2026苏教版八年级数学下册第八章《平行四边形》典型例题及练习题

2026新苏教版八年级数学下册第八章平行四边形典型例题及练习题

典型例题

例1.（24-25八年级下•江苏宿迁•期中）如图，在「ABCO中，E、F、G、”分别是各边中

点，则图中的平行四边形共有（）

A.8个B.9人C.7个D.5个

变式1.（24-25八年级下江苏宿迁•月考）如图，3x3的方格纸中小正方形的边长为1,

A,8两点在格点上，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则

这样的平行四边形最多有个.

例2.（24-25八年级下•江苏无锡・月考）团八就刀中，上4：NB：/C：/£）可以为（）

A.1：2：3：4B.1：2：2：1C.2：2：1：1D.2：1：2：1

变式1.（24-25八年级下•江苏无锡・月考）在oABCO中，已知A3+8C=20,且AO=8,

则8=—.

变式2.（24-25八年级下•江苏连云港・月考）如图，平行四边形八8c。的周长为26cm,AC,

3D相交于点O，.3OC的周长比VAO8的周长小3cm,求48,区。的长.

DC

O

AB

例3.（24-25八年级下•江苏苏州•期中）如图，四边形A8CZ）是平行四边形，其对角线AC,BD

相交于点。，下列结论一定成立的是（）

A.AC=BDB.AB=CDC.AC1BDD.ABACADAC

变式1.（22-23八年级下•江苏泰州・月考）如图，将平行四边形ABC。的一边BC延长至

点E,若4=120。，则Nl=.

变式2.（24-25八年级下•江苏徐州•期中）在口A8CD中，点E,尸分别在边A0和8C上,

HDF=RF.求证：AF=CF.

例4.（24-25八年级下•江苏泰州•期中）若四边形A4C。的对角线互相平分，则四边形A4C。

一定是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

变式1.（24-25八年级下•江苏南京•期末）如图，四边形446的对角线AC,劭相交于

点。如果AO=；AC/O4则那么四边形ABCD是平行四边形.其判定的依据是.

变式2.（24-25八年级下•江苏泰州•期中）证明：对角线互相平分的四边形是平行四边

形.

已知:

求证:

证明:

例5.（23-24八年级下.江苏苏州•期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为

平行四边形的是（）

B.

变式1.（24-25八年级下•江苏镇江•期中）在下列四个关系：®AB//CD,②=

③ZA=NC,④N8+NC=180。中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形A8CD是平行

四边形的条件可以是______.（写出一种即可，填序号）

变式2.（22-23八年级下•江苏扬州•期中）在四边形ABCZ）中，有下列条件：®AB//CDt

②NA=NC,③4D=BC,®ZB=ZD.从中选择两个条件能够使四边形ABCD成为平

行四边形（不添加任何辅助线），请写出所有符合的组合：（用序号表示）

（1）：

⑵选择其中一种组合进行证明.

例6.（24-25八年级下•江苏宿迁•期中）如图，在四边形A8C。中，AD//BCf要使四边

形人BCD成为平行四边形，则应增加的条件是（）

A.Z«AD=ZDCBB.AC=BDC.ZABC+ZBAD=\SO°D.AB=CD

变式1.（24-25八年级下•江苏镇江•月考）如图，在四边形A8C。中，AC与8。相交于点

O,A8=CZ）,添加条件，可得四边形48CO为平行四边形（只需添加一个条件）.

DC

变式2.如图，在平行四边形A8CD中，点E,尸是对角线AC上的两点，请添加一个不

同于=的条件，使四边形8a尸是平行四边形，并写出证明的过程.

例7.用两块全等的含30。隹的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

变式1.将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行

四边形的个数是____个.

变式2.如图，在V4BC中，过点C作CO〃AB,E是AC的中点，连接。E并延长，交AB

于点尸，连接A。，CF.求证：四边形AFCO是平行四边形.

例8.（24-25八年级下•江苏扬州•期末）如图，在,A4C。中，点E是对角线AC上一点,

过点E作FG〃A8分别交A。于点尸，8c于点G,连接BE、DE,若久边形《皿=1，则下列

面积一定可以求得结果的是（）

A.SgGCB.SBECC.S&&DCD.SAED

变式1.（22-23八年级下.江苏.周测）如图，的面积为4,点P在对角线AC上,

E、产分别在A8、A。上，且PE〃BC,PF//CD.连接EF,图中阴影部分的面积为.

