六年级奥数变速问题教师版

变速问题

讨山m镀辱目褐

K六年级奥数变速问题教师版

2、能够利用线段图、算犬、方程方法解决变速变道等综合行程题。

3、变速变道问题的关键是如何处理“变”

向tMiP

变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解

题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致,但必须一步一步来：

折线图则显得非常直虬每一次相遇点的位置也易于确定；

方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式,把大量

的推理过程转化成了计算.

行程问题常用的解题方法有

⑴公式法

即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公

式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对

公式非常熟悉，可以推知需要的条件；

⑵图示法

在一些复杂的行程问题中，为了明确过程,常用示意图作为辅助工具.示意图包括线段困

和折线图.图示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追及的地点.另外在多次相

遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；

⑶比例法

行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值.更重要

的是，在一些较复杂的题目中，有些条件（如路程、速度、时间等）往往是不确定的，在没有具体

数值的情况下，只能用比例解题：

⑷分段法

在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为

匀速的几段,在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；

⑸方程法

在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未

知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.

［例1］小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52米，小强每分走70米，二

人在途中的A处相遇。若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则

两人仍在A处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变,

也就是说，小强第二次走的时间比第一次少4分钟。(70x4)+(90-70)=14分钟可

知小强第二次走了14分钟,他第一次走了14+4=18分钟；两人家的距离：

(52+70)x|8=2196(米).

【答案】2196米

【例2】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向

跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都

用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变,如果相遇后两人和跑一圈用24秒,则相遇

前两人和跑一圉也用24秒。以甲为研究对象，甲以原速V跑了24秒的路程与以

(V+2)跑了24秒的路程之和等于400米,24V+24(V+2)=400易得V=7-

3

米/秒

【答案】71米/秒

3

【例3】A、B两地相距7200米，甲、乙分别从A,B两地同时出发，结果在距B地2400

米处相遇.如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前1()分钟相遇,则甲的

速度是每分钟行多少米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】第一种情况中相遇时乙走了240()米，根据时间一定,速度比等于路程之比，最初甲、

乙的速度比为(7200-2400):2400=2:1,所以第一情况中相遇时甲走了全程的

2/3.乙的速度提高3倍后,两人速度比为2:3,根据时间一定，路程比等于速度之比,

所以第二种情况中相遇时甲走了全程的」-=三.两种情况相比，甲的速度没有变

3+25

化，只是第二科情况比第一种情况少走10分钟，所以甲的速度为

6000x(3-3)+9=150(米/分).

58

【答案】150米/分

【例4】甲、乙两车分别从4,B两地同时出发相向而行,6小时后相遇在C点.如果甲

车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A,B两地同时出发相向而行,

则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变,甲车速度每小时多行5千米,

则相遇地点距。点16千米.甲车原来每小时行多少千米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】设乙增加速度后,两车在。处相遇，所用时间为T小时。甲增加速度后，两车在E

处相遇。由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。于是，甲、乙不

增加速度时，经T小时分别到达。、E。DE=12+16=28（千米）。由于甲或乙增

加速度每小时5千米,两车在D或E相遇,所以用每小时5千米的速度1小时

走过28千米，从而r=28+5=g小时，甲用6-y=-（小时），走过12千米,

2

所以甲原来每小时行12--=30（千米）

5

【答案】30千米

【巩固】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行,5小时后相遇在C点。如果甲

速度不变,乙每小时多行4千米,且甲、乙还从4、B两地同时出发相向而行厕相

遇点。距。点/O千米；如果乙速度不变,甲每小时多行3千米,且甲、乙还从

A、B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米。问：甲原来的速度是

每小时多少千米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】当乙每小时多行4千米时,5小时可以多行20千米,所以当两人相遇后继续向前

