工程信号与系统（第2版）课件 第六章拉普拉斯变换与复频域分析2

第六章拉普拉斯变换与复频域分析6.1拉普拉斯变换基本理论Z6.1双边拉普拉斯变换的定义Z6.2收敛域Z6.3单边拉氏变换的定义Z6.4单边拉氏变换与傅里叶变换的关系Z6.5常见信号的拉普拉斯变换Z6.6拉普拉斯变换的性质-线性、尺度变换Z6.7拉普拉斯变换的性质-时移、复频移特性Z6.8拉普拉斯变换的性质-时域和复频域的微积分特性Z6.9拉普拉斯变换的性质-卷积定理Z6.10拉普拉斯变换的性质-初值、终值定理Z6.11拉普拉斯反变换Z6.12拉普拉斯变换的计算机仿真求解6.2拉普拉斯变换应用于电路分析Z6.13电路元件和定理的s域模型Z6.14电路系统的s域分析方法6.3连续系统的复频域分析法Z6.15微分方程的变换解Z6.16连续系统函数H(s)的定义和求解Z6.17连续系统函数的零极点分布与时域特性Z6.18连续系统稳定性判据Z6.19计算机仿真绘制零极点图和判稳Z6.20系统函数与系统的频率特性Z6.21计算机仿真求频响和判稳6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析*Z6.28零极点配置的作用Z6.29低通、带通和带阻滤波器中零极点的配置Z6.30应用案例：一阶RC电路实现低通滤波器6.6控制系统分析和应用*Z6.31自动位置闭环反馈控制系统的特性Z6.32根轨迹的仿真绘制Z6.33

奈奎斯特曲线的仿真绘制Z6.34应用案例：音响反馈系统的模型Z6.35应用案例：反馈降低闭环噪声信号的扰动6.4连续系统的信号流图与系统模拟Z6.22连续系统的s域框图Z6.23连续系统的信号流图Z6.24梅森公式Z6.25连续系统的模拟：直接形式Z6.26连续系统的模拟：级联形式Z6.27连续系统的模拟：并联形式第六章拉普拉斯变换与复频域分析知识点Z6.22连续系统的s域框图

6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析主要内容：1.连续系统的s域框图2.s域框图基本单元

基本要求：1.掌握连续系统的s域框图2.熟练根据框图列出系统的微分方程6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析Z6.22连续系统的s域框图时域框图基本单元∫f(t)af(t)y(t)=a

f

(t)s域框图基本单元s–1F(s)Y(s)=s–1F(s)aF(s)Y(s)=aF(s)∑f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)++∑F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)++6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

X(s)s-1X(s)s-2X(s)例

列出微分方程。解：画出s域框图,s-1s-1F(s)Y(s)设左边加法器输出为X(s)，如图X(s)=F(s)–3s-1X(s)–2s-2X(s)s域的代数方程Y(s)=X(s)+4s-2X(s)微分方程为y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f″(t)+4f(t)知识点Z6.23连续系统的信号流图

6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析主要内容：1.信号流图的定义及常用术语2.框图和流图基本要求：1.掌握连续系统的信号流图2.熟练画出系统的信号流图6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.23连续系统的信号流图用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图是用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便。信号流图首先由Mason于1953年提出的，应用非常广泛。信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与框图本质是一样的，但简便多了。1.定义：信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。

2.信号流图中常用术语6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

(1)结点：信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。(2)支路和支路增益：连接两个结点之间的有向线段称为支路。每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）。F(s)H(s)Y(s)即用一条有向线段表示一个子系统。

(3)源点与汇点，混合结点：

仅有出支路的结点称为源点（或输入结点）。

仅有入支路的结点称为汇点（或输出结点）。

有入有出的结点为混合结点。6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

.沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为通路。.如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。.若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为闭通路。.相互没有公共结点的回路，称为不接触回路。.只有一个结点和一条支路的回路称为自回路。(5)前向通路：从源点到汇点的开通路称为前向通路。

(6)前向通路增益，回路增益：.前向通路中各支路增益的乘积称为前向通路增益。.回路中各支路增益的乘积称为回路增益。(4)通路、开通路、闭通路、不接触回路、自回路：6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

3.信号流图的基本性质（1）信号只能沿支路箭头方向传输。支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。（2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。x4=ax1+bx2+dx5

x3=cx4x6=ex46.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

4.方框图

流图注意：加法器前引入增益为1的支路5.流图的基本规则（1）支路串联：支路增益相乘。X2=H2X3=H2H1X1（2）支路并联：支路增益相加。X2=H1X1+H2X1=(H1+H2)X16.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

（3）混联：X4=H3X3=H3(H1X1+H2X2)=H1H3X1+H2H3X2知识点Z6.24梅森公式

6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：1.梅森公式及其各符号含义2.梅森公式求解系统函数步骤基本要求：1.掌握梅森公式的含义2.熟练掌握由梅森公式求系统函数6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.24梅森公式系统函数H(s)记为H。梅森公式为：流图的特征行列式为所有不同回路的增益之和；