变式2.（24-25八年级下•江苏淮安・月考）（1）如图1,在5x5的网格中，VA3C的三个

顶点都在格点上，请在图1中画出一个以AA为边的YA友汨，顶点。，石在格点上且满足

SAUDt~;

（2）如图2,cA8c。中，AE工BD于点、E,若B_L8£＞于点尸，请用无刻度的直尺在图2

中作出符合题意的点尸.1不要求写作法，但要保留作图痕迹）

图1图2

例9.如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框契A3C。,

然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线小）的长

度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论

是（）

A.①②B.①④C.①②④D.①③④

变式1.如图，点A是直线/外一点，在/上取两点8、C,分别以A、C为圆心，BC、

AB长为半径画弧，两弧交于点D,分别连结AB、AD.CD.则四边形ABC。是平行四边

形，其依据是_.

A

BC

变式2.（24-25八年级下•江苏徐州•月考）如图，在平行四边形ABC。中，A8=6cm,

">=l（）cm,点尸在4。边上以每秒1cm的速度从点A向点。运动，点。在AC边上以每秒

2.5cm的速度从点。出发，在C3间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点。时停止运

动，同时点。也停止运动.设运动时间为，秒，开始运动以后，当/为何值时，以尸，D,

Q,8为顶点的四边形是平行四边形？

巩固练习

一、单选题

1.在平行四边形ABC。中，乙4=130。，则NC=（）

A.130°B.5（TC.30°D.120°

2.下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是（）

A.两组对边分别平行的四边形B.两组对角分别相等的四边形

C.一组对边平行另一组对边相等的四边形D.两条对角线互相平分的四边形

3.如图，在平行四边形A8CD中，N8C。的平分线交84的延长线于点E,A£=2,BC=5,

则AB的长为（）

A.5B.7C.3D.2

4.在uABCO中，N048的平分线分边3。为3cm和4cni两部分，贝ljcA8CO的周长为（）

A.20cmB.22cm

C.10cmD.20cm或22cm

5.如图，在平行四边形ABC。中，将VABC沿着AC所在的直线翻折得到VAB'C,&C交AD

于点E,连接&。，若N5=60。，ZAC4=45。，AC=E则的长是（）

A.1B.V2C.石D.如

2

6.在心AABC中，ZACB=90°tBC=2AC=2,。为45的中点，P是边3c上的一个动

点，连接外、PD,且N3OPV90。，将aAQ尸沿直线OP折叠，得到△。总V,连接48,

若48=DP,则线段BP的长是（）

A.|B.且C.D.正

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7.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：

已知：如图，在四边形A8CD中，垂直平分AC,过点4作M4_LAC,以。为顶点，在4）

的左侧作NAON=/8CDDN交AMT•点、E.

求证：四边形A瓦汨是平行四边形.

证明：Q8Q垂直平分AC,

:.AD=CD,AB=BC,又：BD=BD,

(①)，

;"DAB=/DCB,

'：NBCD=NADE,ZADE=NDAB,②

VAE1AC,BDlAC,:.AE//BDf

••・四边形ABZ必是平行四边形.

若以上解答过程正确，①，②应分别为（）

A.SAS,DE=ABB.SSS,DE//AB

C.SAS,DE//ABD.SSS,DE=AB

8.如图，在8c。中，ND48的平分线交C。于点区交8。的延长线于点G,。的

平分线交C力于点R交AO的延长线于点”，AG与肩7相交于点O,连接鸵，卯」下列结

论：①？AOB90?；②AB=A"；@DF=CE；④GFH&CEG；®OB=OH.正确的个数是

()

9.如图，平面直角坐标系不。)，中，点A是直线y=等x+半上一动点，将点A向右平移

1个单位得到点8,点C(1,0)，则。8+C8的最小值为()

叵

A.V13B.2"D.乎

二、填空题

10.如图，在nAACO中，AC、8。相交于点。，若4。。的面积为3,则uAAC。的面积为

AD

B

11.如图，在VA4C中，ZA8C=90°,AB=7,3c=4,把VA4c向右平移2个单位得至!尸,

则图中阴影部分的面积为.

12.如图，在平行四边形ABC。中，G是上一点，AG交A。延长线于点E,AF=CGf

NDGE=90。，则ZAFD=.

13.如图，在cA3C£＞中，BFLAD于点F,8E_LCD于点£若ZA=60。，AF=3cm,CE=2cm,

则A8C。的周长为cm.

14.已知A,。两点坐标分别为(TO)和(2,2),平行四边形A8C。的一个内角为45。，点

B在工轴上，则点。的坐标为.

15.如图，在等边VABC中,AB=5cm,射线AG18C,点、从点力出发沿射线4G以lcm/s

的速度运动，点尸从点。出发沿射线CB以2cm/s的速度运动.如果点E,尸同时出发，设

运动时间为/(s),则当"—s时，以AE,F,8为顶点的四边形是平行四边形.

