2026年高考数学终极冲刺：清单02 高考数学考前重点题型归纳（抢分清单）-第四部分（原卷版）

4/20清单02高考数学考前重点题型归纳（含28个专题，813个重点题型）题型01集合5个重点题型 题型02常用逻辑用语13个重点题型题型03复数15个重点题型 题型04平面向量26个重点题型题型05等式与不等式的性质及基本不等式16个重点题型 题型06三角函数与诱导公式11个重点题型题型07三角恒等变换24个重点题型题型08三角函数的图象及性质40个重点题型题型09解三角形小题35个重点题型 题型10解三角形大题36个重点题型题型11函数的概念及其表示10个重点题型题型12函数的基本性质45个重点题型 题型13指数对数幂函数40个重点题型题型14函数的图象6个重点题型 题型15函数与方程与函数模型22个重点题型题型16导数小题36个重点题型题型17导数大题40个重点题型 题型18数列小题40个重点题型题型19数列大题25个重点题型 题型20立体几何小题35个重点题型题型21立体几何大题35个重点题型 题型22直线与圆32个重点题型题型23圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55个重点题型题型24圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40个重点题型题型25排列组合27个重点题型 题型26二项式定理17个重点题型题型27概率统计小题52个重点题型 题型28概率统计大题35个重点题型第四部分题型22直线与圆32个重点题型题号核心题型题型解决关键点1两直线垂直求参数利用两直线垂直的充要条件（斜率乘积为－1或一般式系数关系）列方程求解。2动直线过定点与点到直线距离最值将含参直线方程整理为关于参数的形式，令参数系数为零得定点；当直线与定点连线垂直时，点到直线距离最大，最大值即为两点间距离。3直线与圆相交的弦长最值直线过圆内定点，弦长最小时，圆心到直线的距离最大（即直线与定点、圆心连线垂直），利用弦长公式求解。4两圆相交的公切线交点判断两圆位置关系，利用几何性质：两圆相交时，外公切线交点位于圆心连线上，且到两圆心距离之比等于半径之比，结合定比分点公式求交点坐标。5已知弦长求参数由弦长公式得圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式列方程求解参数。6点与圆、直线与圆位置关系的充要条件点与圆位置关系由点到圆心距离与半径比较判断；直线与圆位置关系由圆心到直线距离与半径比较判断；结合充要条件定义判断。7直线与圆相交求斜率范围设直线点斜式，由圆心到直线距离小于半径列不等式，解出斜率范围，注意斜率不存在的情况。8平行直线与圆相交构成矩形平行直线与圆相交，若四个交点构成矩形，则圆心到两直线的距离相等，由距离公式列方程求参数和。9圆关于直线对称与圆上点到直线距离最值利用对称性设出圆的标准方程，代入已知点求圆心半径；圆上点到直线距离的最大值和最小值分别为圆心到直线距离加减半径，求和即得。10两圆相切求参数分别求出两圆圆心和半径，根据外切或内切列出圆心距等于半径和或差，解方程求参数，注意分类讨论。11圆外一点与圆上点所成角最大问题过圆外一点作圆的两条切线，当点与切点连线与圆相切时，该点与圆上点连线的夹角最大，利用直角三角形边角关系求解。12圆与直线相切及弦长求半径由切点与圆心连线垂直于切线求圆心坐标满足的方程，再由弦长公式和点到直线距离公式列方程组求半径。13动点最值问题（对称转化）求两圆上动点与直线上动点距离之和的最小值，可作一圆关于直线的对称圆，将问题转化为圆心距减去半径之和。14直线与圆相交的弦长最值直线过圆内定点，当圆心到直线距离最大时弦长最小，此时直线与过定点和圆心的直线垂直，利用几何关系求弦长及余弦值。15切点弦所在直线过定点及点到直线距离最值设切点，利用切点弦方程，通过恒等式求出直线过定点，则点到直线距离的最大值为该点与定点之间的距离。16轨迹方程与切线夹角最值由垂足定义得轨迹为圆，过圆外一点作圆的两条切线，切线夹角的正弦最大值对应圆心角最值，通过几何关系求解。17弦中点轨迹与两圆有公共点求参数由弦长和半径得弦心距，从而得弦中点轨迹为圆；两圆有公共点等价于圆心距介于半径差与和之间，列不等式求参数范围。18向量数量积的最值取弦中点，将向量数量积转化为圆心到弦中点的距离与半径的关系，结合几何意义求最大值。19直线与圆相交的圆心角范围求参数由圆心角范围得到圆心到直线的距离范围，利用点到直线距离公式列不等式，结合直线过圆上定点，解出参数范围。20直线过定点、弦长、相交与相切的条件（多选题）将直线方程变形得定点；利用弦长公式和点到直线距离公式判断；根据圆心到直线距离与半径关系判断位置关系。21点到直线距离、两圆相交弦长、公切线、曲线交点面积（多选题）判断直线与圆相离，求最小距离；两圆方程相减得公共弦方程，再求弦长；由圆心距与半径关系判断公切线条数；联立曲线方程求交点，再求三角形面积。22圆上点到直线距离最值、四边形面积最值、数量积最值、切点弦方程（多选题）利用圆心到直线距离求圆上点到直线距离最值；将四边形面积表示为切线长与半径乘积，利用勾股定理求最值；利用数量积定义结合函数单调性求最值；以切点弦所在直线为两圆公共弦，联立方程求解。23两圆位置关系、公共弦方程、公切线（多选题）由圆心距与半径和差判断位置关系；两圆相交时，公共弦所在直线方程为两圆方程相减；圆心到直线距离等于半径时直线为切线。24两圆公共弦长两圆方程相减得公共弦所在直线，求圆心到直线距离，再利用弦长公式求解。25直线与圆相交的等腰直角三角形条件求参数由向量数量积为零得两半径垂直，从而圆心到直线的距离等于半径的2226等边三角形与直线与圆相交求参数等边三角形边长为圆半径，故圆心到直线的距离为半径的3227与两平行直线相切的圆方程设圆心坐标，利用圆心到两直线距离相等且等于半径，列方程组求解圆心和半径。28矩形对角线中点轨迹与距离范围由矩形性质得对角线中点相同且相等，转化为求中点轨迹圆上点到定点距离的范围，再转化为弦长范围。29圆过两点且圆心在直线上，求与圆相交的直线参数范围先求圆心和半径，再由圆心到直线距离小于半径列不等式解参数范围。30直线与圆相切且圆过定点，求半径最小值由直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径，由圆过定点得圆心到定点距离等于半径，转化为圆心到两直线距离相等，利用几何意义求半径最小值。31动直线交点轨迹与分式最值两动直线垂直且过定点，交点轨迹为圆；将分式变形为斜率形式，转化为圆上点到定点斜率的最值，利用切线求最值。32动点轨迹与线段长度最小值由圆的切线性质得动点满足的等式，化简得轨迹为直线，则线段长度的最小值即为原点到该直线的距离。一、单选题1．（2026·四川绵阳·模拟预测）若直线与直线垂直，则（

