二元一次方程组的解法（习题）原卷版-2024华东师大版七年级数学下册

专题6.2二元一次方程组的解法

5.体会转化、整体等数学思想，培养严谭的运算习惯。

重占

（1）代入消元法和加减消元法的核心步骤及应用。

（2）根据方程组特点选择恰当的消元方法。

（3）特殊解法（整体代入、换元法）的运用。

教学重难点（4）列二元一次方程组解决实际问题。

难点

<1）消元思想的深层理解与灵活运用。

（2）复杂方程组的化简与变形（如含分母、括号的方程组）。

（3）同解方程组、错解复原等含参数问题的处理。

（4）实际问题中等量关系的精准挖掘与建模。

知识清单

知识点01：消元思想

1.核心本质：将二元一次方程组通过“消元”转化为求解，体现“化复杂为简单”的

2.消元途径：主要有和,可根据方程组特点选择合适方法。

【即学即练】

1.（24-25七年级下•河北邢台•期末）用消元法解方程组（：一?=£时，两位同学的消元方法如下:

嘉嘉解法：由①-②，得3%=3.

淇淇解法：由②得3刀+。-3y）-2.③

把①代入③，得3%+5=2.

⑴直接判断上述两位同学的消元过程是否有误.

⑵请选择•种你喜欢的方法，解方程组.

知识点02：代入消元法

1.定义：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，―另一个方程该未知

数，转化为一元一次方程求解。

2.步骤：①（选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个）；

②__________（代入未变形的方程，消去一个未知数）；

③__________（解一元一次方程）；

④__________（求另一个未知数的值）；

⑤（用大括号联立结果）。

3.适用场景：某未知数系数为1或-1,或常数项为。的方程组。

【即学即练】

1.（25-26七年级下•全国•课后作业）用代入法解下列方程组：

⑴I、+y=8

{'l7x-2(2x+y)=-1

(2)("23

8x+3y=-1

知识点03:加减消元法

1.定义:通过将两个方程两边或,消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。

2.步骤：①__________（用适当的数乘方程两边，使某一未知数系数相等或互为相反数）；

②___________（系数相等相减，互为相反数相加，消去一个未知数）；

③（解一元一次方程）；

④___________（求另一个未知数的值）；

⑤（用大括号联立结果）。

3.适用场景：某一未知数系数相同、互为相反数或成倍数关系的方程组。

【即学即练】

1.（25-26七年级上•上海浦东新•期末）解方程组：［上

13%—Ly=/

知识点04：方程组的特殊解法

1.整体代入法：将方程组中重复出现的代数式视为，代入化简求解，简化运算。

2.换元法：设复杂代数式为_________,将原方程组转化为简单方程组求解，如含x+y、x-y的方程组。

3.设参数法：对于含比例式（如；二（）的方程组，设比例系数为参数k,用k表示未知数后代入求解。

4.叠加叠减法：对于系数轮换型方程组（如=,通过方程相加、相减简化系数。

（bx4-ay=c2

【即学即练】

1.（25-26八年级上•安徽宿州力考）观察发现：

解方程组：［*+y=4q

l7（x+y）+y=14@

将①整体代入②得7X4+y=14.

解得y=-14.

把,，二-14代入①，x=18.

故原方程组的解为

这种解法称为"整体代入法"，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答.

⑴实践运用：

（2x-3y-2=0®

请用“整体代入法”解方程组；2%-3y+5。小•

—T—+2oy=90

/

⑵拓展提升：

请你仿照上面的解法解方程组，符誉:有？=篙然.（提示，将x+y看作-个整体）

（2023x+2022y=2021（2}

知识点05：特殊方程组的处理

1.同解方程组：两个方程组,先解不含参数的方程组，将解含参数的方程求参数。

2.错解复原问题：看错某参数的解仍满足的方程，联立方程求原参数。

3.含参数方程组：根据参数取值判断解的情况（唯一解、无数解、无解）。

【即学即练】

1.（25-26八年级上•山东青岛・周测）已知关于的方程组｛,二/二，无解，则4=.