A-^EG

16.如图，在0ABe。中，A3=4,BC=6,ZA4C=60。，对角线AC与8。交于点。，将直

线/绕点0按顺时针方向旋转，分别交4）、BC于点E、F,则四边形4?庄周K的最小

值是.

三、解答题

17.如图，小斌用一根5（加长的绳子围成一个平行四边形场地，其中一边长16加，求其

他三边的长度.

18.如图，平行四边形A8CZ）的边8。长10厘米，直角三角形区方的直角边8长8厘米.已

知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形4昭。的面积.

19.已知：如图，在平行四边形A4C。中，点G,“分别是"，C。的中点，点E,尸在AC

上，>AE=CF.求证：AAGEWACHF.

20.如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点，以格

点为顶点分别按下列要求画图，要求它的顶点均在格点上.

B

>—

—一▲———▲—————▲———

图①图②

⑴在图①中画一个面积为6的平行四边形.

(2)在图②中，作以A8为一边的平行四边形A8C，满足平行四边形A8CD的面积为11.

21.已知：如图，E,尸是uABCD的对角线AC上的两点，BE〃DF,求证:

AD

(\)^DAC=ZACB.

[2}AF=CE.

22.如图，已知\ABC是等边三角形，点/)、/分别在线段BC、AB上，/EFB=60。，DC=EF.

⑴求证：四边形EPC。是平行四边形;

(2)若BF=EF,求证：AE=AD.

23.如图，在四边形A4CQ中，AB=CD,BF=DE,AELBD,CF1.BD,垂足分别为七,

F.

H

⑴求证：△ABEg/\CDF；

⑵若AC与交于点0,求证：AO=CO.

24.如图，在平行四边形ABC。中，ZBCD=30°,BC=6,CD=30

⑴平行四边形A8C。的面积为.

⑵若M是AD边的中点，N是A8边上的一个动点，将-AMN沿MN所在直线翻折得到

A/TMN,连接AC,则AC长度的最小值是_______.

25.综合与探究：

问题情境：已知，如图1，在RQABC中，NACB=90。，AC=BC=4.点。是4c的中

点，点E在8c延长线上，且NCOE=60。.保持^ABC不动，将△COE从图1的位置开

始，绕点C顺时针旋转a。(0<a<180)得到△CDE，£)、E的对应点分别为Q'、E.

备用图

⑴初步思考：求证：OE=AC；

⑵操作探究：如图2,当点万落在。上边上时，连接A0',判断此时四边形ACE77的形状，

并说明理由；

⑶拓展延伸：请从A,8两题中任选一题作答，我选择题.

A.在△。。石旋转过程中，当D'EV/BC时.请直接写出此时旋转角〃的度数及小E两点

间的距离.

B.在△(?£>£旋转过程中，当OE7/A8时，延长AC交。足于点F,请直接写出此时旋转

角。的度数及线段C/的长.

答案解析

典型例题

例1.（24-25八年级下•江苏宿迁•期中）如图，在cABC。中，E、F、G、〃分别造各边中

点，则图中的平行四边形共有（）

A.8个B.9人C.7个D.5个

【答案】B

【知识点】数图形中平行四边形的个数

【分析】本题考查的平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方

法.

根据平行四边形的判定与性质分析判断即可.

【详解】解：如图，设好与GE交于点。，

•・•在uABCD中，E、F、G、〃分别是各边中点,

:.GE//AD//BC,HF//AB//CD,

•••图中的平行四边形共有：ABCD,CABFH,cDHFC,iDAEG,.GEBC,AEOH,EBFO,

HOGD,OFCG共9个平行四边形,

故选；B.

变式1.（24-25八年级下江苏宿迁•月考）如图，3、3的方格纸中小正方形的边长为1,

A,8两点在格点上，以线段A8为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则

这样的平行四边形最多有个.

【答案】5

【知识点】数图形中平行四边形的个数

【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.根据

网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题.

【详解】解：如图所示,

根据网格的特点可得,

四边形C4P8,FAMB,DAOB,EANB,H4G8为平行四边形,

所以这样的平行四边形最多可以画5个，

故答案为：5.

例2.（24-25八年级下•江苏无锡•月考）团ABCO中，/A：NB：NC：可以为（）

A.1：2：3：4B.I：2：2：1C.2：2：1：1D.2：1：2：1

【答案】D

【知识点】利用平行四边形的性质求解

【分析】根据平行四边形对角相等可得答案.

此题主要考查了平行四边形的性质.其性质：平行四边形的两组对角分别相等.

【详解】解：平行四边形对角相等,

・••对角的比值应该相等，

其中A,B,C都不满足，只有D满足.