）A． B．0 C．1 D．22．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（

）A．4 B．5 C．6 D．3．（2026·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．4．（2026·广东佛山·一模）圆和圆的两条公切线的交点坐标为（

）A． B． C． D．5．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，若，则（

）A． B． C． D．6．（2026·江西南昌·一模）已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要7．（2026·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的直线与圆有两个交点，则直线斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2026·四川德阳·二模）若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则m＋n＝（

）A．0 B．1 C．2 D．49．（2026·福建泉州·一模）已知直线，圆关于轴对称，且过点，则圆上的点到的距离的最大值与最小值之和等于（

）A． B． C． D．10．（2026·湖南怀化·一模）已知圆与圆相切，则（

）A．4 B．6 C．4或6 D．16或3611．（2026·广东广州·二模）已知点在圆上，点，当最大时，则（

）A． B． C． D．12．（2026·湖南·模拟预测）已知圆与直线相切于点，与直线相交于两点，且，则圆的半径为（

）A． B． C． D．13．（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．514．（25-26高三上·广东·期末）设动直线（）交圆于，两点（点为圆心），当最小时其余弦值为（

）A． B． C． D．15．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．516．（2026·广东汕头·模拟预测）为平面直角坐标系中一点，直线的方程为，过点M作l的垂线，垂足为Q，记Q点的轨迹为曲线E，过直线上任意一点P作E的两条切线，切点分别为A、B，则正弦值的最大值为（

）A． B． C． D．17．（25-26高二下·江西赣州·开学考试）点A，B是圆上两点，，若在圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．18．（2026·辽宁大连·一模）已知点是圆上一点，直线与圆相交于，两点，则的最大值为（

）A． B． C． D．19．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题20．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知直线l：与圆C：，则（

）A．直线l过定点B．当时，直线l被圆C所截的弦长为C．当直线l与圆C相交时，D．当直线l与圆C相切时，21．（2026·河南·模拟预测）已知⊙O：，则下列说法正确的是（

）A．⊙O上一点到直线l：距离的最小值是B．⊙O和圆：的相交弦长是4C．⊙O和圆：有且只有两条公切线D．⊙O和曲线C：交于A，B两点，则△OAB的面积为22．（2026·江西赣州·一模）已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（

）A．圆上的点到直线的最大距离为B．四边形面积的最小值为4C．的最小值为8D．当点坐标为时，直线的方程为23．（2026·吉林通化·模拟预测）已知圆与圆，则下列说法正确的有（

