2026年高考数学终极冲刺：培优专题05 函数与导数 6大重难题型（大题专练）（原卷版）

5/24培优专题05函数与导数6大重难题型题型01导数与切线、函数单调性问题题型01导数与切线、函数单调性问题命题方向一导数的切线方程以及切线条数问题命题方向二利用导数研究函数的单调性（不含参数）命题方向三利用导数研究函数的单调性（含参数）命题方向四利用函数的单调性确定参数值或取值范围题型02导数与函数的极值、最值问题命题方向一利用导数研究函数最值命题方向二利用导数研究函数极值点、极值问题题型03导数与函数的零点、隐零点、极值点偏移相关问题命题方向一确定零点个数的判断问题命题方向二由函数零点或极值点求参数问题命题方向三极值点偏移问题命题方向四隐零点问题题型04导数与不等式恒（能）成立问题命题方向一利用导数证明不等式命题方向二利用导数研究不等式恒成立问题命题方向三利用导数研究不等式能成立问题命题方向四利用导数研究端点效应问题题型05函数与导数的创新交汇问题命题方向一导数与三角函数交汇的组合型函数问题命题方向二导数与数列交汇的函数及不等式问题题型06导数的新定义与创新问题题型01导数与切线、函数单调性问题抓关键·破难点一、曲线切线方程的5个高频结论1.切点已知求切线◎结论=1\*GB3①导数法:求切点处的导数，即切线斜率→利用点斜式得切线方程.2.切点未知求切线◎结论=2\*GB3②三步法:设切点坐标→利用导数求斜率→利用点斜式写切线方程→根据切线满足的性质列方程→求解切点坐标.◎结论=3\*GB3③点斜式方程法:设斜率→根据已知的定点用点斜式写出切线方程→设切点坐标→代人切点坐标列方程→求解切点坐标.3.求公切线问题◎结论=4\*GB3④对号入座法:根据两曲线分别求出切线方程→根据两切线方程斜率、截距对应相等列方程组→解方程组得解.4.公切线数量问题◎结论=5\*GB3⑤单切点法:设出两个切点中的一个切点→根据这个切点利用三步法求切线方程→依据另一个切点坐标建立方程→方程解的个数即公切线条数.二、利用导数求解函数单调性问题的技法第=1\*GB3①步求导化简定义域：化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间.第=2\*GB3②步变号保留定号去：变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分；定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分.第=3\*GB3③步恒正恒负先讨论：变号部分因为参数的取值恒正恒负；然后再求有效根.第=4\*GB3④步根的分布来定参：此处需要考虑根是否在定义域内和多根之间的大小关系.第=5\*GB3⑤步判断定义域是否符合取值范围刷经典·通方法🎯命题方向一导数的切线方程以及切线条数问题1.（2026·广东深圳·模拟）已知函数，其中.（1）若曲线在处的切线过原点，求的值.（2）当时，（=1\*romani）判断过点的切线条数，直接写出结果；（=2\*romanii）判断过点的切线条数并说明理由.2.（2026·山东烟台诊断性·测试）已知函数，为的导函数，且．（1）求在点处的切线方程；（2）证明：当时，；当时，．3.（2026·江苏苏北七市·二调）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方．4.（2026·海南部分学校·联合调研）已知函数.（1）若是的导函数，且0为的极值点，求；（2）当时，过原点的直线与的图象相切，证明：当时，在图象的上方.🎯命题方向二利用导数研究函数的单调性（不含参数）5.（2026·青海西宁·一模）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）点是函数图象上任意一点，求点到直线距离的最小值．6.（2026·四川内江·模拟）已知函数，为的导函数，（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，（i）求的取值范围；（ii）记较小的一个零点为，证明：.🎯命题方向三利用导数研究函数的单调性（含参数）7.（2026·江苏南京市六合区名校联盟·一调）已知函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）讨论的单调性．8.（2026·湖北武汉3月调研）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有极小值，且，求a的取值范围.9.（2026·黑龙江实验中学高三联合·模拟）已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当时，求证：．🎯命题方向四利用函数的单调性确定参数值或取值范围10.（2026·甘肃陇南康县第一中学等三校·一模）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线在轴上的截距；（2）若函数在上单调递增，求的值；（3）若函数在处取得极小值，求的取值范围.11.（2026·河北唐山·一模）函数，.（1）若在上单调递减，求a的取值范围；（2）若曲线与在处有相同的切线，（i）求a的值；（ⅱ）若，证明：.题型02导数与函数的极值、最值问题抓关键·破难点一、利用导数求解函数最值的解题技法函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：第=1\*GB3①步求在内的极值（极大值或极小值）；第=2\*GB3②步将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．二、求解可导函数极值相关问题的解题技法第=1\*GB3①步先确定函数的定义域；第=2\*GB3②步求导数；第=3\*GB3③步求方程的根；第=4\*GB3④步检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.