整数解：

当〃=2时，2X（2m-2+1）=48,

即m=12.5（非整数,舍去）;

当〃=3时，3X（2w-3+l）=48,

即〃?=9（整数，有效）；

当〃=4时，，4X（2m-4+1）=48,

即加=7.5（非整数，舍去）；

当〃=6时，6X（2w-6+l）=48,

即加=6.5（非整数,舍去）;

当〃=8时，8X（2w-8+l）=48,

即〃?=6.5（〃?<〃，与假设〃矛盾，舍去）。

所以唯一符合条件的整数解是：

〃=3,w=9（或〃】=3,〃=9）。

验证：当洲=9,〃=3时,

a从1到3：

。=1,可配6=1,2,3（3种）：

a=2,可配〃=2,3（2种）；

a=3,可配6=3（1种）,

共3+2+1=6（种）。

。从4到9：

每个a可配6=1,2,3,

共6X3=18（种），

总计:6+18=24（种），

与题目条件一致。

因此小义〃=9X3=27。

答：加与〃的乘积为27。

故答案为：27o

11.新年快到了，小希设计了一个灯笼，如图是灯笼轮廓的平面图。这个图的画法是：先画一个圆，在圆

里面画一个长方形（4个顶点都在圆周上），然后分别以长方形的4条边为直径画4个半圆。已知图中

长方形的面积为100平方厘米，那么阴影部分面积为100平方厘米。

【解答】解：设长方形的长为。厘米，宽为5厘米,

因为必=100平方厘米。

I22

阴影部分面积=[2Xy7l(y)2+2Xy7T(y)2]-H(--^―)2

一兀f2.u2\兀(2,.2\,

——ka+b)-+o)+ab

44

=ab

=100（平方厘米）。

答；阴影部分面积为100平方厘米。

12.从1〜2025中取出若干个数，要使取出的数中任意两个数的和都不等于取出的数的个数，最多可以取

出1350个数。

【解答】解：设最多取出h个数，要使任意两个数的和Wh

为了取最多的数，我们尽量取大数：

取2025,2024,……，2025・奸1这。个数,

这些数中最小的两个数之和为:

(2025-k+\)+(2025-k+2)=4053-2k,

要让任意两数之和NA,

只需让最小两数之和

则所有两数之和都大于也自然不会等于鼠

列不等式：4053-2k>k,

即左V135L

因为k是整数，

所以女=1350。

验证：取1350个最大数:2025,2024,........,676,

最小两数之和：

676+677=1353>1350,

任意两数之和都大于1350,

满足任意两数之和W取出数的个数。

若取1351个数，则最小两数之和为1351,恰好等于个数，违反条件。

故最多可取1350个数。

答：从1〜2025中取出若干个数，要使取出的数中任意两个数的和都不等于取出的数的个数，最多可以

取出1350个数。

故答案为：1350.

13.两兄弟一起养了一群牛，有一天他们去集市将牛卖掉，每头牛的钱数恰好等于牛的只数。兄弟二人在

回家的路上遇到有人卖羊，每只大羊10文钱。他们买了若干只大羊，剩余的钱又恰好买了一只小羊。

兄弟二人回家后分羊，最后剩了一只大羊和一只小羊，哥哥分到大羊，弟弟分到小羊。为了公平，哥哥

应该再给弟弟文钱。

【解答】解：设一共有牛(10“+力)只，且心0,OVbVIO,

则(10a+Z>)2=100。2+20。)+科

)0+10=20(文)，

大羊的只数是奇数，小羊的价钱小于10文，两人每次分两只大羊，最后一次分一只大羊和一只小羊，

所以卖得的总钱数除以20余数大于10,

则户是除以以余数大于10的,

当6=1时，则后=|,房是除以20余数是1,不符合要求；

当匕=2时，则户=4,必是除以20余数是4,不符合要求；

当6=3时，，则庐=9,必是除以20余数是9,不符合要求;

当6=4时，则丛=16,必是除以20余数是16,符合要求；

当6=5时，则户=25,必是除以20余数是5,不符合要求;

当6=6时，则房=36,户是除以20余数是16,符合要求;