）A．若，则两圆外离B．若两圆相交，则C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为D．若，则直线为两圆的公切线三、填空题24．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为________.25．（2026·四川广安·一模）直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则___________．26．（25-26高二上·天津武清·月考）已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则______．27．（2026·天津河东·一模）已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的方程为__________.28．（2026·江苏·一模）已知圆是上的两个动点，点．若四边形是矩形，则的取值范围为______．29．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，若直线：与圆相交，则实数的取值范围为______．30．（2026·北京平谷·一模）已知直线与圆相切，并且圆过点，则的最小值是______．31．（2026·安徽安庆·一模）动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________．32．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是______.题型23圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55个重点题型题号核心题型题型解决关键点1抛物线定义求点到焦点距离利用抛物线定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，代入纵坐标求解。2椭圆焦点坐标求参数根据焦点位置确定a、b关系，利用椭圆中a、b、c的关系列方程求解参数。3抛物线定义求点坐标由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，列方程求横坐标，再代入求纵坐标。4椭圆焦点弦长写出过焦点的直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式或焦半径公式求弦长。5双曲线方程判定根据双曲线标准方程中分母异号，列不等式组求解参数范围。6椭圆与抛物线综合求参数由椭圆长轴与短轴关系得a、b关系，由抛物线焦点坐标得c，再结合a2=b2+c2求参数。7双曲线渐近线斜率与离心率由渐近线斜率得b/a，代入离心率公式e=√(1+(b/a)2)求解。8椭圆与双曲线离心率关系求参数分别求出两曲线的离心率，代入关系式解方程求参数。9椭圆中向量条件求离心率利用向量关系将点坐标用椭圆参数表示，代入椭圆方程，结合a、b、c关系求离心率。10椭圆焦点三角形求离心率利用椭圆定义及特殊角关系，通过解三角形或几何性质建立a、c方程求离心率。11折痕问题与抛物线定义由折痕性质得动点到定点与定直线距离相等，根据抛物线定义判断轨迹形状。12抛物线定义与向量共线求参数利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，结合向量共线条件列方程求解。13双曲线弦长与距离之和求离心率求出弦端点坐标，利用点到直线距离公式列方程，结合双曲线中a、b、c关系求离心率。14角平分线性质与双曲线定义求离心率利用角平分线定理得线段比，结合双曲线定义和余弦定理列方程求离心率。15椭圆焦点三角形面积与数量积由焦点三角形面积求点纵坐标，代入椭圆方程求横坐标，再计算向量数量积。16双曲线中点弦存在性求离心率范围利用点差法求中点弦斜率条件，结合点与双曲线位置关系列不等式，求离心率范围。17双曲线焦点到渐近线距离与三角形面积求离心率利用点到直线距离求垂线段长，由三角形面积列方程，结合a、b、c关系求离心率。18双曲线与抛物线综合求方程由公共焦点得c关系，利用等边三角形条件求交点坐标，再联立渐近线与抛物线求参数。19双曲线顶点与斜率积求渐近线设点坐标，利用斜率积公式及点在双曲线上消元，结合离心率条件求渐近线方程。20双曲线焦点到渐近线距离与三角形面积求渐近线斜率利用点到直线距离公式求垂线段长，由三角形面积列方程求a、b关系，得渐近线斜率。21双曲线焦点弦与定义求离心率利用双曲线定义求各段长度，在三角形中利用余弦定理或勾股定理建立a、c方程。22椭圆中等腰三角形条件求离心率由向量条件得等边三角形，利用椭圆定义和余弦定理列方程求离心率。23双曲线渐近线与平行线交点求直线方程求出渐近线方程，过已知点作平行线，联立求交点，再用两点式求直线方程。24椭圆通径与垂直关系求离心率由通径长度与焦点弦关系，利用几何性质列方程，结合a、b、c关系求离心率。25椭圆中位线与圆条件求直线斜率利用焦半径公式和中位线性质，结合圆半径条件求点坐标，再求直线斜率。26椭圆焦点三角形与余弦定理求离心率利用椭圆对称性和定义求边长，在三角形中用余弦定理列方程求离心率。27双曲线焦点弦与向量垂直求离心率利用双曲线定义和向量垂直条件，在三角形中用勾股定理或余弦定理建立a、c方程。28双曲线焦点弦与比例关系求离心率设参数表示各段长，利用双曲线定义和余弦定理列方程，解出离心率。29双曲线焦点弦与向量共线求离心率利用向量条件求点坐标关系，结合双曲线定义和勾股定理建立a、c方程。30双曲线渐近线与中点坐标求离心率利用中点坐标公式和点在渐近线上，结合斜率关系列方程，求a、b关系得离心率。31双曲线中点弦与圆条件求渐近线利用中点坐标公式和点在双曲线上，结合圆半径条件列方程，求渐近线方程。32椭圆焦点三角形面积比与等腰条件求离心率由面积比得线段比，利用椭圆定义和等腰三角形性质，结合余弦定理求离心率。33双曲线离心率、直线斜率、数量积最值（多选题）求离心率；直线与双曲线联立判别式求斜率范围；设点坐标用参数表示数量积求最值；直线与圆相切求斜率。34双曲线焦距、离心率、渐近线、焦点三角形周长（多选题）由焦距求a，再求离心率和渐近线；由焦点三角形条件分类讨论，结合双曲线定义求周长。35椭圆焦点三角形周长、面积、向量数量积最值、切线面积最值（多选题）利用椭圆定义求周长；焦点三角形面积公式求面积；向量数量积用基本不等式求最值；切线方程与坐标轴围成三角形面积用基本不等式求最值。36抛物线定义、点坐标、向量数量积、点到直线距离（多选题）利用抛物线定义求点坐标；由点坐标求向量数量积；由点坐标和斜率公式求角正切；由点到直线距离公式求距离。37双曲线焦点弦与勾股定理求离心率及斜率（多选题）设参数表示各段长，利用双曲线定义和勾股定理求离心率和斜率。38抛物线定义、圆与直线相切、最值、垂直条件（多选题）利用抛物线定义判断圆与直线相切；由半径最小值求圆面积最小值；用基本不等式求最值；用坐标表示垂直条件解方程判断存在性。39抛物线定义、距离最值（多选题）利用抛物线定义将距离转化，结合三点共线求最值。40抛物线焦点弦、中点弦、弦长和面积最值（多选题）设直线方程联立抛物线，利用焦半径公式和韦达定理求弦长、中点坐标，再结合基本不等式求最值。41抛物线旋转与四叶草曲线性质（多选题）由对称性求各抛物线方程；求曲线交点及距离最值；判断点是否在曲线内部；设直线联立求斜率。42椭圆焦点三角形性质（多选题）利用椭圆上点到焦点距离范围求离心率；焦点三角形面积公式求面积；内切圆半径公式求半径；正弦定理结合比例性质求离心率。43双曲线旋转与性质（多选题）由旋转前后渐近线关系判断；求双曲线方程及离心率；联立直线与双曲线求交点个数；判断两圆位置关系。44曲线对称性、直线与曲线交点、区域面积（多选题）利用对称性验证；联立直线与曲线方程判断解的存在性；联立曲线与圆方程求公共点；利用不等式确定面积范围。45椭圆方程、弦长、点差法、垂直弦长和定值（多选题）由短轴长和向量数量积最值求椭圆方程；求通径长；点差法求中点弦方程；利用弦长公式求垂直弦长和为定值。46直线与抛物线相交、向量数量积、斜率关系（多选题）联立方程用韦达定理求数量积；求垂线方程得交点坐标，验证垂直；由焦半径关系求点坐标得斜率；利用弦长关系求斜率。47双曲线焦点三角形、渐近线、正切值、内心性质（多选题）利用焦点三角形面积和余弦定理求离心率；由a、b关系写渐近线；设点坐标用正切值相等求参数关系；由内心性质证等式。48抛物线定义、切线、向量数量积、角平分线（多选题）由焦半径最小值求p；设直线联立求弦长范围；由切线性质求角范围；利用向量夹角或角平分线性质证等角。49双曲线光学性质、切线、几何性质（多选题）利用光学性质得切线方程；判断点是否在切线上；利用几何关系证点在圆上；切线定义得公共点个数。50椭圆离心率求参数根据离心率公式列方程，注意焦点位置，解出参数。51椭圆焦点三角形周长利用椭圆定义，将焦点三角形周长转化为2a+2c，代入数值求解。52抛物线焦半径与直角条件求距离利用焦半径公式和直角条件列方程求点坐标，再求距离。53抛物线焦半径与正弦定理求线段长利用抛物线定义和正弦定理，结合锐角条件求点坐标，再求焦半径。54平行直线与两抛物线交点围成四边形面积设直线方程，求出交点坐标，判断四边形形状为矩形，计算面积。55两抛物线焦点与直线交点求参数由抛物线定义求焦点坐标，设直线方程，利用向量共线或距离关系列方程求参数。一、单选题1．（2026·福建·模拟预测）已知抛物线上的一点的纵坐标为，则点到焦点的距离为（

）A． B． C． D．2．（2026·四川成都·二模）已知椭圆的一个焦点是,则（

）A． B．3 C．5 D．3．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（

）A．8 B．6 C．5 D．44．（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（

）A． B． C． D．5．（2026·贵州贵阳·一模）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2026·江苏·一模）若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则（

）A． B． C．2 D．7．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．38．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知曲线：，曲线：的离心率分别为，，且，则（