第=5\*GB3⑤步通过函数的极值点个数问题求参数的取值范围.刷经典·通方法🎯命题方向一利用导数研究函数最值1.（2026·山东济宁·阶段检测）已知函数在上单调递增.（1）求a的值；（2）解不等式（为函数的导函数）.2.（2026·高三上辽宁·开学考试）已知函数在上单调递增.（1）求的值；（2）设，证明：存在最小值且最小值小于1.🎯命题方向二利用导数研究函数极值点、极值问题3．（2024·新课标Ⅱ卷）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．4．（2025·全国高考·二卷）已知函数，其中．（1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；（2）设分别为在区间的极值点和零点.（i）设函数.证明：在区间单调递减；（ii）比较与的大小，并证明你的结论．5.（2026·江苏扬州适应性·调研）已知函数（1）若时，求函数的切线斜率的最小值；（2）若，求证：函数在其定义域内存在极小值；（3）如果存在，使得解集为，试求出的取值范围．6.（2026·江苏南京、盐城·一模）已知函数，直线与曲线相切．（1）求实数的值；（2）若是函数的极大值点，求实数的取值范围．7．（2026·湖南雅礼3月·检测）已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若在其定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围．题型03导数与函数的零点、隐零点、极值点偏移相关问题抓关键·破难点一、函数在区间上零点个数的速判策略◎一判符号查看函数是否在区间的某个子区间上恒为正或恒为负，若存在，将其排除.◎二研性质研究在剩余区间上的单调性(通过导函数值的正负判断，有时也会利用极限思想判断).◎三验证在每一个单调区间上验证零点是否存在.二、“找一设一代”三步法速破函数隐零点问题◎一找（找零点）据题意，把问题转化为关于函数零点的问题，由函数的单调性、函数零点存在定理等确定零点所在区间，解题难点是取点，常见取点技巧如下。（1）不含参函数：常取，，等特殊值，若函数解析式中含有“指、对结构”,还可取或这样的数.（2）含参函数：可先根据具体函数解析式的结构猜对应方程的根，若猜不出来，则找易于计算函数值且能判断函数值符号的自变量代入，若还是找不到，则考虑利用极限思想求解◎二设（设零点）将零点设为，由导数值等于得出零点所满足的关系式，无须求出具体的零点数值.◎三代（巧代换）根据零点满足的关系式，整体代入待求式化简即可.三、极值点偏移问题的解题策略若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；假设此处在上单调递减，在上单调递增.（2）构造；注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.刷经典·通方法🎯命题方向一确定零点个数的判断问题1.（2026·河北石家庄3月·检测）已知函数，记的导函数为.（1）当时，求的零点个数；（2）若是定义域上的增函数，求的最小值；（3）若使，求的取值范围.🎯命题方向二由函数零点或极值点求参数问题2.（2026·山东临沂·一模）已知函数．（1）求的单调区间；（2）已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围.3.（2026·山东青岛·一模）设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.4.（2026·广东东莞3月质量·检测）已知函数.（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（2）若有两个零点，求实数的取值范围；（3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.5.（2026·广东深圳市第一次·调研）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个零点.（i）求的取值范围；（ii）证明：.🎯命题方向二极值点偏移问题6.（2026·广东普宁市第二中学3月·检测）已知函数．（1）若，求a的取值范围；（2）证明：若有两个零点，则．7.（2026·河北承德3月·检测）已知函数，其中．（1）求的单调区间；（2）若函数有两个不相等的零点．（=1\*romani）求实数a的取值范围；（=2\*romanii）证明：8.（2026·重庆高三上·开学考试）已知函数有两个极值点且.（1）求实数的取值范围；（2）证明:.🎯命题方向三隐零点问题9．（2026·江西九江·模拟）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若的极小值小于，求m的取值范围；（3）当时，证明：有2个零点．10.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟）已知函数．（1）若，求在上的最值．（2）若且，关于的方程在上仅有一个实根．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求的最大值．11.（2026·辽宁沈阳·模拟）已知函数．（1）若，求在上的最值．（2）若且，关于的方程在上仅有一个实根．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求的最大值．题型04导数与不等式恒（能）成立问题抓关键·破难点一、利用导数证明或判定不等式问题1.不含参数不等式问题的解题技法（证明：）技法（1）移项：构造函数，转化为证明的最小值大于.