重庆市沙坪坝区2025-2026年学年高二数学下学期半期考试试题含解析

重庆市2025-2026年学年度下学期半期考试

高二数学试题卷

（满分150分，120分钟完卷）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列说法错误的是（）

1

A.若随机变量X～B10,，则EX5

2

B.若PA0.6，PB0.4，P(B|A)0.4，则事件A与事件B独立

C.若随机变量X的方差DX1，则D3X110

D.若随机变量X服从正态分布N6,2，若P(X10)0.8，则P(2X6)0.3

【答案】C

【解析】

1

【详解】对A：随机变量～，则EX105，故A正确；

12

��10,2

对B：，所以，即事件A与事件B独立，故B正确；

������

�(�|�)=��=0.6=0.4���=0.24=����

对C：随机变量X的方差DX1，则D3X132DX9，故C错误；

对D：随机变量X服从正态分布N6,2，P(X10)0.8，

则，故D正确．

2.�已(2知<函�数<6)=�(6<�<10)=�(�<，10则)−f�2�≤（6=0.）8−0.5=0.3

13'2

3

A.1��=�−�B.21�+�−3C.5D.5

【答案】B

【解析】

【分析】代入导数的运算公式，再求导数值.

【详解】，则，解得f21．

'2''2'

��=�−2�2�+1�2=2−2�2⋅2+19

3.已知变量，y线性相关，其一组样本数据，，，，，满足，用最小二乘法得

xxiyii129xi66

i1

到的经验回归方程为y2x1，若增加一个数据6，1后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据

5，10相对于修正后的回归直线的残差为（）

A.0.3B.0.2C.0.3D.0.2

【答案】A

【解析】

【分析】分别求修正前和修正后的样本点中心，再代入回归直线方程求解回归后的直线方程，再代入残差

公式.

96622

【详解】.因为，所以，因为经验回归方程过点，，

xi66xy2x1xy

i193

41

224191

所以，所以增加一个数据，后的，，

y2x121613

33y12.466+−6

10'

�=10=6

设修正后的回归直线为y2.1xaˆ，而修正后的回归直线过点x,y，即，，

所以12.42.16aˆ，612.4

解得aˆ0.2，所以修正后的回归直线为y2.1x0.2，

所以数据5，10相对于修正后的回归直线的残差为．

10−2.1×5−0.2=−0.3

4.某种产品的加工需要经过5道工序，A，B是其中两道工序，如果A工序不能放在最前，也不能放在最

后且A和B两道工序必须相邻，那么不同的加工顺序种数有（）

A.24B.36C.48D.120

【答案】B

【解析】

【详解】先排工序，有种排法，再排工序，有种排法，最后排其他三道工序，有3种，

A3B2A36

因此不同的加工顺序种数为．

3

43

5.已知函数f(x)x33l×nx2A在(=0,3263a)内有最小值，则实数a的取值可以是（）

x

111

A.B.1C.D.

e234

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出a的范围即可.

443(x4)(x1)

【详解】函数f(x)x3lnx定义域为(0,)，求导得f(x)1，

xx2xx2

当0x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，

函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，函数f(x)在x1处取得极小值，即最小值，

1

又函数f(x)在(0,23a)内有最小值，则123a，解得a，

3

1

所以实数a的取值可以是.

4

故选：D

6.某单位在5月1日——5月5日这5天假期期间，实行每日一人值班制度，以确保各项工作的日常运转

与应急事务的及时处理.现计划从4名员工中每天派1名员工值班，则每位员工至少值一天班的概率是

（）

15152448

A.B.C.D.

64128125125

【答案】A

【解析】

【分析】利用古典概型的概率计算公式求概率.

【详解】每天安排一名员工值班，都有4种安排方案，根据分步乘法计数原理，5天假期的安排方案共有：

45种.

若每位员工至少值一天班，则必定有1人值了2天班，可从4人中选1人，从5天中选2天进行安排，安

排方案为：12；剩余3天，3人每人1天，安排方案为3.结合分步乘法计数原理，每位员工至少值一

C4C5A3

天班的安排方法有：123.

C4C5A3

C1C2A315

所以每位员工至少值一天班的概率是：453.

4564

故选：A

7.国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四

年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中

国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域

涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不

同的涂色方案有（）

A.120种B.360种C.420种D.540种

【答案】C

【解析】

【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色，然后对使用的颜色种数进行

分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果.