）A． B． C． D．9．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆:的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．10．（2026·四川广安·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．11．（2026·山东青岛·一模）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直于交直线于点，点的轨迹为曲线的一部分，则为（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线12．（2026·河北保定·一模）已知抛物线：的焦点为F，点D为C的准线上一点，线段DF与C交于点E，若，，则（

）A． B． C． D．113．（2026·河南许昌·模拟预测）已知双曲线，是过右焦点且垂直于轴的弦，若点，到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，则其离心率为（

）A． B． C． D．214．（2026·黑龙江·一模）已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．15．（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（

）A． B． C． D．16．（25-26高三上·山东济宁·月考）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．17．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线：（，）的右焦点为，半焦距为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（

）A．2 B．2或 C．2或 D．2或18．（2026·天津河东·一模）已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．19．（2026·河南南阳·模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，点是上异于的一点，若直线，的斜率之积为的离心率的倍，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．20．（2026·山东聊城·一模）过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（

）A． B． C． D．21．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）若双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于A，B两点，且，则的离心率为（

）．A．2 B．3 C． D．22．（2026·山东济南·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（）A． B． C． D．23．（2026·江西·模拟预测）已知双曲线上一点，若过P分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为M，N，则直线MN的方程为（

）A． B． C． D．24．（2026·山东威海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交于A，B两点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．25．（2026·贵州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆的上半部分有一点，若以原点为圆心，半焦距为半径的圆过线段的中点，则直线的斜率为（

）A．1 B． C． D．226．（25-26高二上·四川达州·期末）已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．27．（2026·河北张家口·一模）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点，且满足，（为坐标原点），，则双曲线C的离心率为（

）A． B．2 C． D．328．（2026·山东临沂·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（

）A． B． C． D．29．（2026·山西朔州·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于点，，则（

）A． B． C． D．30．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．31．（25-26高三上·天津西青·期末）已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．32．（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题33．（2026·山东济宁·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（

）A．的离心率为B．C．的最小值为-9D．若以实轴为直径的圆与相切，则34．（25-26高二上·广东江门·期末）已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（

）A．B．双曲线的离心率为2C．双曲线的渐近线方程为D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或1435．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（

）A．的周长是B．时，的面积是C．的最大值是2D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为36．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，O为坐标原点，则（

）A． B．C． D．点F到直线OM的距离为37．（2026·山东青岛·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于两点，，，则（

）A． B．C．的离心率为 D．直线的斜率为38．（2026·山西运城·一模）已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（

）A．圆与直线相切 B．圆的面积的最小值是C．的最大值是 D．存在点，使得39．（2026·河北张家口·一模）已知抛物线C：的焦点为F，点，P为C上的动点，则（

）A．满足的点P恰有两个 B．的最小值为3C．的最小值为 D．的最大值为340．（2026·湖北黄冈·一模）如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，与交于A，B两点，与交于C，D两点（点A，C在轴上方），M，N分别是弦和的中点，则（

）A．设点，则的周长最小值为B．的最小值为C．的最小值为8D．和的面积之和的最小值为3241．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为，过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（

）A．开口向下的抛物线的焦点坐标为B．曲线E上两点间距离的最大值为C．点不在曲线E的内部D．直线l的斜率为42．（2026·河北张家口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则椭圆的离心率为B．若，，则的面积为2C．若，，，则内切圆的半径为D．若，，则椭圆的离心率为43．（2026·辽宁辽阳·一模）双曲线可由以坐标原点为中心的曲线绕其中心旋转一定角度得到．现将曲线绕原点旋转一定角度可得到双曲线，其左右焦点分别为和，点P为曲线C上一点，则下列说法正确的是（

）A．直线是曲线E的一条渐近线B．双曲线C的离心率为2C．若与双曲线C有四个交点，则D．以为直径的圆与圆相切44．（2026·浙江·模拟预测）已知曲线E：，为曲线E上的动点，则下列结论正确的是（

）A．曲线E关于直线对称B．点P不可能在直线上C．曲线E与圆有4个公共点D．记曲线E所围成的区域的面积为S，则45．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆：（）的短轴长为，左、右焦点分别为，，为上一动点，且的最大值为4，则下列说法正确的有（

）A．的方程为B．若过点且垂直于轴的直线交于，两点，则C．若，是上两点，且的中点为，则直线的方程为D．若过点且互相垂直的两条直线与分别交于点，和点，，则46．（2026·湖北宜昌·二模）已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，过点作的垂线交直线于点，则（

）A． B．C．若，则 D．若，则47．（2026·山东淄博·一模）已知双曲线：的上、下焦点分别为和，下顶点为，为第一象限内上的动点，当时，的面积为，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的离心率B．双曲线的渐近线方程为C．D．的内心满足48．（2026·江西·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于两点，过作的垂线，垂足分别为，若点是抛物线上的一动点，且满足的最小值为，则（

）A．B．C．D．49．（2026·广东佛山·二模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，点在上，直线为的内角平分线，过作于点，则（