故选D.

变式1.（24-25八年级下•江苏无锡•月考）在oABC。中，已知A3+8C=20,且AO=8,

则CQ=—.

【答案】12

【知识点】利用平行四边形的性质求解

【分析】本题考杳平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质.

根据平行四边形的对边相等，代人已知数据，计算即可.

【详解】解：：四边形A8CD是平行四边形，

:.AB=CD,BC=AD1

vAD=8,

:.BC-8,

•••A3+3C=20,

AB=20-8=12,

.-.C£>=12,

故答案为：12.

变式2.（24-25八年级下•江苏连云港•月考）如图，平行四边形A8CO的周长为26cm,AC,

8。相交于点。，4”的周长比VA08的周长小女m,求A8,BC的长.

DC

【答案】/W=8cm,BC=5cm

【知识点】利用平行四边形的性质求解

【分析】由四边形A8CD是平行四边形，即可得A8=CDAD=BC,OA=OCt然后由平行

四边形A4CO的周长为26cm,..49B的周长比60c的周长多女m,可得

AB-BC=3cm,AB+6c=13cm,继而可求得AA、BC的长.

此题考查了平行四边形的性质.注意掌握平行四边形对边相等与对角线互相平分的定理

的应用，注意数形结合思想与方程思想的应用.

【详解】解：•,四边形A4C。是平行四边形，

:.AB=CD,AD=BC,OA=OCf

△AO3的周长比WC的周长多3cm,

:.(OA+OB+AB)-(OB+OC+BC)=3cm,

即A3-AC=3cm,①

•••平行四边形A68的周长为26cm,

AA+BC=13cm,②

由①②得到：AE?=8cm,BC=5cm.

例3.(24-25八年级下•江苏苏州•期中)如图，四边形ABC。是平行四边形，其对角线4C,BD

相交于点。，下列结论一定成立的是()

B

A.AC=BDB.AB=CDC.ACJ.BDD.ABAC=ADAC

【答案】B

【知识点】利用平行四边形的性质证明

【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质判断即可，掌握平行四

边形的性质是解题的关键.

【详解】解：A、•・•四边形A8C。是平行四边形，

.♦•人。与互相平分，不一定相等，原选项不一定成立，不符合题意；

B、・・•四边形A8CD是平行四边形，

:.AB=CD,原选项一定成立，符合题意；

C、・・,四边形A6CO是平行四边形，

・•.AC与小）互相平分，不一定垂直，原选项不一定成立，不符合题意；

D、•・•四边形ABCD是平行四边形，

・•.23AC与NDAC不一定相等，原选项不一定成立，不符合题意；

故选：B.

变式1.（22-23八年级下•江苏泰州•月考）如图，将平行四边形A4C。的一边叱延长至

点E,若乙4=120。，则4=.

AD

B-------------C~E

【答案】6()。/60度

【知识点】利用平行四边形的性质证明

【分析】根据平行四边形的对角相等求出NBC。的度数，再根据平角等于180。，列式计算

即可得解.

【详解】解：・・•平行四边形A3C。中，4=120。，

.­.ZBCD=ZA=120°,

/.Zl=180°-NBCD=180°—120°=60。，

故答案为：60。.

【解析】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关

键.

变式2.(24-25八年级下•江苏徐州•期中)在口"8中，点E,b分别在边A。和上，

O,DE=BF.求证：AF=CE.

【答案】见解析.

【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质证明

【分析】根据平行四边形的性质得到相关边和角的关系，再通过证明三角形全等，进而

得出对应边相等，从而证明=本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形

的判定与性质.熟练掌握平行四边形的对边平行且相等这一性质，以及全等三角形“边角

边“（SAS）的判定定理是解题的关键.通过平行四边形的性质得到全等三角形所需的边

和角的条件，进而证明线段相等.

【详解】解：,・•四边形A8C。是平行四边形，

:.AB=DC,NB=ND.

DE=BF,

ABFq二CDE.

:.AF=CE.

例4.（24-25八年级下•江苏泰州•期中）若四边形ABC/）的对角线互相平分，则四边形ABC。

一定是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】A

【知识点】证明四边形是平行四边形

【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，

即可求解.

【详解】解：四边形A8CD的对角线互相平分，则四边形A8CO一定是平行四边形

故选：A.

变式1.（24-25八年级下•江苏南京•期末）如图，四边形的对角线AC,肘）相交于

点0.如果40弓4。,80=3加），那么四边形"8是平行四边形.其判定的依据是.

【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形

【知识点】证明四边形是平行四边形

【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握对角线互相平分的四边形是

平行四边形，是解题的关键.根据==得出对角线AC，加互相平分，

从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形A8C。是平行四边形.