走到5小时，甲可以走到C点，乙可以走到C点前面20千米。而相遇点D距

C点IO千米，因此两人各走了10千米,所以甲乙二人此时速度相等，即原来甲比

乙每小时多行4千米。同理可得,甲每小时多行3千米时，乙走5千米的时间甲

可以走10千米，即甲的速度是乙的2倍。（4+3-（2-1）+4走1（千米/小时），所以甲原

来的速度是每小时II千米。

【答案】11千米

【例5】A、3两地间有一座桥（桥的长度忽略不计），甲、乙二人分别从两地同时出发.3小

时后在桥上相遇.如果甲加快速度，每小时多走2千米，而乙提前0.5小时出发,

则仍能恰在桥上相遇.如果甲延迟0.5小时出发,乙每小时少走2千米，还会在桥

上相遇.则人、B两地相距多少千米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路■程都是一样的,

同样乙每次走的路程也是一样的.在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时

间还是3小时，他提前了0.5小时，那么甲到桥上的时间是3-0.5=2.5小时.甲每

小时多走2千米25小时就多走2x25=5千米，这5千米就是甲原来3-2.5=0.5

小时走的，所以甲的速度是54-0.5=10千米/时,在第三种情况中，甲速度不变，所以

甲到桥上的时间还是3小时，他延迟了0.5小时，那么乙到桥上的时间是3+0.5

=3.5小时.乙每小时少走2千米,3.5小时就少走2x3.5=7千米，这7千米就是甲

原来3.5—3=0.5小时走的，所以乙的速度就是7+0.5=14千米/时.所以A、8两

地的距离为（10+14）x3=72千米.

【答案】72千米

【例6】一列火车出发1小时后因故停车0.5小时,然后以原速的3/4前进,最终到达目的

地晚1.5小时.若出发1小时后又前进90公里再因故停车0.5小时，然后同样

以原速的3/4前进，则到达目的地仅晚1小时,那么整个路程为多少公里？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【答案】11千米

【例10】甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行,5小时相遇；如果乙车提前1小

时出发，则差13千米到中点时与甲车相遇,如果甲车提前1小时出发，则过中点

37千米后与乙车相遇,那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？

【考点】行程问题之变速问题【难度】4星【题型】解答

【解析】第一次行程甲、L两车同时出发，所以两车走的时间相同；第二次乙车提前1小时

出发,所以这次乙车比甲车多走了1小时：第三次甲车提前1小时出发，所以这次

甲车比乙车多走了I小时.那么如果杷第二次和第三次这两次行程相加，那么甲车

和乙车所走的时间就相同了，而所走的路程为2个全程.由于两人合走一个全程要

5小时,所以合走两个全程要10小时.由于第二次在乙车在差13千米到中点与

甲车相遇,所以此次甲车走了全程的一半加上13千米；第三次在过中点37千米

后与乙车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上37千米；这两次合起来甲车走

了一个全程加上］3+37=50千米，所以乙车走了一个全程少50千米，甲车比乙车

多走50x2=100千米.而这是在10小时内完成的，所以甲车与乙车的速度差为100

・10=10千米/时

【答案】10千米/时

【例11】甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一

起跑线同时起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米,当甲比乙领先整整一圈时,

两人同时加速，乙的速度比原来快L甲每分钟比原来多跑18米，并且都以这样的

4

速度保持到终点.问：甲、乙两人谁先到达终点？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】从起跑到甲比乙领先一图，所经过的时间为400+（400-360）=10（分钟）.甲到达终

点还需要跑（10000-400x10）+（400+18）=14蔡（分钟），乙还需要跑

1、2274

(10000-360x10)4-360x1+-=14*（分钟），由于所以乙先到达终点.

4〃99209

【答案】乙先到达终点

【例12】环形场地的周长为1800米，甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行（甲速大于乙

速）,12分钟后相遇.如果每人每分钟多走25米，则相遇点与前次相差33米,求原来

二人的速度.

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】甲、乙原来的速度和为：1800・12=150（米/分）,如果每人每分钟多走25米,现在的

速度之和为：150+25x2=200（米/分），现在相遇需要的时间为：1800・200=9（分

钟）.题目中说粕遇点与前次相差33米，但并不知道两者的位置关系,所以需要先确

定两次相遇点的位置关系.由于以原来的速度走一周，甲比乙多走的路程为每分钟

甲比乙多走的路程xl2;提速后走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的

路程x9;故提速后走一圈与以原来速度走一圈相比，甲比乙多走的路程少了，而二人

所走的路程的和相等，所以提速后甲走的路程比以原速度走的路程少，其差即为两次

相遇点的距离33术.所以现在问题转化为：甲以原速度走12分钟走到某一处，现

在甲以比原速度提高25米/分的速度走9分钟,走到距离前一处还有33米的地方,

求甲的速度.所以，甲原来的速度为：(33+25x9)+(12-9)=86(米/分)，乙原来的速

度为：150-86=64(米/分).

