2027届新高考数学热点精准复习三角函数模型及解三角形的实际应用

2027届新高考数学热点精准复习三角函数模型及解三角形的实际应用1.会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.课标要求1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线______叫俯角(如图1).下方2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值.常用结论与微点提醒1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.解决与平面几何有关的计算问题的关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向.(

)(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(

)(2)α＝β;诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×

(3)俯角是视线与水平线所构成的角.×√2.(人教A必修二P51T3改编)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B(

)DA.北偏东10°方向

B.北偏西10°方向C.南偏东80°方向

D.南偏西80°方向由题可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.3.(人教A必修二P49例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为(

)A

4.(苏教必修二P108T10改编)如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为____________km.

例1(多选)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(

)ABC考点一三角函数模型

感悟提升三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.训练1阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图(1).由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(单位:m)和时间t(单位:s)的函数关系为y＝sin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π)，如图(2).若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置y0(－1<y0<1)的时间分别为t1，t2，t3(0<t1<t2<t3)，且t1＋t2＝2，t2＋t3＝6，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为(

)D

B考点二解三角形应用举例根据题意，画出示意图如下，

角度2

测量高度问题例3(2026·鹤壁模拟)如图，已知AA1为某建筑物的高，BB1，CC1分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，A1，B1，C1分别为该建筑物、甲、乙的底部，且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量，得A1B1＝80米，CC1＝86米，∠C1A1B1＝48.60°，∠A1C1B1＝30°，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高AA1约为(

)(参考数据tan33.69°≈0.667，tan51.34°≈1.250，sin48.60°≈0.750)CA.268米 B.265米C.266米 D.267米分别过B，C作BF⊥AA1，CD⊥BB1，垂足分别为F，D，过D作DE⊥AA1，垂足为E，如图所示.

在Rt△ABF中，∠ABF＝51.34°，BF＝A1B1＝80，则AF＝80tan51.34°≈80×1.250＝100，所以AA1＝CC1＋BD＋AF＝86＋80.04＋100≈266米.故选C.

D如图,

感悟提升解三角形应用问题的要点(1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素.(2)利用正弦定理、余弦定理解三角形，得到实际问题的解.训练2(1)如图，某同学为了测量长江对岸的武汉龟山电视塔高AB，选取与龟山电视塔塔底B在同一水平面内蛇山上两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，CD＝200m，在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝(

)C

如图.在△BCD中，因为∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，

(2)如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5km，AD＝7km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，根据以上条件可求得两景点B与C之间的距离约为____________km(精确到0.1km，参考数据:sin40°≈0.643，sin117°≈0.891).

5.8

一、单选题1.如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是(

)C由图象及简谐运动的有关知识得，该弹簧振子的振幅为2cm，振动周期为2×(1.0－0.2)＝1.6s.当t＝0.2s或1.0s时，振动速度为零，该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零.A，B，D正确，C错误.A.该弹簧振子的振幅为2cmB.该弹簧振子的振动周期为1.6sC.该弹簧振子在0.2s和1.0s时振动速度最大D.该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零2.已知B地在A地的北偏东80°方向上，C地在A地的南偏东70°方向上，B地在C地的北偏西17°方向上，且B地与C地相距6km，则A地与B地之间的距离为(参考数据:取sin53°＝0.8)(

)A.8km B.12kmC.16km D.9.6kmD

B

如图，过点D作AB的垂线，垂足为H，

4.如图所示，摩天轮的半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度视觉效果最佳，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度(单位:分钟)为(

)C

设f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋h，依题意，A＝20，h＝25，T＝10，

5.(2026·南昌联考)《孔雀东南飞》中写道“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书”.箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种形制，对其进行绘制，发现其近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线AC＝99.9cm，BC＝100.1cm，AB＝180cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为(

)AA.0.62 B.0.56C.－0.56 D.－0.62如图，由题意可知∠OAC＝∠OBC＝90°，

6.某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下:①将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离;②将镜子后移，重复①中的操作;③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别为a1m，a2m(a2>a1)，两次观测时镜子间的距离为a

m，人的“眼高”为h

m，则建筑物的高度为(

)A

设建筑物的高度为x，如图所示，

C

AC

二、多选题

BD

30°如图，设两船在C处相遇，

11.甲船在B岛的南偏东30°方向A处，AB两地相距100千米，甲船向北偏西30°方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东30°的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行，则两小时后，甲、乙两船的距离为____________千米.

12.(2026·上海黄浦区模拟)三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影A'、B'、C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°，则A、C两点到水平面的高度差约为____________.(精确到1).

373如图，过C作CH⊥BB'，过B作BD⊥AA'，故AA'－CC'＝AA'－(BB'－BH)＝AA'－BB'＋100＝AD＋100，由题，易知△ADB为等腰直角三角形，

13.(2026·南阳模拟)如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处，某时刻，监测点B