【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色，

若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有3种，相对的直角三角形必同色，

53C5

此时不同的涂色方案有33种；

C5A360

若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有4种，其中一对相对的直角三角形必同色，

54C5

余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有414种；

C5C2A4240

5

若5块区域只用5种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有A5120种；

综上，不同的涂色方案有：60240120420种.

故选：C.

8.已知定义域为xx0的偶函数f(x)，其导函数为f(x)，对任意正实数x满足xf(x)2f(x)且

f(1)0，则不等式f(x)0的解集是（）

A.（－∞，1）B.（－1，1）

C.（－∞，0）∪（0，1）D.（－1，0）∪（0，1）

【答案】D

【解析】

f(x)

【分析】构造g(x)，由已知条件结合导数研究其单调性，利用奇偶性定义判断g(x)的奇偶性，再

x2

将不等式化为g(x)g(1)求解集.

f(x)xfx2fx

【详解】令g(x)且x0，则gx，又xf(x)2f(x)，

x2x3

当x0时g(x)0，当x0时g(x)0，

所以g(x)在(,0)上递减，在(0,)上递增，

f(x)f(x)

由f(x)为偶函数，则g(x)g(x)，故g(x)也为偶函数，

(x)2x2

f(1)f(x)f(1)

而g(1)g(1)0，且f(x)0等价于g(x)g(1)，

1x21

所以|x|1，故x(1,0)(0,1).

故选：D

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.如图是yfx的导数yfx的图象，则下面判断错误的是（）

A.在3,1内fx是增函数

B.在3,4内fx是减函数

C.在x1时fx取得极大值

D.当x4时fx取得极小值

【答案】AC

【解析】

【分析】由yfx的图象，可得函数fx的单调性，从而即可求解.

33

【详解】解：对A，由yfx的图象，可知x3,时，fx0，x,1时，fx0，

22

33

所以fx在3,上单调递减，在,1上单调递增，故选项A错误；

22

对B，由yfx的图象，可知x3,4时，fx0，所以fx在3,4上单调递减，故选项B正

确；

3

对C，由yfx的图象，可知x,2时，fx0，

2

3

所以fx在,2上单调递增，因为x1左右两边的单调性相同，所以fx取不到极大值，故选项

2

C错误；

对D，由yfx的图象，可知x2,4时，fx0，x4,5时，fx0，

所以fx在2,4上单调递减，在4,5上单调递增，

所以在x4时fx取得极小值，故选项D正确.

故选：AC.

10.已知n2n，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确

12xa0a1xa2xanx64

的是（）

A.n8B.a01

6

C.a3160D.a1a2an31

【答案】BCD

【解析】

n

【分析】由264，可判断A，当x0时，可判断B，利用展开式的通项求出a3，可判断C，当x1时，

可判断D．

【详解】因为展开式中的所有项的二项式系数和为64，所以2n64，解得n6，故A错误；

则626，令，可得，故B正确；

12xa0a1xa2xa6xx0a01

因为6展开式的通项为rr，，

12xTr1C62xr0,1,2,3,4,5,6

所以3333，所以，故C正确；

a3xC62x160xa3160

由展开式的通项为rr，，

Tr1C62xr0,1,2,3,4,5,6

所以a1,a3,a50，a0,a2,a4,a60，

所以a0a1a2a6a0a1a2a6，

令，可得6，

x1a0a1a2a63

6

所以a1a2an31，故D正确.

故选：BCD．

11.现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内

装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个

球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块

月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法

正确的是（）

1

A.在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是

5

2

B.第二次抽到红球的概率是

5

2

C.如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为

9

11

D.小明获得4块月饼的概率是

40

【答案】ACD

【解析】

【分析】记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件Ai,Bi分别表示第一次、第二次取到i球，i1,2,3，

选项A，根据条件，利用条件概率公式，即可求出结果；选项B，先求出P(A1),P(A2),P(A3)，P(B1|A1)，

P(B1|A2)，P(B1|A3)，再利用全概率公式即可求出结果；选项C，利用条件概率公式及选项B中结果，

即可求出结果；选项D，分三种情况讨论，分别求出对应概率，即可求出结果.