【答案】64米/分

【例13］王刚骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。因途中有2千米正在修路，只好推

车步行，步行速度只有骑车速度的;,结果这天用了36分钟才到学校。从王刚家到

学校有多少千米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】途中有2千米在修路，导致了王刚上学时间比平时多用36-20=16分钟，由于在别的

路段上还是骑车,所以多用的时间都是耗费在修路的2千米上.由于步行速度是汽

车速度的L所以步行2千米所用的时间是尉车2千米所用时间的3倍,多用了2倍,

3

这个多出来的时间就是16分钟，所以骑车2千米需要16+2=8分钟.

由于8分钟可以持2千米，而王刚平时骑车20分钟可以到学校,所以王刚家与学校的

距离为2x(20+8)=5千米.

【客案】5千米

【例14］甲、乙两车分别从A、A两地同时出发，相向而行,出发时，甲，乙的速度之比是5:4,

相遇后甲的速度减少20%,乙的速度增加20%.这样当甲到达B地时,乙离开4地

还有10千米.那么A、5两地相距多少千米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】出发时，两车的速度之比为5:4,所以相遇以后两辆车的速度之比为

5x(l-20%):4x(l+20%)=5:6,而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为5:4,所以

4

相遇后两辆车还需要行驶的路程之比为4:5,所以甲还需要行驶全部路程的？.当甲

9

AQ4R1

行驶这段路程的同时，乙行驶了全程的二+5x6=9,距离A地还有1一二+£■=」-,

91591545

所以A、4两地相距10+—=450千米.

45

【答案】450千米

【例15】甲、乙往返于相距1000米的A,4两地.甲先从4地出发,6分钟后乙也从A地出

发,并在距A地600米的C地追上甲.乙到6地后立即原速向A地返回，甲到6地

休息1分钟后加快速度向4地返回，并在C地追上乙.问：甲比乙提前多少分钟回

到A地？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】由于甲比乙早出发6分钟，乙在走了600米时追上甲，可见乙走600米比甲要少用6

4fXi

分钟，那么对于舸下的400米，乙比甲要少用"x6=4(分钟)，也就是说乙比甲早4

600

分钟到达8地.那么乙从8地出发比甲早4+1=5(分钟)，走到C地被甲追上,相当于

甲走400米比乙少用5分钟，那么对于剩下的690米，甲比乙要少用％x5=7.5(分

400

钟).所以甲比乙提前7.5分钟回到4地.

【答案】7.5分钟

【例16】一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地,小轿车到达乙地后立即返回,返回

时速度提高50%。出发2小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地

时,小轿车刚好走到甲、乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时

间？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】此题的关筵是分析清盘凝目中所提到的小轿车返回时速度楔高50%所带来的变化,

所以可以先假诙小轿车返回时速度不发生变化会是什么样，然后再进行对比分

析.如果小轿车返回时速度不提高，那么大货车到达乙地时，小轿车又走了甲、乙两

地距离的,+(1+50%)=1，所以，从甲地至I乙地小轿车与大货车的速度比为：

23

I31

(1+与：1=4:3,小轿车到达乙地时，大货车走了全程的工还差已.小轿车从乙地返

344

回甲地时,与大货车的速度比为4x(1+50%):3=2:1,小轿车从乙地返回到与大货车

相遇时，大货车又走了全程的-X—=—相遇时大货车共走了全程的

4li212

3那么大货车从甲地到乙地需要2+3=2小时，小轿车从甲地到乙地需

412665

123999

要上x(二N小时,小轿车往返一次需要己+己+。+50%)=3小时.

【答案】3小时

【例17】甲、乙两地间平路占L由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的2,一辆

53

汽车从甲地到乙地共行了10小时，己知这辆车行上山路的速度比平路慢20%,行

下山路的速度比平路快20%,照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】根据题意，可以把甲、乙两地之间的距离看作25,这样两地间的平路为5,从甲地去往

23

乙地，上山路为20x——=8,下山路为20x」一=12:再假设这辆车在平路上的速

2+32+3

度为5,则上山时妁速度为4,下山时的速度为6,于是,由甲地去乙地所用的总时间为：

8+4+5+5+12+6=5;从乙地回到甲地时，汽车上山、下山的速度不变，但是原来

的上山路变成了此时的下山路，原来的下山路变成了此时的上山路，所以回来时所用

的总时间为：12+4+5+5+8+6=5,.由于从甲地到乙地共行了10小时,所以从

3

12

乙地回来时需要10+5x5§=10§小时.

