重庆市綦江区2025-2026学年高一数学下学期期中试题【含答案】

重庆市高级高一下学期半期考试数学试题一､85分共合题目要求的．1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】由题意知集合，，故.2.在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解.【详解】因为，所以，所以复数的虚部为,故选：C.3.要得到函数的图象，只需将的图象（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】A【解析】第1页/共17页

【详解】易知，故要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位长度.4.（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】转化，再利用两角和的余弦公式即得解【详解】由题意，故选：A【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题5.在中，，那么此三角形（）A.解的个数不确定B.无解C.有一解D.有两解【答案】B【解析】【分析】借助正弦定理计算即可判断.【详解】由正弦定理可得，即，由，显然无解，故此三角形无解.6.复数满足，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D第2页/共17页

【解析】【分析】根据复数的几何意义求解即可.【详解】复数满足，其对应的点是以原点为圆心，为半径的圆上的点，复数几何意义是复数对应的点到点的距离，所以的最大值为，故选：D.7.已知中，若，且点在上，则（）A.B.C.D.1【答案】C【解析】【详解】中，由，得，，又，且点在上，则，所以.8.在的对边分别为，，的内切圆的半径为（）A.B.1C.2D.【答案】D【解析】【分析】结合正弦定理、余弦定理，由三角形的面积公式列方程，化简求得的值.【详解】依题意，由正弦定理得，，第3页/共17页

,，由于，所以，所以，由于，所以.，由余弦定理得，，则，，其中是三角形内切圆半径，即，解得.故选：D二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若为钝角，则【答案】AC【解析】【分析】利用向量的坐标运算计算即可.【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确；对于B选项，当时，,解得，故B选项不正确；对于C选项，若，则，所以，所以C选项正确；对于D选项，依题意，，且，，故，故D选项错误.第4页/共17页

10.某个简谐运动可以用函数，来表示，其中部分图象如图所示，则（）A.B.该简谐运动的频率为2，初相位为C.直线是的一个对称轴D.点是曲线的一个对称中心【答案】ACD【解析】A的图象与性质可得断选项ABC求解对称轴即可判断C；选项D，，利用性质，求出的对称轴和对称中心，即可判断出选项D的正误.【详解】由图知，由图像知，又，所以，又由五点作图法知，第三个点为，所以，得到，所以，第5页/共17页

对于选项A：设，由，得到，即，因为对应的是方程在轴右侧的第一个与第二个解，故,所以，故选项A正确；对于选项B知初相位为B错误；对于选项C：令，解得，当时，，故直线是的一个对称轴，选项C正确；对于选项D：因为，由，即，故点是曲线的一个对称中心，故选项D正确；､重心､重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，且，以下结论正确的是（）A.B.C.D.若，则【答案】AC【解析】【分析】A选项，作出辅助线，得到，由向量数量积公式得到；B选项，第6页/共17页

作出辅助线，利用向量数量积的几何意义得到；C选项，CD余弦定理和同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，故，从而.【详解】A选项，延长交于点，由于点是的重心，可得，所以，故A正确；B选项，过的外心分别作的垂线，垂足为，如图，易知点分别是的中点，则，故B项错误；C选项，因为点是的重心，所以，第7页/共17页

故，由欧拉线定理可知，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，即，所以，则，故C项正确；对D选项，作于，则为中点，，由余弦定理可得，则，设外接圆半径为，则，即，则，则，故D项错.故选：AC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.已知与的夹角为30°，为与在向量上的投影向量为______．【答案】【解析】【分析】利用投影向量的公式计算即可.第8页/共17页

【详解】由已知则向量在向量上的投影向量为.故答案为：.13.已知为锐角，，则__________．【答案】【解析】【分析】借助同角三角函数基本关系及两角差的正弦公式计算即可得.【详解】由，为锐角，则，由为锐角，则，又，故，则，故，又为锐角，故.14.已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】根据已知，将问题化为内恰有2个整数，再分类讨论求参数范围.【详解】由题设，且，第9页/共17页

由在区间上恰有2个零点，只需内恰有2个整数，即，，当，则，当，则，当，则，无解，同理时，均无解，综上，的取值范围为.四､解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知．（1）若的夹角为，求；（2）若，求与夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】1）借助数量积与模长的关系及数量积公式计算即可得；（2）借助平面向量垂直定义与平面向量夹角公式计算即可得.【小问1详解】；【小问2详解】由，故，即，则.16.在中，内角的对边分别为，且（1）求角；第10页/共17页

（2）若，且边上的中线，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得；（2）借助平面向量线性运算及模长与数量积关系计算可得，利用余弦定理计算可得，即可得、，从而可计算出，即可得其周长.【小问1详解】由正弦定理将角化为边可得，即，即，由余弦定理可得，即，故，即，又，故；【小问2详解】，则，即，由余弦定理可得，故，，则，故的周长为.17.已知函数，的最小正周期为．（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值；第11页/共17页

（3）求不等式的解集．【答案】（1），.（2），，，．（3）．【解析】1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用整体代入法可得函数的单调性；（2）利用整体代入法可得值域，即可得解；（3）根据三角函数的性质解不等式即可.【小问1详解】由题意，又函数的最小正周期为，则，，所以，即，当，即，时，单调递减，的单调递减区间是，；【小问2详解】，则，故，，此时，即，，此时，即；第12页/共17页

【小问3详解】由已知，即，所以或，，即或，，所以不等式的解集为．18.如图，A，B是单位圆上的相异两定点（（C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B的面积为．（1）记，求的表达式；（2）若①求的取值范围；②设，记，求的最小值．【答案】（1）（）（2）①；②【解析】1）利用三角形面积公式和数量积的定义，写出的表达式；（2）由，将数量积转化为三角函数，求函数值域即可；利用向量共线将用t表示，求函数的最值.【小问1详解】第13页/共17页

因为，，所以（【小问2详解】①设，，则，，所以，，又，所以，则．②设，则，因为，所以，所以，因为，所以，即，化简得，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为．第14页/共17页

【点睛】因为，M，C三点共线，所以表示向量和的数乘关系，设，借助，可得.19.布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是P为为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题：（1）若，求的大小及的值；（2）已知的条件下，解下列两个问题：①若，求的值；②若，求S.【答案】（1）（2）①12；②【解析】1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值；（2）由，可得，对于①在、第15页/共17页

、中由余弦定理结合代数运算可得，再根据面积可求，平方