【详解】记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件Ai,Bi分别表示第一次、第二次取到i球，i1,2,3，

1

P(A3B3)201

对于选项A，在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是P(B3|A3)，所

P(A3)15

4

以选项A正确；

11122

对于选项B，因为P(A1),P(A2)P(A3)，又P(B|A)，P(B|A)，P(B|A)，

24112125135

311129

由全概率公式知，所以选项B错误，

P(B1)P(Ai)P(B1|Ai)2

i1224520

2

P(A2B1)202

对于选项C，如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为P(A2|B1)，

P(B1)99

20

所以选项C正确，

对于选项D，若小明获得4块月饼可能的情况有三种：

111

①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为P(A)P(B|A)，

131248

121

②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为P(A)P(B|A)，

3134510

111

③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为P(A)P(B|A)，

2224520

11111

所以小明获得4块月饼的概率是，故选项D正确，

8102040

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知事件满足：P(B)0.1,P(A∣B)0.5,P(A∣B)0.3，则P(A)__________.

【答案】0.68

【解析】

【分析】由条件概率乘法公式及全概率公式求得PA，再由对立事件概率公式即可求解.

【详解】解：因为PABPBPA|B0.05,PABPBPA|B0.30.90.27

所以PAPABPAB0.050.270.32

所以PA1PA0.68

故答案为：0.68

x6

13.(2)xy的展开式中，含x3y3项的系数为__________.

y

【答案】55

【解析】

【分析】将原式拆解成两个二项式的和，借助于通项的分析即得.

x66x6

【详解】(2)xy2xyxy，

yy

因二项式6的通项为r6rr，

xyTr1C6xy,r0,1,2,,6

则6的展开式中含33项的系数为3；

2xyxy2C622040

x66

对于xy，只需求其中xy的展开式含x2y4项的系数，即C415.

y6

x6

故(2)xy的展开式中，含x3y3项的系数为2C3C4401555.

y66

故答案为：55.

14.哈希算法是一种特殊的函数，也是一种加密技术．已知p-hashing是最简单的哈希算法之一，它把一

个较大数字的每一位改成它除以素数p所得到的余数．例如：对于数字752196进行2-hashing得到的哈希

值为110110，那么对于数字752196进行3-hashing得到的哈希值为________；现对一个正整数进行

3-hashing后得到哈希值为120021，则这样的正整数共有________个．（用数字作答）

【答案】①.122100②.1296

【解析】

【分析】借助定义计算每一位除以3的余数即可得空一；计算除以3的余数为0、1、2的一位正整数的个

数，结合组合数公式进行计算即可得空二.

【详解】由7除以3的余数为1，5除以3的余数为2，2除以3的余数为2，

1除以3的余数为1，9除以3的余数为0，6除以3的余数为0，

可知数字752196进行3-hashing得到的哈希值为122100；

除以3的余数为0的正整数可能为0、3、6、9，

除以3的余数为1的正整数可能为1、4、7，

除以3的余数为2的正整数可能为2、5、8，

则对一个正整数进行3-hashing后得到哈希值为120021，

则这样的正整数共有11111142个.

C3C3C4C4C3C3341296

故答案为：122100；1296.

四、解答题：本题共5小题，共61分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知函数fxaln2x1x2b，a,bR．若fx在x0处与直线y2x1相切．

（1）求a,b的值；

（2）求fx的最大值．

【答案】（1）a1,b1

3

（2）ln2

4

【解析】

2a

【分析】（1）求得fx2x，得到f02a，且f0b，根据题意，列出方程组，即可求

2x1

解.

1

4(x)(x1)

（2）由（1）得到，求得函数fx的单调性和极大值，进而求得函数fx的

fx2

2x1

最大值，得到答案.

【小问1详解】

2a

解：由函数fxaln2x1x2b，可得fx2x，

2x1

可得f02a，且f0b，

因为曲线yfx在x0处与直线y2x1相切，

2a2

可得，解得a1,b1.

b201

【小问2详解】

21

解：由（1）知fxln2x1x1，可得其定义域为(,)

2

1

4(x)(x1)

且2，

fx2x2

2x12x1

111

当x(,)时，fx0；当x(,)时，fx0，

222

111

所以函数fx在(,)上单调递增，在(,)上单调递减，

222

113

当x时，函数取得极大值，也是最大值f()ln2.

224

16.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两

组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，

现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.

（1）设事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求

事件A发生的概率；

（2）用X表示抽取的4人中乙组女生的人数，求随机变量X的分布列和期望

24

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.

73

【解析】

C1C1C2362

【分析】（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求324.（Ⅱ）先由题得可能取

PA4X

C91267

值为0,1,2,3,再求x的分布列和期望.