当6=7时，则川=49,必是除以20余数是9,不符合要求;

当方=8时，则〃2=64,//是除以20余数是4,不符合要求;

当方=9时，则序=81,力2是除以2()余数是1,不符合要求;

所以6=4或6,

小羊价格：16・10=6（文）,

（10-6）4-2

=4+2

=2(文

答：哥哥应该再给弟弟2文钱。

故答案为：2。

14.在11!的所有因数中，个位为1的正因数有6个。

(注：正整数的阶乘定义为所有小于及等于该数的正整数的积，记为〃!，例如5的阶乘表示为5!,其

值为1X2X3X4X5=120)

【解答】解：1】!=1X2X3X4X.......XII,

个位为1的正因数有：1、11、3X7=21、9X9=81、11X7X3=231、81X11=891,共6个。

答：在11!的所有因数中，个位为1的正因数有6个。

故答案为：6o

15.牧羊人在一片均匀生长的草地上放羊，每天放羊结束都会卖掉一只羊。如果最初有30只羊，那么恰

好11天吃完这片草：如果最初有25只羊，那么恰好21天吃完这片草。如果这片草地至少能供应15天,

那么牧羊人最初放养的羊最多是一26只。

【解答】解：设每只羊每天吃草量为1,如果最初有30只羊，其中吃了11天草的羊数：

30-11+1=20(只)，

30只羊共吃的草量:

(20X11+1+2+3+.........+9+10)XI=275,

如果最初有25只羊，其中吃了21天草的羊数:

25-21+1=5（只）,

30只羊共吃的草量：

（5X21+1+2+3+....+19+20）X1=315,

每天草的生长最：

（315-275）+（21-11）=4,

这片草地原来的草量：

275-4X11=231,

设牧羊人最初放养的羊是x只，则得:

(x-15+1)X15+1+2+3+73+14=231+15X4,

解得：工=26.4。

答：牧羊人最初放养的羊最多是26只。

故答案为：26。

16.甲、乙、丙三个工程队要完成力、8两项工程，两项工程的工作量相同。甲、乙、丙单独完成《工程

所需时间分别是10天、12天、20天。为了尽快同时完成这两项工程，先派甲队做/工程，乙、丙两

队共同做8工程；经过若干天后，又调其中一队与甲队共同做力工程，调动途中花了整整2天的时间。

那么，丙队与乙队共同做8工程的天数为二天。

【解答】解：设X、8两项工程的总工作量均为1。则各队的工作效率为:

甲队：v甲1

元‘

乙队：v乙=1

运’

丙队：VIII_——1,

20

设丙队与乙队共同做8工程的天数为x,根据题意，工程实施分为三个阶段:

第一阶段（x天）：甲独做人乙丙合做8,

第二阶段（2天）：调走丙队，丙队在途中休息（不干活），甲独做儿乙独做8,

第二阶段（y天）；丙队加入4工程，甲丙合做4直至完成；同时乙队独做8直至完成。

甲队全程工作（x+2+y）天,丙队工作y天。则力工程总工作量方程为:

—(x+2+y)+-l-y=l,

10'20,

整理可得：2x+3y=16...①

乙队全程工作（x+2+y）天，丙队仅工作x天。则8工程总工作量方程为:

(x+2+y)=1,

2012

整理可得：Rx+5v=50.......②

联立①②可得：

r2x+3y=16

8x+5y=50

解得:卜力

ly=2

假设调走乙队，则解得》=至，结果非整数，不符合题意，

7

调走丙队，解得x=5,为整数解，符合题意。

即丙队与乙队共同做B工程的天数为5天。

答：丙队与乙队共同做8工程的天数为5天。

故答案为：5。

17.在1〜2025的所有正整数中，有580个整数〃使得2〃与〃2被7除的余数相同。

【解答】解：2〃被7除的余数按照“2、4、1”顺序重复排列，

〃2被7除的余数按照“1、4、2、2、4、1、0”顺序重里排列，

3和7的最小公倍数:3X7=21,

2025+21=96（个周期）……9（个。

•个周期内余数相同的有6个，

96X6+4

=576+4

=580（个）。

答：有580个整数〃使得2”与〃2被7除的余数相同。

故答案为:580o

18.如图，正方形形CD的边长为51,E，、G、〃分别为所在边的四等分点，那么阴影部分面积为_1222_o

【解答】解：为便于表述，给图形标上字母，如下图所示:

