广东深圳市聚龙科学中学等校2025-2026学年第二学期高一第一阶段质量监测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东深圳市聚龙科学中学等校2025-2026学年第二学期高一第一阶段质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(2,1)，b=(1,−3)，则a+2A.(4,−5) B.(4,7) C.(0,−5) D.(0,7)2.下列向量关系式中，正确的是(

)A.AB−AC=BC B.AB+AC3.已知|a|=2，|b|=1，且A.2 B.1 C.0 D.−14.关于平面向量a，b，c，有下列四个命题：①若a=b，则a与b可能共线；

②若a⋅b=0③若a=b，则a=b；

④若其中正确的命题是(

)A.①③ B.①④ C.②③ D.②④5.如图，在△ABC中，BD=4DC，则AD=(

)

A.15AB+45AC B.46.已知平面向量a=2,2，b=1,m，且2A.a⋅b=4 B.a//b 7.记▵ABC的面积为S，▵ABC的外接圆半径为1，且S=sin2A+sin2A.π4 B.π3 C.2π38.在▵ABC中，sin2A−sin2B−sin2A.3+3 B.23 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列选项中，正确的是(

)A.已知复数z满足1+i7z=5+i，z的共轭复数为2−3i

B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.圆台有无数条母线，延长后相交于一点，但它们的长度不一定相等10.已知平面向量a=1,−2，b=−4,yA.若a//b，则y=8

B.若a⊥b，则a在a+b方向上的投影向量是−35,−45

C.a与a+b的夹角为钝角，则11.已知a，b，c分别是▵ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(

)A.若▵ABC是锐角三角形，则sinB>cosA

B.若acosA=bcosB，则▵ABC是等腰三角形

C.若A=60∘，a=6，b=8，则符合条件的▵ABC有两个

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a→=(2,−1)，b→=(−1,m)，c→=(−1,2)，若13.如图所示，一个水平放置的三角形ABO的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′A′=2，那么原三角形ABO的周长是

14.在▵ABC中，点D在线段BC上，且满足|BD|=13|DC|，点E为线段AD上任意一点(除端点外)，若实数x，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

计算：

(1)(1+3i)+(−2+i)+(2−3i)；

(2)(4−i)(6+2i)−(7−i)(4+3i)；

(3)7+i3+4i．16.(本小题15分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cos B=(1)若b=4，求sin A(2)若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c17.(本小题15分)

如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60∘，M，N分别为AC，BC上的两点AN=12AC，BM=13(1)求|AM(2)求证：AM⊥PN．18.(本小题17分)▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin∠BAC+3cos∠BAC=0(1)求∠BAC；(2)求c；(3)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求▵ABD的面积．19.(本小题17分)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M．(1)求∠DMF的余弦值．(2)以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，求点M坐标；(3)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到C点，在这个过程中，是否存在这样的点P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的长度，若不存在，请说明理由．

参考答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.A

6.C

7.A

8.C

9.AD

10.AB

11.AD

12.−1

13.4+214.9

15.1+i；

−5−15i；

1−i．

16.解：(1)∵cosB=35>0，且0<B<π，由正弦定理得asinA∴sinA=asinB(2)∵SΔABC=12acsinB=4，由余弦定理得b2=∴b==

17.解：(1)因为BM=13BC，

AM2因为AB=2，AC=4，∠BAC=60∘，

则|(2)因为AN=12AC,

所以BN=BA+AN=−AB+12AC

18.解：(1)∵sin∠BAC+∵0<∠BAC<π，∴∠BAC=2π(2)由(1)知∠BAC=2π又由余弦定理可得a2即28=4+c2−2×2c×解得c=−6(舍去)或c=4，故c=4．(3)∵c2=∴cosC=2∴CD=12BC，故D为BC又S▵ABC∴S

19.解：(1)如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系．则D0,6，E3,0，A0,0∴ED=−3,6由于∠DMF就是ED，AF的夹角．∴cos∴∠DMF的余弦值为−(2)设Mx,y，∴∵DM//DE，∵AM=x,y，AF∴2x−