工程信号与系统（第2版）课件 第四章 傅里叶变换域频域分析

第四章傅里叶变换与频域分析4.1信号分解为正交函数Z4.1矢量的正交分解Z4.2信号的正交分解Z4.3帕斯瓦尔定理4.2周期信号的傅里叶级数Z4.4周期信号三角形式的傅里叶级数Z4.5周期信号波形的对称性和谐波特性Z4.6周期信号指数形式的傅里叶级数Z4.7两种傅里叶级数展开形式的关系4.3周期信号的频谱及特点Z4.8周期信号的频谱Z4.9单边谱和双边谱的关系Z4.10周期矩形脉冲信号的频谱和特点Z4.11周期信号的平均功率Z4.12应用案例：DC-to-AC转换器4.4非周期信号的频谱——傅里叶变换Z4.13非周期信号的频谱Z4.14傅里叶正反变换定义Z4.15常用函数的傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析4.5傅里叶变换的性质Z4.16线性Z4.17奇偶性Z4.18对称性Z4.19尺度变换特性Z4.20时移特性Z4.21频移特性Z4.22卷积定理Z4.23时域微积分特性Z4.24频域微积分特性Z4.25相关定理4.6能量谱和功率谱Z4.26能量谱Z4.27功率谱Z4.28*应用案例：白噪声功率谱密度的估计4.7周期信号的傅里叶变换Z4.29周期信号的傅里叶变换Z4.30周期信号傅里叶级数与傅里叶变换的关系第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析Z4.31基本信号ejωt作用于LTI系统的响应Z4.32一般信号f(t)作用于LTI系统的响应Z4.33傅里叶变换分析法Z4.34傅里叶级数分析法Z4.35频率响应函数Z4.36计算机仿真求解系统响应Z4.37无失真传输Z4.38理想低通滤波器Z4.39物理可实现系统的条件Z4.40应用案例：二次抑制载波振幅调制接收系统4.9取样定理Z4.41信号的取样Z4.42时域取样定理Z4.43频域取样定理Z4.44应用案例：计算机仿真实现Sa信号的采样和恢复Z4.45*应用案例：数字录音系统第四章傅里叶变换与频域分析*4.10模拟滤波器Z4.46模拟滤波器Z4.47巴特沃斯低通滤波器Z4.48应用案例：计算机仿真设计巴特沃斯低通滤波器Z4.49

切比雪夫滤波器Z4.50

椭圆滤波器*4.11傅里叶变换在通信系统中的应用Z4.51载波抑制双边带调制Z4.52幅度调制Z4.53

单边带调制Z4.54频分多路复用Z4.55

脉冲幅值调制Z4.56

时分多路复用Z4.57

通信中的多址技术知识点Z4.0第四章傅里叶变换与频域分析思考问题：*频域是什么？特点？--从频域看世界！*频域分析的基本方法是什么？*频域分析中的重要概念？重要应用？频域分析法要点：以正弦信号和虚指数信号为基本信号，将任意输入信号分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和，再利用LTI性质求出系统的响应。说明：系统分析的独立变量是频率，分析是在频率空间进行的，故称为频率域分析，简称频域分析。第四章傅里叶变换与频域分析4.0引言—频域分析理念法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。1822年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅里叶分析等理论均由此创始。（傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶积分、傅里叶变换，这些统称为傅里叶分析。）其它贡献：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。

傅里叶简介第四章傅里叶变换与频域分析4.0引言知识点Z4.1矢量的正交分解4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析主要内容：1.矢量正交、正交矢量集的定义2.矢量的正交分解基本要求：1.掌握矢量正交的基本概念2.了解矢量正交分解对信号正交分解的启示4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析1.矢量正交Z4.1矢量的正交分解复习：两矢量V1与V2正交，夹角为90°

两正交矢量的内积为零

2.正交矢量集:由两两正交的矢量组成的矢量集合。(思考：基本信号？为什么？)4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析3.非正交矢量的近似表示及误差用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，则误差矢量显然，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析4.矢量正交分解：任意n维矢量可由n维正交坐标系表示。

矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间：在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。推广到n维空间:n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为n个正交矢量的线性组合，即式中，Vi·Vj=0(i≠j)，第r个分量的系数

4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析知识点Z4.2信号的正交分解4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析主要内容：1.信号正交的定义2.正交函数集、完备正交函数集的定义3.信号的正交分解基本要求：1.掌握完备正交函数集的基本概念2.掌握信号正交分解的方法4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析1.信号正交

定义在(t1，t2)区间的两个函数

1(t)和

2(t),若满足(两函数的内积为0)则称

1(t)和

2(t)在区间(t1，t2)内正交。Z4.2信号的正交分解说明：实函数正交(内积为0)4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析2.正交函数集：

若n个函数

1(t)，

2(t)，…，

n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。说明：如果，称为标准正交函数集。4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析3.完备正交函数集：

如果在正交函数集{

1(t),

2(t),…,

n(t)}之外，不存在任何函数

(t)(≠0)满足则称此函数集为完备正交函数集。4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析例：两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。（1）三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}（2）虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析4.信号的正交分解