因为石、尸、G、，分别为所在边的四等分点,

所以力•44=1乂51=区，

444

根据勾股定理可知，

BH=7AB2+AH2=，

根据同角的余角相等可知：

△BEISBHA,

所以巫=巫

BHBA

51

即即=84•理=51—=3/17,

BH

4

再次利用勾股定理可知，

WBE2-BI2=Q《)2-(3庙^=1^/17，

因为ABEIqAHJ,

所以HJ=EI=匆百,

4

所以IJ=BH-BI-HJ=ilV17-3A/17-3117=9417,

44

S阴影=(9V17)2=1377。

答：阴影部分面积为1377。

故答案为：1377。

19.有一台特殊的计算器，输入一个整数后，它会进行如下操作中的一种:

①将这个数+1;

②将这个数X2。

已知这两种操作发生的概率相同。现在小希将整数1输入计算器，输出一个结果后将这个结果再输入计

算器，不断重复。在机器运行10次后得到一个数，这个数是奇数的概率为()

A.HlB.歪C.34D.1

512256892

【解答】解：设/(〃)表示进行〃次操作后得到奇数的概率，g(〃)表示进行〃次操作后得到偶数的概

率。

显然/(〃)+g(W)=Io

初始输入为I(奇数)，即时：

f(0)=1,g(0)=0,

若当前是奇数(概率/(〃))：

操作①(+1)：变为偶数，概率/(〃)xl,

操作②(X2)：变为偶数，概率/(〃)x±,

2

即奇数经过一次操作后必为偶数。

若当前是偶数(概率g(〃))：

操作①(+1)：变为奇数，概率g(〃)xl,

2

操作②(X2)：变为偶数，概率g(〃)xl,

2

即偶数经过一次操作后，得到奇数的概率为工，得到偶数的暇率为上。

22

因此递推公式为：

=g(〃)xX,

g(〃+1)=f(〃)+g(〃)X工，

2

逐步计算如下：

f(0)=1,g(0)=0,

/(I)=oxi=(),g⑴=]+0xX=l,

22

f(2)=lxX=X,g(2)=0+lxX=X,

2222

f(3)=1x1=1,g⑶=LLx7

2242224

八4)=3xl-=3,g(4)=-L+-2_xX=^-,

4284428

/(5)=黑工=工g(5)=3+且xUll,

821688216

f(6)=11x1=11,g(6)=2+11义1=红，

162321616232

/(7)=红乂1=红g(7)=H+^XxX=il,

322643232264

/(8)=望义工=-i?-,g(8)=红+望xL=-55_,

64212864642128

f(9)=-^_x1_85g(9)43^85x1-171

1282256,1281282256

f(10)171x1171

2562512

答：在机器运行10次后得到一个数，这个数是奇数的概率为工&。

512

故选：Ao

20.正整数力的2024倍和2025咯的因数个数相同，则彳最小数10。

【解答】解：这个最小的正整数为4则：

d(2024/1)=d(20254),

其中d(加)表示阳的正因数个数，

即求最小的正整数4

2024=23X11X23,

2025=34X52,

设力=2。・3分・5，・11八23©・“(其中"与2、3、5、11、23互质)，

20244=2"3・3'・5,・11”讨・23介・M,

2()25/=2”.38+4・552・］必23e・.w,

d(20244)=(a+3+1)(8+1)(e+l)(d+1+1)(e+1+1)d(M)=(q+4)(Hl)(c+1)(d+2)(e+2)

