湖南省株洲市高三上学期教学质量统一检测数学试题

湖南省株洲市高三上学期教学质量统一检测数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．班级：___________姓名：___________准考证号：___________（本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，将答题卡上交．第I卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）1.（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则可得答案.【详解】原式，.故选：C2.已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则等于（）A.{x|1<x<2} B.{x|x≥1}C.{x|x≤2} D.{x|x≤1或x≥2}【答案】A【解析】【分析】先计算，然后取补集即可.【详解】因为M∪P={x|x≤1或x≥2}，所以={x|1<x<2}.故选：A【点睛】本题考查集合的并集和补集的运算，属于简单题.3.已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（

）A.0 B.2 C. D.1【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果.【详解】因为定义域均为且，所以可得，又因为是奇函数，是偶函数，所以即上式可化简为，再与相加可得，代入可得，所以即.故选：A.4.已知椭圆的焦点为，一个短轴顶点为，且离心率为，则（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的性质把用离心率表示出来，再利用二倍角公式以及诱导公式运算可得答案.【详解】已知椭圆离心率，短轴顶点为，焦点为，在椭圆中，，，代入，得，，由于是三角形内角，取值范围为，且在单调递减，因此故选：C5.已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法正确的是（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，利用向量的模与数量积的关系计算可判断ABC；利用数量积可判断D.【详解】因为，所以，所以，对于A，，所以，当时，即时，，故A错误；对于B，由A可知，又，当时，，可得，故B错误；对于C，当，，可得，所以，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：D.6.某AI公司每天维护1000个训练任务节点，每星期一有A，B两种数据更新方案可选．统计显示，凡是在星期一选择方案来维护训练任务节点，下星期一有会改用方案；而选择方案来维护训练任务节点，下星期一有会改用方案．用分别表示在第个星期的星期一选择方案和选择方案来维护训练任务节点的个数，则与的关系可以表示为（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，建立与的递推关系即可.【详解】总维护节点数：.选方案的节点，下一周有换，即保留：.选方案的节点，下一周有换，即.因此，第个星期一选方案的节点数：.所以.故选：A.7.已知平面直角坐标系中三个点，若函数的图象恰好只经过上面三个点中的两个，则的值不可能为（

）A.10 B.14 C.18 D.22【答案】D【解析】【分析】将给定三个点的坐标依次代入每个选项对应的函数式验证即可.【详解】A选项，若，，而，，，即过，不过，符合题意，A选项可能；B选项，若，，而，，，即过，，不过，符合题意，B选项可能；C选项，若，，而，，，即过，不过，符合题意，C选项可能；D选项，若，，而，，，即过，不过，，不符合题意，D选项不可能.故选：D8.有一个正方形，其四个顶点均在曲线上，则该正方形的面积为（

）A B.4 C. D.8【答案】B【解析】【分析】设正方形，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，得与全等，得，得，进行求解即可．【详解】如图所示：设正方形，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，则，得与全等，得，得点的纵坐标与点的横坐标相等，设点，，得点，由四个顶点均在曲线上，得，得，两式相减得，，得,由于,得，两式相加得，，得，由点，点，得，得正方形的面积为：，故选：B二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）9.下列关于双曲线的说法，正确的是（

）A.双曲线的焦距为2 B.双曲线的两条渐近线相互垂直C.双曲线的离心率为 D.存在一条直线，与双曲线有三个交点【答案】BC【解析】【分析】将双曲线化为标准形式得到，结合双曲线的几何性质逐项判断即可.【详解】将双曲线化为标准形式，由此可得对于A，焦距为，故A错误；对于B，渐近线方程为，斜率之积为，相互垂直，故B正确；对于C，离心率，故C正确；对于D，直线与双曲线联立得到的是二次方程，最多有2个解，所以最多有2个交点，故D错误；故选：BC.10.设等差数列的前项和为，设，在同一个坐标系中，的部分图象如图所示，则下列推断正确的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由题意分类讨论可求得，，，进而计算可求得数列的通项公式可判断AB；求得，的最大值可判断CD.【详解】①若，，，所以公差，所以，所以，所以，与矛盾，舍去.②若，，，由，，可得，所以，解得，所以，解得，矛盾，舍去；③若，，，由，，可得，解得，所以，解得，而，矛盾，舍去；④若，，，由，，可得，解得，所以，解得，所以，所以，满足条件，故A错误，B正确；所以，令，得，解得，所以当时，取得最大值，即，故C正确；所以，所以，令，求导得，令，得或，当，，所以在上单调递增，当，，所以在上单调递减，所以当且，单调递增，当且，单调递减，又，，所以，故D错误.故选：BC.11.某电脑程序每次等概率随机输出中的一个数，和分别表示输出的前个数中的最大值和最小值．已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数．则下列命题正确的是（