题型精讲

题型01用代入消元法解二元一次方程组

方法技巧：选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个；代入未变形的方程消元，解一元一次方程；将

结果回代变形方程，求出另一个未知数，联立得解。

【典例.（2S.26八年级上•贵州贵阳•期末）解方程组：（x=2y+l®下列做法正确的是（）

A.将①代入②，消去％B.将①代入②，消去y

C.①+②，消去%D.①+②，消去y

【变式1].（25-26八年级上•河南开封•月考）用代入消元法解方程组｛翼;时，消去户可将第一

个方程变形为（）

A.y=2x+5B.y=2x—5C.x-D.x-

【变式2】.（2026七年级下•全国•专题练习）用代入法解方程组[2%=4幺有以下过程：

（3x-2y=-l（2）

（1）由①，得y=4-2x.（3）

（2）将③代入②，得3%-2（4-2%）=-1.

（3）去括号，得3x-8-2x=-l.

（4）解得％=7.将％=7代入③，得y=-10.所以这个方程组的解是仁二；0

以上解题过程中，开始出错的一步是（）

A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）

【变式3】.（25-26八年级上・甘肃张掖・月考）用代入消元法解二元一次方程组+=下列变

3x-y=3®

形错误的是（）

A.由①，得％="TvB.由②，得y=3-3%

C.由①，得、=当/D.由②，得x=?

*JD

题型02用加减消元法解二元一次方程组

方法技巧：变形方程使某未知数系数相等或互为相反数；系数相等相减、互为相反数相加消元；解一元一

次方程后回代，联立得解，注意符号变化。

【典例2】.（25-26八年级上•河北保定・月考）用加减消元法解方程组卜+3'=安时，①-②得（）

（x+y=l@

A.-2y=4B.2y=6C.2y=4D.-2y=6

【变式1】.（25-26七年级下•全国•课后作业）解方程组卜+1二*口

【变式2],（25-26八年级上•陕西渭南•期末）解方程组：.

【变式3].（25-26七年级下•全国•课后作业）已知二元一次方程组二:则％+y的值是（）

A.3B.-1C.0D.-2

题型03用整体代入法解方程组

方法技巧：识别方程组中重复出现的代数式（如x+y）,将其视为整体，代入另一个方程简化运算，无需

单独求未知数。

【典例3].（25-26七年级下•全国•课后作业）在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值

的方法化繁为简.

解方程组『+2（%+丫）六3①

解：把②代入①，得％+2x1=3,解得x=l.

把x=l代入②，得y=0,所以方程组的解为

请用此方法解方程组｛39-2之：2。

【变式1].（25-26八年级上•山西晋中•期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真

阅读并完成相应的任务：

整体代入消元法在利用“代入消元法〃解完二元一次方程组（sa+y）一①后，小宣还想到了一种新的

解法；

解：把％+y=l看作整体代入①，得5xl—x=3,解得x=2.将x=2代入②，得y=-1,所以原方程

组的解为;二.

这种把％+y=1看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”.

请你利用“整体代入消元法〃解方程组5，无一”.

,3x-1=4y+9

【变式2].（25-26七年级下•全国•课后作业）阅读下列材料：

x-y-1=0①

解方程组:

4(x-y)-y=5②

解：由①，得x-y=l.③

把③代入②，得4xl-y=5,解得y=-L

把丁二一1代入③，得工一(-1)=1,解得％=0,所以这个方程组的解为

这种方法称为"整体代入法

2x—y—2=0①

请用这种方法解方程组：|6x-3y+4+2y_]2②

【变式3].(25-26八年级上•全国•假期作业)阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组(+

时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程②变形4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③，把①代入③得2x3+y=5.

解得、=-1,把y=-1代入①得％=4,所以原方程组的解为:

请你运用以上方法解决下列问题：

⑴模仿小红的方法解方程组｛：；第二息

⑵已知乂)，满足方程组[6/一2号+义2=等，求2/+方+。的值.

[4x2+xy+2y2=10@

题型04用换元法解方程组

方法技巧：设复杂代缴式(如x+y=a、x-y=b)为新未知数，将原方程州转化为简单方程细，求解后

回代求原未知数。

【典例4】.(25-26八年级上•福建漳州•月考)解方程组邱”刊一YU，若设例+y)=4,

(2(%+y)+4(%-y)=6/

(%-y)=氏则原方程组可变形为£[解方程组得;所以，解方程纽得$二J，

我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方

程组铃？＜+£?)=蒙.