d(M),

d(2025/1)=(£7+1)(力+4+1)(c+2+1)(d+1)(e+l)dQM)=(a+1)(Z>+5)(c+3)(d—1)(e+l)d

(A7),

因为一个正整数的2024倍和2025倍的因数个数相同，

所以d(20244)=d(2025/4),即：

(q+4)(ZH-1)(c+1)(d+2)(e+2)d(M)=(a+1)(b+5)(c+3)(d+1)(e+l)d(M),

所以(a+4)(b+1)(c+1)(d+2)(e+2)=(。+1)(b+5)(c+3)(d+1)(e+l),

要使力最小，尝试令M=1(即力只含质因数2、3、5、11、23),且尽可能让指数小，

令d=e=O,即不含11和23的因子，贝ij：

(4+4)(Hl)(c+1)(2)(2)=(。+1)(b+5)(e+3)(1)(1),

所以4(。+4)(什1)(c+1)=(a+1)(ZH-5)(e+3),

尝试4=0,则：

4(4)(b+1)(c+1)=(1)S+5)(c+3),

即16(什1)(c+1)=(什5)(c+3),

尝试b=O则：

16(1)(c+1)=(5)(c+3),

BP16(c+1)=5(c+3),此时e无解；

尝试6=1,则：

16(2)(c+1)=(6)(c+3),

即32(c+1)=6(c+3),此时c无解；

尝试b=2,则：

16(3)(c+1)=(7)(c+3),

即48(e+l)=7(c+3),此时c无解；

可见。=0时无解。

同理尝试4=1,则：

4(5)(/H-l)(c+1)=(2)(8+5)(c+3),

即20(6+1)(c+1)=2(b+5)(c+3),

所以10(b+1)(c+1)=(b+5)(c+3),

尝试b=O则:

10(1)(c+1)=(5)(c+3),

即10(c+1)=5(c+3),此时c=l,

得到唯一•解：67=1,b=0,c=1,d=0,e=0o

此时对应的4=2i・30・5i・ll°・23°=2X5=10,

即20244=2O24O=24-5,-111-23),

d(2024/4)=(4+1)X(1+1)X(1+1)X(1+1)=40,

2025J=20250=2k34*53,

d(2025J)=(1+1)X(44-1)X(3+1)=40,

符合题意。

是否有更小的4

可以验证当4=1〜9时，均不符合题意。

即力=1（）是最小的正整数。

答：正整数力的2024倍和2025倍的因数个数相同，则力最小是10。

故答案为：10.

21.如表所示，将由I,2,3,4组成的所有整数从小到大排在第一行；再将由0,1,2,3组成的所有整

第二行：（），1,2,3,共4个,

相同位数列数：4列；

两位数：

第一行：4X4=16（个），

第二行:3X4=12（个）,

相同位数列数：12列；

三位数：

第一行：43=64（个），

第二行：3X42=48（个）,

相同位数列数:48列;

四位数：

第一行:44=256（个），

第二行：3X43=192（个），

相同位数列数：192歹U：

五位数：

第一行：45=1024（个），

第二行：3X44=768（个），

相同位数列数：768列;

前5位累计相同列数：

4+12+48+192+768=1024（个），

六位数：

第2025列在6位数区间内的位置：

2025-1024=1001,

此1001列均为6位数对应，位数相同。

总相同位数列数：

1024+1001=1577o

答：在前2025列中，两个数字位数相同的共有1577歹h

故答案为：1577。

22.六位同学站成一排照相，他们拍了若干张照片，每张照片中他们的排列顺序都不完全相同。对F任意

的两位同学，记他们分别为力和以满足力最多在一张照片中位于夕左侧的相邻位置，4也最多在一张

照片中位于力左侧的相邻位置。那么他们最多拍了6张照片。

【解答】解：将六位同学看作6个顶点，每一张照片对应一个排列，

每一个排列中相邻两人从左到右构成一条有向边。

由题意，任意两人4,B,

有向边力->4与4-*力在所有照片中最多各出现1次。

6个顶点之间共有有向边：

6X5=30（条），

每张照片是6人一排，共有6-1=5（个）相邻对，

即每张照片使用5条不同的有向边。

设最多可拍上张照片，则：

5AW30,

即kS6,

当A=6时，恰好用完所有30条有向边，满足题目的所有限制条件，

故可以取到等号。

答：他们最多拍了6张照片。

故答案为：6。

23.甲、乙、丙三人从周长2千米的环形道路的同一点同时出发，每人环行两周。现有自行车两辆，乙和

丙骑自行车出发，甲步行出发，中