【详解】解：,・・人。=9。10=5。，

:.AO=CO,BO=DO,

根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形ABC。是平行四边形.

故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

变式2.（24-25八年级下•江苏泰州•期中）证明：对角线互相平分的四边形是平行四边

形.

已知:

求证:

证明:

【答案】见详解

【知识点】证明四边形是平行四边形、全等的性质和SAS综合(SAS)

【分析】理解题意，再根据图形写出已知、求证，然后杈据平行四边形的定义证明即可.本

题主要考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识点，正确寻找全等三角

形解决问题是解题的关键.

【详解】解：已知：如图，四边形/WC。中，OA=OCOB=OD.

求证：四边形ABC。是平行四边形.

证明：在VAO8和△CW中,

OA=OC

ZAOB=/COD,

OB=OD

AOB^COD（SAS）f

：."AB=WOCD,

:.AB〃CD,

在△AO。和80c中,

OA=OC

<NAOD=NCOB,

OD=OB

AOg.COB（SAS）,

:./OAD=/OCB,

:.AD〃BC,

四边形A8CD是平行四边形.

例5.（23-24八年级下.江苏苏州•期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为

平行四边形的是（）

【答案】c

【知识点】判断能否构成平行四边形

【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.根据平行四

边形的判定定理逐一判断选项即可.

【详解】解：A、根据题意，得乙4+/8=18。。,/。=7。。，

故AO〃8C,Aa6不平行，不是平行四边形，不符合题意；

B、根据题意，只有一组平行的对边，故不是平行四边形，不符合题意；

C、根据题意，得一组对边平行且相等，故一定是平行四边形，符合题意；

D、根据题意，只有一组对边相等，无法判定是平行四边形，不符合题意；

故选：C.

变式1.（24-25八年级下•江苏镇江•期中）在下列四个关系：®AB//CDf②/W=8C,

③ZA=NC,④N8+NC=180。中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形A8CD是平行

四边形的条件可以是.（写出一种即可，填序号）

【答案】①③（答案不唯一）

【知识点】判断能否构成平行四边形

【分析】本题考瓷了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法两组对角相等的四

边形是平行四边形.

【详解】解：四边形A8C。是平行四边形的条件可以是①③,

理由；如图，

•・•AS//CD,

.-.ZA+ZD=180°,

•••ZA=ZC,

.-.ZC+ZD=180°,

:.AD〃BC,

••・四边形ABC。是平行四边形，

故答案为：①③（答案不唯一）.

变式2.（22-23八年级下•江苏扬州•期中）在四边形ABC。中，有下列条件：@AB//CDf

②NA=NC,®AD=BCf®ZB=ZD.从中选择两个条件能够使四边形A8CQ成为平

行四边形（不添加任何辅助线），请写出所有符合的组合：（用序号表示）

（1）;

⑵选择其中一种组合进行证明.

【答案】（1）①②或①④或②④

⑵见解析

【知识点】证明四边形是平行四边形

【分析】（1）选择满足的条件即可；

（2）根据平行四边形的判定分别时各个条件进行证明即可.

【详解】（1）解；满足①②或①④或②④时，四边形49c力为平行四边形,

答案为：①②或①④或②④；

（2）证明：如图,

」D

满足①②时,

•:AB//CD,

.•.ZB+ZC=180°,NA+ND=18()。,

vZA=ZC,

:"B=/D,

四边形ABCD是平行四边形;

满足①④时，同理得：四边形ABCQ是平行四边形;

满足②④时，

•・・NA=NC,/B=ND,

.・.四边形ABCD是平行四边形.

【解析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形

的判定是解题的关键.

例6.（24-25八年级下•江苏宿迁•期中）如图，在四边形"CO中，AD//BC,要使四边

形ABC。成为平行四边形，则应增加的条件是（）

A.ZBA£>=ZDCBB.AC=BDC.乙46C+NBA£>=180°D.AB=CD

【答案】A

【知识点】添一个条件成为平行四边形

【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可.

【详解】解：Z•:AD〃BC,

.-.Z4DC+ZDCB=180°,

•:ABAD=ADCB

.­.ZADC+ZBAD=\SO°f

ABBDC,

・•・四边形/WC。是平行四边形，故A符合题意；

B、现有条件无法判断四边形是平行四边形，故不符合题意；

C、当ZABC+N3AD=180。时，AD//BC,与已知条件重复，不能判定平行四边形，故不

符合题意；

D、当AD〃BC,A3=CQ时，四边形/WC。为平行四边形或等腰梯形，故不符合题意；

故选：A.

