上海市杨浦区2025-2026学年高一下学期期中考试数学学科（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市杨浦区2025-2026学年高一下学期期中考试数学学科样题一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。1.已知，则下列选项一定成立的是（

）．A. B. C. D.2.下列函数中在区间上是严格减函数的是（

）．A. B. C. D.3.已知ABC中A<B,则下列选项不一定成立的是()A.a<b B.A<B C.A>B D.A<B4.定义在上的函数，满足对任意，恒成立.则下列说法正确的是

（

）A.函数一定是常值函数

B.函数的函数值一定非负

C.若函数是上的严格增函数，则它一定不存在零点

D.若函数存在零点，则一定存在，使得.二、填空题：本题共12小题，共54分。5.小于的正整数的集合用列举法表示为

．6.函数的定义域为

．7.若，则cos2α＝

．8.指数函数y=与y=的图像关于y轴对称,则a=

.9.函数的最小正周期为

10.若函数为奇函数，则

．11.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是

．12.若幂函数在时的图象位于直线的下方，则的取值范围为

．13.若关于x的不等式<1的解集为空集,则a的值为

.14.若正实数满足，则的最大值为

．15.某底角的斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光．其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.5米；另一根杆子的影子完全在斜面上，其影子长度为

米（，，结果精确到0.01米）．

16.将函数y=x的图像向左平移m个单位(0<m<2)得到函数y=f(x)的图像.若这两个函数图像的相邻三个交点恰好形成正三角形,则m=

.三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)已知集合(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．18.(本小题15分)已知内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且满足.（1）求角C的大小；（2）若，求面积的最大值.19.(本小题15分)设为常数，且函数为奇函数．(1)求的值；(2)判断函数的单调性，并给出证明；(3)若，求的取值范围．20.(本小题18分)已知f(x)=A(x+)(A>0,>0,0<<),函数y=f(x)的部分图像如图所示.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调减区间;(3)若关于x的方程f(x)+f(-x)+m=0在区间[,]上有解,求实数m的取值范围.21.(本小题18分)已知函数的定义域为，(1)若，求函数的零点构成的集合；(2)若，且当时，求函数在上的最小值；(3)已知对一切恒成立，求证：“函数存在正整数周期”的充要条件是“函数存在正整数周期”．

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】

6.【答案】

7.【答案】

8.【答案】

9.【答案】

10.【答案】

11.【答案】1或4

12.【答案】

13.【答案】-2

14.【答案】

/

15.【答案】

16.【答案】或

17.【答案】解：（1）由，可得，即，所以故（2）由，可得，即所以，解得或.

18.【答案】解：(1)由余弦定理,C===-.

又C(0,),所以C=

(2)(方法一)将c=代入条件得,+-3=-ab,

所以+=3-ab.

因为+2ab,得3-ab2ab.

解得ab1,当且仅当a=b=1时取得等号.

所以=abC1=.

故ABC面积的最大值为,当且仅当a=b=1时取得最大值.

(方法二)利用正弦定理,===

所以a=2A,b=2B=2(A+)=-A+A

代入面积公式=abC得到

=(-A+AA)=(+2A)=[(2A+)-]

其中0<A<，则<2A+<,

所以(1-)=,当且仅当2A+=,即A=时取得等号.

故ABC面积的最大值为,当且仅当A=时取得最大值.

19.【答案】解：（1）函数为奇函数，则满足，所以，解得，则.因为，所以当时，为奇函数，满足题意.（2）函数在上严格递增.证明如下：当时，，则，又因为，所以，，，所以，即，故函数在上严格递增．（3）若，则，令，则，要使它小于0，需，即，所以，故.结合，得若，则，由奇函数性质知，于是由于严格递增，恒成立，所以.综上，.

20.【答案】解：(1)由图像可知,A=.

最小正周期为2(-)==,所以=4.

f()=(4+)=(+)=,所以+=+2k,kZ.

因为0<<,所以=.

所以函数y=f(x)的解析式为y=(4x+).

(2)令+2k4x++2k,kZ.

解得+x+,kZ.

所以函数y=f(x)的单调减区间是[+,+](kZ).

(3)f(x)+f(-x)+m=(4x+)+(-4x+)+m

=(4x+4x)+(-4x+4x)+m

=4x+m=0，

所以m=-.

x[,]时,4x[,],4x[-1,-]，则-[,],

​​​​​​​所以实数m的取值范围是[,].

21.【答案】解：（1）当时，

，所以故零点集合为（2）由，知，对，有，所以，令，则，因此，则，因，故当时，取得最小值；（3）先证必要性：若有正整数周期，则，于是，所以也有正整数周期；再证充分