(2(%+y)—3x+3y=24

(里十匕=13

【变式11(2025八年级上•山东青岛•专题练习)对于方程组^y_^y_，不妨设“+y=u,x-y=v,

(~3~~3

则原方程组变为以〃、U为未知数的方程组，解得仁二二，从而原方程组的解是E二二，这种解题的方

法称为换无法.

【变式2】.(2025八年级上•全国・专题练习)解方程组："F一一,

4(%+y)+3%-3y=26

【变式3】.(24.25七年级下•贵州毕节・月考)解方程组：乃[+5)-2(n+3)=-1

(3(m+5)+2(n+3)=7

题型05利用同构方程求解

方法技巧：同构方程的核心是方程组的系数和常数项完全相同，仅未知数的表达式形式不同。先识别新方

程组与已知解的方程组在系数、常数项上的一致性，再将新方程组中重复出现的整式(即“未知数替代式”)

与已知方程组的未知数对应，用已知解直接等于替代式，求解原未知数。

【典例5].(24-25七年级上•安徽滁州・期末)若方程组修：■索二上的解是R=巴，则方程组

13Q+5b=30.93=1.2

一1?蓝仁的解是()

(3(x+2)+5(y-1)=30.9

a.X=8.3_.x=10.3》.x=6.3_.x=10.3

A.{B.{ioC.{”D.{

ky=1.o21y=1.2ky=2.21y=n0.o2

【变式i】.(25-26八年级上•广东佛山・期末)已知二元一次方程组+??=丫的解为E]那么

(3ax+b=y(y=3

《(穹一的解为

(3a(2x-1)+b=y-1

【变式2】,(24-25七年级下•湖北襄阳・月考)若方程组?的解为代二],则方程组

ka2x+b2y=c2(y=o

产1*y=&的解为.

(a2x+4b2y=c2--------

【变式3].(24-25七年级下•广东江门•期中)阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李

老师设计了如下的题目.

解方程组：士曷

(62~

观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错.如果把方程组中的(4x+3y)

看成一个整体，把(6xy)看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题.

+巳=8

设4x+3y=m,6%-y=n，则原方程组可化为小:，

解关于m,九的方程组，得

所以心非

解方程组，得后二;.

⑴材料中运用的数学思想是;

A.数形结合思想B.整体思想C.分类讨论思想D.类比思想

(2)运用上述方法,解方程组隐T>2整-R=：；

⑶已知关于x,y的方程组匿:勺解为直接写出关于m,几的方程组

ta1(m+2)-3/?1n=c1俅廨

(a2(m+2)—3b2n=c2,

⑷对于有理数％,y,定义新运算：x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常数，等式右边是通常的加法和乘法

运算.已知3*5=15,4*7=28.求1*1的值.

题型06同解方程组问题

方法技巧：将两个方程组中不含参数的方程联立，解出公共解，代入含参数的方程，列一元一次方程求参

数。

【典例6].（25-26七年级上•贵州铜仁♦月考）已知关于％、y的方程组「二7,=21和S2的

（ax+by=-1{lax+3by=3

解相同，求（3a+b）202s的值.

【变式11（24-25七年级下•全国,课后作业）已知关于的二元一次方程组卷g=7的解与或+5y=

1的其中一个解相同，则〃的值是.

【变式2].（25-26八年级上•全国•假期作业）方程组+31=-5与方程组付+9=2的解相同，求

（ax—by=4（x—zy=«

2a+3b的值.

【变式3】.（25-26七年级下•全国裸后作业）已知方程组窿密;二：和方程组的解相问，

求（2a+b）3的值.