变式1.（24-25八年级下•江苏镇江・月考）如图，在四边形4BC。中，AC与8。相交于点

0,48=。。，添加条件，可得四边形A8CO为平行四边形（只需添加一个条件）.

【答案】AB//CD（答案不唯一）

【知识点】添一个条件成为平行四边形

【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关

键.由平行四边形的判定方法即可得出结论.

【详解】解：添加条件可得四边形ABC。为平行四边形，理由如下:

VAB=CD,AB//CD,

四边形ABC。为平行四边形，

故答案为：AB//CD（答案不唯一）.

变式2.如图，在平行四边形ABC。中，点尸是对角线AC上的两点，请添加一个不

同于=的条件，使四边形8瓦不是平行四边形，并写出证明的过程.

【答案】添加的条件为：8/"。石；证明见解析

【知识点】添一个条件成为平行四边形

【分析】添加的条件为：BFHDE,证明AAB产丝△a）£,得到8/=。处即可得证.

【详解】添加的条件为：BFUDE.

证明：・・・8尸"OE

.-.ZBFE=ZDEF

：.AAFB=Z1DEC

•.•四边形48C。为平行四边形

:.AB//CDtAB=CD,

:.4AC=NDCA

〈ACDE（AAS）

:•BF=DE,

又,：BFDE

••・四边形次7组为平行四边形.

【解析】本题考查平行四边形的判定.熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键.

例7.用两块全等的含30。角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【知识点】全等三角形拼平行四边形问题

【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键.以

三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论.

【详解】解：如图所示，

^——二——、••・用两块全等的含30。角的三角尺拼成平行四边形，

可拼成的不同的平行四边形有3个.

故选：c.

变式1.将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行

四边形的个数是____个.

【答案】3

【知识点】全等三角形拼平行四边形问题、判断能否构成平行四边形

【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可.

【详解】解:如图所示,

将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，

可以拼得不同形状的平行四边形的有：cADBC,cABFC,cABCE,共3个.

故答案为：3.

【解析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键.

变式2.如图，在VA8c中，过点C作8〃八8,E是AC的中点，连接OE并延长，交AB

于点尸，连接4),CF.求证：四边形AFCO是平行四边形.

D

【答案】见解析

【知识点】全等三角形拼平行四边形问题、证明四边形是平行四边形

【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等

知识，证明△/4£'?且4。比＞是解题的关键.

由CO〃A4,得ZAFE=NCDE,而ZAEF=NCED,AE=CE,即可根据“AAS”证明

△AEF@ACED,得FE=DE,则四边形APCD是平行四边形.

【详解】证明：・・・CO〃A5,

:.ZAFE=4CDE,

・・・E是4c的中点,

:.AE=CE,

在AAE/和△CEO中，

NAFE=NCDE

ZAEF=ZCED,

AE=CE

.•...AEF^CED(AAS),

:,FE=DE,

四边形A/CO是平行四边形.

例8.(24-25八年级下•江苏扬州•期末)如图，在uABCD中，点E是对角线AC上一点,

过点E作依〃A8分别交AD于点尸，8C于点G,连接电、DE,若S回边防皿印，则下列

面积一定可以求得结果的是（）

A.S^EGCB.BECC.S△&DCD.SAED

【答案】B

【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解

【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质成为

解题的关键.

如图，过点E作MN〃A力于A8于M,交CO于N,由A3CQ是平行四边形可得

AD//BC,AB//CDtS^ABC=5AADC;进而得到四边形BMKG是平行四边形、四边形EFDN是

平行四边形、四边形AM箱是平行四边形、四边形EGCN是平行四边形，再根据平行四边

形的性质以及三角形面积间的关系即可解答.

【详解】解：如图，过点E作MN〃A。交AS于M,交C。于N,

四边形ABC。是平行四边形,

AD//BC,AB//CD,S△.c=S”

MN〃AD,FG//AB,

FG//AB//CD,MN//AD/7BC,

••・四边形而WEG是平行四边形，四边形HTW是平行四边形，四边形是平行四边形,

四边形EGCN是平行四边形,

•s—qq—q

一0AME~JAFE，°EGC~°ENC，

SHMEG~Smc-S^AA'E—SACG£，SEFDN=S4zr—S^AFE-S&CEN

SBMEG=SEFDN，

…°BEG_UDEN-°DEF，

SBEC=SBEG+S.GEC=SDNE+NEC=S.CED=QS四边形56co——

故选：B.

变式1.（22-23八年级下江苏•周测）如图，"8CO的面积为4,点P在对角线AC上,

E、产分别在A&A。上，且PE//BC,PF//CD,连接EF,图中阴影部分的面积为

【答案】2

【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定；先说明四边形AEPb是平行四边形,

可得SW=SMF，再结合已知条件求出S.e，则此题可解.