2

【答案】104小时

3

【例18】甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向

跑,每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是

甲的速度的2.甲跑第二圈的速度比第一圈提高了！，乙跑第二圈的速度提高了L

335

已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米,

问这条跑道长多少米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】从起跑由于跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的士，所以第一次相遇的地方在距起

3

点2;（或者33）处.由于甲的速度比乙快，所以甲先跑完第一圈，甲跑完第一圈时、乙跑

T二圈,此时乙距出发点还有已图,根据题意，此时甲要回头加速跑，即此时甲与乙方

33

向相同，速度为乙的（1+I±A2=2倍.所以乙跑完剩下的已I圈时甲又跑了£2圈,此时

\3）333

甲距出发点还有1圉，而乙又要回头跑，所以此时两人相向而行，速度比为

2*。+2?|]=5:3.所以两人第二次相遇点距离出发点1乂色_=1，两次相

315〃35+38

遇点间隔士0+1_L=0W1,注意到1一71三=1二9<三?1,所以最短距离为19我圈，所以跑道长

584040404040

19

1904--=400>H.

40

【答案】400米

【例19】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑

去.相遇后甲比原来速度增加4米/秒，乙比原来速度减少4米/秒，结果都用25

秒同时回到原地.求甲原来的速度.

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】因为相遇前后甲、乙的速度和没有改变,如果相遇后两人合跑一圈用25秒，则相遇前

两人合跑一圈也用25秒.

（法1）甲以原速V甲跑了25秒的路程与以（%+4）的速度跑了25秒的路程之和等于

400米,25%+25（%+4）=400，解得％=6米/秒.

（法2）由跑同样一段路程所用的时间一样,得到%+4=%，即二者速度差为4；而二

者速度和为％+%=丝40？0=16,这是个典型的和差问题.可得/为：（16-4）+2=6

25

米/秒.

【答案】6米/秒

【巩固】从A村到8村必须经过。村，其中A村至C村为上坡路,C村至8村为下坡路,A村

至8村的总路程为20千米.某人骑自行车从A村到8村用了2小时，再从8村返回

A村又用了1小时45分.已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时

的速度是上坡时速度的2倍.求A、。之间的路程及自行车上坡时的速度.

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】设4、C之间的路程为x千米,自行车上坡速度为每小时)，千米，则。、8之间的路

程为(20-x)千米，自行车下坡速度为每小时2y千米.依题意得：

乂竽=2

2V

-，两式相加，得:‘2()+'20=2+13±,解得y=8;代入得x=12.故A、

20-xx,3)，2y4

-----+—=1-

)'2y4

C之间的路程为12千米，自行车上坡时的速度为每小时8千米.

【答案】8千米

【例20】欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里.早晨7:40,欢欢从家出发骑车去学

校,7:46追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，

欢欢立即调头，并将速度提高到原来的2倍，回家换好校服,再赶往学校；欢欢B:00

赶到学校时,贝贝也恰好到学校.如果欢欢在家换校服用去6分钟且调头时间不计,

那么贝贝从家里出发时是点分.

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】六年级

【解析】欢欢从出发到追上贝贝用了6分钟，那么她调头后速度提高到原来的2倍，回到家所

用的时间为3分钟，换衣服用时6分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了

20-6-3-6=5分钟,故她以原速度到达学校需要1()分钟，最开始她追上贝贝用了6

分钟,还剩下4分钟的路程，而这4分钟的路程贝贝走了14分钟，所以欢欢的6分钟

路程贝贝要走14x(6+4)=21分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了21分钟，

所以贝贝是7点25分出发的.

【答案】7点25分

【例21】甲、乙两人都要从A地到8地去，甲骑自行车，乙步行,速度为每分钟60米.乙比甲

早出发20分钟.甲在距A地1920米的。处追上乙,两人继续向前,甲发现自己忘带

东西，于是将速度提高到原来的1.5倍，马上返回A地去取，并在距离。处720米的

。处遇上乙.甲到达A地后在A地停留了5分钟，再以停留前的速度骑往8地，结

果甲、乙两人同时到达A地.A、A两地之间的距离是米.

