中考数学二轮专项复习-几何综合题 （含答案）

几何综合题

类型一动点型探究

1.综合探究

已知点E是边长为2的正方形力8C。内部一个动点，始终保持N4EQ=90°.

【初步探究】

(1)如图①，延长。E交边3c于点立当点尸是3c的中点时，求器的值；

AE

【深入探究】

(2)如图②，连接CE井延长交边4。于点设当点V是/。的中点时，求器的

AE

值.

第1题图

2.综合运用

如图，在平面直角坐标系中，矩形45CQ的顶点C在原点。处，已知点6(8,

0),D(0,6),连接ZC,E是CD上一动点(不与点C,。重合)，过点E

作E尸〃4C交力。于点E过点E作EG,所交8。于点G,连接尸G.

(1)若DE=CG,求证：4DEF会4CGE；

(2)设。£=〃，用含。的式子表示△EFG的面积，并求出△EFG面积的最大值.

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第2题图

3.已知ZOAB=90°,N/8O=30°,斜边03=4,将RtZ\O4〃绕

点。顺时针旋转60°,如图①,连接5c

(1)填空：ZOBC=

(2)如图①，连接/C,作OPL4C,垂足为P,求。P的长度;

(3)如图②，点/，N同时从点。出发，在△0C3边上运动，M沿OTC—B

路径匀速运动，N沿O-B-C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点

加的运动速度为L5单位型，点N的运动速度为1单位/秒.设运动时间为x秒,

△OMN的面积为外求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少?

H

图①图②

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第3题图

类型二动线型探究

1.(2024佛山一模节选)综合探究

如图，点-E是射线上的动点，以Z5为边在射线力。上方作正方形/3CD

连接。£,作。上的垂直平分线FG,垂足为从/G分别与直线3C,AD,DC交

于点"，F,G,连接EG交直线8C于点K.

(1)设力3=4,当E恰好是的中点时，求。尸的长；

(2)若DG=DE,猜想"G与/E的数量关系，并证明.

2.综合探究

如图①，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点力在x轴的正半轴上，点A(5,

0),3,4),直线/：y=x+t(-5</<0)交CM边于点Q,交AB边于

点£,点Z与点"关于直线/对称，连接A'D,A'E.

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（1）当，的值为多少时，E为43的中点；（直接写出结果，不要求写出解答过

程）

（2）如图②，设△/TQE的边©D和⑷石分别与BC交于点M,N.记四边形DENM

的面积为S,求S关于H勺函数表达式,并求出，的取值范围.

3.（2024佛山南海区二模）综合探究

如图，在平面直角坐标系中，点。为原点，口的顶点8,。在x轴上，A

在y轴上，OZ=OC=2OB=4,直线（-2W/W4）分别与x轴，y轴，

线段4。，直线48交于点£,F,P,Q.

（1）当，=1时，求证：，4P=OP；

（2）探究线段/P,P。之间的数量关系，并说明理由；

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(3)在x轴上是否存在点/，使得NPMQ=90°,且以点A/,P,。为顶点的

三角形与△力0B相似，若存在，请求出此时，的值以及点"的坐标；若不存在,

请说明理由.

类型三动面型探究

1.如图①，在平面直角坐标系中，O为原点，矩形O/3C的顶点/(4,0),

C(0,3).以点。为中心，逆时针旋转矩形Q45C,得到矩形O/5C,点4,B,

。的对应点分别为4,C.

(1)如图②，当点C落在ZC上时(不与点C重合)，求点方的坐标；

(2)如图③，OA，交BC于点、D,当08恰好平分N/04时、求的长.

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2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形的顶点4(4,0),C(2,

2V3),矩形的顶点。(0,V3),F(-4,0).

(1)如图①，点E的坐标为，点3的坐标为;

(2)将矩形ODE/沿水平方向向右平移，得到矩形。7TE尸，点O,D,E,F

的对应点分别为。'，D\Ef,产.设。0，=3矩形。3石尸与菱形CM8C重叠部

分的面积为S当边与AB相交于点G,边OC分别与DE,石尸相交于点H,

M,且矩形OQEF与菱形重叠部分为六边形时，试用含，的式子表示S,

并直接写出，的取值范围.

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3.(2024广东22题13分)【知识技能】

(1)如图①，在△/3C中，QE是△/BC的中位线.连接CQ,将△/DC绕点。

按逆时针方向旋转，得到△Z9C”.当点片的对应点/与点力重合时，求证：AB

=BC.

【数学理解】

(2)如图②，在△力5c中(AB<BC),OE是的中位线.连接CO,将4

ZQC绕点。按逆时针方向旋转，得到△力连接CC,作的中

线。F求证：2DFCD=BDCC.