）A．当轴时，点在直线上 B．当轴时，点在轴上C．点在圆上 D．直线与双曲线的公共点只有1个三、填空题50．（2026·广东广州·一模）已知椭圆（）的离心率为，则______．51．（2026·湖北荆门·模拟预测）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______．52．（2026·河北邯郸·一模）已知是抛物线的焦点，是的准线与轴的交点，是上的点，且，则______．53．（2026·河南许昌·模拟预测）抛物线的焦点为，准线与轴交于点，为抛物线上一点，若为锐角，，则________.54．（2026·湖北武汉·模拟预测）平行于x轴的直线交抛物线：于点，交抛物线：于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为__________.55．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，若直线分别与，交于两点，且，则________．题型24圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40个重点题型题号核心题型题型解决关键点1抛物线焦点弦与三角形面积联立直线与抛物线方程，利用弦长公式和点到直线距离公式表示三角形面积，列方程求直线斜率，注意斜率不存在的情况。2双曲线中点弦存在性利用点差法求中点弦斜率，联立直线与双曲线方程，通过判别式判断直线与双曲线是否有两个交点，从而判断中点是否存在。3抛物线中的垂直与角平分线设直线方程联立抛物线，利用向量数量积证垂直；由角平分线性质得斜率关系，利用韦达定理求定点，再用弦长公式和距离公式求面积最值。4椭圆焦点弦与向量夹角联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，将角的条件转化为向量数量积的不等式，结合判别式求斜率范围。5抛物线定义与三角形外接圆利用抛物线定义求点坐标和方程；联立直线与抛物线，由中点条件求参数，判断三角形形状，再求外接圆半径。6双曲线焦点到渐近线距离与向量共线由焦点到渐近线距离和点坐标求双曲线方程；联立直线与双曲线，利用韦达定理和向量共线条件求参数，再用弦长公式求弦长。7椭圆离心率与几何证明由离心率和焦点坐标关系求椭圆方程；设点坐标，表示直线方程，求与坐标轴交点，利用中点坐标性质证明线段相等。8抛物线准线与焦点弦由抛物线定义和几何关系求参数；设直线方程联立抛物线，利用韦达定理和弦长公式，结合已知条件列方程求斜率。9椭圆中直线与坐标轴交点由顶点坐标和离心率求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆求交点坐标，表示与坐标轴交点，利用向量垂直或共线列方程求斜率。10椭圆通径与点到直线距离由通径长和点到直线距离求椭圆方程；设直线方程联立椭圆，利用韦达定理，将向量数量积条件转化为坐标关系，求范围，再证直线过定点。11双曲线定义与重心坐标由双曲线定义求轨迹方程；利用重心坐标公式和三角形面积求点坐标；设直线方程，联立双曲线，用韦达定理和参数表示点坐标，证点在定直线上。12椭圆中等腰三角形与面积最值设直线方程联立椭圆，利用韦达定理，由等腰三角形条件得斜率关系，求出定值；再用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用基本不等式求最值。13双曲线焦点弦与圆过定点由离心率和焦点到渐近线距离求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理求弦中点坐标和半径，写出圆的方程，令y=0解出定点坐标。14椭圆中圆过焦点与定点由椭圆的定义和焦点坐标求方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，证明以弦为直径的圆恒过焦点，通过向量数量积为零验证。15椭圆中光线反射与对称性由焦距和过定点求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，求点关于x轴的对称点，验证反射光线经过另一点。16椭圆中平行四边形面积最值设点坐标，利用平行四边形向量关系表示点坐标，代入椭圆方程得关系式；用三角函数表示面积，结合基本不等式求最值。17抛物线与双曲线渐近线交点及圆过定点联立抛物线方程与双曲线渐近线求交点坐标，由弦长求抛物线方程；设直线方程，利用圆直径所对圆周角为直角得垂直条件，转化为向量数量积为零，用韦达定理求定点。18双曲线离心率与渐近线选择条件求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理和点到直线距离公式，结合三角形面积求直线方程。19抛物线中的等差数列与三角形面积由点在抛物线上求抛物线方程；利用斜率公式求数列通项，证等差数列；利用弦长公式和点到直线距离公式求三角形面积。20直线与抛物线相切及三角形面积比联立直线与抛物线，利用判别式为零证相切；求直线与坐标轴交点，用坐标表示三角形面积，通过比例关系证明面积相等。21椭圆中向量共线与面积最值由点在椭圆上求椭圆方程；利用向量共线表示点坐标，代入椭圆方程得参数关系，用三角形面积公式和基本不等式求最值。22椭圆中通径与点差法由长轴长和通径条件求椭圆方程；利用点差法求斜率关系，得定值；用两角差的正切公式和基本不等式求角的最值。23椭圆中等腰梯形存在性由离心率和三角形面积求椭圆方程；设直线方程，利用韦达定理求弦中点，由等腰梯形性质得对角线垂直，列方程判断解的存在性。24椭圆中斜率关系与三角形面积由顶点坐标和离心率求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，将斜率条件转化为坐标关系，求斜率；再用弦长公式求三角形面积。25椭圆中点弦与直线过定点及面积最值由焦点三角形面积和边角关系求椭圆方程；设直线方程，利用韦达定理和点关于x轴对称，求直线方程，证过定点；用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用基本不等式求最值。26椭圆中斜率积为定值与三角形面积由斜率积为定值求轨迹方程；联立直线与椭圆，用弦长公式求弦长；设直线方程，利用韦达定理，由x轴平分角得斜率关系，求定点，再用面积公式和基本不等式求范围。27双曲线定义与点差法及角范围由圆的垂直平分线性质得双曲线定义，求方程；利用点差法求中点弦斜率，由对称性得参数关系，求值；联立直线与双曲线，由点横坐标为正求斜率范围，再用向量夹角公式求角范围。28椭圆中斜率积为定值与面积最值由顶点坐标和斜率积求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，由斜率关系求参数，用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用换元法和函数单调性求最值。29双曲线渐近线与斜率积为定值及最值由渐近线斜率求离心率；设点坐标，利用斜率公式和点在双曲线上，证明斜率积为定值；设直线方程，联立双曲线，用韦达定理和基本不等式求最值。30椭圆中垂直关系与面积最值由焦距和短轴长求椭圆方程；联立直线与椭圆求交点坐标，用斜率公式证垂直；用面积公式表示三角形面积，利用换元法和基本不等式求最值。31抛物线中四点共圆与面积比范围由点坐标和斜率求抛物线方程；联立直线与抛物线，利用韦达定理，由四点共圆得对角互补，转化为向量数量积为零，求直线方程；用坐标表示三角形面积，求比值范围。32椭圆中三角形外接圆面积最值由上顶点和直线与椭圆交点求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，求交点坐标，设外接圆方程，代入三点坐标，用半径公式表示半径，利用函数单调性求最值。33椭圆中直线与坐标轴交点成等差数列及面积比定值由长轴长和直线与圆相切求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，求直线与y轴交点坐标，证等差中项；利用中点坐标性质证面积比为定值。34椭圆离心率与中点弦及最值由离心率和长轴长求椭圆方程；设直线方程，利用点差法求斜率关系，证直线垂直；设点坐标，代入椭圆和曲线方程，用换元法求最值。35双曲线焦点到渐近线距离与点差法及正弦定理由焦点到渐近线距离和点在双曲线上求双曲线方程；设点坐标，利用中点坐标公式和点在渐近线上求轨迹，用椭圆定义求最值；利用正弦定理和坐标关系求比值范围。