C1C1C2362

【详解】（Ⅰ）324

PA4

C91267

（Ⅱ）X可能取值为0,1,2,3,

C4C0155

63,

PX04

C912642

C3C16010

63,

PX14

C912621

C2C2455

63,

PX24

C912614

C1C361

63,

PX34

C912621

X的分布列为

X0123

51051

P

42211421

510514

EX0123.

422114213

【点睛】本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识

的理解掌握水平和分析推理能力.

17.在2024年巴黎奥运会上，我国乒乓球运动员取得“五连冠”的优异成绩，激发了全民“国球热”.某

社区举办了乒乓球比赛，甲、乙两人争夺冠亚军，采用五局三胜制（每局比赛没有平局），比赛共有1000

元奖金，约定如下规则：若比赛3局决出胜负，冠军获得900元奖金，亚军获得100元奖金；若比赛4局

决出胜负，冠军获得700元奖金，亚军获得300元奖金；若比赛5局决出胜负，冠军获得600元奖金，亚

21

军获得400元奖金，已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为.

33

（1）求比赛4局决出胜负的概率；

（2）求甲获得的奖金X的分布列与数学期望.

（3）比赛五局三胜制和三局两胜制，甲选手更希望选哪种？理由是什么？

10

【答案】（1）

27

53300

（2）分布列见解析，E(X)（元）

81

（3）选五局三胜，理由见解析

【解析】

【分析】（1）分甲获胜或乙获胜两种情况，分别利用独立事件的概率公式求解；

（2）根据题意结合独立事件的概率公式列出分布列，并利用期望公式求解；

（3）分别求出五局三胜和三局两胜制时，甲获胜的概率，比较大小即可.

【小问1详解】

2

若甲获胜，则概率为22128；

P1C3

33327

2

若乙获胜，则概率为21212，

P2C3

33327

10

故比赛4局决出胜负的概率为PP.

1227

【小问2详解】

由题意可知，X的取值可能为900，700，600，400，300，100，

32

28，22128，

P(X900)P(X700)C3

32733327

2222

221216，22118，

P(X600)C4P(X400)C4

3338133381

23

21212，11，

P(X300)C3P(X100)

33327327

所以X的分布列为：

X900700600400300100

8816821

P

272781812727

881682153300

所以E(X)900700600400300100（元）.

27278181272781

【小问3详解】

881664

由（2）可知，五局三胜时，甲获胜的概率为，

27278181

22

三局两胜时，甲获胜的概率为21212064，

C2

3332781

所以更喜欢五局三胜制，因为这样甲获胜的概率更大！

18.一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：

温度x/C212324272932

产卵数y/个61120275777

i1i1i1i1i1

1122

经计算得：xxi26,yyi33,xixyiy557,xix84,yiy3930,

6666666

i1

线性回归模型的残差平方和28.0605，其中分别为观测数据中的温度和产

yiyˆi236.64,e3167xi,yi

6

卵数，i1,2,3,4,5,6.

（1）若用线性回归方程，求y关于x的回归方程yˆbˆxaˆ（精确到0.1）；

（2）若用非线性回归模型求得y关于x回归方程为yˆ0.06e0.2303x，且相关指数R20.9522.

（i）试与（1）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好.

（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.

ˆ

附：一组数据x1,y1,x2,y2,,xn,yn，其回归直线yˆbxaˆ的斜率和截距的最小二乘估计为

i1i1

2

xixyiyyiyˆi

ˆnˆ；决定系数2n.

bi1,aˆybxR1i1

22

xixyiy

nn

【答案】（1）yˆ6.6x138.6

（2）（i）非线性回归模型拟合效果更好；（ii）190；

【解析】

【分析】（1）求出x、y后代入公式直接计算得b、a，即可得解；

（2）（i）求出线性回归模型的决定系数，与0.9522比较即可得解；

（ii）直接把x35代入yˆ0.06e0.2303x，计算即可得解.

【小问1详解】

1616

由题意，则，，

n6xxi26yyi33

6i16i1

6

(xx)(yy)

ii557

ˆi1，，

b66.6aˆ336.626138.6

284

(xix)

i1

y关于x的线性回归方程为yˆ6.6x138.6.

【小问2详解】

66

（i）对于线性回归模型，2，2，

(yiy)3930(yiyi)236.64

i1i1

6

(yy)2

ii236.64

决定系数为i1，

16110.06020.9398

23930

(yiy)

i1

因为0.93980.9522，所以用非线性回归模型拟合效果更好.

（ii）当x35，时yˆ0.06e0.2303350.06e8.06050.063167190