设有n个函数

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。思考问题：如何选择各系数Cj，使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小？4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析为使上式最小（系数Cj变化时），有展开被积函数，并求导，只有两项不为0，写为：即：所以系数4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析代入，得最小均方误差在用正交函数去近似f(t)时，所取的项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（完备正交函数集），均方误差为零。4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析任意信号f(t)可以表示为无穷多个正交函数之和：结论实变函数下复变函数下广义傅里叶系数上式称为信号的正交展开式，也称为广义傅里叶级数。知识点Z4.3帕斯瓦尔定理4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析主要内容：1.信号的能量2.帕斯瓦尔定理基本要求：1.掌握信号能量的基本概念2.了解帕斯瓦尔方程的物理含义4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析帕斯瓦尔方程：信号的能量各正交分量的能量物理意义：在区间(t1,t2)，信号f(t)所含有的能量恒等于此信号在完备正交函数集中各正交分量能量之和，即能量守恒定理,也称帕斯瓦尔定理。

数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。

Z4.3帕斯瓦尔定理知识点Z4.4三角形式的傅里叶级数第四章傅里叶变换与频域分析4.2周期信号的傅里叶级数

主要内容：1.周期信号三角形式的傅里叶级数2.狄里赫利条件3.吉布斯现象基本要求：1.掌握傅里叶级数和谐波的基本概念2.了解狄里赫利条件3.了解吉布斯现象的原理4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析Z4.4周期信号三角形式的傅里叶级数三角函数集

{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}设周期信号f(t)，其周期为T，角频率

=2

/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，可展开为三角形式的傅里叶级数。

系数an,bn称为傅里叶系数。

1.三角形式的傅里叶级数4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析余弦分量系数：正弦分量系数：直流分量：直流n次余弦分量n次正弦分量4.2周期信号的傅里叶级数第四章傅里叶变换与频域分析2.狄里赫利(Dirichlet)条件：条件1：在一个周期内，函数连续或只有有限个第一类间断点；条件2：在一个周期内，函数极大值和极小值的数目应为有限个；条件3：在一个周期内，函数绝对可积。4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析合并n次正余弦分量3.余弦形式的傅里叶级数4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析A0/2为直流分量；A1cos(

t+

1)称为基波或一次谐波，角频率与原周期信号相同；A2cos(2

t+

2)称为二次谐波；…Ancos(n

t+

n)称为n次谐波。表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析例：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。解：考虑到Ω=2π/T，可得：4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析信号的傅里叶级数展开式为：直流基波3次谐波n次谐波4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析（a）1次谐波（基波）

（c）1&3&5次谐波（f）1&3&…&999次谐波（e）1&3&…&99次谐波（d）1&3&5&7次谐波（b）1&3次谐波约9%偏差吉布斯现象用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超调量。超调量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。当选取的项数很大时，该超调量趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%，并从间断点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象称为吉布斯现象。4.吉布斯现象4.2周期信号的傅里叶级数第四章傅里叶变换与频域分析知识点Z4.5周期信号波形对称性和谐波特性第四章傅里叶变换与频域分析4.2周期信号的傅里叶级数

主要内容：1.奇函数、偶函数、奇谐函数和偶谐函数2.谐波特性基本要求：了解奇偶函数、奇谐、偶谐函数的谐波特性4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析Z4.5周期信号波形的对称性和谐波特性1.f(t)为偶函数——对称于纵轴f(t)=f(-t)bn

=0，展开为余弦级数。4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析2.f(t)为奇函数——对称于原点f(t)

=-f(-t)an

=0，展开为正弦级数。4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析3.f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量，即：a0=a2=…=b2=b4=…=0

4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析4.f(t)为偶谐函数——f(t)=f(t±T/2)

其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量，即：a1=a3=…=b1=b3=…=0知识点Z4.6指数形式的傅里叶级数第四章傅里叶变换与频域分析4.2周期信号的傅里叶级数

主要内容：1.指数形式的傅里叶级数2.复傅里叶系数基本要求：1.掌握傅里叶级数的指数形式展开式2.掌握复傅里叶系数的基本概念4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析Z4.6指数形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。三角形式傅里叶级数利用欧拉公式-n→nA–n=An

–n=–

n4.2周期信号的傅里叶级数令复数称为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。4.2周期信号的傅里叶级数第四章傅里叶变换与频域分析指数形式的傅里叶级数复傅里叶系数表明：周期信号f(t)分解为不同频率的虚指数信号之和，Fn

是频率为n

的分量的系数，F0

=A0/2为直流分量。4.2周期信号的傅里叶级数第四章傅里叶变换与频域分析例：求如图所示周期信号的指数形式的傅里叶级数。解：4.2周期信号的傅里叶级数第四章傅里叶变换与频域分析指数形式的傅里叶级数为：知识点Z4.7两种傅里叶级数展开形式的关系第四章傅里叶变换与频域分析4.2周期信号的傅里叶级数

