2025-2026学年湖南省湘西州九年级（上）期末数学试卷（含部分答案）

2025-2026学年湖南省湘西州九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.2025年12月27日，湖南省足球联赛（简称“湘超”）在长步贺龙体育场落下帷幕，14个市州队徽设计

充分体现了各地地方特色与足球元素的融合,见证了湖南足球的荣耀与风采.下列四个地市队徽中的足球元

素，是中心对称图形的是（）

2.下列成语中，表示必然事件的是（）

A.水中捞月B.守株待兔C.水涨船高D.刻舟求剑

3.已知。。的半径为3,点P在。。内，则OP的长可能是（）

A.5B.4C.3D.2

4.一元二次方程5/・241=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.5x2,2x,lB.5.F,C.5,2,1D.5,-2,-1

5.点（-2,3）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（2,3）B.（-2,-3）C.（2,-3）D.（-3,2）

6.如图，48是。。的弦，半径。CM8于点。，若48=8a〃,CZ）=2c〃?,则半径的长是

()

A.3cm

B.4cm

C.5cm

D.6cm

7.如图，点4B,。在。。上，若乙108=110°,则的度数为（）

A.45°

B.50°

C.55°

C

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D.60°

8.如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少

应将它旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（）

A.144°

B.90°★

C.72°

D.60°

9.据统计，湖南省2025年第一季度人均可支配收入10860元，第三季度达到28248元，若第一季度至第三

季度间人均可支配收入的增长率都为M则下面所列方程正确的是（）

A.10860（1+x）2=28248B.10860（1+x）2=10860

C.10860(1-x)2=28248D.10860(1-x)2=10860

io.如图，二次函数广〃小+以+。Qwo）的图象与工轴正半轴交于点（:•⑴，对称轴为

直线x=l,以下结论：①obc>0；②4a+2b+c=0：③5。+4c>0；④若点（-4,尹），（1,

”），（2.5,心）均在函数图象上，则yi>y3>”；⑤对于任意实数〃?,都有a+b^am2+bm.

其中结论正确的有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11.抛物线产（x-2）2+1的顶点坐标是____.

12.如图，A.B、C、。是。。上的四点，若乙4=60°,则N。的度数为.

13.已知一个圆锥底面半径为2,母线长为5,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数

为

14.数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2,回回

通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右,

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由此可估计黑色部分的面积约为

15.若关于x的方程加+力叶/。（“WO）满足a+〃+e=O,称此方程为“三新”方程.已知方程〃2工：+20254二-1=0

3#0）是“三新”方程，则代数式“'+如21〃+

16.如图，把△//8C绕点力顺时例方向旋转60°到△力。石的位置，使点C在线

段。月上，连接8。，则NE的度数为

17.2025年下半年，吉首市把一块块城市闲置空地，变身绿意盎然的“口袋公园”，得到广大市民的一致好

评.为确保绿地的质展•，工作人员需要用喷灌喷水进行养护.如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的

看成抛物线，喷水头的高度（即。8的长度）是1米.当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8

米，水流喷射的最远水平距离OC是一米.

18.如图，正方形/18C。的边长为12,0。的半径为3,若。。在正方形48co内平

移（。。可以与正方形的边相切），则点/到。。上的点的距离的最大值为一.

三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题8分）

解下列一元二次方程：

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（1）x2-6x+5=0；

（2）x（x+3）=2x+6.

20.体小题8分）

已知关于x的方程x2-6x+（2/M+I）=0.

（1）若方程总有两个实数根，求切的取值范闱；

（2）若H与X2是该方程的两个实数根，且满足22,求加的值.

21.（本小题8分）

湘西州是全国宜居和旅游城市，旅游资源相当丰富.春节期间，小华和爸爸妈妈准备前往湘西旅游.小华一家

计划先坐高铁到吉首.，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇景区、

永顺老司城景区.由于时间紧和意见难以统一，小华爸爸在外观相同的4个小球表面写上“，'，"8”，“C”，

“》'，分别代表凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇景区、永顺老司城景区，并将小球装入不透明袋子里面，

让小华从中随机抽取小球，米用以决定前往旅游的地点.