【拓展探索】

⑶如图③，在△然。中，tan点。在初上，力。=芝过点。作。E_L〃C,

垂足为E,BE=3,CE*.在四边形ADEC内是否存在点G,使得N/G/)+ZCGE

=180°?若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.

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类型一动点型探究

1.解：（1）如解图①，,・•在正方形/BCD中，ZAED=ZADC=ZC=90°,AB

=BC=CD=AD=2,

AZ2=90°-N3=N1,

/.tanZ2=tanZ1,

・

-

**4E-CDci>

・・/是5c的中点，

,DE_CF_1

.9AE~CB~V

第1题解图①

(2)如解图②，延长。石交边5C于点尸，

・・・M是ZQ的中点，NAED=90°,

:.AM=MD=ME=5D=1,

AZ2=Z1,

在RtZ^MOC中，MC=JMD2+CD2=J12+22=A/5,

ACE=MC-ME=VS~1.

・・,在正方形/BCO中，AD//BC,

AZ2=Z4,

VZ1=Z3,

AZ4=Z3,

:.CF=CE=^—\,

与⑴同理可得，笔=告=等.

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B

第1题解图②

2.(1)证明：・・•四边形43CQ是矩形，

:.NADC—乙DCB—90。,

V£G±£F,AZFEG=90°,

：.ZCEG+ZFED=90°,

♦：NDFE+NFED=90°,

・・・/DFE=/CEG,

♦；DE=CG,/FDE=/ECG,

：.△DE/丝△CGE(AAS)；

(2)1?：VB(8,0),0(0,6),

，C3=8,CD=6,

・・•四边形/BCQ是矩形，

/.AD=BC=^y

在RtzX/fDC中，AC=JAD2+CD2=10.

U：EF//AC,

:.ADEFsADCA

滥造，艮哼与，解得所专

由(1)知NObE=NCEG,

■:EF〃AC,

：.ZDFE=ZDAC,

:・NCEG=NDAC,

.：/ECG=/ADC,

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.♦.△CEGs△。/C,

・喘嚏，即等笔解得左邛6一），

・・£.6=》尸即=*%><96_。）=软6。_标）=_|^_3）2+《,

Z/34Z4,"o

V-^2s<0,0<a<6,

24

.••当4=3时，的面积有最大值，最大值为等.

O

3.解：⑴60；

【解法提示】由旋转的性质可知，OB=OC,N8OC=60°,.二△06C是等边

角形，：.ZOBC=60°.

(2)在中，。8=4,/ABO=30°,

AZAOB=60°，OA=OB=2,AB=OBcos30°=2A/3,

由旋转的性质可知，OB=OC,ZBOC=60°,

•♦.△08C是等边三角形，

:・/AOB=/OBC=60。,BC=OB=4,

：.OA//BC,45即为△/OC的高，

：.SMOc=-AOAB=-X2X2y/3=2y/3

229

VZABC=ZABO+ZOBC=90°,

：.AC=JAB2+BC2=J(2V3)2+42=2V7,

9：OP-LAC,

：.SMOC=^AOOP,B[J1X2V7-OP=2V3,

解得OP=*

一题多解法

由旋转的性质可知，OB=OC,

NBOC=60°,

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.♦.△O8C为等边三角形，

；・BC=0B=4,ZOBC=60°,

TN45。=30。,

：.OA=^OB=2,AB=^-OB=2V3,ZASC=90°,

:.BC〃OA,AC=]用+8C2=2夕，

:・/PAO=/ACB,

・smZACB=-=--,

AC7

：.sinZPAO=sinZACB=^-

.OPV21

OA7

历〜2VH

：.0P=-0A=--

77

⑶根据题意得，〃运动到点。时，所需时间为白=«秒），N运动到点B时，所

需时间为：=4（秒），当ALN相遇时，所需时间为7^=个（秒），

XIXIX•OJD

二分三种情况讨论:

①当0＜工七时，点〃在。。上，点N在03上，如解图①，过点N作NELOC

•D

于点E,

则N£=OMsin60°=条，

・_leuAT_1\z[uX/6_3百7

••y——OM'NE——X1.5xX—x—

・.・亨〉0,

，当产轲一最大=苧）铲=苧;

②当*“V4时，点加在8。上，点N在03上，如解图②,

5A/=8-|x,过点〃作A2，OB于点凡

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：.MF=BMsin60°=y(8-|r),

・・・y=gONNE=*f(8—|x)=2掠一唳2,

・.・一手VO,

・••当x=_《=_^h=，时，

2a_2x3V33

8

人大=2魂X；¥xg)2=竽；

③当4WxV?时，点M,N都在NC上，如解图③,

°

W=12-|x,

过点。作。G,8。于点G,

则OG=AB=2®

.\F=1W-OG=1(12-|X)-2V3=一袋+12后

V-2-<0,

・■•当x=4时,j“大=2A/5.