36双曲线通径与内切圆性质由离心率和通径长求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理和参数范围求最值；利用内切圆切线长性质证切点为焦点，由对称性证点在圆上。37椭圆焦点弦与中点轨迹及面积比范围由椭圆定义和余弦定理求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理求中点坐标，消参得轨迹方程；求中垂线与坐标轴交点，用坐标表示面积，利用换元法求范围。38抛物线切线方程与直线过定点及向量共线由点到直线距离求抛物线方程；利用导数或判别式求切线方程，由切线过同一点得切点弦方程，证直线过定点；联立直线与抛物线，利用韦达定理和向量共线条件求参数。39椭圆中中点弦与斜率之和为定值及面积最值由顶点坐标求椭圆方程和直线方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理求点坐标，由中点坐标得点坐标，用斜率公式证和为定值；用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用换元法和导数求最值。40双曲线焦点到渐近线距离与直线斜率之和及外接圆由焦点到渐近线距离和点在双曲线上求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理求斜率之和；设外接圆方程，利用同解方程求圆心坐标，由几何关系求定点。1．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时，.(1)求的方程；(2)若直线过点且的面积为，求的方程.2．（2026·四川内江·二模）已知双曲线经过点，其渐近线方程为．(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由．3．（2026·江西赣州·一模）已知抛物线，过点作直线与抛物线相交于两点，为坐标原点.(1)证明：；(2)若存在异于点的定点，使得恒成立，请求出点的坐标，并求出面积的最小值.4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆：左焦点，离心率为(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围.5．（25-26高三下·安徽·月考）已知抛物线的焦点为，过上一动点作的准线的垂线，垂足为.当时，的面积为8.(1)求的方程；(2)直线与交于两点，点均在第一象限，为坐标原点，当为的中点时，求外接圆的半径.6．（2026·山东威海·一模）已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为．(1)求的方程；(2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|．7．（2026·北京平谷·一模）已知椭圆的离心率为，右顶点为，左焦点为，且．(1)求椭圆的方程；(2)点在椭圆上，且点在第一象限内，直线，过点且平行于的直线交轴于点，直线交轴于点，点为线段的中点，求证：．8．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且.(1)求；(2)若过点的直线交于，两点，且，求的值.9．（2026·天津河东·一模）已知椭圆的方程为，上顶点为，右顶点为，，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于点（在第一或第四象限），过原点且与直线平行的直线与椭圆在第二象限交于点.(1)求椭圆方程；(2)轴上有一点，，求直线的斜率；(3)若直线与轴交于点，求直线的斜率.10．（2026·河南南阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为.(1)求的方程；(2)过点的直线交于不同的两点.（i）求的取值范围；（ii）若于点，证明：直线过定点.11．（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线．(1)求的方程．(2)若的面积为24，求点的坐标．(3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．12．（2026·湖南·模拟预测）已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为．(1)求椭圆的方程．(2)已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形．（i）求证：直线的斜率为定值；（ii）求面积的最大值．13．（2026·山东青岛·模拟预测）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率等于2，右焦点到其渐近线的距离等于．(1)求双曲线的方程；(2)经过点的直线与双曲线C交于、两点，以为直径的圆记作．求证：恒过某个定点，并求出此定点的坐标；14．（2026·陕西商洛·二模）在天问二号探测器伴飞任务中，地面观测站，用于追踪探测器，探测器沿椭圆轨道运行，到两站距离和为4．设过点的波束中心直线（斜率不为0）与椭圆轨道交于两点，以为直径形成通信圆．研究发现，若通信圆恒过近地点时，视为通信状态最佳．(1)求椭圆轨道的方程；(2)请判断通信圆是否能达到通信状态最佳？并说明理由．15．（2026·北京密云·一模）已知椭圆，过点，焦距为.(1)求椭圆的方程和离心率；(2)设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（，异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由.16．（2026·山东菏泽·一模）已知椭圆，O为坐标原点，点A，B分别在直线与上，P是C上一点，O、A、P、B四点顺时针构成平行四边形.(1)求的值；(2)求平行四边形面积的最大值.17．（2026·山东淄博·一模）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且.(1)求抛物线的方程；(2)，为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点.18．（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线：的右顶点为A.请从条件①、②、③中选择两个条件作为已知，使得C存在且唯一.条件①：的离心率为2；条件②：的渐近线方程为；条件③：的右焦点与点A的距离为1.(1)求的方程；(2)若过点的直线交C的右支于点M，且的面积为3，求的方程.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分.19．（2026·江西·一模）已知为抛物线上一点.(1)求的准线方程；(2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设.（i）求数列的前项和；（ii）求的面积.20．（2026·四川绵阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知曲线，点在曲线上，直线.(1)判断曲线与直线的位置关系，并证明；(2)当时，直线与直线，分别交于，两点.设与的面积分别为，，比较与的大小.21．（2026·四川成都·二模）如图，已知椭圆，点在椭圆上且，，分别经过的左、右焦点，，且，．(1)若，求点的坐标；(2)证明：是定值，并求出的值；(3)求四边形面积最大值．22．（2026·湖北黄冈·一模）已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．(1)求的标准方程；(2)若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为．（ⅰ）证明：为定值；（ⅱ）设，求的最小值．23．（2026·河北唐山·一模）已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N.(1)求C的方程；(2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由.24．（2026·河北保定·一模）已知椭圆的右顶点为，离心率为，过的左焦点的直线与交于异于点的，两点.