【详解】解：•・•四边形A6CD是平行四边形，

,-.4DBC,ABCD.

,:PE〃BC,PF//CD,

:.PEAD,PF",

,・.|四边形A£/乎是平行四边形，

•••q一AEF=v°APF.

h/WCQ的面积是4,

S.ACD=S«APF+S四边形PFDC=万人8（7）=万'4=2,

故答案为：2.

变式2.（24-25八年级下•江苏淮安・月考）（1）如图1,在5x5的网格中，VA3C的三个

顶点都在格点上，请在图1中画出一个以A4为边的YA双汨，顶点。，E在格点上且满足

SABDE=2s△八代；

（2）如图2,488中，AE_LBD于点E,若CFL3D于点F,请用无刻度的直尺在图2

中作出符合题意的点尸.1不要求写作法，但要保留作图痕迹）

AD

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形的性质求解

【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性

质及判定定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

（1）根据平行四边形的定义画出图形即可；

（2）连接AC交3。于点。，延长4E交4C于点K,连接。K,延长K。交A。于点心连接

C/交于点尸，点尸即为所求.

【详解】解：（1）如图1中，四边形A8DE即为所求；

图1

（2）如图2中，点尸即为所求.

图2

证明：•.・四边形A8C。是平行四边形,

：.AO=COfAD//BC,

/.4Ao=NKCO,

在△AQ/与△COK中，

ZJAO=NKCO

，AO=CO

ZAOJ=ZCOK

.\AAQ/g△COK(ASA),

；.JO=KO,

.•・四边形4KG/是平行四边形，

:.CJ//AK,

\AE±BDf

：.CF1BD.

例9.如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架A3CD,

然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形A6CD为平行四边形；②对角线8。的长

度不变；③四边形A8CO的面积不变；④四边形ABCQ的周长不变，其中所有正确的结论

是()

Q/

A.①②B.①④C.①②④D.①③④

【答案】B

【知识点】平行四边形性质和判定的应用

【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断;

②错误，观察图象即可判断；

③错误，面积是变小了；

④正确，根据平行四边形性质即可判断.

【详解】解：・・•两组对边的长度分别相等，

・•・四边形ABCD是平行四边形，故①正确；

・・・向右扭动框架，

・••BD的长度变大，故②错误；

•••平行四边形ABCD的底不变，高变小了，

平行四边形ABCD的面积变小，故③错误;

•・•平行四边形ABCD的四条边不变,

四边形ABCD的周长不变，故④正确.

故所有正确的结论是①④.

故选：B.

【解析】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的

关键是熟练应用这些知识解决问题.

变式1.如图，点A是直线/外一点，在/上取两点8、C,分别以A、C为圆心，BC、

AB长为半径画弧，两弧交于点，分别连结A3、AD.CD.则四边形ABC。是平行四边

形，其依据是

4——卡

/，/，

/，/，

，999

1.，'/

BC

【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

【知识点】平行四边形性质和判定的应用

【分析】(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

⑵定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

⑶定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是.

【详解】两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

【解析】此题考查的是平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键.

变式2.（24-25八年级下•江苏徐州•月考）如图，在平行四边形ABCO中，A8=6cm,

AO=10cm,点。在AO边上以每秒1cm的速度从点A向点。运动，点。在4c边上以每秒

2.5cm的速度从点。出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点。时停止运

动，同时点。也停止运动.设运动时间为，秒，开始运动以后，当/为何值时，以乙。，

Q,8为顶点的四边形是平行四边形？

.40

【答案】

【知识点】平行四边形性质和判定的应用、行程问题（一元一次方程的应用）

【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意能求出符合条件的所有情况是解此

题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用.设经过/秒，根据平行四边形的判定可得当

OP=BQ时，以点夕，D,Q,8为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，

求出方程的解即可.

【详解】解：•・•平行四边形是平行四边形，

:.BC=AD=IO,AD//BC,

•・•要使以点P，D,。，6为顶点组成平行四边形,

:.只需DP=BQ,

,:点。从点C到点B需要10・2.5=4(s)，点。从A到。需要10+1=10(s),

分为以卜情况：

当0<Y4时，即点。的运动路线在C-B时，

由题意，得：10-2.51=107,

解得；，=。，此时不符合题意；

②当4<Y8时，点Q的运动路线在C-4-C时，

由题意，得：2.5r-10=10-f,

解得：

③当8<，<1()时，点Q的运动路线在C-B-C-BW,

由题意，得：10-(25-20)=10-/,

解得：Z=y>10.此时不符合题意：

综上所述，/=y.