综上所述，当时，歹取得最大值，最大值为

第3题解图

类型二动线型探究

1.解：（1）如解图①，连接ER

在正方形48CO中，AB=AD=4,

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・.,£是中点，

：.AE=EB=2,

•・•"为线段DE垂直平分线上一点，

：.DF=EF,

设。E=x,贝iJ/E=4—x,

在RtZX/FE中，根据勾股定理得，(4-x)2+22=x2,

解得；•DF=:；

第1题解图①

(2)〃G=V14E证明如下：

・・・G尸垂直平分。E,

：.DG=GE,ZDHG=90°,

,:DG=DE,

:.DG=DE=EG,

•••△QGE是等边三角形，

:・NGDE=60°,

・・,正方形/3CQ中，ZCDA=ZDAB=90°，

：.ZADE=ZDGH=30°,

：.AE=^DE=DIh

■:/DAE=/DHG=90°,

:•△ADEQXHGD,

:.AD=HG,

在RtZi/OE中，AD=WAE,

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：.HG=y/3AE.

2.解：(1)/=一,时，E为的中点；

【解法提示】・・・/(5,0),四边形CU3C是菱形，・・・O4=3C=5,OA//BC.VC(-

3,4),A5(2,4).丁石为45中点，,%，2),将点£代入尸x+z中，得/!

—2,解得

(2)如解图，记5c交y轴于点H,

丁四边形CM5C为菱形，力(5,0),C(-3,4),

：・NOAE=/C,BC//OA,OA=BC=5,C"=3,OH=4,

・••在Rt^CCW中，tanC=N=J

CH3

由对称的性质，得⑷D=.4D,ZA,=ZOAE=ZC,NADE=/ADE,：.tanA'

_4

由题意可知，/4DE=45°,

:./A，DE=/ADE=45°,

AZArDA=90°,

：・/AMN=90°,DM=OH=4.

在〉=工+，中，令y=0,得x+f=0,解得x=—£,：.OD=—t,AD—5+t.

4

VDAf=4,tan/1=-,

：・"M=A'D—DM=AD—DM=1+r,

・••在Rt/Vl'A/N中，MN=Z'M-tan/'=1(l+。，

:・S“MN=+4MMN制+t)2.

如解图，过点£作EK_LCM于点K,

设。K=x,则4K=5+z—x.

VZEDK=45°,ZEKD=90°,

:.EK=DK=x,

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在RtZXZEK中，9：tanA=^=^A—解得

AK35+t—x37

・・・S△/以=S△的=/z>EK=gx（5+r）X竽=|（5+明

•*•s=S乂，DE—S“MN=^5+。2—a1+/）2=一黑+^t+等.

/O4<14JL乙人

•：*D>DM,A5+/>4,A/>-l,

又二一5V/V0,

・1的取值范围为一1V/V0.

第2题解图

3.(1)证明：由CM=OC=2O8=4知，OC=4,OB=2,

又二四边形ABCD为平行四边形，

:.AD=BC=6,

则点48的坐标分别为(0,4),(-2,0),

当y=4时，y=x+f=4,

则x=4—Z=4—1=3="。，

即点尸(3,4),

：.AP=DP；

(2)解:PQ=242APf理曰：

由点Z,8的坐标，得直线45的表达式为y=2x+4,

联立上式和y=x+z得2x+4=x+z,

解得x=f—4,

即点。(，-4,2Z-4),

在直线歹=x+f中，当y=4时，x=4—t,

・・・点?(4一/,4),

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则力尸=4一，，

由点尸，。的坐标，得尸0=2鱼(4一。=2岳P；

(3)解：存在.如解图①②③，过点P作尸从Lx轴于点H,过点Q作QIlx轴于点

/,

设点0),

由(2)知，点尸,0的坐标分别为(4—34),(Z-4,2/-4)