(1)求椭圆的方程.(2)记直线的斜率为，直线与直线的斜率分别为，（i）若，求；（ii）若，求的面积.25．（2026·山东临沂·一模）已知椭圆的两个焦点分别为，，点P是C上的一个动点，当面积取得最大值时，．(1)求C的方程；(2)过点的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为（与B不重合）．（ⅰ）求证：直线过定点；（ⅱ）求面积的最大值．26．（2026·陕西榆林·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为．(1)求动点P的轨迹方程；(2)直线与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长；(3)若动点P的轨迹为闭合曲线，点，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得恰好被x轴平分，求面积的取值范围．27．（2026·安徽合肥·一模）已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为．①求的值；②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围．28．（2026·四川德阳·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求面积的最大值；(3)若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．29．（2026·江苏·一模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的两个动点（不包括顶点）．(1)求的离心率；(2)是否存在常数，使得总成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；(3)若为定值，直线经过，求的最小值．30．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知椭圆C：（）的焦距与短轴长均为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知直线：（）与椭圆C交于A，B两点，点A在x轴上方，过点B作斜率为的直线，交椭圆C于另一个点P.①证明：.②求面积的最大值.31．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点．(1)求抛物线的方程；(2)记与的面积分别为．①当四点共圆时，求直线的方程；②求的取值范围．32．（2026·山西朔州·一模）已知椭圆上顶点为，直线与椭圆交于两点.当时，.(1)求椭圆的方程；(2)当的外接圆面积最大时，求其外接圆的方程.33．（2026·福建龙岩·一模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，长轴长为4，且以短轴为直径的圆与直线相切.(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线分别交轴于两点，证明：（ⅰ）的横坐标成等差数列；（ⅱ）与的面积之比为定值.34．（2026·山东青岛·一模）已知为坐标原点，椭圆：（）的离心率为，长轴长为4.(1)求的方程；(2)若过的直线交于，两点，点在上，点为直线与轴的交点，点的横坐标为点横坐标的3倍.（ⅰ）证明：；（ⅱ）若点，都在曲线：（）上，求的最大值.35．（2026·广东广州·一模）已知双曲线：（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在上．(1)求的方程；(2)点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为．（ⅰ）设，，求的最大值；（ⅱ）设，（），点不在轴上，若，求的取值范围．36．（2026·广东·一模）设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，．(1)求双曲线的标准方程；(2)求的最小值；(3)记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：．37．（2026·辽宁抚顺·一模）椭圆的焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，当时有．(1)求的值及椭圆的标准方程；(2)已知线段的中点为．（ⅰ）求点的轨迹方程；（ⅱ）若线段的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，为坐标原点，记的面积为的面积为，求的取值范围．38．（2026·河北张家口·一模）已知抛物线的焦点F到直线的距离为．(1)求抛物线的方程．(2)点为直线上的一点，过点作的切线，切点分别为．①问：直线是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．②若点在抛物线的准线上，切点在第一象限内，存在过点的直线与相交于两点，过点作平行于的直线，分别与直线和直线交于点，若，求的值．39．（2026·广东佛山·二模）已知椭圆的左顶点，上顶点．(1)求椭圆的方程和直线的方程；(2)过椭圆上异于的点作轴的垂线交直线于点，延长至点，使，直线交椭圆于点．（i）求证：直线的斜率之和为定值；（ii）求面积的最大值．40．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．①求直线、的斜率之和；②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．题型25排列组合27个重点题型题号核心题型题型解决关键点1分组分配问题先按人数分组，再分配到两个社区，注意平均分组需除以组数的阶乘。2分组分配问题先将4人分成3组（2,1,1），再分配到3个地点，注意平均分组的处理。3数字排列与相邻问题先排奇偶相间，再插入相邻数字，注意捆绑后插入位置的特殊性。4排列中的顺序与相邻条件先用捆绑法处理相邻，再用倍缩法处理顺序限制。5相邻问题将相邻元素捆绑视为一个整体，再与其他元素排列。6分组分配问题先将5人分成人数为2,1,1,1的四组，再分配到4个场次。7先选后排（空盒问题）先选空盒，再将4个球分到2个盒子，分两种情况（2,2和1,3）。8有限制条件的分组分配按A公司人数分类讨论（1人或2人），再分配B、C公司。9排列中的位置与相邻限制先排特殊元素“礼”，再用排除法减去“射”和“御”相邻且不满足条件的情况。10排列中的位置限制分C是第1个和C不是第1个且不是最后一个两类讨论。11排列中的不相邻与前位限制先排歌舞节目，再插空排机器人，用排除法去掉前3个全是歌舞的情况。12排列中的位置与不相邻限制先排男生，分甲在两端和甲在中间两类，再让女生插空。13相邻问题的综合应用分恰有3本相邻和4本相邻两类，分别用捆绑法计算。14排列中的位置限制用间接法，先求全排列，再减去春字在两端的排列。15有限制条件的分配问题按A舱人数分类讨论（1人、2人、3人、4人），分别计算分配方法。16车票问题每两个站点之间需要准备2种车票，即排列数。17数字排列（无重复）先确定百位数字（不能为0），再从剩余数字中选2个排列。18网格路径问题用组合数求总路径，减去经过管制点的路径。19有限制条件的分配问题先安排女性去两个不同社区，再安排男性去三个社区，用排除法去掉社区无人的情况。20分组分配问题先按3,1,1和2,2,1两种方式分组，再分配到3个不同的盒子。21有限制条件的填数问题先选2个格子放1，排除同行或同列相邻的情况，再放2，最后放剩余数字。22顺序固定与不相邻问题先排顺序固定的非耐力打卡，再用插空法插入顺序固定的耐力打卡。23排列中的位置限制用间接法，先求所有选择，再减去第一场选“峡谷之巅”的情况。24网格路径问题分类讨论必经点，分步计算路径数。25图形填数问题分析阴影圆的位置关系，按阴影圆中数字的大小分类讨论，结合相邻圆数字大小关系计算。26取物顺序问题对前三个球的取法分类讨论，再分析剩余球的取法顺序。27数阵填数问题先确定特定位置的最大数，再按顺序从剩余数中选择填入。一、单选题1．（2026·河北唐山·一模）某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个社区至少一名同学，不同的分配方案有（