⑴判断：小华一家前往凤凰古城旅游与前往花垣十八洞村旅游的概率_____（填“相等”或“不相等”）；

（2）小华很想去花垣十八洞村，但是妈妈想去凤凰古城.于是爸爸说：小华可以随机摸出两个小球，第一次

摸出第一个小球后不放回袋子里，再摸第二次，摸出第二个小球，如果摸出的两个小球中，至少有一个小

球表面写的有字母，那么就去花垣十八洞村.请你求出小华一家去花垣十八洞村旅游的概率.

22.（本小题8分）

在平面直角坐标系内，△IB。的三个顶点坐标分别为力（3,4）,8（3,1）,。（0,0）.

（1）画出△力80绕点。逆时针旋转900后得到△小8Q,写出点小的坐标：

（2）在（1）的条件下，求点4旋转到点4,04所扫过的面积.

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23.（木小题8分）

春节临近，“喜洋洋”饰品店试销一款定制对联，每副对联的进价为18元.试销一段时间后发现，若每副对

联售价定为38元，每天可销售6。副：若每副对联的售价每降价2元，每天的销售量就增加12副.

（1）若该饰品店销售这款对联想要每天获利1200元，并且尽可能让利于顾客，那么每副对联的售价应为

多少元？

（2）通过计算说明，每副对联的售价为多少元时，每天销售这种对联获利最大，最大利润是多少元？

24.（本小题8分）

如图，在等腰直角△SBC中，乙8NC=90°,。是8c边上任意一点（不与8、C重合），将线段4）绕点4

顺时针旋转90°得到线段/£,连接和。£.

（1）求匕£4。的度数；

（2）若.1。|.0。-、人求QE的长.

25.（本小题8分）

【问题背景】

如图①，的直径月B=16C7〃/M,8N是。O的两条切线，切点分别为点力、点氏直线CQ与。O相切于

点、E,并与力必、用V分别交于点。、C两点.

【问题探究】

（1）如果设4）=xc〃?,8C="，",小明和小华同学在探究过程中，发现线段力。与线段8C的乘积为一个定值,

他们在探究过程中采取了两种不同的思路方法，请你按照这两位同学的思路方法完成他们探究所得出的结

论.

①小明同学的思路是：如图②，过点。作。RL4c于点尸，请完成解答过程.

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②小华同学的思路是：如图③，连接o。、OC、OE,也顺利的完成了探究，请补全图形，并完成解答过程.

【问题解决】

（2）请结合图形解决下列问题：如图③，若△003的面积是8。0/，求此时线段力。的长度：

（3）在（1）的条件下，令4>x,BC=乂“-彳♦6—+群，­［工：+|:>请比较。、6的大小，

4-Xhl1/I*JI+•/

并说明理由.

26.（本小题10分）

【阅读材料】如图①，过△48c的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫

。的“水平宽（a）”，中间的这条直线在△力8c内部线段的长度叫△/BC的“铅垂高（//）”.我们可

以得出一种计算三角形面积的新方法：、上13丁力，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

【解决问题】

（1）求抛物线的解析式和直线/1C的解析式：

（2）若点Q为第二象限抛物线上一动点，其横坐标为叫的面积为S,求S关于机的函数关系式，并

求出S的最大值;

（3）若点P是抛物线上与力、8、C不重合的一点，过尸作轴于点交直线4C于点N,当PN=CN

时，求点P的坐标.

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1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】C

II.【答案】（2,1）

12.【答案】120°

13.【答案】144°

14.【答案】3

15.【答案】2026

16.【答案】60°##60度

17.【答案】20

18.【答案】<>v2+3

19.【答案】x\=\,X2=5XI=-3,X2=2

20.【答案】mW4ni=3

21.【答案】相等J,

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22.【答案】△480绕点。逆时针旋转90°后得到△小囱0,如图即为所求;

小坐标为(-4,3)-

23.【答案】每副对联的售价应为28元每副对联售价为33元时，每天获利最大，最大利润为1350元

24.【答案】乙EBD=90"DE-人勺

25.【答案】①AM.8N是。O的切线,CQ是。。的切线，

••AD=DE=xcm»BC=CE=ycm,ABLAM,AB工BN,

•.•。尸18c于巴则四边形ABFD是矩形，

•-DF=AB=16cm>BF=AD=xcm,FC=BC-BF=(y-x)cm.

又DC=DE+CE=(x+y)cm,

在RiADFC中,由勾股定理：DRDF+FC2,

(x+y)』16?+(y-x)2,

展开得：/+2_昼+产256+尸2人”居

化简得：4xy=256»

.•・呼=64,即力