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】填空

【解析】乙从A地到C处所用时间为1920+60=32分钝甲用的时间为32-20=12分钟，甲

的速度为1920+12-160米/分钟,速度提高后为160Ml.5-240米/分钟.甲从/)处回

到A地并停留5分钟，共用时间(1920+720)+240+5=16分钟,此时乙又走了

60x16=960米,两人的距离为1920+720+960=3600米,此时相当于追及问题、追及

时间为36()04-(240-60)=20分钟，所以A、8两地之间的距离为240x20=4800

米.

【答案】4800米

【例22】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡

路.小芳上学走这两条路所用的时间一样多.已知下坡的速度是平路的1.6倍，那

么上坡的速度是平路速度的多少倍？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】设小芳上学路上所用时间为2,那么走一半平路所需时间是1.由于下坡路与一半平

路的长度相同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是

5S3

1+1.6=工因此，走上坡路需要的时间是2-1=1二，那么，上坡速度与平路速度的比

888

QQ

等于所用时间的反比，为1:q=8:11,所以，上坡速度是平路速度的言倍.

【答案】刍倍

11

【例23】赵伯伯为锻炼身体，每天步行3小时，他先走平珞，然后上山,最后又沿原路返回。假

设赵伯伯在平路上每小时行4千米,上山每小时行3千米,下山每小时行6千米，在

每天锻炼中，他共行走多少米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】希望杯，四年级，二试

【解析】因为是原路返回，所以上坡的路程和下坡的路程相等.上下坡的平均速度为29

（1+3+1：6）=4,与平路速度相等，所以全程的平均速度为4千米/小时,3小时共步行

4x3=12千米.

【答案】12千米

【例24］王老师每天早上晨练，他第一天跑步1000米，散步1600米，共用25分钟；第二天跑

步2000米，散步800米，共用20分钟。假设王老师跑步的速度和散步的速度均保

持不变。求：⑴王老师跑步的速度；（2）王老师散步800米所用的时间。

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】希望杯，四年级，二试

［解析］⑴第二天跑步2000米，散步80（）米，共用20分钟，那么跑步4000米，散步1600米,

共用40分钟，又已知跑步1000米，散步1600米，共用25分钟，所以王老师跑步

4000-1000=3000（米），用时40-25=15（分钟），即王老师跑步的速度为300（"15=200（米/

分钟）

⑵因为王老师跑步2000米，散步800米,共用时20分钟，所以王老师散步800

米，用时20—^^=20-10=10（分）

【答案】（1）200米/分钟（2）10分

【例25】某校在400米环形跑道上进行1万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后,乙的速

度始终保持不变，开始时甲比乙慢，在第15分钟时甲加快速度，并保持这个速度不

变，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙。在第23分钟时甲再次追上乙,而在

23分50秒时甲到达终点。那么，乙跑完全程所用的时间是多少分钟？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】祖冲之杯，小学数学邀请赛

【解析】本题中乙的速度始终保持不变,甲则有提速的情况，但是甲提速后速度就保持不变,

所以可以从甲提速后的情况着手进行考虑.根据题意可知，甲加速后，每过

23-18=5（分钟）比乙多跑一圈和每分钟比乙多跑400+5=80（米）.由于第18

分钟时甲、乙处于同一位置，则在23分50秒时甲到达终点时,乙距终点的距离就是

此时甲、乙之间的距离，即乙距离终点还有80乂123需-18、=丹4(米)，即乙在23

分50秒内跑了(10000-胃)米,由于乙的速度始终保持不变，所以乙每分钟跑

(10000-上?)+23郎=400(米).所以，乙跑完全程需要10000+400=25(分钟).

【答案】25分钟

【例26】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步.如果出发时乙的速度是甲的

2.5倍,当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%,而乙的速度立即减少20%,

并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑

道的周长是米.

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯

【解析】如图,设跑道周长为1,出发时甲速为2,则乙速为5.假设甲、乙从A点同时出发，按

逆时针方向跑.由于出发时两者的速度比为2:5,乙追上甲要比甲多跑I国,所以此

时甲跑了1子(5-2)x2=二，乙跑了士；此时双方速度发生变化，甲的速度变为

33

2x(l+25%)=2.5，乙的速度变为5x(l—20%)=/1,此时两者的速度比为

25:4=5:8:乙要再追上甲一次,又要比甲多跑1图,则此次甲跑了l+(8-5)xf=』,

3

这个*就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程.从环形跑道上来看,第一

3

次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是三S-1=2±个周长，又可能是

33

2-3=4个周长.