主要内容：三角和指数形式傅里叶级数的相互关系基本要求：掌握两种形式傅里叶级数的相互关系4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析Z4.7两种傅里叶级数展开形式的关系三角形式的傅里叶级数：指数形式的傅里叶级数：知识点Z4.8周期信号的频谱第四章傅里叶变换与频域分析4.3周期信号的频谱及特点主要内容：1.周期信号频谱图的定义2.单边谱的定义3.双边谱的定义基本要求：掌握周期信号频谱的基本概念第四章傅里叶变换与频域分析Z4.8周期信号的频谱4.3周期信号的频谱及特点频谱：周期信号分解后，各分量的幅度和相位对于频率的变化，分别为幅度谱和相位谱。三角函数形式分解虚指数函数形式分解频谱图：将幅度和相位分量用一定高度的直线表示；其中幅度谱图反映了信号不同频率分量的大小。第四章傅里叶变换与频域分析4.3周期信号的频谱及特点三角函数形式分解虚指数函数形式分解频谱分类直流分量幅度相位n单边谱

A0/2

An

n

n=0，1，2，…

双边谱

F0

|Fn|

n

n=0，±1,±2,…,

知识点Z4.9单边谱和双边谱的关系第四章傅里叶变换与频域分析4.3周期信号的频谱及特点主要内容：单边谱和双边谱的关系基本要求：熟练掌握单边谱和双边谱的绘制第四章傅里叶变换与频域分析Z4.9单边谱和双边谱的关系关系：4.3周期信号的频谱及特点|Fn|是n的偶函数，双边幅度谱的谱线高度为单边幅度谱的一半，且关于纵轴对称；而直流分量值不变。

n是n

的奇函数，双边相位谱可以由单边相位谱直接关于零点奇对称。4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析例：周期信号

求基波角频率Ω，平均功率P，画出频谱图。解

化为标准形式：的周期T1=8的周期T2=6f(t)的周期：T=24s基波角频率:Ω=2π/T=π/12rad/s根据帕斯瓦尔等式4.3周期信号的频谱及特点

1是f(t)的直流分量。是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次谐波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次谐波分量。4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析|Fn|偶函数

n奇函数知识点Z4.10周期矩形脉冲信号频谱的特点第四章傅里叶变换与频域分析4.3周期信号的频谱及特点

主要内容：1.周期矩形脉冲信号的频谱2.周期信号频谱的特点3.谱线结构与波形参数的关系基本要求：1.掌握周期矩形脉冲信号的频谱2.了解周期信号频谱的特点3.了解谱线结构与波形参数的关系4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析例:有一幅度为1，脉冲宽度为

的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。解：4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析设T=4τ

画图零点为两零点间谱线间隔数确定基频ωFn04.3周期信号的频谱及特点第四章傅里叶变换与频域分析令T=4τ离散性：以基频Ω

为间隔的若干离散谱线组成；谐波性：谱线仅含有基频Ω的整数倍分量；收敛性：整体趋势减小。周期信号频谱的特点：4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析分析：T不变，

变小谱线间隔

不变幅度下降零点右移，两零点间的谱线数目(T/

)

增加。谱线结构与波形参数的关系:4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析结论：T不变，

变小时域压缩，频域展宽4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析

不变，T↑，幅度↓，间隔

↓，频谱变密。T→∞时，谱线间隔

=2π/T→0，谱线幅度→0，周期信号的离散频谱过渡为非周期信号的连续频谱。谱线结构与波形参数的关系:4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析收敛性分析:振幅是收敛的：信号的能量主要集中在低频分量中。知识点Z4.11周期信号的平均功率第四章傅里叶变换与频域分析4.3周期信号的频谱及特点

主要内容：1.周期信号功率的定义2.帕斯瓦尔功率等式3.频带宽度的定义基本要求：1.掌握周期信号功率的基本概念2.熟练掌握周期信号功率的计算3.了解频带宽度的概念4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析Z4.11周期信号的功率含义：周期信号平均功率=直流和谐波分量平均功率之和。周期信号一般是功率信号，其平均功率为表明：对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等。这是帕斯瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现。4.3周期信号的频谱及特点第四章傅里叶变换与频域分析令T=4τ频带宽度第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析令T=4τ第一个零点以内各分量的功率占总功率：周期矩形脉冲信号的频带宽度4.3周期信号的频谱及特点(1)一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：

语音信号 频率大约为 300~3400Hz，音乐信号 频率大约为50~15,000Hz，

扩音器/扬声器有效带宽约为15~20,000Hz。(3)系统的通频带>信号的带宽，才能不失真。(2)对于一般周期信号，将幅度下降为的频率区间定义为频带宽度。宽度与脉宽成反比第四章傅里叶变换与频域分析知识点Z4.12应用案例：DC-to-AC转换器第四章傅里叶变换与频域分析4.3周期信号的频谱及特点

主要内容：基于周期切换原理的DC-to-AC转换器基本要求：了解DC-to-AC转换效率的傅里叶系数计算法第四章傅里叶变换与频域分析Z4.12应用案例：DC-to-AC转换器例DC-to-AC转换器：一个简单的基于周期性切换原理的直流-交流转换器如图所示。考虑两个情况：(a)转换器开/关，(b)转换器反转极性。图(a)和(b)描绘了上述两个情况的输出波形。转换效率定义为基波的平均功率与原直流的平均功率之比。请计算两种情况下的转换效率。Switchat60Hz+-+-4.3周期信号的频谱及特点4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析解：由图(a)中的方波x1(t)可知，T=1/60s,Ω=2π/T=120πrad/sx1

(t)