为所有两两不接触回路的增益乘积之和；

为所有三三不接触回路的增益乘积之和；…i

表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号；Pi

是由源点到汇点的第i条前向通路增益；△i

为第i条前向通路特征行列式的余因子。消去接触回路6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例

求下列信号流图的系统函数。解：

(1)首先找出所有回路：L1=H3G

L2=2H1H2H3H5

L3=H1H4H5

(2)求特征行列式△=1-(H3G+2H1H2H3H5+H1H4H5)+H3G

H1H4H5△2=1-GH3

(3)然后找出所有前向通路及余因子：

p1=2H1H2H3△1=1p2=H1H4

知识点Z6.25连续系统的模拟：直接形式

6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：梅森公式直接模拟系统基本要求：掌握梅森公式实现直接形式1的系统模拟6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.25连续系统的模拟：直接形式利用Mason公式来实现例1分子中每项看成是一条前向通路。分母中，除1之外，其余每项看成一个回路。画流图时，所有前向通路与全部回路相接触；所有回路均相接触。画出系统的信号流图。解：6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

由梅森公式：流图包含两条开路，一个环。（形式1）（形式2）6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例2画出系统信号流图。解：由梅森公式：流图包含3条开路和两个相接触环。6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

（形式1）（形式2）知识点Z6.26连续系统的模拟：级联形式

6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：级联形式的系统模拟基本要求：掌握级联形式的系统函数6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例Z6.26连续系统的模拟：级联形式6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.27连续系统的模拟：并联形式

6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

主要内容：连续系统的并联模拟方法基本要求：掌握并联形式的系统函数6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

例Z6.27连续系统的模拟：并联形式6.4连续系统的信号流图与系统模拟第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.28零极点配置的作用

主要内容：1.极点增强效益2.零点抑制效益基本要求：掌握零极点配置的作用6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.28零极点配置的作用1.极点增强效益假定系统函数只有一个极点，，如图(a)所示。值求其幅度

，

将该极点连到虚轴上的点，假定该线段的长度是

，那么为了对某正比于：应画出其幅频和相频图如图(b)(c)所示。6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

(a)(b)(c)6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

2.零点抑制效益图(e)显示零点对幅频特性的抑制效果。适当配置零极点对，可互相抵消在频率响应上的影响。利用这些不同的频率选择特性，来设计低通、高通、带通和带阻（陷波）滤波器。(d)(e)(f)假定零点知识点Z6.29低通、

带通和带阻滤波器中零极点的配置

主要内容：多种滤波器中零极点的配置基本要求：掌握零极点配置的原理6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.29低通、带通和带阻滤波器中零极点的配置1.低通滤波器显然一个典型的低通滤波器在个极点在它的邻近频率上能使增益增强，所以需要在左半实轴上配置一个（或多个）极点，如图(a)所示。该系统的系统函数是：处有最大增益。由于一是极点到虚轴上点的距离，且有。(a)单极点6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

当增加，也增大，单调减少，如图(c)中的的曲线所示，其在附近增益被增强。

(c)幅度响应

(b)极点墙可以证明，为了实现在频带0~ɷc上所有频率都要增强增益，就需要在左半平面配置无穷多个极点，这些极点位于图(b)所示的半圆形墙上，也称极点墙。对于不同极点个数N的幅度响应如图(c)所示，随着极点个数，滤波器接近于理想的。这一类理想滤波器即为巴特沃茨(Butterworth)滤波器

。6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

(c)幅度响应6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

2.带通滤波器图(b)阴影表示理想带通滤波器的增益，在通带内被增强。实现方法为：如图(a)在左半平面内面对虚轴，以jɷ0和-jɷ0分别为中心配置一堵极点墙，极点墙上所有极点均为共轭极点。(a)极点组成(b)幅度响应6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

3.带阻滤波器一种带阻滤波器的极点组成和幅度响应(a)零极点组成(b)幅度响应

一个理想陷波滤波器的幅度响应(图(b)的阴影部分)，与理想带通滤波器的幅度响应刚好相反。以一个二阶陷波滤波器为例，（1）要求在处得到零增益，为此，必须在

处有零点。（2）要求在增益为1，就需要极点个数等于零点个数，这就保证了对于

，极点到

的距离乘积一定等于零点到

的距离乘积。6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

（3）要求ω=0的增益为1，就需要配置与原点等距离的零点和相应极点，如果采用一对共轭零点，就必须有两个相应极点，并且极点、零点到原点的距离是相同的。此时，只要将两个共轭极点配置在以ω0为半径的半圆上就能满足这个要求，如图(a)所示。极点可以位于这个半圆上的任意位置处，均能满足等距离的条件，假定与负实轴成。（4）由于邻近的极点和零点有相互抵消影响的倾向，故将极点尽可能放置在靠近零点处（θ接近π/2），这样保证当频率从