）A. B.C D.【答案】ABD【解析】【分析】根据独立事件的概率、条件概率及最大值、最小值的概率计算方法，结合加法公式、乘法公式计算即可.【详解】选项A：表示第一个数的最大值，即该数本身；表示第一个数的最小值，也即该数本身；所以，，A正确；选项B：表示输出的前3个数的最大值为3，即需满足“输出的每个数，且至少有一个数为3”.所有数均的概率：；所有数均的概率：.所以，B正确；选项C：表示输出的前3个数的最小值为3，即需满足“输出的每个数，且至少有一个数为3”.所有数均的概率：；所有数均的概率：.所以，C错误；选项D：记为事件，即前4个数最大值为6，为事件，前4个数最小值为3.则.表示前4个数最大值为6且最小值为3，即所有数均在3到6之间（含3和6），所以.故，D正确.故选：ABD.第II卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.展开式中，含项的系数为___________．【答案】1【解析】【分析】直接根据二项式定理的展开式的通项公式计算可得.【详解】由二项式的展开式的通项公式，令，所以含项的系数为.故答案为：113.从集合中任取两个不同的数a，b组成一个新的数，则的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】由题可得且，设，，与的夹角为，根据向量的夹角公式得，求出范围，得解.【详解】因为，所以，所以且.设，，与的夹角为，则，因为且，所以，故，所以.故答案为：.14.棱长为1的正方体的各顶点均在过点的平面的同侧，若和与平面所成的角的大小均为，则点到平面的距离为___________．【答案】．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，再根据和与平面所成的角的大小均为可解得法向量，进而可求点到平面的距离.【详解】如图：以A点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，因为与平面所成的角的大小均为，所以，即——①再由与平面所成的角的大小均为，所以，即——②.联立①②得，解得或.当时，代入①得，，，解得，令，得，，则到平面的距离为；当，代入①得，，，即，因为，所以方程无解，舍去.综上所述，点到平面的距离为.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.从某社区1万余名居民中随机调查了部分居民，获得了他们的每日运动时长数据，整理得到如下频率分布直方图．（1）求的值；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该社区全体居民的每日平均运动时长；（3）若用样本的频率估计总体的概率，现从该社区居民中随机抽取4人，用表示每日运动时长在50分钟以上的居民人数，求随机变量的数学期望．【答案】（1）（2）42.5分钟（3）1【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率及所有小长方形面积之和为1求解;（2）根据平均数等于组中值与对应概率乘积的和得平均值;（3）由随机变量服从二项分布进行求解.【小问1详解】根据题意得：，解得.【小问2详解】设样本中居民的运动时长的平均数为，所以估计该社区全体居民的每日平均运动时长为42.5分钟.【小问3详解】从该社区居民中随机抽取一名居民，根据直方图中的信息，估计每日运动时长在50分钟以上的概率，随机变量服从二项分布，.16.在中，角为锐角，．（1）求角的大小；（2）若点为边的中点，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得，利用和差角公式展开化简求得；（2）根据（1）的结论及题设条件可得，在和中分别利用正弦定理列式求得答案.【小问1详解】，又，，，，，，，又为锐角，.【小问2详解】，，在中，，①中，，，②由①和②，得，，又，，，.17.如图①，在平面内，正方形的边DE，CF分别为两等腰直角三角形，的腰．将分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点，得到一个四棱锥，点G，H分别是线段，的中点，如图②．（1）求证：平面DEM；（2）求直线CM与平面所成的角的正弦值；（3）若平面，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）线面平行转化为线线平行即可；（2）建立空间直角坐标系求面的法向量，代入线面角公式求解；（3）转化为点到面的距离的比值.【小问1详解】如图1，设的中点为，连接，，分别为，的中点，，，又，，且，∴四边形为平行四边形．．又平面，平面，∴平面．【小问2详解】如图2，因为为等边三角形，设为线段的中点，所以，又，，，平面，所以面，过作直线.以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设，则，．设平面的法向量为，则，，．令，则．则设直线与平面所成的角为，则，∴直线与平面所成的角的正弦值为；【小问3详解】设点，到平面的距离分别为，，，.，的值．18.已知抛物线，圆，点（其中）为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线分别与轴交于点B，C.（1）判断抛物线与圆的交点个数，并说明理由；（2）求的取值范围；（3）求周长的最小值．【答案】（1）一个，理由见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）联立圆和抛物线，解得方程组的解从而确定交点个数；（2）设为和圆相切的直线，由于切线有两条，联立直线和圆，得出两条切线斜率的关系，然后用表示后求解；（3）利用内切圆性质，将周长用表示出来，然后由基本不等式求解.【小问1详解】联立得：．所以抛物线与圆只有唯一交点，即抛物线与圆的交点个数为1.小问2详解】显然斜率存在，设方程分别为，∵直线：与圆相切，，化简得：①于是为①式的两个根，②．，把②代入，可化简得：，的取值范围为．【小问3详解】设的周长为，因为圆为的内切圆（该内切圆的半径），所以，由（2），．令，，∴当即时，取等号．周长的最小值为16．19.已知函数．（1）若函数图象在点处的切线与函数图象在点处的切线平行，求的值；（2）设，用表示函数和；（3）求证：．【答案】（1）或或;（2），;（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数，结合余弦值相等的角满足的条件，即可求解；（2）利用余弦的和差角公式和二倍角公式化简，即可求解；（3）利用，结合四倍角公式和三倍角公