（偶函数）的三角形式傅里叶系数为:4.3周期信号的频谱及特点第四章傅里叶变换与频域分析由图(b)中的方波x2(t)可知，T=1/60s,Ω=2π/T=120πrad/s.x2

(t)

（偶函数，奇谐）的三角形式傅里叶系数为:x2(t)知识点Z4.13非周期信号的频谱第四章傅里叶变换与频域分析4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换主要内容：1.非周期信号的频谱2.频谱密度函数基本要求：1.了解引出非周期信号频谱的过程2.掌握频谱密度函数的基本概念第四章傅里叶变换与频域分析T→∞时，

f(t):周期信号→非周期信号;

谱线间隔

=2π/T→0，谱线幅度→0，周期信号的离散频谱过渡为非周期信号的连续频谱。回顾Z4.13非周期信号的频谱——频谱密度函数

不变，T↑，幅度↓，间隔

↓，频谱变密。4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换1.引出4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换

第四章傅里叶变换与频域分析虽然各频率分量的幅度趋近于无穷小，但无穷小量之间相对大小仍有差别，引入频谱密度函数。T→∞时0

f(t):周期信号非周期信号谱线间隔

0离散频谱连续频谱4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换

第四章傅里叶变换与频域分析(单位频率上的频谱)

T→∞时Ω→dω（无穷小量）

nΩ→ω

（离散→连续）2.频谱密度函数F(jω)称为频谱密度函数，简称频谱函数。知识点Z4.14傅里叶正反变换定义第四章傅里叶变换与频域分析4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换

主要内容：1.傅里叶变换2.傅里叶反变换基本要求：1.熟练掌握傅里叶正反变换公式2.了解傅里叶变换存在的条件4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换

第四章傅里叶变换与频域分析1.傅里叶变换F(jω)称为f(t)的傅里叶变换。F(jω)一般是复函数，写为幅度频谱，频率ω的偶函数相位频谱，频率ω的奇函数4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析根据傅里叶级数2.傅里叶反变换∑→∫傅里叶反变换或原函数

T→∞时:Ω→dω（无穷小量）nΩ→ω（离散→连续）4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换

第四章傅里叶变换与频域分析傅里叶变换式“-”傅里叶反变换式“+”简记为：

F(jω)=F[f(t)]

f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)↔F(jω)3.傅里叶变换对4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析

(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数

f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:(2)用下列关系还可方便计算一些积分4.说明所有能量信号均满足此条件。知识点Z4.15常用函数的傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换

主要内容：常用函数的傅里叶变换基本要求：熟练掌握常用函数的傅里叶变换对4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析Z4.15常用函数的傅里叶变换单边指数函数4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析幅度频谱：相位频谱：4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析2.双边指数函数频谱图4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析3.门函数(矩形脉冲)取样函数Sa(x)=sin(x)/x4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析幅度频谱相位频谱频带宽度：频谱图4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析4.冲激函数

(t)、

'(t)、

(n)(t)↔4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析傅里叶变换4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析5.常数1有些函数(如1，

(t)等)不满足绝对可积这一充分条件，但傅里叶变换却存在，直接用定义式不易求解。可构造一函数fn(t)逼近f

(t)，即构造函数fn(t)满足绝对可积条件，其傅里叶变换Fn(j

)是极限收敛的，则f(t)的傅里叶变换F

(j

)为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析所以因此，1←→2()构造又4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析另一种求法：

(ω)代入反变换定义式，有4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析傅里叶变换4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析6.符号函数构造4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析7.阶跃函数

(t)=+4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析归纳记忆：1.F变换对2.常用函数F变换对δ(t)ε(t)e-

t

ε(t)gτ(t)sgn(t)e–

|t|112πδ(ω)第四章傅里叶变换与频域分析4.1信号分解为正交函数Z4.1矢量的正交分解Z4.2信号的正交分解Z4.3帕斯瓦尔定理4.2周期信号的傅里叶级数Z4.4周期信号三角形式的傅里叶级数Z4.5周期信号波形的对称性和谐波特性Z4.6周期信号指数形式的傅里叶级数Z4.7两种傅里叶级数展开形式的关系4.3周期信号的频谱及特点Z4.8周期信号的频谱Z4.9单边谱和双边谱的关系Z4.10周期矩形脉冲信号的频谱和特点Z4.11周期信号的平均功率Z4.12应用案例：DC-to-AC转换器4.4非周期信号的频谱——傅里叶变换Z4.13非周期信号的频谱Z4.14傅里叶正反变换定义Z4.15常用函数的傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析4.5傅里叶变换的性质Z4.16线性Z4.17奇偶性Z4.18对称性Z4.19尺度变换特性Z4.20时移特性Z4.21频移特性Z4.22卷积定理Z4.23时域微积分特性Z4.24频域微积分特性Z4.25相关定理4.6能量谱和功率谱Z4.26能量谱Z4.27功率谱Z4.28*应用案例：白噪声功率谱密度的估计4.7周期信号的傅里叶变换Z4.29周期信号的傅里叶变换Z4.30周期信号傅里叶级数与傅里叶变换的关系第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析Z4.31基本信号ejωt作用于LTI系统的响应Z4.32一般信号f(t)作用于LTI系统的响应Z4.33傅里叶变换分析法Z4.34傅里叶级数分析法Z4.35频率响应函数Z4.36计算机仿真求解系统响应Z4.37无失真传输Z4.38理想低通滤波器Z4.39物理可实现系统的条件Z4.40应用案例：二次抑制载波振幅调制接收系统4.9取样定理Z4.41信号的取样Z4.42时域取样定理Z4.43频域取样定理Z4.44应用案例：计算机仿真实现Sa信号的采样和恢复Z4.45*应用案例：数字录音系统第四章傅里叶变换与频域分析*4.10模拟滤波器Z4.46模拟滤波器Z4.47巴特沃斯低通滤波器Z4.48应用案例：计算机仿真设计巴特沃斯低通滤波器Z4.49