则Im-4+tI,PH=OA=4,IM=Im~t+4I,01=I4-2/I,

VZPMH+ZQMI=W°,ZQMI+ZIQM=90°,

JZIQM=4PMH,

又♦：/PHM=/MIQ=90。,

:ZHMS^MIQ,

•・•以点P,。为顶点的三角形与相似，

则PM:QM=2或右

・・・RtZ\P"M和Rt^MIQ的相似比为2或5

1

则PH:MI=HM：IQ=2或右

当加＞0时,如解图①②，

当相似比为2时，如解图①，

PHMH仁

—=—=2,

M/QI

则P"=2A//,MH=2QI,

即4=2。〃一(+4)且4-f—〃7=2(2f—4),

第3题解图①

解得〃?=；,

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即点0)，，=♦；

JJ

当相似比为刎，如解图②,

M/—'Q!-2,

则77/=刎，MH=；QL

第3题解图②

则2X4=〃?一«—4)且2(a—4+/)=4—23

解得加=?，,=|,

则点0)一=9；

当〃?V0时，如解图③，

第3题解图③

当相似比为2时，如解图③，

竺="

MlQI一

则P〃=2A〃，MH=2Q1,

则4=2[«—4)一向且4—Z—加=2(4—21),

解得〃?=—7,t=—1,

即点M(—7,0),，=—1；

当相似比为;时,

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经验证，该情况不存在,

综上所述，点0),或M(?,0),或M(—7,0),，=—1.

类型三动面型探究

1.解：(1)如解图，连接。夕，AB，,

・・7(4,0),C(0,3),

：.OA=4,OC=3,

由旋转的性质，得。。=。。=3,04=04=4,

：.ZOCA=ZOCCf

***tanZOCA=器=\

0C3

/7'C,4

tanN夕

；・NOCA=/B6C,

：・/OCC=/B，()C,

：.AC//OB\

・・・四边形/3C。为矩形，

：.AC=OB,.

・・・四边形。。才是平行四边形，

:・AB，=OC=3,AB，〃OC,即力*〃y轴，

・•・点/的坐标为(4,-3)；

第1题解图

(2)・・・。8平分/©。4

・・・NDOB=NA()B,

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•.・BC//O/,

J/DBO=/AOB,

：.ZDOB=ZDBO,

：.BD=OD,

设CQ=x,则8O=8C—CQ=4—x,

/.OD=4—Xf

在RtZ\OCQ中，由勾股定理，得OZ)2=CZ)2+OG,

/.(4—x)2=x2+32,解得了=：,

8

:.BD=4—x=25.

8

2.解：(1)(-4,V3),(6,2V3)：

【解法提示】,・•四边形。。£尸为矩形，。(0,V3),F(-4,0),・・・£(—4,V3),

•四边形。力4。为菱形，力(4,0),：.BC=OA=49VC(2,2V3),2遮).

(2)如解图，过点C作CN1OA于点N,

VC(2,2V3),

••,ON=2,CN=2后

/.tanZCON=^j=W=叵

：.ZCON=60°,

过点〃作轴于点R,

♦:EF=a,

:・HR=EF=®

VZCOA=60°,

：・OR=』^-=*=1,

tan60°x/3

・・・H(1,V3),

由平移可知OO'=EE'=t,

第20页共24页

・・・£(—4,V3),

：.E\-4+t,V3),

•»E'H—1—(—4+f)=5—t,

9：ZE,HO=ZHOF,=60°,

・・・E'"=£77tan600=75(5—。，

・・•在Rt△力GO'中，AOl=OOf-OA=t-4,ZGAOf=ZCOA=60°,

・・・GO'=4O'tan600=V3(/-4),

；・S=S矩形00£尸一S&WHE，—S△/GO=4A/5—g(5—f)2—V5(L4)2=-

9技_哈其中，的取值范围是4VZV5.

r//£____B

F'RNA0

第2题解图

3.(1)证明：・・・。£是△/BC的中位线，

•*-DE=~BCyAD=~^AB,

由旋转性质得/。=。心

:・AB=BC；(3分)

(2)证明:如解图①,连接44。

♦.,。石是。的中位线，厂为的中点，

：.DA=BD,

・♦・是△ZHT的中位线，

：.2DF=AA\

由旋转性质得△Z'QC'gAA。。，ZA,DA=ZC,DC,A'D=AD,C，D=CD,

・A，D—AD

CDCD

：・4A'DAs/\C'DC,

第21页共24页

■.■A'A_DA-，

CCDC

•,•2DF_BD，

CCDC

：・2DFCD=BDCC'；（7分）

第3题解图①

（3）解：存在点G,使得N/GO+NCGE=180°,证明如下：

如解图②，过点。作。尸〃3C交力。于点R过点。作于点“，DF马

CH交于点G,连接EG,AG,

•：DELBC,

AZDEB=90°,

在Rt/XBQE中，tanS=pBE=3,

•3

34..

：.DE=4fBD=5,cossin5=p（8分）

OKJ

在Rt^BC〃中，