）A．6种 B．12种 C．14种 D．28种2．（2026·黑龙江·一模）黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（

）A．81 B．72 C．36 D．123．（2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（

）个.A．432 B．257 C．282 D．5044．（2026·安徽合肥·一模）国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（

）A．18种 B．24种 C．48种 D．60种5．（2026·新疆·模拟预测）有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（

）A．24 B．48 C．72 D．1206．（2026·山东烟台·一模）某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（

）A．180 B．240 C．320 D．3607．（2026·山东聊城·模拟预测）将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（

）A．72 B．78 C．84 D．968．（2026·贵州黔东南·模拟预测）将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（

）A．120种 B．150种 C．210种 D．300种9．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（

）．A．408种 B．336种 C．240种 D．120种10．（2026·山东淄博·一模）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（

）A．42 B．50 C．54 D．6011．（2026·浙江·一模）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（

）种.A．216 B．360 C．432 D．67212．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（

）A．24种 B．48种 C．72种 D．96种13．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（

）A．120种 B．240种C．480种 D．600种14．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（

）A．96种 B．72种 C．60种 D．48种15．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（

）A．35 B．36 C．42 D．50二、填空题16．（2026·广东梅州·一模）已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备______种不同的车票.17．（25-26高二上·江西上饶·月考）从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答）18．（2026·河北·模拟预测）如图，某城市A，B两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，小林要从出发到处，若每次只能向右或向上走一个路口，P，Q两处实行交通管制，不准通行，则从到的走法共有____________种．（用数字作答）19．（2026·河北邯郸·一模）某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有______种．20．（2026·湖北孝感·二模）2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法．21．（2026·宁夏银川·一模）在如图所示的九宫格中，每个格子用1，2，3，4，5，6中的一个数字填入，要求1用两次，2用三次，其余数字各用一次，且当两个1在同一行或同一列时均不相邻，则不同的填法共有______种.22．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种.23．（2026·湖南·模拟预测）某电竞战队从张不同地图中选择3张，按顺序用于场比赛，且每张地图最多使用一次．若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有__________种．24．（2026·重庆·模拟预测）小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格，则从起点到终点共有______种不同的走法.25．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种.26．（2025·江西南昌·二模）某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有__________种.27．（2026·湖南湘潭·二模）将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答）题型26二项式定理17个重点题型题号核心题型题型解决关键点1求展开式指定项的系数利用二项展开式的通项公式，代入项数求系数。2二项式系数相等求指数利用二项式系数的性质，由Cn2=3求展开式指定项的系数写出通项公式，令x的指数为2，求出r后代入求系数。4存在性条件求指数写出通项公式，令x的指数为整数，检验n的可能取值。5已知常数项求参数写出通项公式，令x的指数为0，代入常数项列方程求解。6二项式系数最大项求指数分n为偶数和奇数讨论，根据第7项二项式系数最大确定n的范围。7多项式乘法求指定项系数分别写出二项式展开的通项，再与x相乘，合并同类项。8多项式乘法求指定项系数将多项式拆分为两部分，分别求含x39二项式系数最大项与指定项系数由仅有第4项二项式系数最大得n=6，再通项求x10二项式系数最大与有理项概率由第6项二项式系数最大得n=1011赋值法求系数和分别令x=1和x12换元法求指定项系数令t=x−1，转化为关于t13赋值法求系数和（多选题）令x=1求各项系数和；令x14赋值法求系数和（多选题）由最高次项系数确定a9；利用通项求a8；令x=115赋值法与二项式系数性质（多选题）令x=1求系数和；利用通项求指定项系数；令x=1和16多项式乘法求指定项系数将多项式看作5个因式相乘，分类讨论选取x2和x17二项式系数和与常数项由二项式系数和求n，再写通项，令指数为0求常数项。一、单选题1．（2026·江西·模拟预测）二项式的展开式中，第四项的系数为（

）A． B． C．30 D．2．（2026·山西大同·一模）若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（

）A．9 B．8 C．7 D．63．（2026·广东·一模）在的展开式中，含的项的系数是（

）A． B．4 C． D．164．（2026·江西·一模）若的展开式中存在含的项，则可能等于（

）A．5 B．9 C．15 D．195．（2026·陕西榆林·一模）若的展开式中常数项为180，则a的值为（

）A．4 B．2 C． D．16．（2026·陕西·模拟预测）若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（

）A．10 B．11 C．12 D．137．（2026·陕西·模拟预测）展开式中的系数为（

）A．56 B．42 C．84 D．1208．（2025高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为（

）A．88 B．89 C．90 D．919．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（

）A． B． C．80 D．16010．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则（

）A． B． C． D．11．（2026·福建龙岩·一模）设，则（

）A．1 B．2 C．31 D．3212．（2026·安徽马鞍山·一模）若，则（

）A．-56 B．-28 C．28 D．56二、多选题13．（2026·广东广州·模拟预测）设，则（

）A．B．C．的展开式中含项的系数为D．14．（2026·山东·模拟预测）若，则（

）A． B．C． D．15．（2026·重庆·一模）已知，则下列结论正确的有（

）A．B．C．D．中，与最大三、填空题16．（2026·山东聊城·一模）的展开式中的系数是____________．17．（25-26高三上·天津蓟州·期末）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______题型27概率统计小题52个重点题型题号核心题型题型解决关键点1统计量变化判断分别计算原数据和新数据的平均数、中位数、众数、方差，比较是否变化。2百分位数计算根据百分位数公式计算位置，若为整数则取该位置数据，若为小数则取相邻两数的平均数，列方程求解参数。3回归直线过样本中心计算样本中心点坐标，代入回归直线方程，解出参数。4回归直线过样本中心计算样本中心点坐标，代入回归直线方程，解出未知数据。5折线图信息提取观察折线图的变化趋势、差值、峰值等，判断各选项的结论是否可直接从图中得出。6线性变换后的方差利用方差性质DaX7数据错误对方差的影响设原数据平均数为x，由方差公式分别表示正确数据和错误数据的方差，作差求解。8二次函数最值与样本数据将函数展开，代入已知的样本和与平方和，转化为关于t的二次函数，利用二次函数性质求最小值。9全概率公式求总体优秀率将全校优秀率表示为各年级优秀率乘以人数比例的加权和，利用全概率公式计算。10古典概型概率计算列举所有可能结果（总事件数），再计算事件发生的结果数，求比值。11条件概率先求甲被派去B服务站的所有分配方法数，再求甲、乙同去B服务站的方法数，比值即为条件概率。12全概率公式将做对概率表示为选择各难度题目概率乘以对应正确率之和。13条件概率与独立事件设PA=P14条件概率与并事件利用条件概率公式PA15比赛获胜概率与奖金分配分2局结束和3局结束两种情况计算甲获胜概率，按概率比例分配奖金。16对立事件与充分必要条件理解对立事件定义，通过举例验证充分性和必要性。17随机变量期望列出所有出牌组合（共6种），计算甲每轮得分，求得分分布，再计算期望。18正态分布概率计算利用正态分布对称性，由已知概率推导目标区间概率。19二项分布与正态分布综合由正态分布对称性得均值，由二项分布方差公式求n，再代入条件求概率。20二项分布与线性变换设正面次数为Y，则总得分X=2Y−21概率递推分别计算经过3秒后处于状态1和状态2的路径概率，相加得占比。22线性变换后的统计量（多选题）极差变为原来的2倍，平均数变为原来的2倍加1，方差变为原来的4倍，第80百分位数不能