切比雪夫滤波器Z4.50

椭圆滤波器*4.11傅里叶变换在通信系统中的应用Z4.51载波抑制双边带调制Z4.52幅度调制Z4.53

单边带调制Z4.54频分多路复用Z4.55

脉冲幅值调制Z4.56

时分多路复用Z4.57

通信中的多址技术4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析线性奇偶性对称性尺度变换特性时移特性频移特性时域微分特性时域积分特性频域微分特性频域积分特性卷积定理相关定理傅里叶变换基本性质4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析傅里叶变换具有唯一性。傅里叶变换变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：了解时频域特性的内在联系；利用性质求F(jω)；了解在通信系统领域中的应用。傅里叶变换性质的意义知识点Z4.16线性性质第四章傅里叶变换与频域分析4.5傅里叶变换的性质主要内容：傅里叶变换的线性性质基本要求：掌握傅里叶变换的线性性质4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析则若Z4.16线性性质4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析f

(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)F(jω)=2πδ(ω)–2Sa(ω)=-例

f(t)如下图所示，计算解：知识点Z4.17奇偶性第四章傅里叶变换与频域分析4.5傅里叶变换的性质主要内容：傅里叶变换的奇偶性基本要求：了解频谱的奇偶虚实特性4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析Z4.17奇偶性则若证明：显然：下面具体研究时间函数与其频谱的奇偶虚实关系4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析(1)f(t)为实函数R(ω)X(ω)显然：结论：f(–t)↔F(–jω)=F*(jω)R(ω)=R(–ω)X(ω)=–X(–ω)|F(jω)|=|F(–jω)|

(ω)=–

(–ω)4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析若f(t)为实偶函数,F(jω)为实偶函数若f(t)为实奇函数,F(jω)为虚奇函数4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析(2)f(t)为虚函数f(t)=j

g(t)X(ω)R(ω)显然：请同学们参照实函数进行分析。知识点Z4.18对称性第四章傅里叶变换与频域分析4.5傅里叶变换的性质主要内容：傅里叶变换的对称性基本要求：熟练掌握傅里叶变换时频对称性4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析Z4.18对称性则若4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析Z4.18对称性则若证明：令ω→-ω

可得：式中，令t→ω，ω→t

，可得：4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析例1求f(t)=1的傅里叶变换。4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析例2求f(t)=τ

Sa(ωc

t/2)

的傅里叶变换。ω→t,τ→ωc4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析←→F(jω)=?解:例3当α=1时根据对称性所以知识点Z4.19尺度变换特性第四章傅里叶变换与频域分析4.5傅里叶变换的性质主要内容：傅里叶变换的尺度变换特性基本要求：1.掌握尺度变换特性的基本概念2.了解信号时频宽度相反的关系4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析证明：Z4.19尺度变换特性则,a为非零实数。若当a>0时，当a<0时，(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析0<a<1，脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。(2)

a>1时域压缩，频带扩展。4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析a>1，脉冲持续时间短，变化快了。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析意义：(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩;(2)a>1时域压缩，频域扩展a倍;说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。(3)

a=-1,f(–t)↔F(–jω)。4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析f(t)=←→F(jω)=?解:根据对称性，利用尺度变换特性，令

a=-1，可得例所以知识点Z4.20时移特性第四章傅里叶变换与频域分析4.5傅里叶变换的性质主要内容：傅里叶变换的时移特性基本要求：掌握信号时域平移对应的频域的变化4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析证明：Z4.20时移特性则,t0为实常数。若若则幅度频谱无变化，只影响相位频谱，相移±ωt0。说明：4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析f(t)如图所示，F(jω)=?解:例1‖+f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→f

(t)=f1(t)+f2(t)

f1(t)=g6(t-5)4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析求若例2解:根据时移特性，根据尺度变换特性，或者:根据尺度变换特性，根据时移特性，4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析例3F(jω)=?解:α=1整理根据对称性，所以，知识点Z4.21频移特性第四章傅里叶变换与频域分析4.5傅里叶变换的性质主要内容：傅里叶变换的频移特性基本要求：1.掌握傅里叶变换频移特性的基本概念2.掌握信号频谱搬移的基本概念3.了解通信中调制、解调的基本原理4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析证明：Z4.21频移特性则,ω0为实常数。若频移特性的实质是频谱搬移，它是通信理论中信号调制与解调的理论基础。4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析例1已知f(t)=

ejω0t，求其傅里叶变换。解:时域f(t)乘ejω0t，频谱右移ω0时域f(t)乘e-jω0t，频谱左移ω04.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析f(t)=cosω0t

