2026年高考数学临考冲刺卷03（全国二卷适用）（考试版及全解全析）

1/22026年高考数学三轮临考冲刺卷03（全国二卷通用）（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．记集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（

）A．4 B．1 C． D．3．已知为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．在等比数列中，，，是的前n项和，则（）A.15 B.31 C.48 D.635．已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．26．一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（

）A． B． C． D．7．已知函数，且在上有且只有一个零点，则（

）A．0 B． C． D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（

）A．样本数据落在区间内的频率为0.45B．若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型民营企业能享受到减免税政策C．若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为500万元10．若公比为的等比数列的前项积为，，，，则（

）A． B．C．中最小 D．使成立的最小正整数的值是405011．已知是函数的极值点，则（

）A．实数a的取值范围是B．函数的图象关于点对称C．存在实数a，使得是的极大值点D．若，则第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知，则.13．在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于A，B，C，D四点，若点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，圆O的直径长度是双曲线C实轴长的3倍，则双曲线C的离心率为.14．已知圆锥的母线为3，底面半径为1，球与圆锥的侧面、底面均相切．球与球外切，且与圆锥的侧面相切．球心位于圆锥的顶点和之间，则球的体积为________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）记内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求角的大小；(2)若的面积为，的角平分线交于点，且，求的周长.16．（15分）如图，四边形是等腰梯形，是的中点，是与的交点，将沿折到的位置.(1)证明：平面；(2)若平面，求二面角的正弦值.17．（15分）已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为.(1)求的方程；(2)点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点.①求证：直线过定点；②若，求的面积.18．（17分）已知函数.(1)对任意，是的必要条件，求的最小值；(2)对任意，函数存在两个零点.（i）求的取值范围；（ii）对于（i）中给定的，证明：当取得最小值时，.19．（17分）形如的公式称为多项式定理，其中为该多项式展开式中对应项的系数，该定理在解决概率问题中有着广泛的应用.，(1)已知，分别求的奇数次方与偶数次方的系数和；(2)现有三名水平相当的篮球运动员进行投篮训练，规则如下:按照甲乙丙的顺序依次投篮，若投中则继续投篮直到未投中为止，然后换下一人继续练习，直到三人均完成练习.每人投篮投中一次则计1分，每人每次练习投中的概率均为，且每次投篮互不影响.①记为甲练习投篮得分，证明:；②若三人投篮次数均不超过七次，求三人总得分为偶数的概率(保留两位小数).

2026年高考数学三轮临考冲刺卷03（全国二卷通用）（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．记集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，可得，由可得，即，得，解得，于是，，故．故选：A．2．已知复数满足，则（

）A．4 B．1 C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以所以.故选：B3．已知为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】A选项，，与可能平行或异面，故A错误；B选项，，则，故B错误；C选项，由，过直线作平面，与平面相交于直线，则有，由，有，又，所以，故C正确；D选项，，则不一定垂直于，如可以在内，故D错误．故选：C.4．在等比数列中，，，是的前n项和，则（）A.15 B.31 C.48 D.63【答案】B【解析】令等比数列的公比为，则，，解得，，所以.故选：B5．已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】因为，所以，两式相减得，即．又，所以，联立，解得,即．故选：C．6．一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设甲掌握该知识的概率为，记“甲回答正确”为事件，根据题意，，，.根据全概率公式，，代入已知，得：，解得.7．已知函数，且在上有且只有一个零点，则（

）A．0 B． C． D．【答案】A【解析】函数，由，得，而，解得，则，由，得，由在上有且只有一个零点，得，解得，而，因此，，所以.故选：A8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下图所示：因为点关于的对称点为，则，因为，且，所以，，所以，，可得，则，所以，，故．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（

）A．样本数据落在区间内的频率为0.45B．若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型民营企业能享受到减免税政策C．若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为500万元【答案】AB【解析】对于A，由，得，所以数据落在区间内的频率为，A正确；对于B，数据落在区间内的频率为，B正确；对于C，，年收入大于或等于400万元的有四组，其频率和是，所以符合条件的民营企业有家，C错误；对于D，数据落在区间内的频率为0.3，数据落在区间内的频率为，估计中位数为，D错误.故选:AB.10．若公比为的等比数列的前项积为，，，，则（