技法（2）放缩：证明（注意两个等号不能同时取到），一般情况下，的图象为公切线.技法（3）转化：适当对不等式变形，转化为（这个是原不等式成立的充分条件，但不是必要条件）.2.含参不等式证明问题的求解技法（1）单参分类讨论：含单一参数的不等式证明问题往往直接移项构造函数，分类讨论含参数的最值；或将参数归类处理，结合放缩求解.（2）多参注意消元：多参问题往往需先消参，转化为单参问题求解.二、不等式恒成立与能成立求参问题速破策略变形换元：对不能直接分参或分类讨论的不等式变形，常见变形方法有“同乘除”“指对互化”等.分析新元的取值范围：若新元的结构较复杂,则需构造函数，利用导数研究新元的取值范围.构造函数找最值：根据换元后代数式的结构特征，分离参数或直接分类讨论求函数最值或极值，进而求参数的取值范围.分离参数后不等式恒(能)成立的类型:若恒(能)成立，则;若恒(能)成立，则.三、双变量恒（能）成立的解题模型模型一：任意—任意型：，，成立.模型二：任意—存在型：，，成立.模型三：存在—存在型：，，成立.四、利用导数研究端点效应问题第①步：利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件.第②步：利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调.第③步：若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件.刷经典·通方法🎯命题方向一利用导数证明不等式1.（2026·云南民族大学附属中学·适应性训练））已知函数（），.（1）若，证明：，；（2）求函数的零点个数.2.（2026·湖北十一校第二次·联考）已知，其中．（1）求证：当时，；（2）讨论取不同值的时候，函数的零点个数；（3）证明：，其中．🎯命题方向二利用导数研究不等式恒成立问题3.（2026·山东聊城·一模）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求a的取值范围；（3）若有最大值，记曲线在点处的切线方程为，证明：当时，存在使，且．4.（2026·甘肃陇南·二诊）已知函数．（1）讨论函数的单调区间；（2）若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数b的最大值；（3）若为函数的极值点，求证：．🎯命题方向三利用导数研究不等式能成立问题5.（2026·江苏扬州市第一次·调研）已知函数的一个极值点是．（1）求a与b的关系式；（2）求出的单调区间；（3）设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围．6.（2026·陕西汉中阶段·检测）已知函数，其中．（1）求在处的切线方程；（2）求函数的极值；（3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．7.（2026·辽宁盘锦3月·检测）已知函数（1）求出函数在上的最值（2）若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围．🎯命题方向四利用导数研究端点效应问题8.（2026·河北秦皇岛阶段·检测）设函数．（1）当时，若函数有2个极值，求实数的取值范围；（2）当时，若函数的最小值为4，求实数的值；（3）当时，求证：总存在实数，当时，．9.（2026·浙江杭州阶段·检测）已知实数，设．（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；（2）若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围．题型05函数与导数的创新交汇问题抓关键·破难点高考数学越来越注重在知识的交汇处命题，函数的创新交汇问题能有效体现函数的应用性，命题情况如下：一、与三角函数交汇：与三角函数交汇的组合型函数问题，难点在于灵活运用三角函数的有界性分析转化问题.二、与数列交汇：函数与数列的交汇问题，难点在于函数与数列性质的相互转化.刷经典·通方法🎯命题方向一导数与三角函数交汇的组合型函数问题1.（2026·甘肃省一模）已知函数.（1）若曲线在处的切线平行于轴，求的值；（2）当时，求函数在内的极大值点和极小值点的个数；（3）证明：对任意，曲线上存在四个不同的点共圆.2.（2026·广东东莞·模拟）已知函数（1）判断是否为周期函数，并说明理由；（2）求的最大值和最小值；（3）设证明：3.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数.（1）当时，求函数在上的值域；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围；（3）证明：.4.（2026·东北师大附中哈尔滨师大附中辽宁省实验中学第一次联合·模拟）已知函数．（1）若函数过原点的切线为，求实数的值；（2）若函数的图象与相交于两个不同点，，记直线的斜率为．（i）当时，求实数取值范围；（ii）当时，证明：．5.（2026·江苏南京市栖霞区名校联盟·一模）已知函数，．（1）求在内的单调性；（2）若存在，使得，求实数a的取值范围；（3）设方程在区间内根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由．🎯命题方向三导数与数列交汇的函数及不等式问题6.（2026·山东临沂·一模）对于可导函数，从初始值出发，定义序列．已知，．（1）设，求函数的解析式，并求的值；（2）记，，并设．（ⅰ）求证：；（ⅱ）是否存在正整数m，n，使得，，成等比数列，若不存在，说明理由．若存在，求出所有满足条件的，，．7.（2026·山东德州·一模）已知函数.（1）证明：在上单调递增；（2）记的最小值为，数列的前项积为.（i）求的通项公式；（ii）证明