←→F(jω)=?例2解:F(jω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]f(t)=sinω0t

←→F(jω)=?例3解:F(jω)=jπ[δ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)]cos(ω0t)频谱图sin(ω0t)频谱图4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析f(t)cosω0t

←→?例4解:cos(ω0t)频谱图f(t)频谱图f(t)cos(ω0t)频谱图cos(ω0t)调制信号—载波ω0调制频率—载频ω0>>ωm知识点Z4.22卷积定理第四章傅里叶变换与频域分析4.5傅里叶变换的性质主要内容：1.时域卷积定理2.频域卷积定理基本要求：1.掌握时域卷积定理的含义2.掌握通信中的调制、解调的分析方法4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析Z4.22卷积定理时域卷积定理频域卷积定理则若则若4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析证明：由时移特性：代入得，4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析根据对称性例1解:根据频域卷积定理，4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析f(t)cosω0t

←→?例2解:cos(ω0t)频谱图f(t)频谱图f(t)cos(ω0t)频谱图思考：如何解调？知识点Z4.23时域微积分特性第四章傅里叶变换与频域分析4.5傅里叶变换的性质主要内容：1.时域微分特性2.时域积分特性基本要求：掌握傅里叶变换时域微积分特性4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析证明：Z4.23时域微积分特性若时域微分：时域积分：其中4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析根据对称性，例1解:根据时域微分特性，4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析推论1：若证明：所以则示例:dε(t)/dt=

(t)←→1ε(t)←→1/(jω)+π

(ω)4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析推论2：若且则例2解:用推论2求解知识点Z4.24频域微积分特性第四章傅里叶变换与频域分析4.5傅里叶变换的性质主要内容：频域微积分特性基本要求：了解傅里叶变换频域微积分特性4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析Z4.24频域微积分特性若频域微分：频域积分：其中例1解:4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析例2计算解:知识点Z4.25相关定理第四章傅里叶变换与频域分析4.5傅里叶变换的性质主要内容：相关定理基本要求：掌握相关定理的基本概念4.5傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换与频域分析证明：则若Z4.25相关定理对自相关函数：知识点Z4.26能量谱第四章傅里叶变换与频域分析主要内容：1.信号能量的定义2.帕斯瓦尔能量方程3.能量密度谱的定义基本要求：1.了解信号能量和能量密度谱的基本概念2.掌握帕斯瓦尔能量方程4.6能量谱和功率谱第四章傅里叶变换与频域分析Z4.26能量谱1.信号能量定义：时间(-∞,∞)区间上信号的能量为能量信号满足0<E<∞，即能量有限。例如门函数，三角形脉冲，单边或双边指数衰减信号等。信号(电压或电流)f(t)在1Ω电阻上的瞬时功率为|f(t)|2,在区间(-T,T)的能量为4.6能量谱和功率谱4.6能量谱和功率谱第四章傅里叶变换与频域分析证明:2.帕斯瓦尔方程（能量方程）4.6能量谱和功率谱第四章傅里叶变换与频域分析3.能量密度谱E

(ω)物理意义：为了表征能量在频域中的分布情况而定义的能量密度函数，简称为能量频谱或能量谱。

定义：单位频率的信号能量。在频带df内信号的能量为

E

(ω)df，因而信号在整个频率区间（-∞,∞）的总能量为：上式与帕斯瓦尔能量方程进行比较可知，4.6能量谱和功率谱第四章傅里叶变换与频域分析由相关定理：信号的能量谱E(ω)是ω的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关。单位：J·s。结论：能量有限信号的能量谱E(ω)与自相关函数R(τ)是一对傅里叶变换。4.6能量谱和功率谱第四章傅里叶变换与频域分析例：计算信号的能量。解:知识点Z4.27功率谱第四章傅里叶变换与频域分析主要内容：1.信号功率的定义2.功率有限信号及其相关函数3.功率密度谱的定义基本要求：1.了解信号功率的基本概念2.了解功率密度谱的基本概念3.了解功率密度谱和自相关函数的关系4.6能量谱和功率谱第四章傅里叶变换与频域分析Z4.27功率谱1.信号功率定义：时间（-∞,∞）区间上信号f(t)的平均功率。功率信号满足0<P<∞，即功率有限，如周期信号等。f(t)为复函数4.6能量谱和功率谱若信号能量E有限，则P=0；若信号功率P有限，则E=∞。f(t)为实函数4.6能量谱和功率谱第四章傅里叶变换与频域分析从f(t)中截取|t|≤T/2的一段，得到一个截尾函数fT(t)，它可以表示为：如果T是有限值，则fT(t)的能量也是有限的。令由帕斯瓦尔能量方程，fT(t)的能量ET可表示为：4.6能量谱和功率谱第四章傅里叶变换与频域分析由于f(t)的平均功率为：当T增加时，fT(t)的能量增加，|FT(jω)|2也增加；当T→∞,

fT(t)→f(t),此时|FT(jω)|2/T趋于一极限；定义|FT(jω)|2/T为f(t)的功率密度函数，简称功率谱。4.6能量谱和功率谱第四章傅里叶变换与频域分析比较得：2.功率密度谱定义：单位频率的信号功率。在频带df内信号的功率为