题型07方程组的错解复原问题

方法技巧：正确解代入所有方程，错解代入未看错的方程，联立得到关于参数的方程组，求解参数复原原

方程组。

ax+|y=15（队人为常数），

【典例7】.（2025七年级上•全国•专题练习）小多和小晓一起解方程组

4ar-hy=—2

j二二:，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解x=5

小多看错了上面一个方程，得到方程组的解

y=4

则方程一ax-b=0的解是（）

A.X=10B.x=-4C.x=2D.x=-10

饵时‘甲看错了方程

【变式1].（24-25七年级下出肃武威•期末）甲、乙两人同解方程组

①中的a,解得乙看错了方程②中的匕，解得

⑴求正确的a,b的值；

⑵求原方程组的正确解.

2tM3）时，甲看错了

【变式2].（25-26八年级上•宁夏中卫•期末）甲、乙两名同学在解方程组

_7

%=

方程①中的a，解得2,乙看错了方程②中的从解得j含,请你根据以上结果，求出a和匕的值.

ty=-2

巴士索翦甲解得x=6

【变式3].（25-26七年级下•全国•课后作亚）甲、乙二人同解一个方程绢:

V=7

乙解得经检查，甲仅看错了方程①中y的系数，乙仅看错了方程②中工的系数•求方程组正确的解.

题型08含参数方程组的解的情况判断

方法技巧：将方程组化为『逐*?丫"巧根据也、*、且的关系判断：相等则无数解，前两相等后不等则

（a2x+b2y=c2a2b2c2

无解，前两不等则唯一解。

【典例8].（23-24七年级下•江苏泰州・月考）若方程组有唯一解，则呢的值应当是（）

A.a工2,b为任意实数B.a=2,b=2

C.a=2,b工2D.a,b为任意实数

【变式1】.（25-26七年级下•全国•单元测试）已知关于％y的方程组其中。力为整数.若

方程组有无穷多组解，求实数a与b的值.

【变式2].（22-23七年级下•山西吕梁•月考）阅读与思考

下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.

二元一次方程组解的情况的讨论

我们知道，二元一次方程组『612y的解法主要有代入消元法和加减消元法，它的解的情况有三

种.一是唯一•解，例如方程组,有唯一-解片:M；二是有无穷多个解，例如方程组[上_么=

（%—y=z=­1（/X十=—z

有无穷多个解：三是无解，例如方程组b:1:;二h无解.下面我们讨论一下方程组居二:;、二:，在

什么情况下有唯一解，有无穷多个解或无解.我们先利用加减消元法解方程组卜逐+卜、

）

{,azx+b2y=C2[2

解：①xg-②xa「得（瓦g-力2。】）'=-c2al.下面我们分几种情况讨论：

无_。也-c2bl

（1）当bg-Ba-o,即最工费时，y=：：：：「：：：：，进而可得方程组的唯一解为《二既:二黑.

/-biOz-bzOi

（2）当仄。2—力2al=0,即[='时，

①若eg-c2al=。，即也=3也就是父=餐=2，方程组有无穷多个解；

②若。1。2-C2%HU,即能工3,也就是L=方程组无解.

任务：

⑴上面小论文中的分析过程中，主要体现的数学思想是（填选项）.

A.整体思想；B.分类讨论思想；C.数形结合思想

（2）请参照小论文提供的方法直接写出下列方程组解的情况：

①心落=7②]二乳窑口「

⑶运用小论文提供的公式，解方程组匕二；匕[

\X十jy—o

【变式3】.（23-24七年级下•广东肇庆•期末）先阅读下列知识，然后回答后面的问题团

二元一次方程组产”:2y=J的解的情况有以下三种：当巴=*=2时,方程组有无数个解；当&=华工人

（a2x+b2y=c2。23c2a2b2c2

时，方程组无解；当瓶工?时，方程组有唯一解.

0-2名

⑴判断二元一次方程组K:犷以的解的情况：：判断二元一次方程组管）务工的解的

情况：.

（2）小明在解下面的二元一次方程纽时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现〃10=8〃,他知道这是不可能的，

但是又找不到错误的原因，请你解释一下.

解方程组：[：%+'=喝

（4x+2y=8②

解：由（£）得）/=5-2不，代入（^）得4%+2（5-2%）=8,得10=8

题型09二元一次方程组的实际应用

方法技巧：审清题意，找出两个独立等量关系，设两个未知数，列方程组求解，检验解是否符合实际意义

（如正整数）。

【典例9】,（25-26七年级下•全国•课后作业）一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的

后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需51秒.若

«5

动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是,动车组的速度是.