巩固练习

一、单选题

1.在平行四边形A8C£＞中，ZA=130°,则NC=（）

A.130°B.50°C.30°D.120°

【答案】A

【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答.

【详解】解：如图：

■.•四边形A8CZ）是平行四边形，

.-.ZA=ZC=130°,

故选：A.

【解析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等.

2.下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是（）

A.两组对边分别平行的四边形B.两组对角分别相等的四边形

C.一组对边平行另一组对边相等的四边形D.两条对角线互相平分的四边形

【答案】C

【分析】根据平行四边形的判定方法逐一分析解题.

【详解】解：A、B、D均可为判定四边形为平行四边形，故A、B、D不符合题意;

C.一组对边平行另一组对边相等的四边形，不能判断它是平行四边形，如下图，是等腰

梯形，故C符合题意,

故选：C.

【解析】本题考查平行四边形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关

键.

3.如图，在平行四边形A8C。中，4CD的平分线交的延长线于点E,AE=2,BC=5,

则AB的长为（）

A.5B.7C.3D.2

【答案】C

【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质.能证得SCE是等

腰三角形是解此题的关键.由平行四边形A8CQ中，CE平分NBCD,可证得MCE是等腰

三角形，继而利用他，求得答案.

【详解】解：如图，7四边形A3。。是平行四边形，

：.AD//BCf

/.Z.E=Z.ECD,

•.•CE平分N8CD,

/BCE=NECD,

/E=/BCE,

BE=BC=5,

..AB=BE-AE=5-2=3.

故选；C.

4.在二ABC。中，NA43的平分线分边BC为女m和4cm两部分，则oA3C。的周长为（）

A.20cmB.22cm

C.10cmD.20cm或22cm

【答案】D

【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，4E把BC分成女m和

4cm两部分，没有明确哪部分是3cm,哪部分是4cm,故分两种情况，熟练掌握分类讨论

是解题的关键.

【详解】解：如图，BE=3cm,CE=4cm,

B

•・•四边形A8C。为平行四边形,

/.AD=BC,AB=CD,AD//BC,

：.ZDAE=ZAEBf

4E平分/E4O,

/.ZBAE=ZDAE,

;.ZBAE=ZAEB,

.♦.人8=3K=3cm,

:^ABCD的周长为(3+3+4)x2=20cm；

如图，BE=4cm,CE=3cm,

同理可得A8=BE=4cm,

.\DABCD的周长为（4+4+3）x2=22cm,

故选：D.

5.如图，在平行四边形ABC。中，将VABC沿着4c所在的直线翻折得到VM'C,B'C交AD

于点E,连接夕。，若/8=60。，ZACB=45°,AC=瓜,则87）的长是（）

B'

A.1B.yf2c.6D.渔

2

【答案】B

【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知

条件可得CE得长，进而得出比＞的长，再根据勾股定理可得出"Q；

【详解】解：.••四边形"8是平行四边形

：.AB=CDZB=ZADC=60%/ACB=NCAD

由翻折可知：BA=ABf=DC,ZACB=ZACB,=45°,

」.△A£C为等腰直角三角形

：.AE=CE

/.RtAAEBf^RtACDE

:.EB'=DE

•••在等腰Rt/\AEC中，AC=46

:.CE=Q

・.•在RtADEC中，CE=0ZADC=60°

.-.ZDCF=30°

：.DE=\

在等腰RtZkOEB'中，EB'=DE=\

.•.87)=及

故选：B

【解析】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识,

解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

6.在mA4BC中，NACB=90。，BC=2AC=2,。为AB的中点，尸是边上的一个动

点，连接外、PD,且N8DPV90。，将0沿直线OP折叠，得到连接48,

若43=OP,则线段。尸的长是（)

2B.4I

A-2D.半

【答案】B

【分析】先利用勾股定理求出AB的长，由Q为"的中点，得到AQ=8D=>"当

SMSMP,由“OP沿直线。尸折叠，得到△。%'，则4。=4。=当，△AOPg&VOP,

SMS.，从而SA®=S曲，点A与点区到DP的距离相等，得到A'BZ/DP,四边形A'BPD

是平行四边形，得到答案.

【详解】解：如图所示,

A

•;/ACB=90。,Z?C=2AC=2,

：.AC=1,

在&ZiABC中，NACB=90。,BC=2,AC=1,

AB=yjBC2+AC2=75，

:D为AB的中点，

：.AD=BD=gAB=叵,SADI=SHl)l,,

22

•・•将△人。尸沿直线。尸折叠，得到△£)//,

：AP=AD=&,ZkA。尸丝△A'。尸，

2

•**SADP=SADp,

:、^.A'DP=SBDP

.•.