江苏淮安市高中校协作体2025-2026学年度第二学期高二年级期中联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏淮安市高中校协作体2025-2026学年度第二学期高二年级期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=−1,2,x，b=2,−4,5，若a⊥A.5 B.2 C.1 D.−12.甲、乙、丙、丁四人排成一列，甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是(

)A.16 B.14 C.133.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为−5，则a=A.4 B.−3 C.−2 D.−14.已知向量AB=1,a,−2，AC=−3,6,6，若A，B，C三点共线，则A.−2 B.2 C.±2 D.−5.若An2=4Cn−1A.5 B.4 C.3 D.26.如图所示，四面体ABCD所有棱长均为4，则AB+AD+BC=A.43 B.26 C.7.已知空间四点A0,0,0，B2,1,1，C1,0,2，D5,2,m构成梯形，则实数mA.2 B.1 C.4 D.38.今天是星期三，再过10100天是星期几(

)A.星期三 B.星期五 C.星期六 D.星期日二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于空间向量，以下说法正确的是(

)A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B.若a⋅b<0，则a,b是钝角

C.已知向量{a,b,c}组是空间的一个基底，则{a,b,c10.下列说法正确的是(

)A.将3封信投入5个邮筒，不同的投法共有53种

B.6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法

C.从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法

D.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为11.设样本空间Ω={1,2,3,4}，且每个样本点是等可能的，已知事件A={1,2}，B={1,3}，C={1,4}，则(

)A.A与B不互斥 B.B与C相互独立

C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.P(A|C)=P(C|A)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知A1,0,1，B0,1,1，C1,1,0，则角∠BAC的大小为13.已知x+2xn的展开式中，二项式系数的和为128，则展开式的各项系数和为

(14.已知a=1,3,0，b=2,−2,1，则a在b方向上的投影数量为

，a在b四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)从包含甲、乙2人的6人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？(结果用数字作答)(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；(2)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；(3)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；(4)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．16.(本小题15分)如图，在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱(1)证明：EF//AC；(2)若直线A1B1与平面C1A1E所成角的正弦值为2317.(本小题15分)

某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在[20,70]内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：年龄段

类型[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]单次购物金额满188元81523159单次购物金额不满188元235911(1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？

(2)在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率．18.(本小题17分)已知x−(1)若展开式中只有第7项的二项式系数最大，求n的值；(2)当n=9时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，求a(3)当n=6，a=−2时，求二项式的展开式中系数最大的项．19.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ADC=60(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)已知PA=2，点E满足BE=λAP,0<λ<1,BD//(i)求λ；(ii)求平面PBD与平面PEC的夹角．

参考答案1.B

2.C

3.B

4.A

5.B

6.A

7.C

8.D

9.ACD

10.ACD

11.ABD

12.π3

/6013.2187

14.−43

；

；

；

；

15.解：(1)甲乙两人在中间两棒，则有A2从剩下4人选出2人排列到两边，有A4所以共有2×12=24种排法．(2)将甲乙绑定到一起，内部有2种排法，从剩下4人选出2人，有C4全排列3个元素有A33=6(3)先从剩下4人选出2人先排列，有A4将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有A3所以共有12×6=72种排法．(4)若甲在第四棒，乙在第一棒，则有A4若甲在第四棒，乙不在第一棒，则有C2若甲不在第四棒，乙在第一棒，则有C2若甲不在第四棒，乙不在第一棒，则有A2综上，共有12+24×3=84种排法．

16.解：(1)连接AC，由正方体可知AA1//C∴四边形AA1C∵AC⧸⊂平面C1A1E，A1∵AC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面C1∴AC//EF．(2)如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D−xyz，设AE的长为a，则A2,0,0，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)A1B1=(0,2,0)，设平面C1A1则n⋅A1设直线A1B1与平面C则sinθ=cosA∴AE=0,1,0，故AE∵

n=1,1,12，∴点B1

17.解：(1)由表可知，单次购物金额满188元的有：8+15+23+15+9=70人，

所以单次购物金额满188元频率为：70100=710，

所以5000人中，单次购物金额满188元大约5000×710=3500人，

故需准备3500个环保购物袋；

(2)记事件A为“第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元”，

记事件B为“第2次抽到的顾客单次购物金额满188元”，

所以P(A)=30100=310，P(AB)=31018.解：(1)若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式共13项，故n=12．(2)当n=9时，二项式为x−a展开式的通项为Tr+1令9−3r2=3，则r=4令9−3r2=0，则r=6又B=4A，所以84a6=4×126解得a=0(舍去)或a=6或所以a=6或(3)当n=6，a=−2时，二项式为x+2展开式的通项为Tk+1设第k+1项系数最大，则2kC整理得2⋅7−kk≥1k+16−k≥2，解得所以二项式的展开式中系数最大的项为T5

19.解：(1)因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC，设AC，BD交于点O，则OB=OD，又因为PB=PD，所以BD⊥OP，因为AC∩OP=O，AC，OP⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC；(2)(i)取PC中点F，则OF//PA且OF=12PA，由BE所以OF//EB，即O,F,E,B四点共面，因为OB//平面PEC，OB⊂平面OBEF，平面OBEF∩平面PEC=EF，所以OB//EF，因此OFEB是平行四边形，故OF=BE=12AP(ii)由(1)可知，BD⊥平面PAC，因为BD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAC，因为平面ABCD∩平面PA