）A． B．C．中最小 D．使成立的最小正整数的值是4050【答案】ABD【解析】因为，所以，所以，又，所以，所以，A对，由，，可知单调递增，又，所以，所以，B对，当时，，当时，，所以最小，故C错，因为为正项递增数列，且，所以使成立的最小正整数的值是4050，D对，故选：ABD11．已知是函数的极值点，则（

）A．实数a的取值范围是B．函数的图象关于点对称C．存在实数a，使得是的极大值点D．若，则【答案】ACD【解析】因为，是函数的极值点，所以是的两个不等的实数根，所以，解得或，由，所以，故A正确；在函数的图象上取点,则关于点的对称点为，而，显然不恒等于，故函数的图象关于点不对称，故B错误；当是的极大值点时，，解得，当时，，所以当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以是的极大值点，故C正确；由A选项知，是的两个不等的实数根，所以，所以，由，因为，所以，故D正确.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知，则.【答案】1【解析】由知，，，同理可得.得到.故答案为：113．在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于A，B，C，D四点，若点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，圆O的直径长度是双曲线C实轴长的3倍，则双曲线C的离心率为.【答案】【解析】由已知圆的直径为4，又直径长度是双曲线C实轴长的3倍，所以，所以.因为点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，所以四等分点到圆心的距离为半径，且四点与原点构成的连线互相垂直.即如图所示：设圆与轴交于点N，所以，且，所以设是圆与双曲线的交点，所以或解得或或或，所以四等分点的坐标为,把代入中，得，解得，所以双曲线C的离心率.14．已知圆锥的母线为3，底面半径为1，球与圆锥的侧面、底面均相切．球与球外切，且与圆锥的侧面相切．球心位于圆锥的顶点和之间，则球的体积为________．【答案】【解析】依题意，圆锥的轴截面截球得球的大圆，且为圆锥轴截面等腰的内切圆，截球得球的大圆，该圆与圆外切，与都相切，设球、球的半径分别为，在等腰中，，则边上的高，由，得，解得，显然圆可视为平行于的中位线截所得小三角形的内切圆，而此小三角形与相似，因此，解得，所以球的体积.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）记内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求角的大小；(2)若的面积为，的角平分线交于点，且，求的周长.15．【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理得，得，，2分，，，4分又，6分（2）由题知是的角平分线，则，7分，.，9分，即，，10分由余弦定理和，得，即12分的周长13分16．（15分）如图，四边形是等腰梯形，是的中点，是与的交点，将沿折到的位置.(1)证明：平面；(2)若平面，求二面角的正弦值.16.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）如图，连接.为的中点，，又且四边形为菱形，.

2分，又平面.

4分

与四边形为菱形同理，可知四边形为菱形，平面6分（2）由（1）可知即是边长为2的等边三角形，又平面，所以两两互相垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，已知，则，

8分设平面的一个法向量为，则，取.

10分设平面的一个法向量为，则取.12分故二面角的正弦值为15分17．（15分）已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为.(1)求的方程；(2)点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点.①求证：直线过定点；②若，求的面积.17.【答案】(1)；(2)①证明见解析；②.【详解】（1）设点，由，得，1分由点到轴的距离为，得，又，则，解得，3分所以抛物线的方程为4分（2）①由（1）得抛物线：的焦点，准线方程为，设，由轴，且点在抛物线上，得，6分直线方程为，由，得点，7分当时，直线的斜率，其方程为，9分整理得，因此直线过定点，当时，直线过点，所以直线过定点11分②由①知，，因此，，14分所以的面积15分18．（17分）已知函数.(1)对任意，是的必要条件，求的最小值；(2)对任意，函数存在两个零点.（i）求的取值范围；（ii）对于（i）中给定的，证明：当取得最小值时，.18.【答案】(1)(2)（i）（ii）证明见解析【解析】（1）∵对任意，是的必要条件，∴，在上单调递增，1分则，即在上恒成立，2分令，，在单调递减，3分4分（2）（i）因为对有两个不等的实根，所以有两个零点5分令，当，则，当，则，所以在单调递减；单调递增，7分，要使有两个零点，只需，即，9分令，在(0,1)单调递增；单调递减，11分(ii)令