P(ω)df，因而信号在整个频率区间（-∞,∞）的平均功率为：信号的功率谱P(ω)是ω的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关。单位：W·s。4.6能量谱和功率谱第四章傅里叶变换与频域分析自相关函数：3.功率密度谱与自相关函数的关系若f1(t)和f2(t)是功率信号，此时相关函数的定义为：4.6能量谱和功率谱第四章傅里叶变换与频域分析两边取傅里叶变换，得：4.6能量谱和功率谱第四章傅里叶变换与频域分析根据前面推导：结论：功率信号的功率谱P(ω)与自相关函数R(τ)是一对傅里叶变换，称为维纳-欣钦(Wiener-Khintchine)关系。知识点Z4.28*白噪声功率谱密度的估计第四章傅里叶变换与频域分析4.6能量谱和功率谱主要内容：1.白噪声2.自相关函数和功率谱密度基本要求：1.了解白噪声的基本概念2.了解自相关函数估计白噪声功率谱密度第四章傅里叶变换与频域分析Z4.28案例：白噪声功率谱密度的估计4.6能量谱和功率谱随机信号如白噪声，不能用频谱表示，但可用自相关函数求其功率谱密度，描述随机信号的频域特性。白噪声(whitenoise)是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的随机噪声。通信中的白噪声主要包含三类：无源器件，如电阻、馈线等类导体中电子布朗运动引起的热噪声；有源器件，如真空电子管和半导体器件中由于电子发射的不均匀性引起的散粒噪声；以及宇宙天体辐射波对接收机形成的宇宙噪声。其中前两类是主要的。第四章傅里叶变换与频域分析4.6能量谱和功率谱例：白噪声对所有的频率其功率密度谱都是常数，

求其自相关函数。解：根据维纳-欣钦关系，可得白噪声的自相关函数可见，白噪声信号的自相关函数是冲激信号，这表明白噪声在各时刻取值杂乱无章，没有任何相关性，因而对

0的所有时刻RN(

)都为0，仅在

=0时刻为强度为N的冲激。4.6能量谱和功率谱第四章傅里叶变换与频域分析说明：白噪声是一种理想化的信号模型，具有无限带宽，实际不可能存在。因为白噪声的平均功率为无穷大，这在物理上是不可实现的。白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。在工程中，只要噪声信号保持常数功率谱的带宽远大于它所作用线性系统的通频带，则视为白噪声。例如，热噪声和散粒噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可认为是白噪声。4.6能量谱和功率谱第四章傅里叶变换与频域分析例：利用仿真产生白噪声并进行功率谱密度估计。%生成高斯白噪声序列randn('state',0)NFFT=1024;%NFFT为取样点数Fs=10000;

%Fs为取样频率

t=(0:NFFT-1)/Fs;%时间y=randn(NFFT,1);%产生高斯白噪声，2*pi为其功率。figure(1);subplot(3,1,1);plot(t,y);gridon;title('白噪声波形');%计算白噪声的自相关函数[cory,lags]=xcorr(y,200,'unbiased');%自相关函数subplot(3,1,2);plot(lags,cory);gridon;title('白噪声相关函数');%估计功率谱密度f=fft(cory);%对自相关系数进行傅里叶变换：即功率谱密度。k=abs(f);fl=(0:length(k)-1)*Fs/length(k);

subplot(3,1,3)

plot(fl,k);gridon;title('白噪声功率谱');解：白噪声功率谱密度估计仿真结果：4.6能量谱和功率谱第四章傅里叶变换与频域分析知识点Z4.29周期信号的傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析4.7周期信号的傅里叶变换主要内容：1.正、余弦函数的傅里叶变换2.一般周期信号的傅里叶变换基本要求：1.掌握正、余弦函数的傅里叶变换2.掌握一般周期信号傅里叶变换的计算方法第四章傅里叶变换与频域分析思考问题：*周期信号的傅里叶变换如何求取？*周期信号傅里叶变换与傅里叶级数的关系？*周期、非周期统一的分析方法-傅里叶变换？周期信号：非周期信号：4.7周期信号的傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析Z4.29周期信号的傅里叶变换1.正、余弦信号的傅里叶变换由频移性质已知由欧拉公式和线性性质4.7周期信号的傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析2.一般周期信号的傅里叶变换指数形式的傅里叶级数复傅里叶系数4.7周期信号的傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析公式1：示例:4.7周期信号的傅里叶变换结论：周期信号的频谱由冲激序列组成：位置：ω

=nΩ强度：2πFn(a)周期矩形脉冲信号(b)傅里叶级数(c)傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析例1：周期为T的单位冲激周期函数

T(t)=解：4.7周期信号的傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。解：周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即本题公式2：4.7周期信号的傅里叶变换知识点Z4.30周期信号傅里叶级数与傅里叶变换的关系第四章傅里叶变换与频域分析4.7周期信号的傅里叶变换主要内容：周期信号傅里叶级数与傅里叶变换的关系基本要求：了解周期信号傅里叶级数的另一种方法第四章傅里叶变换与频域分析公式1：公式2：注：求周期信号傅里叶级数的另一种方法4.7周期信号的傅里叶变换Z4.30周期信号傅里叶级数与傅里叶变换的关系结论：周期信号的频谱由冲激序列组成：位置：ω=nΩ强度：2πFn和ΩF0(jnΩ)