ω

=ω0向两边稍有变化时，增益能从0到1有一个急剧的恢复，图(b)是三种不同的θ增益。6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

知识点Z6.30一阶RC电路实现低通滤波器

主要内容：一阶RC电路实现低通滤波器基本要求：掌握一阶RC电路实现低通滤波器6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.5零极点配置在模拟滤波器的应用分析第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.30应用案例：

一阶RC电路实现低通滤波器其系统函数为其幅度响应为知识点Z6.31自动位置闭环反馈控制系统的特性

主要内容：分析闭环反馈系统的特性基本要求：了解闭环反馈系统特性的分析方法6.6控制系统分析和应用第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.6控制系统分析和应用第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.31应用案例：自动位置闭环反馈控制系统的特性(a)自动位置控制系统(b)方框图6.6控制系统分析和应用第六章拉普拉斯变换与复频域分析

(c)单位阶跃响应(d)单位斜坡响应知识点Z6.32根轨迹的仿真绘制

主要内容：计算机仿真绘制根轨迹基本要求：掌握根轨迹的仿真绘制法6.6控制系统分析和应用第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.6控制系统分析和应用第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.32根轨迹的仿真绘制例

已知开环系统传递函数绘制出闭环系统的根轨迹，并分析其稳定性。解：num=[1,2];den1=[1,4,3];den=conv(den1,den1);figure(1)rlocus(num,den)title('RootLocus')[k,p]=rlocfind(num,den)%找出根轨迹与虚轴交点处的增益6.6控制系统分析和应用第六章拉普拉斯变换与复频域分析

%判断稳定性figure(2)k=55;num1=k*[1,2];den=[1,4,3];den1=conv(den,den);[num,den]=cloop(num1,den1,-1);impulse(num,den)title('ImpulseResponse(k=55)')6.6控制系统分析和应用第六章拉普拉斯变换与复频域分析

%判断稳定性figure(3)k=56;num1=k*[1,2];den=[1,4,3];den1=conv(den,den);[num,den]=cloop(num1,den1,-1);impulse(num,den)title('ImpulseResponse(k=56)')6.6控制系统分析和应用第六章拉普拉斯变换与复频域分析

执行后得Selectapointinthegraphicswindowselected_point=0.0000-3.1579ik=55.6908p=-5.98780.0029+3.1564i0.0029-3.1564i-2.0179闭环系统根轨迹知识点Z6.33奈奎斯特曲线的仿真绘制

主要内容：1.奈奎斯特的稳定性判据2.计算机仿真绘制奈奎斯特曲线

基本要求：1.掌握奈奎斯特的稳定性判据2.掌握奈奎斯特曲线的仿真绘制6.6控制系统分析和应用第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.6控制系统分析和应用第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.33奈奎斯特曲线的仿真绘制1.奈奎斯特(Nyquist)判据的基本概念对于连续闭环极点方程A(s)=0在右半平面没有根，即右半平面没有闭环系统的极点，则线性反馈系统是绝对稳定的。因此可以沿着s平面的虚轴，检查开环系统函数的值（即G(s)F(s)），来判断线性反馈系统的稳定性。这种判断方法即为“奈奎斯特稳定性判据”。6.6控制系统分析和应用第六章拉普拉斯变换与复频域分析

2.计算机仿真绘制奈奎斯特曲线例

开环系统，绘制出系统的奈奎斯特曲线，并判断闭环系统的稳定性，最后求出闭环系统的单位冲激响应。

解：根据开环系统传递函数，利用Nyquist函数可绘出系统的Nyquist曲线，并根据奈氏判据判别闭环系统的稳定性，最后利用cloop函数构成闭环系统，并用impulse函数求出冲激响应以验证系统的稳定性。6.6控制系统分析和应用第六章拉普拉斯变换与复频域分析

仿真程序为：k=50;z=[];p=[-5,2];[num,den]=zp2tf(z,p,k);figure(1)nyquist(num,den)title('NyquistPlot');figure(2)[num1,den1]=cloop(num,den);impulse(num1,den1)title('ImpulseResponse')6.6控制系统分析和应用第六章拉普拉斯变换与复频域分析

可以看出，Nyquist曲线按逆时针包围点1圈，而开环系统包含右半s平面上的一个极点，因此，以此构成的闭环系统稳定。系统Nyquist曲线闭环系统单位冲激响应知识点Z6.34音响反馈系统的模型

主要内容：音响反馈系统的模型

基本要求：掌握音响反馈系统稳定性的分析方法6.6控制系统分析和应用第六章拉普拉斯变换与复频域分析

6.6控制系统分析和应用第六章拉普拉斯变换与复频域分析

Z6.34应用案例：音响反馈系统的模型音响反馈系统模型例

音响反馈系统的模型。K为音频放大器的可调增益，反馈通路F(s)为扬声器到话筒之间的声音传播路径，它的路径衰减为α

，0<

α

<1，路径延时为T。试分析该音响反馈系统的稳定性。

其幅度频率响应

和相频响应