【变式1].（25-26八年级上•河南开封•月考）某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成.如

果每大加工120个零件，那么在规定时间内只能完成任务的90%：如果每大加工150个零件，那么可提前1大

完成任务，且多加工50个零件.求规定的时间和这批零件的总数.

【变式2】.（2026七年级下•全国•专题练习）某城市准备对市区内的一段19.2km长的河道进行综合治理.该

市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成.甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要

离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工24m.乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工

速度不变，乙队每天比原来多施工16m,结果工程如期完工.那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？

【变式3].（23-24七年级下•浙江温州•期中）探究学校校服订购的方案.

素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子.下表

是学校前两年的购买记录.

年份/年衣服数量/件裤子数量/件总价/元

2022100807300

2023120607500

素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元.为保证各年级

段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版.

［任务1］分别求出旧版衣服和IE版裤子的单价.

【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过8c件，裤子数量不超过50件.若学校恰好用

了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？

【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花贽9200元订购这批校服.已知七年级订购的衣服数量占所

有衣服和裤子总数量的;，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有______件.（请直接写出答案）

4

题型10新定义下的二元一次方程（组）求解

方法技巧：先精准理解新定义规则（如运算、特殊数、关联值等），将新定义表述转化为二元一次方程或

方程组，结合定义中的限制条件（如数字不为零、互不相同等），按常规解法求解，最后验证结果是否符

合定义要求。

【典例10］.（24-25七年级下•山西吕梁•期末）对于有理数％,y,定义新运算：x*y=ax+by,x0y=

ax-by,其中a,b是常数.例如：3*2=3a4-2b,201=2a-b,已知3*2=-1,201=4,则根

据定义可以得到［-1.

回答下列问题：

⑴a=,b=；

⑵若（x*2y）4-（%0y）=10,求无一y的值;

⑶若关于x，y的方程组靠1的解也满足方程％-'=9,求?n的值.

【变式1］.（24-25六年级下•上海闵行•期末）对于有理数，y,定义新运算:=ax+by,x0y=ax-by,

其中a.b是常数.例如，3*2=3a+2b.20l=2a-b.

已知3*2=-1,201=4,则根据定义可以得到：代+22=7

I2a-b=4

⑴a=,b=；

（2）若义*y+%82y=6,求无+y的值；

⑶若关于％,y的方程组｛，短21］；的解也满足方程“一、二%求m的值；

⑷若关于力y的方程叫盛彘）品的解为｛；二2则关于''的方程组

甘;产，黑科+：八i的解为________•

k3az（2x-y）05b2a+2y）=c2

【变式2］.（24-25七年级下•福建福州•期中）定义：对任意一个两位数Q,若a满足个位数字与十位数字互

不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个"相异数''的个位数字与十位数字对调后得到一个

新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）.

例如：a=12,对调个位数字与十位数字得到新两位数21,新两位数与原两位数的和为21+12=33,和

与11的商为33+11=3,所以八12）=3.根据以上定义，回答下列问题：

⑴下列两位数：20,52,44中，“相异数”为；

⑵如果“相异数〃b满足/"(b)=4,直接写出所有“相异数*的值：

(3)如果m,九都是“相异数〃，且m+九=100,请判断/(m)+/S)-10值是否为常数，并说明理由.

【变式3】.(25-26七年级上•北京•月考)对于二元一次方程x-2y=2的任意一个解｛；二:，给出如下定

义：若㈤>|n|,则称向为方程2y=2的“关联值"；若|m|<|n|,则称|川为方程x-2y=2的“关联值〃.

(1)当x=0时，直接写出方程％-2y=2的“关联值”为；

⑵若“关联值”为4,直接写出所有满足条件的方程的解为；

⑶直接写出方程x-2y=2的最小“关联值”为.

强化训练

一、单选题

1.方程组16、+2y=32，下列步骤可以消去未知数％的是()

(3x-3y=-5②

A.①X3+②X2B.①X3-②X2C.①-②X2D.①+②X2

3

2.方程组1言?二:1r5的解满足小V互为相反数，则血为()

A.-5B.-4