第四章傅里叶变换与频域分析思考问题：*一般信号的分解？傅里叶级数？傅里叶变换？*基本信号的响应？ejnΩt？ejωt？*一般信号的响应？傅里叶级数？傅里叶变换？*频域分析？数学工具？原理？步骤？优缺点？4.8LTI系统的频域分析知识点Z4.31基本信号ejωt作用于LTI系统的响应第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析主要内容：1.基本信号ejωt作用于LTI系统的响应2.频率响应函数基本要求：1.了解ejωt作用于LTI系统的响应2.掌握频率响应函数的基本概念第四章傅里叶变换与频域分析傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。4.8LTI系统的频域分析Z4.31基本信号ejωt作用于LTI系统的响应周期信号：非周期信号：基本信号ejnΩt基本信号ej

t说明：频域分析中，基本信号的定义域为(–∞，∞)，而t=–∞总可认为系统的状态为0，因此本章的响应是指零状态响应，常写为y(t)。第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率ω的基本信号ej

t时，其响应根据卷积定义，得第四章傅里叶变换与频域分析定义：h(t)的傅里叶变换，记为H(j

)，常称为系统的频率响应函数。基本信号ej

t作用于LTI系统的响应：H(j

)反映了响应y(t)的幅度和相位。4.8LTI系统的频域分析知识点Z4.32一般信号f(t)作用于LTI系统的响应第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析主要内容：一般信号f(t)作用于LTI系统的响应基本要求：掌握系统响应频域分析的核心思想第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析Z4.32一般信号f(t)作用于LTI系统的响应ej

tH(j

)ej

tF(j

)d

ej

tF(j

)d

H(j

)ej

t齐次性可加性f(t)Y(j

)=F(j

)•H(j

)y(t)知识点Z4.33傅里叶变换分析法第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析主要内容：傅里叶变换分析法基本要求：1.了解傅里叶变换分析法的基本概念2.掌握傅里叶变换进行LTI系统分析的方法第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析Z4.33傅里叶变换分析法傅里叶变换分析法步骤：第一步，求输入信号f(t)的傅里叶变换F(jω)；第二步，求频率响应函数H(jω)；第三步，求零状态响应y(t)的傅里叶变换Y

(jω)=F(jω)H(jω)；第四步，求Y

(jω)的傅里叶逆变换y

(t)=F

-1[F(jω)H(jω)]。知识点Z4.34傅里叶级数分析法第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析主要内容：傅里叶级数分析法基本要求：掌握LTI系统的傅里叶级数分析法第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析Z4.34傅里叶级数分析法周期信号的指数形式傅里叶级数：系统零状态响应：对周期输入信号，还可用傅里叶级数分析法：第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析傅里叶级数分析法步骤：第一步，求周期输入信号fT(t)的傅里叶系数Fn；第二步，求系统频率响应H(jnΩ)=H(jω)|ω=nΩ；第三步，求零状态响应y(t)的傅里叶系数Yn=FnH(jnΩ)；第四步，求傅里叶级数展开式。第四章傅里叶变换与频域分析若周期信号采用三角形式傅里叶级数表示：则可推导出4.8LTI系统的频域分析系统频率响应函数：幅值相乘相位相加直流增益第四章傅里叶变换与频域分析例：某LTI系统的|H(j

)|和θ(

)如图，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。解法一：用傅里叶变换分析法4.8LTI系统的频域分析第四章傅里叶变换与频域分析解法二：用三角傅里叶级数分析法f(t)的基波角频率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=04.8LTI系统的频域分析f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)知识点Z4.35频率响应函数第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析主要内容：1.系统频率响应函数的定义2.系统频率响应函数的求法基本要求：1.掌握系统频率响应函数的基本概念2.掌握系统频率响应函数的求法第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析Z4.35频率响应函数H(j

)1.定义：系统零状态响应y

(t)的傅里叶变换Y(j

)与激励f(t)的傅里叶变换F(j

)之比。即|H(j

)|称为幅频特性(或幅频响应),是

的偶函数；θ(

)

称为相频特性(或相频响应),是

的奇函数。H(j

)一般是复函数，记为：第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析2.频率响应函数的求法(1)H(j

)=F[h(t)]

(2)H(j

)=Y(j

)/F(j

)例1如图电路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)为输出，求h(t)。解：画电路频域图由电路的频域模型直接求出；对微分方程两边取傅里叶变换。{第四章傅里叶变换与频域分析解：微分方程两边取傅里叶变换，4.8LTI系统的频域分析例2：某系统的微分方程为，求输入信号时系统的响应。系统频率响应函数输入信号傅里叶变换系统响应傅里叶变换傅里叶逆变换y(t)=(e-t

–e-2t

)ε(t)知识点Z4.36计算机仿真求解系统响应第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析主要内容：系统响应的仿真求解基本要求：了解系统响应的仿真求解方法第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析Z4.36计算机仿真求解系统响应例已知系统的频率响应函数和输入分别为：求