33

那么,这条环形跑道的周长可能为l(X)+2=150米或1(X)+1=3(X)米.

33

【答案】300米

【例27］如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。跑道右半部

分(粗线部分)道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速

度均为每秒8米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米。两人一直跑下去，问：

他们第99次迎面相遇的地方距A点还有米。

A

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】填空

【解析】本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、

乙各自绕着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道潞上所用的时间分别相同，那

么两人所用的总时间也就相同，所以,两人同时匕发，跑一周后同时回到A点，即两人

在A点迎面相遇，然后再从4点出发背向而行，可以发现,两人的行程是周期性妁，且

以一圈为周期.在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定

有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然

后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇,再回到出发点是第四次相遇……可见奇数

次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是4点.本题要求的是第99次迎而

相遇的地点与A点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与A点的距离.对于第一

次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快,所以甲从出发

到跑完正常道跖时，乙才跑了200:8x4=100米,此时两人相距100米,且之间全是泥

泞道路，此时两人速度相同，所以再各跑50米可以相遇.所以第一次相遇时乙跑了

100+50=150米，这就是第一次相遇点与A点的距离,也是第99次迎面相遇的地点

与A点的距离.

【答案】150米

【例28】丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米跑道上进行比赛,丁丁的玩具甲虫每分

钟跑30米，乐乐的玩具甲虫每分钟跑20米,但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次

会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的10%倒退1分钟,按第二次会使丁丁的玩具甲

虫以原来速度的20%倒退1分钟，以此类推，按第N次,使丁丁的玩具甲虫以原来的

速度的Nx10%倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进,如果乐乐在比赛中最

后获胜，他最少按次遥控器。

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美，初赛，六年级

【解析】乐乐的玩具甲虫跑完全程需要400・20=20分钟，丁丁的玩具甲虫跑完全程需要

40

400・30=^分钟，乐乐要想取胜,就必须使丁丁的玩具甲虫因倒退所耽误的总时间

3

超过20-竺=型分钟.乐乐第一次按遥控器后，丁丁耽误的时间为倒退的I分钟及

33

跑完这1分钟倒退路程所花费的时间，为l+10%xl=l.l分钟；乐乐第二次按遥控器

后，丁丁耽误的时间为l+20%xl=1.2分钟；……乐乐第〃次按遥控器后，丁丁耽误

的时间为l+〃xl0%xl=l+0.1〃分钟.所以相当于要使1.1+1.2+1.3+大于

2022

-=6-,由于Ll+1.2+L3+L4+1.5=6.5v6—，而

333

2

1.1+1.2+1.3+1.4+1.5+1.6=8/>61,所以乐乐要想取胜，至少要按6次遥控器.

3

【答案】6次

【例29］唐老鸭和米老鼠进行5000米赛跑.米老鼠的速度是每分钟125米,唐老鸭的速度

是每分钟10()米.唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使用都能使

米老鼠进入“麻痹”状态1分钟,1分钟后米老鼠就会恢复正常，遥控器需要1分钟恢

复能量才能再使用.米老鼠对“麻痹”状态也在逐渐适应，第1次进入“麻痹”状态时,

米老鼠会完全停止，米老鼠第2次进入“麻痹”状态时,就会有原速度5%的速度，而

第3次就有原速度10%的速度....第20次进入“麻痹”状态时已有原速度95%的

速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控器所控制了.唐老鸭与米老鼠同

时出发，如果唐老鸭要保证不败,它最晚要在米老鼠跑了多少米的时候第一次使用

遥控器？

【考点】行程问题之变速问题【难度】4星【题型】解答

【解析】5000X25=40(分钟).5000+100=50(分钟)，所以米老鼠正常情况下要40分钟跑完

全程，唐老鸭要50分钟跑完全程.若唐老鸭使米老鼠麻痹20次，由于

5%+10%++95%=9.5,则在这麻痹的20分钟内，米老鼠实际跑的路程为正常状

态下9.5分钟跑的路程.这样，米老鼠一共需要40-9.5+